绝密★启用前
2020
数学（文科）试卷参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D B C B B D A C D D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．9
x
4
y
2
0
或y
4
14．丙 15．3 16．10
－1 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解：（Ⅰ）∵
a
cos
C
c
cos
A
tan
A
3
b
，∴
sin
A
cos
C
sin
C
cos
A
tan
A
3 sin
B
， 即sin
A C
tan
A
3 sin
B
．又∵
A B C
，∴sin
A C
sin
B
0
． ∴tan
A
3
，故3
A
．………（5 分） （Ⅱ）设
OBC
，∵O 为△ABC 的内心，且3
A
，∴2
3
BOC
． ∴3
OCB
，在△OBC 中，3
2
2
sin
sin
sin
3
3
OC
OB
， ∴2sin ,
2sin
3
OC
OB
．∴
2sin
2sin
2sin
2
3
3
OB OC
． 当且仅当6
，即△ABC 为等边三角形时取等号， 故 OB＋OC 的最大值为 2．………（12 分） 18．解：（Ⅰ）在直角梯形 PABC 中，点 A 恰好在线段 PC 的垂直平分线上，AD⊥PC． ∴AD 即为线段 PC 的垂直平分线， 即 D 是线段 PC 的中点， ∴PD＝CD．………（2 分） 又 AB⊥BC，AB∥PC，AD⊥PC， ∴四边形 ABCD 为矩形．∴P′D⊥底面 ABCD，∴P′D⊥BC．………（3 分） ∵P′D⊥BC，CD⊥BC，CD P′D＝D， ∴BC⊥平面 P′CD，∴BC⊥DQ．………（4 分） 又∵Q 是线段 P′C 的中点，P′D＝DC， ∴DQ⊥P′C．………（5 分） 又 P′C BC＝C，∴DQ⊥平面 P′BC．………（6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，DC⊥P′D，DC⊥AD， 又 AD P′D＝D，∴CD⊥平面 P′AD． ∵Q 是线段 P′C 的中点， ∴三棱锥 Q－P′AD 的高等于
1
2
CD．………（8 分） 由（Ⅰ）及 PC＝4，得 P′D＝CD＝2．………（9 分） 而1 1
2
1 1
3 2
P ADQ Q AP DV
V
a
， 解得 a＝3．………（12 分） 19．解：（Ⅰ）设这 6 人中花 150 元/袋的价格购买 A 蔬菜的顾客为 a，b，其余 4 人为 c，d， e，f． 则从 6 人中任选 2 人的基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a， e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c， e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共 15 个． 其中至少选中 1 人是以 150 元/袋的价格购买的基本事件有：（a，c），（a， d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（a， b），共 9 个． ∴至少选中 1 人是以 150 元/袋的价格购买的概率为 P＝9
15
＝3
5
．…（6 分） （Ⅱ）（i）该蔬菜批发商经销 A 蔬菜的总盈利值为 100×［（100×4－50×2）× 0.3＋（100×5－50）×0.6＋600×0.1］＝42000（元）．………（8 分） （ii）当购进 A 蔬菜 4 袋时，每天所获平均利润为x
1＝100×4＝400（元）， 当购进 A 蔬菜 5 袋时，每天所获平均利润为x
2＝（100×4－50）×0.3 ＋100×5×0.7＝455（元）， 当购进 A 蔬菜 6 袋时，每天所获平均利润为x
3＝（100×4－50×2）× 0.3＋（100×5－50）×0.6＋100×6×0.1＝420（元）． 综上，该批发商明年每天购进 A 蔬菜 5 袋，所获平均利润最大．…（12 分）∵椭圆 C 的离心率为
2
2
，∴2
2
c
a
．①………（1 分） 又椭圆 C 经过点1,
6
2
， ∴ 2 2 2 26
2
1
1
a
b
．②………（2 分） 结合 2 2 2a
b
c
，③ 由①②③，解得a
2,
b
c
2
．………（3 分） 故椭圆 C 的标准方程是 2 21
4
2
x
y
．………（4 分） （Ⅱ）
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos
sin
1
4
sin
4
1
4
sin
2
4
AOBOA OB
OA OB
OA OB
OA OB
AOB
OA OB
AOB
OA OB
AOB
OA OB
AOB
S
， ①当直线 l 的斜率不存在时，不妨设 x＝t，t＞0，根据对称性知两平行线的 交点在 x 轴上，又因为交点刚好在椭圆 C 上，所以交点为长轴端点，则满 足条件的直线的方程是 x＝1． 此时点1,
6
,
1,
6
2
2
A
B
或6
6
1,
,
1,
2
2
A
B
，1
6
1
6
2
2
OABS
， 故
2 2 2 26
4
6
2
OA OB
OA OB
；………（6 分） ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为y
kx m
，A（x1，y1），B （x2，y2）．联立方程 2 2
1
4
2
y
kx
m
x
y
消去 y， 得
2
2 22
k
1
x
4
kmx
2
m
4
0
， 则
2 2 2 1 2 2 1 2 24
2
4
8 4
2
0,
,
2
1
2
1
km
m
k
m
x
x
x x
k
k
，
1 2 1 2 22
2
2
1
m
y
y
k x
x
m
k
