位能觀念的發生與意義
姚珩
1* 李秉書
2 1國 立 臺 灣 師 範 大 學 物理 系 2臺 北 市 立 大 理 高 級 中 學壹、前言
位 能 是 能 量 物 理 學 裡 的 一 個 重 要 觀 念，它 與 動 能 共 同 形 成 力 學 能，而 力 學 能 守 恆 律 是 描 述 許 多 自 然 現 象 的 基 本 原 理，因 此 位 能 的 概 念 頗 值 得 仔 細 探 究。那 麼 位 能 的 意 義 是 什 麼 呢? 它又 是 如 何發 生 的? 許 多 高 中 及 國 中 教 科 書 認 為：重 力 位 能 是 抵 抗 重 力 的 外 力，將 物 體 由 低 處 抬 至 高 處 所 作 的 功 轉 變 而 來 ， 並 定 義 此 外 加 拉 力 所 作 的 功 等 於 重 力 位 能 的 增 加 量(國 立 台 灣 師 範 大 學 科 學 教 育 中 心，1995，頁 10-17；高 涌 泉，2011，頁 100；傅 昭 銘、陳 義 裕，2011，頁 104； 林 英 智 ，2014，頁 73)。 若 將 此 說 法 用 在 行 星 與 太 陽 上 ， 那 麼 是 什 麼 樣 的 拉 力 ， 可 將 行 星 自 離 太 陽 近 處 移 至 遠 處 ？ 位 能 的 介 紹 非 要 引 入 拉 力 嗎 ？ 一 個 下 落 石 塊，並 沒 有 抵 抗 重 力 的 拉 力 作 用 在 石 塊 上，為 何 會 有 位 能 ？ 物 理 學 家 到 底 是 如 何 來 描 述 位 能 呢 ？ 它 又 是 由 那 些 物 理 學 家 所 提 出 ？貳、位能概念的提出－克來若
歷 史 上 並 沒 有 出 現 物 理 學 家 主 張 由 拉 力 來 定 義 位 能 的 想 法 ， 位 能 的 觀 念 最 早 是 由 1743 年 法國 數 學家 克 來 若(A. Clairaut, 1713−1765)在探 討 重 力 如何 影 響 地 球外 表 形 狀 的論 述 時 首 先 提 出。他 認 為 若 重 力 在 地 球 表 面 之x 軸 與 y 軸 的 分 量 為 P 與 Q，則 重力 對 物 體沿著 任 意 極 短 路 徑 上 所 作 的 功 效(effort，也就 是 日 後 所言 的 功)為 Pdx+Qdy。他發 現(Clairaut, 1743，p. 34)：
當 Pdx+Qdy 滿 足 正 合 微分 (exact differential)的 條 件 ：
dP/dy = dQ/dx
則 重 力 所 作 的 功 ∫Pdx+Qdy 與 路 徑 無 關 ， 而 是僅 由 位 置 (x, y)所 決 定 的 一 個 函 數 。
嚴 格 來 說 ， 克 來 若 所 寫 下 的 正 合 微 分 條 件 應 以 偏 微 分 符 號 ∂P/∂y=∂Q/∂x 表 示 。 茲 進 一 步 以 現 今 較 完 整 的 說 法 ， 可 將 其 主 張 描 述 為 ：
當 且 僅 當 P 與 Q 滿 足 正 合 微 分 之 條件 ∂P/∂y=∂Q/∂x 時，則 Pdx+Qdy 必 為 一 位 置 函 數 V(x,y)之 全 微 分 (total differential)， 即
dV=Pdx+Qdy. 因 為 dV=( V x )dx+( V y
)dy，若 dV=Pdx+Qdy， 則 P=∂V/∂x，Q=∂V/∂y， 此時 P 與 Q
必 符 合 正 合 微 分 條 件 ， 即 ( ) ( ) P V V Q y y x x y x . 反 之 亦 然 。 克 來 若 認 為 重 力 對 物 體 自 第 一 點 位 置1 到 第二 點 位 置 2，沿 任 意路 徑 所 作 的功 皆 相 等， 與 路 徑 無 關 ， 且 其 值 為 2 2 2 1 1 Pdx Qdy 1 dV V V
也 就 是 只 由 起 點 及 終 點 之 位 置 函 數 值 V1與 V2來 決 定 。 但 他 一 直 都 還 未 明 顯 表 示 出 P、Q 所 對 應 相 關 函 數 V 的確 切 形式 ， 僅 指 出它 是 由 位 置 (x, y) 所 決定 的 一 個 函數 。參、位能函數的建立－拉格朗日
