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0305 第三冊 姓名 座號
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
（ ）1.A、B、C 為樣本空間 S 之三事件，若 1 ( ) ( ) ( ) 4 P A P B P C ，且 P (A B) P (B C) 0， ( ) 1 8 P AC ，則 A、B、C 三事件至少有一事件 發生的機率為 (A)7 8 (B) 3 4 (C) 5 8 (D) 1 2 【龍騰自命題】 解答 C 解析 ∵ P (A B) P (B C) 0 ∴ P (A B C) 0 三事件至少有一事件發生的機率 P (A B C) P (A) P (B) P (C) P (A B) P (B C) P (A C) P (A B C) 1 1 1 1 5 0 0 0 4 4 4 8 8 （ ）2. 1 n n i i S a
，若 Sn n2 3n，則 an (A)2n 2 (B)2n 1 (C)2n 2 (D)2n 4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 an Sn Sn 1 n2 3n (n 1)2 3(n 1) 2n 2 （ ）3.1 到 500 之間有兩個等差數列：2, 5, 8, 11﹐…與 1, 5, 9, 13, …，同時出現在這兩個數列的數共有幾項？ (A)42 (B)39 (C)38 (D)36 (E)35 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 將已知的兩個等差數列多列前面幾項，以便觀察他們的 共同項 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,… 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,… 觀察上述二等差數列，得知共同項為 5, 17, 29, 41,… an 5 (n 1) 12 500 12n 507 1 42 4 n ∴ n 42 （ ）4.若 1 2 4 8 … 2n 1000，則 n 之最小整數值為 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 1 1 2 4 8 2 1000 2 1 n n 2n 1 1001 n 1 最小整數值為 10 n 最小整數值為 9 （ ）5.設(67)x 27，(603)y 81，則3 4 x y (A)3 (B)0 (C) 1 (D) 2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 3 4 67 27 3 603 81 3 x y 3 4 67 3 603 3 x y ，故 3 3 4 4 67 3 3 603 3 x x y y ∴ 3 4 2 x y （ ）6.方程式 22x 2 9 2x 2 之解為 (A) 2 或 1 (B) 1 或 2 (C) 2 (D) 1 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 22x 2 9 2x 2 4 22x 9 2x 2 0 令 2x k 4k2 9k 2 0 (4k 1)(k 2) 0 故 1 4 k 或 2，即 x 2 或 1 （ ）7.解 3 2 4 2 5 ( ) ( ) 4 3 x x 得 x 之值為 (A) 1 (B) 2 (C)2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ( )3 2 ( )3 5 2 4 4 x x ∴ x 2 5 2x，x 1（ ）8.化簡(log102)3 (log105)3 (log105)(log108)得其值為
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【龍騰自命題.】 解答 A
解析 (log102 log105)3 (log102)3 (log105)3
3(log102)(log105)(log102 log105)
(log102)3 (log105)3 (log108)(log105)
原式 (log102 log105)3 (log1010)3 1
（ ）9.正整數 72009乘開後的數字，其末二位數字為何？ (A)01 (B)07 (C)43 (D)49 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析 71 7 末二位 07 72 49 末二位 49 73 343 末二位 43 74 2401 末二位 01 75 16807 末二位 07 週期為 4 72009的末二位 71的末二位 07
－ 2 － （ ）10.用 100 元購買 5 元、10 元及 20 元的郵票，每一種郵 票至少買 1 張，100 元全部用完，則購買方法有 (A)16 種 (B)20 種 (C)27 種 (D)35 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設 5 元 x 張，10 元 y 張，x、y 為正整數 20 元 1 張，5x 10y 80 x 14 12 10 8 6 4 2 y 1 2 3 4 5 6 7 共 7 種 20 元 2 張，5x 10y 60 x 10 8 6 4 2 y 1 2 3 4 5 共 5 種 20 元 3 張，5x 10y 40 x 6 4 2 y 1 2 3 共 3 種 20 元 4 張，5x 10y 20 x 2 y 1 共 1 種 ∴ 7 5 3 1 16
（ ）11.滿足 0 log2[log2(log2x)] 1 之整數 x 共有 (A)10 個
(B)11 個 (C)12 個 (D)13 個
【龍騰自命題.】 解答 D
解析 由 0 log2[log2(log2x)]，知 log2(log2x) 1 ∴ log2x
2，x 4
又由 log2[log2(log2x)] 1，知 log2(log2x) 2 ∴ log2x
4，x 16 故 4 x 16，共 13 個 （ ）12.已知 4 0 ( ) 25 k ak b
， 5 2 ( ) 24 k ak b
，則 a (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 10 5 25 14 4 24 a b a b a 2，b 1 （ ）13.桔子 5 個、蘋果 4 個、鳳梨 3 個，全部分給甲、乙 2 人，若每人至少得 1 個，則方法有 (A)119 種 (B)118 種 (C)60 種 (D)59 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 6 5 4 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 2 118 H H H C C C （種） （ ）14.設袋中有一元、五元、十元、五十元硬幣各一枚，問 小蓮從袋中任取一個硬幣幣值之數學期望值為多少 元？ (A)16.5 (B)16 (C)15.5 (D)15 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 1 1 5 1 10 1 50 16.5 4 4 4 4 （元） （ ）15.從 1 到 100 之自然數中，任取一數它不是完全平方數， 也不是完全立方數的機率為 (A) 14 100 (B) 86 100 (C) 88 100 (D) 90 100 (E) 91 100 【課本練習題-自我評量】 解答 C 解析 1 到 100 中是完全平方數的事件 A {1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} 1 到 100 中是完全立方數的事件 B {1,8,27,64} AB {1,64} n(AB) n(A) n(B) n(AB) 10 4 2 12
