Unit 9 二次方根與商高定理

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Unit 9 二次方根與商高定理 能力指標:◎(N-4-01)能理解二次方根的意義。 ◎(N-4-01)能求二次方根的近似值。 ◎(N-4-02)能理解二次方根最簡式的意義,並做化簡。 ◎(N-4-02)能理解二次方根的加、減、乘、除規則。 ◎(N-4-02、A-4-01)能理解簡單根式的化簡及有理化。 ◎(S-4-08、A-4-03)能理解勾股定理(商高定理)。 ◎(S-4-05、A-4-03)能由簡單面積計算導出勾股定理。 ◎(S-4-05、A-4-03)能理解勾股定理的應用。 能力一:二次方根的意義與化簡 一、二次方根(平方根) 一個數 a 是另一個數 b 的平方,記作: 2 b =a,亦即 b 是 a 的二次方根或稱 為平方根。一個正數 a 的平方根有兩個,記作: a 。 二、二次方根的性質( a  ¡ ) 三、二次方根的乘、除法 (一)乘法(當a0, b0) a b = ab

(

) ( ) ( )

2 2 2 2 x= a b x = a b = a  b =a b=ab x= ab  a b = ab 假設 (二)除法(當a0, b>0) a b = a b a = a b b   或

( )

( )

2 2 2 a a a a a a a x= = = x= = b b b b b b b        假設 屬 性 狀 態 備 註 a>0  a 2 個平方根 a = 0 0=0 1 個平方根 0 a<0 沒有平方根 負數沒有平方根 a 0

( )

2 2 a = a = a

(2)

(三)其它 1.當a 0 a b =a b2 2.當a 0, b>0 a= a b= ab b b b b    3.當 a  ¡ ,

(

)

(

)

2 a a 0 a = a = -a a<0      當 當 4.當a, b  ¡ ,

( )

( )(

)

( )(

)

2 a-b a b a-b = a-b = b-a a< b      當 當 5.當 a + b =0 2 2  a + b =0 a=0, b=0 【平方根的性質】 講解一: (1) 4 49的平方根為何呢? (2) 1 9 25的平方根為何呢? Sol) (1)4 49 的平方根為± 4 49 =± 2 2 7       =± 2 7 (2)9 1 25 的平方根為± 9 1 25 =± 226 25 =± 226 5 練習一: (1)a 的平方根為±2,則 a=?(2)1296 的平方根等於多少呢? Sol) (1)∵a=(±2)2=4 ∴a=42=16 (2) 2 1296=36 ,1296 36 = 36=6 Q 的平方根亦即 的平方根 【平方根的計算與比較大小】 講解二: (1)試求 2 - 181 1 + 234 4 16 81 =? (2)試比較a= 4 , b= 5 , c= 9 3 4 7 的大小為何呢?

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Sol) (1) 1 1 34 9 289 196 3 17 14 2 - 18 + 2 = - + = - + 4 16 81 4 16 81 2 4 9 3 18-17 9+14 4 -43 = = 36 36    (2)a= 4 , b= 5 , c= 9 4>9>5 4> 9> 5 a>c>b 3 4 7  3 7 4 3 7 4  練習二: (1)試求5+ 5- 5 + 5= 2 2 2 2 ? (2)已知 a、b、c 均大於 0,若a 7 =b 7=c 7 11 11 11    ,試問 a、b、c 的大小 為何呢? Sol) (1) 5 5 5 5 5 5 2 5 2 5 + - + = + - + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 10 5 2 5 5+ 10-5 2 + 5 = + - + = 2 2 2 2 2                   (2) 2 2 2 7 49 7 7 7 7 = , = , = 11 11 121 11 11 11 49 7 7 > > a<c<b 11 11 121                Q 【十分鐘即時練習】 (D)1.求 =?(A) (B) (C) (D) Sol) 原式=(-2) 2+|-13| 16 = 4+13 4 = 17 4 (C)2.下列有關平方根的敘述何者正確?(A)∵(±2)2=4 ∴ 4=±2 (B)若 a為b的平方根,則a=b2 (C)625的平方根為±5 (D)-16的平方根為±4