1773 年 ，法 人 拉格 朗 日(J. L. Lagrange, 1736-1813) 於探 討 行 星 受太 陽 吸 引 的引 力 問 題 時 ， 應 用 了 克 來 若 的 想 法 。 若 行 星 與 太 陽 距 離 為 單 一 變 數 r，而 不 以 兩變 數 x 與 y 來 表 示 時 ， 其 所 受 的 引 力F 1/r2， 設 其 比 例 常 數 為 M， 則 引 力(Lagrange, 1773, pp. 14−15) 此 處 的 負 號 表 示 方 向 與 徑 向 方 向 相 反 ， 即 指 向 原 點 。 在 討 論 引 力 作 用 在 行 星 上 的 功∫
Fdr 時 ， 若Fdr 可 表示 為 一 函 數－ V 的 全 微分 ， 即 －dV = Fdr (1) 則 引 力 作 用 在 行 星 上 自 第 1 點 位 置 移 動到 第 2 點 位置 的 功 ： 2 2 1 2 1 1 1 2 W
Fdr
dV V V (2) 將 僅 由 V 在 起點 與 終 點 函數 值 之 差 來決 定 ， 而 與路 徑 無 關 ；且 引 力 作 用在 物 體 上 的功 就 等 於 初 位 能 減 末 位 能 。 他 並 指 出 此 位 置 函 數 為 因 ( ) 2 dV d M M F dr dr r r 可滿足引力表示式。繼 克 來 若 之 後 ， 拉 格 朗 日 為 首 位 物 理 學 家 指 出 以 一 函 數 V(r)之 全 微分 dV， 來 表示 物 體 受 力F 所 作 功的 微 小 量，如 式(1)所 示，此 處 位 置函 數 V(r)便 是 日 後 物 理學 上 所 言 的「 位 能 」函 數。他 倆 均 未 引 入 除 重 力 以 外 之 任 何 其 它 拉 力，來 導 出 位 能 函 數 V(r)。而 與 式(1)相 對 應 之 數 學 表 示 ： dV F dr (3)
也 就 成 為 現 代 教 科 書 上 作 用 力 F 與 位 能 函 數 V 關 係 式 的 標 準 寫 法 (Halliday, Resnick, &
Walker, 2008, p. 176)。
肆、位能名詞的確立－格林
至 於 拉 格 朗 日 所 使 用 的 符 號V 的 名 稱，則 是 在 其 後 1828 年，英 國科 學 家 格 林(G. Green, 1793−1841)於 其著 作《 論 數學 應 用 於 電磁 學 理 論 之分 析 》中 提到：若 帶 電體 與 某 一 定點 的 距 離 為q，且 所 造成 的 力 可 表示 為－dV/dq 時，則 V 可命名為「位能函數」(potential function)。 他 說 ： －dV/dq 將給出每一元素由 V 所造成的力之和，或作用在 p 點上同方向之合力。…… 這樣的 函數 以如此 簡單 的形式 給出 …在任 意位 置受力 的數 值，由 於它 在以後 文章 中將頻繁出現，我們現稱其為屬於該系統元素的位能函數。(Green, 1828, p. 1)。伍、位能的描述不需外在拉力
不少 作 者 所 說： 在 高 處 的重 力 位 能 是為 抵 抗 重 力， 將 物 體 由水 平 面 的 參考 位 置 抬 至高 處時，外力所作的功 (Benson, 2013, pp. 147-148；Serway & Jewett, 2012, p. 180)。此一說法 容易 讓 學生 誤認 為 ：重 力位 能 需有 重力 以 外的 拉力 才 會存 在， 位 能也 須藉 外 在拉 力 作 功 才 可計 算 得知 。但 這 種觀 點從 未 出現 在最 初 物理 學家 們 的想 法裡 ， 克來 若認 為 當重 力 對 物 體 作的功與路徑無關時，作功之值必可以一位置函數 V(r)來決定，拉格朗日則進一步指出此 位置函數導數之負值就是重力，即 F=－dV/dr，如式(3)，而 V(r)便是現今所言的位能。他倆 均未引入除重力以外之任何其它拉力，來描述位能。底下將僅應用重力、彈力或靜電力，而 不使用任何外加拉力或推力，來分別討論與計算物體的重力位能、彈性位能與電位能。一 、重力位能
