0305 第三冊解答

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0305 第三冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.A、B、C 為樣本空間 S 之三事件,若 1 ( ) ( ) ( ) 4 P AP BP C,且 P (A  B)  P (B  C)  0, ( ) 1 8 P AC,則 A、B、C 三事件至少有一事件 發生的機率為 (A)7 8 (B) 3 4 (C) 5 8 (D) 1 2 【龍騰自命題】 解答 C 解析 ∵ P (A B) P (B C)  0 ∴ P (A B C)  0 三事件至少有一事件發生的機率  P (A B C) P (A) P (B) P (C) P (A B) P (B C) P (A C) P (A B C) 1 1 1 1 5 0 0 0 4 4 4 8 8         ( )2. 1 n n i i S a  

,若 Sn  n2  3n,則 an  (A)2n  2 (B)2n  1 (C)2n  2 (D)2n  4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 an Sn Sn  1 n2 3n (n  1)2 3(n  1)  2n  2 ( )3.1 到 500 之間有兩個等差數列:2, 5, 8, 11﹐…與 1, 5, 9, 13, …,同時出現在這兩個數列的數共有幾項? (A)42 (B)39 (C)38 (D)36 (E)35 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 將已知的兩個等差數列多列前面幾項,以便觀察他們的 共同項 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,… 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,… 觀察上述二等差數列,得知共同項為 5, 17, 29, 41,…  an  5  (n  1)  12  500  12n  507 1 42 4 n   ∴ n  42 ( )4.若 1  2  4  8 … 2n  1000,則 n 之最小整數值為 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 1 1 2 4 8 2 1000 2 1 n n          2n  1 1001 n 1 最小整數值為 10 n 最小整數值為 9 ( )5.設(67)x  27,(603)y  81,則3 4 x y (A)3 (B)0 (C)  1 (D)  2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 3 4 67 27 3 603 81 3 x y          3 4 67 3 603 3 x y        ,故 3 3 4 4 67 3 3 603 3 x x y y    ∴ 3 4 2 x  y ( )6.方程式 22x  2  9  2x  2 之解為 (A)  2 或 1 (B)  1 或 2 (C)  2 (D)  1 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 22x  2 9 2x 2 4 22x 9 2x 2 0 令 2x k 4k2 9k  2  0  (4k 1)(k  2)  0 故 1 4 k或 2,即 x  2 或 1 ( )7.解 3 2 4 2 5 ( ) ( ) 4 3 x x得 x 之值為 (A)  1 (B)  2 (C)2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ( )3 2 ( )3 5 2 4 4 xx ∴ x  2  5  2x,x  1

( )8.化簡(log102)3  (log105)3  (log105)(log108)得其值為

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

【龍騰自命題.】 解答 A

解析 (log102  log105)3 (log102)3 (log105)3

3(log102)(log105)(log102  log105)

 (log102)3 (log105)3 (log108)(log105)

原式  (log102  log105)3 (log1010)3 1

( )9.正整數 72009乘開後的數字,其末二位數字為何? (A)01 (B)07 (C)43 (D)49 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析 71 7  末二位 07 72 49 末二位 49 73 343 末二位 43 74 2401 末二位 01 75 16807 末二位 07 週期為 4  72009的末二位 71的末二位 07

(2)

- 2 - ( )10.用 100 元購買 5 元、10 元及 20 元的郵票,每一種郵 票至少買 1 張,100 元全部用完,則購買方法有 (A)16 種 (B)20 種 (C)27 種 (D)35 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設 5 元 x 張,10 元 y 張,x、y 為正整數 20 元 1 張,5x 10y  80 x 14 12 10 8 6 4 2 y 1 2 3 4 5 6 7 共 7 種 20 元 2 張,5x 10y  60 x 10 8 6 4 2 y 1 2 3 4 5 共 5 種 20 元 3 張,5x 10y  40 x 6 4 2 y 1 2 3 共 3 種 20 元 4 張,5x 10y  20 x 2 y 1 共 1 種 ∴ 7  5  3  1  16