Sol) (A) 4 =2;(B)b=a2;(C) 625 的平方根即是 25 的平方根=25= ;(D)5

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N N 2 N 10N N 3 55 3025 7.416198 23.45208 166375 56 3136 7.483315 23.66432 175616 57 3249 7.549834 23.87467 185193 58 3364 7.615773 24.08319 195112 N 3 N 3 10N 3 100N 55 3.802952 8.193213 17.65174 56 3.825862 8.242571 17.75808 57 3.848501 8.291344 17.86316 58 3.870877 8.339551 17.96702 (A)3.若 10- 為整數,則正整數 a 之值有多少個? (A) 4 個(B) 3 個(C) 2 a 個(D) 1 個。

Sol) ∵ 10-a為整數,∴10-a=02 ∴a=10,10-a=12

∴a=9,10-a=22 ∴a=6,10-a=32 ∴a=1 ∴a 值共有 4 個

(C)4.若-3 為 3a+b+1 之一個平方根,且 a+2b+3 之平方根為±2,則 a-b 之 平方根為 (A) 2 (B) 4 (C) ±2 (D) ±4。 Sol)    2 4 3 b 2 a 9 3 1 b a 3 2 2 = ) =( + + = ) =(- + + a=3,b=-1 (C)5.欲使 7 及 b 均為二位正整數,則 b 可為下列何數? (A) 18 (B) 20 (C) b 28 (D) 30。 Sol) (A) 7×18=126 非完全平方數;(B) 7×20=140 非完全平方根;(C) 7×28 =196=142;(D) 7×30=210 非完全平方數。 能力二:二次方根的近似值 一、二次方根的近似值 當一個大於 0 且非完全平方的數 a,將其開根號後,所得到的數值皆為無理 數,亦即為一個不循環且無限的小數,因此,我們可以求其近似值代表該 二次方根。 二、求近似值的方式 (一)使用計算機(常用,快速簡易,考試幾乎不考!) 簡易型計算機求正平方根的步驟:○1 先按所要開平方的數,○2 再按『 』 鍵。即可得到近 8 位以上的近似值(視計算機的機型而定)。 eg:求 21 的平方根:在計算機上按『21』,在按『 』可得4.5825756,此數 為 21的近似值。 (二)使用乘開方表(平時幾乎不用,僅有基測會考!)

(5)

eg:由上表可查 56B7.483315, 570B23.87467, 2 58 =3364 (三)十分逼近法(一般考試都會考!) 若 a、x、b 皆為正數,則a <x<b 2 2  a < x < b2 2 a< x <b eg:試求 56 的近似值到小數第一位? 2 2 2 2 7 <56<8  7 < 56< 8 7< 56<8, 2 2 2 2 7.4 <56<7.5  7.4 < 56< 7.5  7.4< 56<7.5 【方根與近似值】 講解一: (1)已知 8 B2.828, 80 B8.944, 則 0.08 B? (2)滿足9 n <19的正整數 n 有多少個呢? Sol) (1) 0.08=0.01, 0.08 2.828 0.01=0.2828 8   Q B (2)

( )

9 n <19 81 n<361 n 361-81=280     Q 有 個 練習一: (1)已知 72 的正平方根 72 B8.485,請問哪一個數的正平方根為 0.8485 呢? (2)已知

(

4.24

)

2=17.9776, 4.25

(

)

2=18.0625, 4.243

(

)

2=18.003045,請利用四捨五 入法求 18 的近似值到小數第二位的結果為何呢? Sol) (1)0.8485 8.485=0.1  該數為=72

( )

0.1 =0.722

(6)

(2)

(

)

( )

(

)

(

)