以 質 量 為 m 的石 塊 為 例 ，它 受 重 力 F mg j作 用 ，j為 垂 直 向 上 的 單 位 向 量 ， 代 表 著 重 力 F 方 向 向下 。 若 石 塊自 高 處 y1以 任 意 方 式 或 沿 任 意 路 徑 下 落 至 y2， 其 中 微 小 路 徑 量 可 以dr dxi dyj 表 示 ， 則 重 力 對 石 塊 作 功 之 值 為1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) y y y y
W
F dr
mg j dxi dy j mg
dy mg y y mgy mgy (4)也 就 是 功 等 於 在 初 位 置y1與 末 位 置 y2所 對 應 的 兩 個 函 數 值mgy1與mgy2之 差 ， 我 們 稱 在 任 意 高 度 y 之 狀 態函 數 mgy 為 石塊 的 重 力位 能 。 上 式已 隱 含 了 重力 所 作 功 與路 徑 無 關 ，僅 與 起 點 與 終 點 位 置 相 關 的 性 質，並 與 式(2)內 涵 一 致，為 初 位 能與 末 位 能 之差。因 此 受地 表 上 重 力 所 對 應 的 位 能，並 毋 須 引 入 重 力 以 外 之 拉 力 來 描 述 及 計 算。對 行 星 在 萬 有 引 力 作 用 下 所 對 應 的 位 能，其 論 述 與 結 果 亦 同。將 重 力 位 能 視 為 是 外 力 抵 抗 重 力，將 物 體 由 低 處 抬 至 高 處 所 作 的 功 轉 變 而 來 ， 並 非 是 位 能 概 念 原 創 者 所 認 為 的 意 義 。 為 方 便 起 見，若 將 物 體 運 動 終 點 設 為 參 考 原 點，通 常 取 其 為 水 平 面，即yref ，則自0 高 處y 下 落 至 水平 面 ， 重 力對 物 體 所 作功 ， 由 式(4)為 ref y ref y
W
Fdy mgy mgy mgy此 值 即 為 物 體 在 位 置y 處 之重 力 位 能。有 些書 稱 其為：重 力 對高「位 」置 物 體所 具 有的 作 功 「 能 」 力 。 另 外，由 功 能 定 理：合 力 對 最 初 為 靜 止 物 體 所 作 的 功 等 於 末 動 能，即 W=mv2/2，因 此 在 高 處 具 有 位 能 的 物 體，落 下 著 地 前，位 能 逐 漸 消 失，但 重 力 對 其 所 作 的 功 可 轉 換 或 釋 放 出 動 能 ， 而 可 視 為 高 處 物 體 儲 存 有 能 量 、 或 具 有 潛 在 能 量 。
二、彈性位能
同 理 ， 在 受 彈 力 作 用 下 的 物 體 ， 也 無 需 引 入 外 在 拉 力 ， 即 可 算 出 在 任 意 位 置 處 的 彈 性 位 能 。 由 虎 克 定 律 ， 物 體 受 彈 力 F 作用 與 其 距 均衡 點 位 移 x 之 關 係 為 F=－ kx， 其 中 k 為 彈 性 係 數 ， 方 向 向 右 為 正 。 若 物 體 自 均 衡 點 左 邊x1之 受 壓 處 ， 釋 放 後 移 動 至 均 衡 點 左 邊x2處 ， 由 於 作 用 在 物 體 之 彈 力 與 物 體 位 移 方 向 相 同 ， 均 指 向 右 ， 彈 力 對 物 體 作 正 功 ， 其 值 為 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 W
Fdx
kxdx kx kx kx kx (5) 也 就 是 功 等 於 在 初 位 置x1與 末 位 置 x2所 對 應 的 兩 個 函 數 值kx12/ 2與kx22/ 2之 差 ， 我 們 稱 任 意 位 置 x 之 狀態 函 數 kx2/2 為 物體 的 彈性 位 能 。 彈力 所 作 的 功仍 與 路 徑 無關 ， 並 與 式 (2)一 致， 為 初 彈性 位 能 與 末彈 性 位 能 之差 。 若 將 物 體 運 動 終 點 設 為 參 考 原 點 ， 通 常 取 其 為 物 體 不 受 彈 力 作 用 時 的 均 衡 點 ， 即 0 ref x ，則自壓縮處 x 恢復至均衡點，彈力對物體所作功，由式(5)為 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ref x ref x W