( )11.滿足 0  log2[log2(log2x)]  1 之整數 x 共有 (A)10 個

(B)11 個 (C)12 個 (D)13 個

【龍騰自命題.】 解答 D

解析 由 0  log2[log2(log2x)],知 log2(log2x)  1 ∴ log2x

2,x  4

又由 log2[log2(log2x)]  1,知 log2(log2x)  2 ∴ log2x

4,x  16 故 4  x  16,共 13 個 ( )12.已知 4 0 ( ) 25 k ak b   

, 5 2 ( ) 24 k ak b   

,則 a  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 10 5 25 14 4 24 a b a b       a 2,b  1 ( )13.桔子 5 個、蘋果 4 個、鳳梨 3 個,全部分給甲、乙 2 人,若每人至少得 1 個,則方法有 (A)119 種 (B)118 種 (C)60 種 (D)59 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 6 5 4 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 2 118 HHH  CCC       (種) ( )14.設袋中有一元、五元、十元、五十元硬幣各一枚,問 小蓮從袋中任取一個硬幣幣值之數學期望值為多少 元? (A)16.5 (B)16 (C)15.5 (D)15 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 1 1 5 1 10 1 50 16.5 4      4 4 4  (元) ( )15.從 1 到 100 之自然數中,任取一數它不是完全平方數, 也不是完全立方數的機率為 (A) 14 100 (B) 86 100 (C) 88 100 (D) 90 100 (E) 91 100 【課本練習題-自我評量】 解答 C 解析 1 到 100 中是完全平方數的事件 A  {1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} 1 到 100 中是完全立方數的事件 B  {1,8,27,64} AB  {1,64}

n(AB) n(A) n(B) n(AB)  10  4  2  12

所求機率 1 12 88 100 100    ( )16.已知一袋中有大小相同的球共 200 顆,每顆球上都印 有一個不同的號碼,分別是1至 200 號,今從袋中隨 機抽出一球,假設每球被抽中的機會均等,則下列敘 述何者正確? (A)被抽中的球號是 3 的倍數或者是 5 的倍數的機率為 94 200 (B)被抽中的球號不是 3 的 倍數而且是 5 的倍數的機率為 30 200 (C)被抽中的球 號是 3 的倍數而且不是 5 的倍數的機率為 53 200 (D) 被抽中的球號不是 3 的倍數而且不是 5 的倍數的機率 為113 200 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設S為樣本空間,Ak為被抽中的球號是k的倍數之事件 (如:A3為被抽中的球號是3的倍數之事件) 則n S

 

200 ∵ 200 3 66  2 ∴ n A

 

3 66 ∵ 200 5 40 ∴ n A

 

5 40 ∵ 200 15 13  5 ∴ n A

 

15 13

(3)

- 3 - (A)

3 5

n AAn A

    

3n A5n A3A5

     

3 5 15 n A n A n A    66 40 13  93 所求

 

3 5 n A A n S   93 200  (B)

3 5

n A An A

  

5 n A3A5

n A

   

5 n A15 40 13   27 所求

 

3 5 n A A n S    27 200  (C)

3 5

n AA n A

  

3n A3A5

n A

   

3n A15 66 13   53 所求

 

3 5 n A A n S    53 200  (D)

3 5

n AA n S

  

n A3A5

200 93 107 所求

 