2 2 2 17.9776<18<18.0625 4.24 < 18 < 4.25 4.24< 18<4.25 4.243 =18.003045>18, 18<4.243 18 4.24     Q Q B 【十分鐘即時練習】 (D)1.已知23=4.79583,230=15.16575,則 =?(A)0.0479583 (B)0.00479583 (C)1.516575 (D)0.1516575 Sol) 0.023 = 10000 =230 100 =0.156575 230 (D)2.已知滿足5≦x<5.7的正整數x中最大值為a,最小值為b,若c亦為正整數, 且使得 為整數,則c的最小值為何?(A)47 (B)48 (C)49 (D)50 Sol) 62≦(x)2<(5.7)2,25≦x<32.49,∴a=32,b=25, ac b = 32c 25 為 整數,則 c=25×2=50 (A)3.滿足 87 <x< 1998 的整數x的個數為何?(已知 87 9.3274B , 1998 B44.6990) (A)35 (B)36 (C)37 (D)38 Sol)∵ 87 B9.3274, 1998B44.6990,9<x<45,∴整數 x 有 45-9-1=35(個) (C)4.試問 - 3 與 2在數線上的相對位置,下列那一選項較合理? (A) (B) (C) (D) Sol) ∵3=1.732… ∴-2<-3<-1.5,又∵2=1.414… ∴1<2<1.5 (A)5.已知 21=4.5826, 2.1 =1.4491,則 210 =?(A)14.491 (B)45.826 (C)0.45826 (D)0.14491 Sol)∵ 210 = 2.1×100 = 2.1 ×10=1.4491×10=14.491

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能力三:商高定理與應用 一、商高定理(畢氏定理) 若一個三角形有一內角是直角(Right Angle=90 ),則此三角形為直角三角 形,必符合下列規則:兩股平方和等於斜邊的平方。 二、已知有一直角三角形的兩股為 a、b,斜邊為 c,則:

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 - -3 - -c a b c a b a c b a c b b c a b c a = +  = + =  = =  = 三、商高數 (一)商高數是指直角三角形三邊長皆為整數形式,常見的商高數如下所示: (3、4、5)、(5、12、13)、(7、24、25)、(8、15、17)、(9、40、41)、 (20、21、29)等等,請同學要熟記上面之商高數,可省去許多繁雜的計 算。如果不想死記,也可參考(二)商高數之通式。 (二)商高數之通式:

(

m2 -n2 , 2mn , m2 +n2

)

,其中m  n 0 【商高定理】 講解一: (1)已知直角三角形的兩邊長分別為 6 和 8,試求第三邊的長為何呢? (2)△ABC 中,∠C=90°,以AB、BC為邊長的兩正方形面積分別是 169cm2 25cm2,則 AC 多少 cm? Sol) (1)第三邊= 2 2 8 6 + = 36+64=10,若第三邊是其中一股,則 2 2 6 8 - = 36 64- = 28 =2 7 ,Ans:10 或 2 7 (2)∵∠C=90°∴AB =BC +AC ,169=25+2 2 2 AC ,∴2 AC =169-25,2 AC=12 斜邊(c) 股(a) 股(b) 2 2 2

a

+

b

=

c

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練習一:

(1)設矩形面積為120平方公分,寬為8公分,則對角線長是多少公分? (2)右圖中的x值為何呢?

Sol)

(1)長方形的長=120÷8=15 ∴對角線= 8 +15 = 289=17 2 2

(2)如圖,過A點作AD垂直CE,則AD=BC=12,ED=10-5=5, 故 2 2 x= 5 +12 =13 【商高定理的應用】 講解二: 如圖,在△ABC 中,AC=10,∠B=90°,若以AB、BC為直徑各自作出一半 圓,則斜線部分面積共多少平方單位? Sol) 斜線部分面積=以AC為直徑的半圓面積 ∴1 2 ×( 10 2 ) 2π=25 2 π 練習二: 如圖,橙果園藝公司設計一長方形庭園,其中長方形庭園長 16 公尺,寬 12 公尺, 在其內部規劃 S 區(△ABC 為等腰直角三角形)為觀賞休憩區,T 區(長方形區 域)為人行步道區,使得剩餘的花草區的面積為 141 平方公尺,試問 T 區的寬 度(EF)是多少公尺? Sol)△ABC 為等腰直角三角形,則AB=AC=12 2 =62, △ABC 面積為6 2×6 2 2 =36, △ABC 中,BC上的高為6 2×6 2 12 =6,16-6=10, 則 16×12-36-10×EF=141,10×EF=15,EF=15 10 = 3 2 【十分鐘即時練習】 (B)1.已知直角三角形中,兩股長的平方和等於斜邊長的平方。若一直角三角 形的兩股長各為 2 公分及 3 公分,且斜邊長為 a 公分,則下列那一個選 項是正確的?(A)3.0<a<3.5 (B)3.5<a<4.0 (C)4.0<a<4.5 (D)4.5 <a<5.0