dx kx kx kx 此 值 即 為 物 體 在 位 置x 處 之彈 性 位 能 ，也 可 稱 為 物體 所 儲 存 的潛 在 能 量 。三、電位能
(一 )兩 個 點 電 荷 位 能 的 概 念 在 電 學 與 原 子 物 理 的 領 域 中 依 然 相 當 重 要 ， 對 於 兩 携 帶 電 荷 為 Q 與 q 之 帶 電 粒 子 ， 設 電 荷 Q 固 定 於 原 點 上 ， 另 一 電 荷 q 距 原 點 r 處 ， 受 到 庫 侖 力 2 ( / ) r F kQq r e 作 用 ， 此 處 k 為 庫侖 常 數，er 為 徑 向 單 位 向 量 。 若 兩 電 荷 均 為 正 電 ，q 受 靜 電 力 作 用 ， 自 r 處 沿 任 意 路 徑 運 動 到 無 限 遠 處 ， 其 中 路 徑 的 微 小 量 可 以 sin r drdre rd e r d e 表 示 ， 而e 與e 為 球 面 坐 標 中 的 另 外 兩 個 單 位 向 量 ， 則 靜 電 力 對q 所 作 的功 為 r ref rref r 12 (0 1) kQq W F d r kQq dr kQq r r r
(6) 上 式 利 用 了 對 任 意 路 徑F dr Fdr kQqdr r / 2， 故 式(6)也 表 示 了 靜 電 力 所 作 的 功 與 路 徑 無 關，僅 由 徑 向 之 起 點 與 終 點 位 置 決 定，並 符 合 式(2)所 示 的 性質，等 於 初位 能 r U 與 末 位 能 U之 差 。 即 U U Wr ref r (7) 若 選 定 無 限 遠 處 為 參 考 位 置，並 取 其 對 應 位 能 為 零 位 能，或U= 0，則 比 較 上二 式(6) 與(7)，可 得 r kQq Ur (8) 此 值 即 稱 為 兩 電 荷 q 與 Q 相 距 r 之 電 位能 ， 同 時 電位 能 為 靜 電力 作 用 在 電 荷 q， 將 它 自 r 處移 動 到無 限 遠 處 所作 的 功 ， 即UrWr。 若 兩 帶 電 粒 子 均 攜 帶 負 電 荷 ， 其 情 形 完 全 相 同 ， 負 電 荷 Q 對 負電 荷 q 自 相距 r 處，排 斥 到 無 限 遠 處，所 作 之 正 功 依 然 為 kQq/r，兩電 荷 所 形 成的 電 位 能 仍可 以 式(8) 代 表。此 電 位 能 也 可 稱 為 兩 帶 電 荷 所 儲 存 的 潛 在 能 量，因 它 們 可 將 此 能 量 釋 放 出 來， 推 動 電 荷 q 至 無窮 遠 處 。 假 如 兩 帶 電 體 携 帶 異 性 電 荷，設Q 帶負電，固定於原點，另一電荷q帶 正 電，彼 此 為 吸 引 力。在 此 情 況 下，則 考 慮 負 電 荷Q 對正電荷q，自 無 限 遠 處 受 靜 電 力 吸 引 至 r 處所作的功。此時因力與位移方向相同，故仍作正功，且其值為 ref r r r 12 ( 1) ref W Fdr kQq dr kQq r r
(9) 並 與 路 徑 無 關，如 式(6)所 示；另 外 由 式(2) 與 路 徑無 關 的 靜 電力 所 作 的 功等 於 初 位 能 U與 末 位 能U 之 差 ，即 r UrWrefrUUrUr (10)比 較 上 二 式(9)與(10)，可 得負 電 荷 Q 與 正 電 荷 q 相 距 r 時 的 電位 能UrkQq r/ ， 仍 可 以 式(8)表 示 ， 只是 此 時 電 位能 為 負 值 。 若 將 正 電 荷 q 視 為 測 試電 荷 ， 電 荷 q 的 運 動 方向 總 是 受 帶正 電 的 源 電 荷 Q 排 斥 而 離 開，並 會 朝 向 無 限 遠 處，或 朝 帶 負 電 的 另 一 源 電 荷 靠 近，也 就 是 自 高(或 正)電 位 能 處 移 動 至 低(或負)電 位 能處。另 一 方面，由 以 上討 論 可 知，無 論 是 同 性或 異 性 的 兩 電 荷 系 統 ， 皆 不 需 要 藉 著 抵 抗 靜 電 力 的 外 力 所 作 的 功 ， 來 求 得 電 位 能 的 形 式 。 (二 )三 個 點 電 荷 明 白 上 述 僅 以 靜 電 力 建 立 起 兩 個 點 電 荷 之 電 位 能 的 意 涵，底 下 可 進 一 步 清 楚 描 述 出 三 個 點 電 荷q 、1 q 與2 q 的 電 位 能之 形 式。為 方 便 起 見 設此 三 電 荷 均帶 正 電，彼 此 相3 距 為r 、12 r 與13 r ， 如 圖一 。 23 圖 1. 三 個 正 電 荷q 、1 q2與q3， 彼 此 相 距 為r12、r13與r23，q1與q2作 用 在q3之 總 靜 電 力 為F F13F23 。 此 力 將q3自 原 處 移 動 至 無 限 遠 處 所 作 的 功 ， 等 於F13 將q3自r13， 與F23 將q3自r23處 ， 移 動 至 無 限 遠 處 所 作 功 之 和 。 先 假 設q1、q2固 定 ， 它 倆 對q3之 總 靜 電 力FF13F23 ， 將q3自 原 處 移 動 至 無 限 遠 處 所 作 的 功 ， 等 於F13 將q3自r13與F23 將q3自r23處 ， 移 動 至 無 限 遠 處 所 作 功 之 和 ， 即 13 23 1 3 2 3 13 23 13 23 13 23 ref r r r kq q kq q W F dr F dr F dr U U r r
上 式 第 三 個 等 式 使 用 到 式(6)。 而 整 式 則 代 表 ： 此 兩 電 荷 對 單 一 電 荷 所 作 的 功 就 等 於 兩 組 電 位 能U13與U23之 和 。 再 考 慮 只 剩 下q1與q2時 ， 它 倆 之 間 的 電 位 能 ， 由 式(8)為 12 U 。則 三 個 點 電 荷 的 總 電 位 能 U 為，彼 此間 的 靜 電 力使q3與q2分 別 移 至 無 限 遠 處 所 作 功 之 和 ， 最 後 只 剩 下 孤 立 的q1， 即 總 電 位 能 1 3 2 3 1 2 13 23 12 13 23 12 kq q kq q kq q U U U U r r r 也 就 是 兩 兩 電 荷 間 的 電 位 能 之 和 。陸、
結 論
位 能 概 念 最 早 是 由 克 來 若 於 1743 年 發現 ， 他 認 為當 力 為 一 位置 狀 態 函 數的 導 數 ， 則 此 力 所 作 的 功 與 路 徑 無 關 ， 並 可 稱 此 位 置 函 數 為 該 物 體 之 「 位 能 」。 也 因 為 此 性 質 ， 而 可 由 力 所 作 的 功 等 於 兩 狀 態 函 數 的 差，來 計 算 出 任 意 位 置 的 位 能 值。克 來 若 並 未 引 入 抵 抗 此 力 的 其 他 外 力 ， 來 描 述 位 能 。 在 中 學 物 理 教 科 書 裡 最 常 見 的 作 用 力 為 重 力、彈 力 與 庫 侖 靜 電 力，物 體 受 此 三 種 力 作 用 下 ， 分 別 有 其 對 應 的 位 能 。 一 如 馬 克 士 威(J. Maxwell, 1831-1879)所說 ：「一 點 上 的 電 位 能 就 是 靜 電 力 對 某 正 電 荷 ， 從 該 點 被 帶 到 無 限 遠 處 所 作 的 功 。 」(Maxwell, 1992, p. 86)。 同 樣 馬 克 士 威 也 僅 單 純 就 靜 電 力 來 討 論 電 位 能，而 沒 引 入 抵 抗 靜 電 力 的 推 力 對 電 荷 所 作 的 功，來 形 成 位 能 概 念。且 在 某 位 置 的 位 能 即 為 單 一 的 力 ─ 如 重 力、彈 力 或 靜 電 力 ─ 作 用 在 物 體 上，讓 物 體 自 該 位 置 移 動 到 參 考 點 處 ─ 通 常 為 零 位 能 面，如 水 平 面、均 衡 點 或 無 限 遠 處 ─ 所 作 的 功，其 意 義 清 楚 不 模 糊。且 如 此 的 定 義，在 配 合 功 能 定 律 後，對 日 後 建 立 此 三 種 力 所 對 應 的 力 學 能 守 恆 律 ， 將 顯 得 格 外 簡 單 清 晰 。參考文獻
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