．………（8 分） 不妨设两平行线的交点为点 D，则OA OB
OD
， 故点 D 的坐标为4
2,
2
22
1 2
1
km
m
k
k
． ∵点 D 刚好在椭圆 C 上， ∴ 2 2 2 24
2
2
1
2
1
1
4
2
km
m
k
k
， 即 2 22
k
1 2
m
．………（9 分） 此时
2 2
28 4
k
2
m
24
m
0
， 则
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21
1
4
4
2
4
1
4
2
1
2
1
24
6
1
1
2
1
AB
k
x
x
k
x
x
x x
km
m
k
k
k
m
m
k
k
k
m
（10 分） 设点 O 到直线 l 的距离为 d，则 21
m
d
k
．………（11 分） ∴ 2 2 2 21
1
6
6
1
2
2
1
2
OABm
m
S
AB
d
k
m
k
． 故
2 2 2 26
4
6
2
OA OB
OA OB
． 综上，OA OB
2 2
OA OB
2取得定值 6．………（12 分）21．解：（Ⅰ）
2
21
ln 2
2
xf
x
e
x
，ln 2
1
2
2
f
a
．
f x
在ln 2 1
,
2
2
a
处的切线方程为1
ln 2
2
2
y
a
x
， 即ln 2
1
2
2
y
x
a
．………（2 分）
x1
0,
0
1
g x
e
x
g
b
．
g x
在（0，1－b）处的切线方程为y
1
b
x
y
x
1
b
， 故ln 2
1
1
1
ln 2
2
2
a
b
b a
2
2
．………（4 分） （Ⅱ）
2
ln 2
1
22
2
x x x xh x
e
a
e
b
mx
e
e
mx
，
22
x xh x
e
e
m
， 令 xt
e
，则 22
y
t
t
m
， m＞1 时，2
t
2
t
m
0
有两根 t1，t2且 t1＜0＜t2，
2
1
2
0
x xh x
e
t
e
t
，得：x
ln
t
2． 在
, ln t
2
上，h x
0
，在
ln ,
t
2
上，h x
0
． 此时，h
ln
t
2
h
0
0
． 又x
时，h x
,
x
时，h x
． 故在
, ln t
2
和
ln ,
t
2
上，h（x）各有 1 个零点．………（6 分） m＝1 时，
2
1
1
2
x xh x
e
e
． h（x）最小值为 h（0）＝0，故 h（x）仅有 1 个零点． 0＜m＜1 时，h x
2
e
x
t
1
e
x
t
2
． 其中 t1＜0＜t2，同 m＞1，h（x）在
,ln t
2
与
ln ,
t
2
上， h（x）各有 1 个零点．………（8 分） m＝0 时，h x
e
2 x
e
x，仅有 1 个零点，1
8
＜m＜0 时，对方程 22
t
t
m
0,
1 8
m
0
． 方程有两个正根 t1，t2，
2
1
2
x xh x
e
t
e
t
． 在
, ln t
1
上，h x
0
，在
ln , ln
t
1t
2
上，h x
0
， 在
ln ,
t
2
上，h x
0
． 由 1 2 1 2 1 21
1
1
0
2
4
2
0
t
t
t
t
t
t
，故ln
t
2
0,
h
ln
t
2
h
0
0
．
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln
ln
2
ln
1
1 2
ln
h
t
t
t
m
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
． ∵t
1
1 0,1 2
t
1
0, ln
t
1
0
，故h
ln
t
1
0
． 故在
, ln t
1
上，h x
h
ln
t
1
0
，在
ln , ln
t
1t
2
上，h x
0
， 在
ln ,
t
2
上，h x
有 1 个零点：x＝0．1
8
m
时，
22
x x0
h x
e
e
m
恒成立， h（x）为增函数，h（x）仅有 1 个零点：x＝0．………（10 分） 综上，m≤0 或 m＝1 时，h（x）有 1 个零点， 0＜m＜1 或 m＞1 时，h（x）有 2 个零点．………（12 分） 22．解：（Ⅰ）由已知曲线 C 的普通方程为
x
2
2
y
2
4
，即 2 24
x
y
x
， ∵ 2 2 2cos ,
x
x
y
，可得 24 cos
，化简为
4cos
， ∴曲线 C 的极坐标方程为
4cos
． 直线 l 的参数方程：1
cos
3 3
sin
x
t
y
t
（t 为参数，0
）．（4 分） （Ⅱ）设 A，B 对应的参数分别为 tA，tB， 将直线 l 的参数方程代入 C 并整理，得 2
6
3 sin
cos
32
0
t
t
， ∴t
A
t
B6
3 sin
cos
,
t
A
t
B32
． 又 A 为 MB 的中点，∴tB＝2tA，∴ 2
32sin
32
6
A Bt
t
，即 2sin
1
6
． ∵0
，∴7
6
6
6
． 从而6
2
，即, tan
3
3
3
．………（10 分） 23．解：（Ⅰ）原不等式可化为3
x
1
x
2
3
， ①当1
3
x
时，原不等式可化为－3x＋1＋2－x≥3， 解得 x≤0，∴x≤0；………（2 分） ②当1
2
3
x
时，原不等式可化为 3x－1＋2－x≥3， 解得 x≥1，∴1≤x＜2；………（3 分） ③当 x≥2 时，原不等式可化为 3x－1－2＋x≥3， 解得 x≥3
2
，∴x≥2；………（4 分） 综上，不等式的解集为
x x
0
或
x
1
．………（5 分） （Ⅱ）∵
1
4
3,
,
3
1
2
1,
2,
3
4
3,
2,
x
x
f x
x
x
x
x
∴
min1
5
3
3
f x
f
．………（6 分） ∴由
2 25
3log
m
log
n
f x
恒成立可知， 不等式log
2m
log
2n
1
恒成立．………（8 分） ∵log
2m
log
2n
2 log
2m
log
2n
2
，∴