所求機率 1 12 88 100 100 （ ）16.已知一袋中有大小相同的球共 200 顆，每顆球上都印 有一個不同的號碼，分別是1至 200 號，今從袋中隨 機抽出一球，假設每球被抽中的機會均等，則下列敘 述何者正確？ (A)被抽中的球號是 3 的倍數或者是 5 的倍數的機率為 94 200 (B)被抽中的球號不是 3 的 倍數而且是 5 的倍數的機率為 30 200 (C)被抽中的球 號是 3 的倍數而且不是 5 的倍數的機率為 53 200 (D) 被抽中的球號不是 3 的倍數而且不是 5 的倍數的機率 為113 200 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設S為樣本空間，Ak為被抽中的球號是k的倍數之事件 （如：A3為被抽中的球號是3的倍數之事件） 則n S
200 ∵ 200 3 66 2 ∴ n A
3 66 ∵ 200 5 40 ∴ n A
5 40 ∵ 200 15 13 5 ∴ n A
15 13－ 3 － (A)
3 5
n A A n A
3 n A5 n A3A5
3 5 15 n A n A n A 66 40 13 93 所求
3 5 n A A n S 93 200 (B)
3 5
n A A n A
5 n A3A5
n A
5 n A15 40 13 27 所求
3 5 n A A n S 27 200 (C)
3 5
n A A n A
3 n A3A5
n A
3 n A15 66 13 53 所求
3 5 n A A n S 53 200 (D)
3 5
n AA n S
n A3A5
200 93 107 所求
3 5 n A A n S 107 200 （ ）17.滿足 x y z u 6 的正整數解有 (A)10 組 (B)15 組 (C)84 組 (D)210 組 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 x y z u 6，x，y，z，u 為正整數 x y z u t 6 x，y，z，u 為正整數，t 為非負整數 ∴ 5 5 6 6 4 2 2 15 H H C （組） （ ）18.求多項式(2x 1)5(x 1)之 x2項的係數為何？ (A) 30 (B) 20 (C)20 (D)30 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (2x 1)5(x 1) (2x 1)5x (2x 1)5…… 在(2x 1)5的展開式之中 x 項：C54(2 )( 1)x 410x，x 2項： 5 2 3 2 3(2 ) ( 1) 40 C x x 則(2x 1)5x 的 x2項為 10x2 由可知(2x 1)5(x 1)的 x2項為 10x2 ( 40x2) 30x2 故 x2項的係數為 30 （ ）19.設(1.02)8乘開，小數點後第一、二、三、四位分別為 a、b、c、d，則 a b c d 之值為 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (1.02)8 (1 0.02)8 8 8 8 7 8 6 2 8 5 3 0 1 1 1 (0.02) 2 1 (0.02) 3 1 (0.02) C C C C 1 0.16 0.0112 0.000448 …≒1.171648… ∴ a 1，b 7，c 1，d 6 a b c d 15 （ ）20.集合{(x , y , z)|x2 3y z 20，x、y、z 為自然數}之元 素個數為 (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x 1，3y z 19→6 組 y 1 2 3 4 5 6 z 16 13 10 7 4 1 6 組 x 2，3y z 16→5 組 y 1 2 3 4 5 z 13 10 7 4 1 5 組 x 3，3y z 11→3 組 y 1 2 3 z 8 5 2 3 組 x 4，3y z 4→1 組 y 1 z 1 1 組 ∴ 6 5 3 1 15－ 4 － （ ）21.投擲三次骰子，設 A 為點數和為 6 之事件，則 A 有多 少個元素？ (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 點數和為 6 的有 (1 , 1 , 4) 3! 3 2! 個 (1 , 2 , 3) 3! 6 個 (2 , 2 , 2) 1 個 故共有 3 6 1 10 個 （ ）22.甲、乙各擲一個公正的骰子，則甲的點數小於乙的點 數的機率為 (A)1 2 (B) 1 3 (C) 1 4 (D) 5 12 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 甲的點數 1 2 3 4 5 乙的點數 2～6 3～6 4～6 5、6 6 故甲的點數小於乙的點數的機率 5 4 3 2 1 5 6 6 12 （ ）23.在邊長為 6 的正三角形內部任取一點 P，則 P 到三頂 點的距離皆大於 3 的機率為 (A)12 3 18 (B)15 3 18 (C)18 3 18 (D)9 3 9 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 以 3為半徑，A、B、C 為圓心畫弧（如圖），則空白部 分即是大於 3的部分 △ABC 面積9 3，空白部分面積 9 3 3 2 ∴ 機率 3 9 3 18 3 2 18 9 3 （ ）24.由一樓上二樓的樓梯共有 10 階，某人以每步踏 1 階 或 2 階上樓，則全部方法有 (A)78 種 (B)82 種 (C)86 種 (D)89 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設一步踏 1 階 x 次，2 階 y 次，則 x 2y 10，x﹐y 為非負整數 x 10 8 6 4 2 0 y 0 1 2 3 4 5 10! 9! 8! 7! 6! 5! 89 10! 8! 6! 2! 4!3! 2! 4! 5! 種 （ ）25.一袋中有大小相同的紅球 5 個、白球 3 個、黑球 2 個。 今從袋中一次取 3 球，則所取 3 球中至少有 2 球顏色 相同的機率為何？ (A)1 4 (B) 41 120 (C) 79 120 (D)3 4 【098 年歷屆試題】 解答 D 解析 袋中有 5 3 2 10 個球 設袋中一次取 3 球的樣本空間為 S 而 3 球顏色均不同的事件為 A 則 10 3 ( ) 120 n S C ， 5 3 2 1 1 1 ( ) 30 n A C C C ( ) 30 1 ( ) ( ) 120 4 n A P A n S 故 P(至少 2 球顏色相同) 1 P (A) 1 1 3 4 4