3 5 n A A n S   107 200  ( )17.滿足 x  y  z  u  6 的正整數解有 (A)10 組 (B)15 組 (C)84 組 (D)210 組 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 x y z u 6,x,y,z,u 為正整數 x y z u t  6 x,y,z,u 為正整數,t 為非負整數 ∴ 5 5 6 6 4 2 2 15 H HC  (組) ( )18.求多項式(2x  1)5(x  1)之 x2項的係數為何? (A)  30 (B)  20 (C)20 (D)30 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (2x  1)5(x  1)  (2x  1)5x (2x  1)5…… 在(2x  1)5的展開式之中 x 項:C54(2 )( 1)x  410x,x 2項: 5 2 3 2 3(2 ) ( 1) 40 C x    x 則(2x  1)5x 的 x2項為 10x2 由可知(2x  1)5(x 1)的 x2項為 10x2 (  40x2)  30x2 故 x2項的係數為 30 ( )19.設(1.02)8乘開,小數點後第一、二、三、四位分別為 a、b、c、d,則 a  b  c  d 之值為 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (1.02)8 (1 0.02)8  8 8 8 7 8 6 2 8 5 3 0 1 1 1 (0.02) 2 1 (0.02) 3 1 (0.02) C  C   C   C     1  0.16  0.0112  0.000448 …≒1.171648… ∴ a 1,b 7,c 1,d  6 a b c d  15 ( )20.集合{(x , y , z)|x2  3y  z  20,x、y、z 為自然數}之元 素個數為 (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x 1,3y z  19→6 組  y 1 2 3 4 5 6 z 16 13 10 7 4 1 6 組 x 2,3y z  16→5 組  y 1 2 3 4 5 z 13 10 7 4 1 5 組 x 3,3y z  11→3 組  y 1 2 3 z 8 5 2 3 組 x 4,3y z  4→1 組  y 1 z 1 1 組 ∴ 6  5  3  1  15

(4)

- 4 - ( )21.投擲三次骰子,設 A 為點數和為 6 之事件,則 A 有多 少個元素? (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 點數和為 6 的有 (1 , 1 , 4)  3! 3 2!  個 (1 , 2 , 3)  3!  6 個 (2 , 2 , 2)  1 個 故共有 3  6  1  10 個 ( )22.甲、乙各擲一個公正的骰子,則甲的點數小於乙的點 數的機率為 (A)1 2 (B) 1 3 (C) 1 4 (D) 5 12 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 甲的點數 1 2 3 4 5 乙的點數 2~6 3~6 4~6 5、6 6 故甲的點數小於乙的點數的機率 5 4 3 2 1 5 6 6 12        ( )23.在邊長為 6 的正三角形內部任取一點 P,則 P 到三頂 點的距離皆大於 3 的機率為 (A)12 3 18   (B)15 3 18   (C)18 3 18   (D)9 3 9   【龍騰自命題.】 解答 C 解析 以 3為半徑,A、B、C 為圓心畫弧(如圖),則空白部 分即是大於 3的部分 △ABC 面積9 3,空白部分面積 9 3 3 2    ∴ 機率 3 9 3 18 3 2 18 9 3    ( )24.由一樓上二樓的樓梯共有 10 階,某人以每步踏 1 階 或 2 階上樓,則全部方法有 (A)78 種 (B)82 種 (C)86 種 (D)89 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設一步踏 1 階 x 次,2 階 y 次,則 x 2y 10,x﹐y 為非負整數 x 10 8 6 4 2 0 y 0 1 2 3 4 5 10! 9! 8! 7! 6! 5! 89 10! 8! 6! 2! 4!3! 2! 4! 5!  種 ( )25.一袋中有大小相同的紅球 5 個、白球 3 個、黑球 2 個。 今從袋中一次取 3 球,則所取 3 球中至少有 2 球顏色 相同的機率為何? (A)1 4 (B) 41 120 (C) 79 120 (D)3 4 【098 年歷屆試題】 解答 D 解析 袋中有 5  3  2  10 個球 設袋中一次取 3 球的樣本空間為 S 而 3 球顏色均不同的事件為 A 則 10 3 ( ) 120 n SC  , 5 3 2 1 1 1 ( ) 30 n ACCC   ( ) 30 1 ( ) ( ) 120 4 n A P A n S    故 P(至少 2 球顏色相同)  1  P (A) 1 1 3 4 4  

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