(9)

Sol) a= 2 +3 = 132 2 B3.6 (D)2.直角三角形之兩股長的比為3:4,且其周長為72公分,則三角形斜邊上 的高為下列何者?(A) 公分 (B) 公分 (C) 公分 (D) 公分 Sol)設兩股分別為 3r,4r,則斜邊長為 5r,又 3r+4r+5r=72,∴r=6,故斜邊上 高=3r‧4r 5r = 12r 5 = 72 5 (公分) (C)3.如圖,四邊形 ABCD 中,AC⊥BD於 O,AB=3,CD=4,求BC2+AD2 =? (A) 7 (B) 16 (C) 25 (D) 36。 Sol) BC2+AD2=BO2+CO2+AO2+DO2 =(BO2+AO2)+(CO2+DO2)=32+42=25 (D)4.如圖,在直角△ABC 中,兩股長為 7 和 24,分別以 A 為圓心,24 為半 徑,以 B 為圓心,7 為半徑畫弧,交斜邊於 M、N,則MN的長度是多 少? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。 Sol) 72+242 =25,7+24-25=6 (C)5.一個三角形邊長為 101 2,10, 9 10 2,則此三角形的面積為 (A) 2 75 平方 單位(B) 75 平方單位(C)105 2 平方單位(D) 105 平方單位。 Sol) 101 2:10: 9 10 2= 21 2 : 20 2 : 29 2 =21:20:29,∵ 2 2 2 21 +20 =29 ∴為直角△,面積=101 2×10× 2 1 = 2 75 【基本觀念題】 (B)1.敘述甲:-8是64的平方根;乙:-12是-144的平方根;丙:0.3是0.9 的平方根;丁:- 是 的平方根;以上四個敘述中,正確的有幾個? (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 Sol)∵

( )

-8 2=64 ∴-8 是 64 的平方根:甲是正確的敘述 ∵(-12)2=144 ∴-11 不是-144 的平方根:乙是錯誤的敘述 ∵0.32=0.09 ∴0.3 不是 0.9 的平方根:丙是錯誤的敘述 ∵(- 4 5 )2= 16 25 ∴- 4 5 是 16 25 的平方根:丁是正確的敘述 故正確的敘述有 2 個。 24 7

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(D)2.下列何者正確?(A) 169 =±13 (B)

( )

2 -4 =-4 (C) (D)-

( )

-11 =-11 Sol)選項中(A) 169=13,(B)

( )

-4 2= -4 =4,(C) 9 4 25 = 229 25 = 229 5 , (D)-

( )

-11 =- -11 =-11 (B)3.請問 的平方根是下列那一個選項?(A) (B) ± (C) (D)- Sol) 4 49 的平方根為± 4 49 =± ( 2 7)2 =± 2 7 (D)4. 請問9 的平方根為何呢?(A)3 (B)-3 (C)±3 (D)以上皆非 Sol) 9 1 25 的平方根為± 9 1 25 =± 226 25 =± 226 5 (D)5.若 a=3=1.732……,則 a 與 1.732 的大小為何?(A)a<1.732 (B) a1.732 (C)a=1.732 (D) a>1.732 Sol) ∵1.732……>1.732 ∴a>1.732 (A)6.假設8是3x+1的平方根,則下列何者是x的值呢?(A)21(B)25(C) (D) Sol) 3x+1=82,3x+1=64,3x=63 ∴x=21 (B)7.如圖,AB⊥BF,DF⊥BF,DE⊥AC,AB=4,BC=3,AD=5, DE=3,DF= 6 ,求CF=? (A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) 6 。 Sol) AC= 3 +2 42 =5,AE= 5 -2 32 =4 EC=5-4=1 ∴DC= 3 +2 12 = 10  CF= 2 2 6 10)-( ) ( = 4=2

(A)8.如圖,坐標平面上點 A(a,b)在直線 L:4x-3y=0 上,AB⊥x 軸於 B 點。若△AOB 面積為 84 平方單位,則△AOB 周長為多少單位長? (A) 12 14 (B)12 12 (C) 6 14 (D) 6 12。

Sol) A(a,b)代入 4a-3b=0,a=

4 3 b △AOB 面積= 2 1 ×a×b=84, 2 1 × 4 3 b×b=84 b=±4 14(負不合) ∴a= 4 3 ×4 14=3 14 ∴OA=

(

) (

)

2 2 3 14 + 4 14 =5 14∴周長=3 14+4 14+5 14=12 14 (B)9.設一直角三角形的斜邊長為 a2+b2,一股長為 2ab,則另一股長為 (A)

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2 2 2 2 2 2 2 2 中, 2 4 20, 1 3 10, 1 3 10, 為等腰直角三角形, 中, 20, 5, 3 4 5 為等腰三角形 ABC AB AC BC ABC ABD AB AD BD ABD = + = = + = = + =  = = = + =  V V V V sol) a2b22-(2ab2 a42a2b2b44a2b2 = a42a2b2b4 a2b22 =|a2-b2 (C)10.在△ABC 中,∠A=90°,AB=12,AC=5,AD⊥BC於 D,則下列 何者錯誤? (A)BC=13 (B)AD= 13 12 5 (C)CD=4 (D)BD= 13 144 。 Sol) (A)BC= 5 +2 122 =13,(B)AD= 13 12 5  (C)CD×13=52,CD= 13 25 (D)BD×13=122 ∴BD= 13 144 【溫故歷屆基測試題】 (B)1.如圖,AB⊥ BC 、AD⊥ CD ,且AB=7、 BC =a、 CD =b、AD=9, 求(a+b)(a-b)=? (A) 16 (B) 32 (C) 63 (D) 130。【95.基測 二】

Sol)連接 AC ,在△ABC 中,AC2 =72 + ,在△ADC 中,a2 AC2 =92 + , b2

2 2 2 2 2 2 2 2

∴ 7 +a =9 +b , a -b =9 - 7 =32

(A)2.如圖為 A、B、C、D 四點在方格紙上的位置圖,其中每一點均位於某兩 線的交點上。關於△ABC 與△ABD 的形狀,下列判斷何者正確? (A) 兩個都是等腰三角形(B)兩個都不是等腰三角形(C)△ABC 是等腰三 角形,△ABD 不是等腰三角形(D)△ABC 不是等腰三角形,△ABD 是

等腰三角形。【95.基測二】

Sol)

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2 2 等速度 , ∴距離比 時間比, 乙到丁的時間 8 15 17, ∴甲到丁的時間 8 17 25 = = + = = + = Q 2 2 2 2 連接 , 在 中, 5, 50, 在 中, - 46, 6 46 7 , 6 46 7 BD BCD BC CD BD ABD AB BD AD = = = = =     V V

( )

( )

( )

( )

2 10, 10 在數線上可以找到座標為 10的點 2 5 20 10 3.26 A x x B C D = =  = = L

( )

5 25

( )

5

( )

5 25

( )

5 5 , , , , 2 4 2 2 2 2 4 5 最大 2 A = B C = D =  朝東偏南直行 8 分鐘至丙,左轉 90 度直行 15 分鐘至丁。若此車由甲地 以原來的速率向東直行可到達丁地,則此車程需多少分鐘? (A) 19.5 (B) 24 (C) 25 (D) 28。【94.基測二】 Sol) (B)4.如圖,ABCD 為一四邊形,∠A=∠C=90°,BCCD=5、AD=2,AB 的長會落在下列哪一個範圍內? (A) 5<AB<6 (B) 6<AB<7 (C) 7<AB<8 (D) 8<AB<9。【91.基測二】 Sol) (C)5.下列有關 10 的敘述,何者不正確? (A) 10 是方程式 x2=10 的一個 解(B)在數線上可以找到坐標為 10 的點(C) 10 =2 5(D) 10 < 4。【92.基測一】 Sol) (C)6.比較 2 5 , 2 5 , 2 5 , 2 5 四數的值,何者最大? (A) 2 5 (B) 2 5 (C) 2 5 (D) 2 5 。【92.基測二】 Sol)

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【模擬學力基測試題】 (C)1.下列敘述何者錯誤呢?(A)395 的正平方根比 20 小 (B)15 的正平方根介 於 3 與 4 之間 (C)235 的正平方根比 15 小 (D)441 的平方根為±21 Sol) (A)∵202=400>395 ∴395<20 (B)∵32=9<15,42=16>15 ∴3< 15 <4,故選項(B)為錯誤的選項 (C)∵152=225<235 ∴235>15 (D)441 的平方根為 441=±21 (C)2.若ab>0,則下列何者正確?(A) a + b =|a+b|(B) a =a (C) (D) a + b =a+b

Sol) (A)∵a2+b2(a+b)2 ∴ a + b |a+b|(B) a = a  a

(C) |a| × |b| = |a|×|b| = ab (D) a + b = a + b a+b (D)3.已知b2=625,b>0,則b的平方根為何呢?(A)25 (B)±25 (C)5 (D)±5 Sol) ∵b2=625=252且b>0 ∴b=25,b的平方根為 25  =±5 (A)滿足 87 <x< 1998 的整數x的有多少個呢?(A)35 (B)36 (C)37 (D)38 sol) ∵92=81<87,102=100>87 ∴9< 87 <10,又44< 1998 <45 ∴9……<x<44……x 的整數值共有 44-9=35 (個) (C)4.請問2401的平方根等於多少呢?(A)±49 (B)49 (C)±7 (D)7 Sol) ∵2401=74 ∴2401= 2 49 ,2401 的平方根即為 49 的平方根為±7

(A)5.若 x+y 的負平方根是-3,且 x-y 的正平方根是 5,求 x+y=? (A)9(B)8(C)7(D)6。 Sol)   x+y=9 x-y=25 解得 x=17 y=-8 ,x+y=17-8=9 (B)6.家齊在電算器依序按下 12 → ,結果顯示出 3.4641,若他改按 3 → ,則會顯示下列哪個數值? (A)0.86602 (B)1.73205 (C)1.4641 (D)1.12414。 Sol) 12= 4 3 =2 3 =3.4641 ∴ 2=1.73205 (D)7.如圖,△ABC 中,AD⊥BC於 D,E 是AD上的任一點,已知AB=8, CE=5,求AC +2 BE 之值為何?(A)86(B)87(C)88(D)89。 2 Sol) 由商高定理可知AC +2 BE =2 AD +2 CD +2 DE +2 BD =2 AB +2 CE =642 +25=89 (A)8.有一直角三角形,其兩股長分別為 6cm、8cm,現欲從這個直角三角形

(14)

中剪下一個最大的正方形,則此正方形的邊長是多少 cm?(A)50 17 (B) 50 19 (C)60 17 (D) 60 19 Sol)令此正方形的邊長為 r,則直角三角形面積=5 12 2  =30=A+B+C 則 12 2 r r ( - ). +r2 5 2 r r ( - ) =30,12r-r2+2r2+5r-r2=60 17r=60r=60 17 (A)9.已知正方形甲是面積為 841 平方公分,若AP=10 公分,則正方形 ABCD 的面積為何?(A)1681(B)1156(C)1074(D)981。 sol)甲的邊長= 841 =29,則 AQ = 292-202 =21, AD=AB=20+21=41,面積=412=1681 (C)10.如圖,正方形 ABCD 的邊長為 15,CP和 CQ 將此正方形面積分成三等 分,則CP=?(A) 5 35 (B) 315 (C) 5 13 (D) 3 15 。 Sol) 2 15 3 =75,15.PB=75×2,PB=10,則PC= 2 2 10+15 = 325 = 5 13 【進階練習題】 (C)1.如圖,四邊形 ABCD 為一正方形,則灰色部分的面積為何? (A)2430(B)2530(C)2535(D)2540 Sol) CD= 2 2 21 20 + =29 灰色面積=592-(29)2-2× 2 21 20  =(59+29)(59-29)-210 =88×30-105=2535 (B)2.如圖,矩形 ABCD 中,AB=15,AD=17,今將其折疊,使頂點 D 落 在BC上一點 F,請問BF+EF=?(A)16.2(B)18.2(C)20.2(D)22.2 Sol)AF=AD=17 ∴BF= 2 2 15 17 - =8 設EF=x,則DE=x,CE=15-x,又CF=17-8=9 ∴在△CEF 中,x2=(15-x)2+92=225-30x+x2+81 30x=306,x= 10 102 =10.2,BF+EF=18.2 (D)3 若 3 ≒1.732, 7 ≒2.645,試求 1 7+ 3 - 1 7- 3 =?(請四捨五入 至小數第二位)(A)1.915(B)-1.915(C)1.73(D)-1.73 Sol) 27 3 2 7 3 - ( )-( )- 2 2 7 3 7 3 + ( )-( )= 7 3 7 3 2 - - - = 2 3 2 - =- 3 =-1.73

(15)

(D)4.請化簡 11 8 -3 -3 ( ) - ( ) --33 2 2 4 5 5 5 ) (- - +(-9 7 )÷ 6 7 =?(A)1 3(B) -1 3(C) 5 3(D) -5 3 Sol) 11 8 -3 -3 ( ) -33+ 5 25 54 . +(-9 7 )× 7 6 = 3 3 -33+5+(-3 2 )=27-33+5-3 2 =-5 3

(A)5.若 a= 12+ 7 ,b= 11+ 8 ,則 b2-a2=?(A)4( 22- 21)(B)

-4( 22- 21)(C)2( 22- 21)(D)-2( 22- 21) Sol) b2-a2=( 11+ 8 )2-( 12+ 7 )2=11+8+2 88 -(12+7+2 84 ) =2 88 -2 84 =4 22-4 21= 4( 22- 21) (B)6.請計算(11+ 119 )6×(11- 119 )7=?(A)22+2 119(B)22-2 119(C) -22+2 119 (D) -22-2 119 Sol)∵(11+ 119 )×(11- 119 )=11 -2

(

)

2 119 =121-119=2 ∴原式=(11+ 3 )6×(11- 3 )6×(11- 3 )=2×(11- 119 )= 22-2 119 (C)7.設 a= 17 - 3 ,b= 13 - 7 ,c= 15 - 5 ,比較 a、b、c 的大小關係 為何?(A)a<b<c(B)a<c<b(C)b<c<a(D)c<a<b Sol) a2=( 17 - 3 )2=17-2 51+3=20-2 51 b2=( 13- 7)2=13-2 91 +7=20-2 91 c2=( 15- 5)2=15-2 75+5=20-2 75 Q 91> 75> 51,又 a、b、c 皆負數b<c<a (B)8.已知 x、y 均為正整數,3 x -5 y=15 且 2 x +3 y=48,求 x-y=? (A)199(B)189(C)179(D)169 Sol)   3 x -5 y =15……○1 2 x +3 y =48……○2 ○13:9 x -15 y=45……○3 ○25:10 x +15 y=240…○4 , ○3+○4:19 x =285, x =15 ∴x=225 ∴215+3 y=48,3 y=18, y=6,y=36 x-y=189 (C)9.如果符號〔 x 〕表示 x 的整數部分,例如〔 2〕=1,〔 5 〕=2, 則 7 + 11+ 13 + 17 =?(A)10(B)11(C)12(D)13 Sol) ∵22=4,32=9,42=16,52=25, ∴求值式=2+3+3+4=12 (C)10 已知 x、y 為整數,且 2 3 y 3 x 2 + -) ( + 2 13 y 4 x 3 - - ) ( =0,求 15x-4y 的平方根。(A)±3(B)±5(C)±7(D)±9 Sol)|2x+3y-3|+|3x-4y-13|=0    13 y 4 x 3 3 y 3 x 2 = - = + x=3,y=-1 ∴15x-4y=15×3-(4×(-1))=49 ∴15x-4y 的平方根=± 49 =±7

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