Unit 9 二次方根與商高定理

(1)

Unit 9 二次方根與商高定理 能力指標：◎（N-4-01）能理解二次方根的意義。 ◎（N-4-01）能求二次方根的近似值。 ◎（N-4-02）能理解二次方根最簡式的意義，並做化簡。 ◎（N-4-02）能理解二次方根的加、減、乘、除規則。 ◎（N-4-02、A-4-01）能理解簡單根式的化簡及有理化。 ◎（S-4-08、A-4-03）能理解勾股定理（商高定理）。 ◎（S-4-05、A-4-03）能由簡單面積計算導出勾股定理。 ◎（S-4-05、A-4-03）能理解勾股定理的應用。能力一：二次方根的意義與化簡一、二次方根(平方根) 一個數 a 是另一個數 b 的平方，記作： 2 b =a，亦即 b 是 a 的二次方根或稱為平方根。一個正數 a 的平方根有兩個，記作： a 。二、二次方根的性質（ a  ¡ ）三、二次方根的乘、除法（一）乘法（當a0, b0） a b = ab

(

) ( ) ( )

2 2 2 2 x= a b x = a b = a  b =a b=ab x= ab  a b = ab 假設（二）除法（當a0, b>0） a b = a b a = a b b   或

( )

2 2 2 a a a a a a a x= = = x= = b b b b b _b b    __ __     假設屬性狀態備註 a＞0  a 2 個平方根 a = 0 0=0 1 個平方根 0 a＜0 沒有平方根負數沒有平方根 a 0

( )

2 2 a = a = a

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（三）其它 1.當a 0 a b =a b2 2.當a 0, b>0 a= a b= ab b b b b    3.當 a  ¡ ，

(

)

(

)

2 a a 0 a = a = -a a<0      當當 4.當a, b  ¡ ，

( )

( )(

)

( )(

)

2 a-b a b a-b = a-b = b-a a< b      當當 5.當 a + b =0 2 2  a + b =0 a=0, b=0 【平方根的性質】講解一：（1） 4 49的平方根為何呢？（2） 1 9 25的平方根為何呢？ Sol) （1）4 49 的平方根為± 4 49 ＝± 2 2 7       ＝± 2 7 （2）9 1 25 的平方根為± 9 1 25 ＝± 226 25 ＝± 226 5 練習一：（1）a 的平方根為±2，則 a＝？（2）1296 的平方根等於多少呢？ Sol) （1）∵a＝(±2)2_{＝4 ∴a＝4}2_＝16 （2） 2 1296=36 ,1296 36 = 36=6 Q 的平方根亦即的平方根【平方根的計算與比較大小】講解二：（1）試求 2 - 181 1 + 234 4 16 81 =？（2）試比較a= 4 , b= 5 , c= 9 3 4 7 的大小為何呢？

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Sol) （1） 1 1 34 9 289 196 3 17 14 2 - 18 + 2 = - + = - + 4 16 81 4 16 81 2 4 9 3 18-17 9+14 4 -43 = = 36 36    （2）a= 4 , b= 5 , c= 9 4>9>5 4> 9> 5 a>c>b 3 4 7  3 7 4 3 7 4  練習二：（1）試求5+ 5- 5 + 5= 2 2 2 2 ？（2）已知 a、b、c 均大於 0，若a 7 =b 7=c 7 11 11 11    ，試問 a、b、c 的大小為何呢？ Sol) （1） 5 5 5 5 5 5 2 5 2 5 + - + = + - + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 10 5 2 5 5+ 10-5 2 + 5 = + - + = 2 2 2 2 2                   （2） 2 2 2 7 49 7 7 7 7 = , = , = 11 11 121 11 11 11 49 7 7 > > a<c<b 11 11 121             _ _ _ _   _ _ _ _  Q 【十分鐘即時練習】 （D）1.求＝？(A) (B) (C) (D) Sol) 原式＝(－2) 2_+｜－13｜ 16 ＝ 4+13 4 ＝ 17 4 （C）2.下列有關平方根的敘述何者正確？(A)∵（±2）2_{＝4 ∴} 4＝±2 (B)若 a為b的平方根，則a＝b2_{(C)625的平方根為±5 (D)－16的平方根為±4}

Sol) (A) 4 =2；(B)b＝a2_{；(C) 625 的平方根即是 25 的平方根=} ₂₅₌ ；(D)₅

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N N 2 N 10N N 3 55 3025 7.416198 23.45208 166375 56 3136 7.483315 23.66432 175616 57 3249 7.549834 23.87467 185193 58 3364 7.615773 24.08319 195112 N 3 N 3 10N 3 100N 55 3.802952 8.193213 17.65174 56 3.825862 8.242571 17.75808 57 3.848501 8.291344 17.86316 58 3.870877 8.339551 17.96702 （A）3.若 10－為整數，則正整數 a 之值有多少個？ (Ａ) 4 個(Ｂ) 3 個(Ｃ) 2 a 個(Ｄ) 1 個。

Sol) ∵ 10－a為整數，∴10－a＝02 ∴a＝10，10－a＝12

∴a＝9，10－a＝22_{∴a＝6，10－a＝3}2_{∴a＝1 ∴a 值共有 4 個}

（C）4.若－3 為 3a＋b＋1 之一個平方根，且 a＋2b＋3 之平方根為±2，則 a－b 之平方根為 (Ａ) 2 (Ｂ) 4 (Ｃ) ±2 (Ｄ) ±4。 Sol)    2 4 3 b 2 a 9 3 1 b a 3 2 2 ＝）＝（＋＋＝）＝（－＋＋ __{a＝3，b＝－1} （C）5.欲使 7 及 b 均為二位正整數，則 b 可為下列何數？ (Ａ) 18 (Ｂ) 20 (Ｃ) b 28 (Ｄ) 30。 Sol) (Ａ) 7×18＝126 非完全平方數；(Ｂ) 7×20＝140 非完全平方根；(Ｃ) 7×28 ＝196＝142_{；(Ｄ) 7×30＝210 非完全平方數。} 能力二：二次方根的近似值一、二次方根的近似值當一個大於 0 且非完全平方的數 a，將其開根號後，所得到的數值皆為無理數，亦即為一個不循環且無限的小數，因此，我們可以求其近似值代表該二次方根。二、求近似值的方式（一）使用計算機（常用，快速簡易，考試幾乎不考！）簡易型計算機求正平方根的步驟：○1 先按所要開平方的數，○2 再按『』鍵。即可得到近 8 位以上的近似值（視計算機的機型而定）。 eg:求 21 的平方根：在計算機上按『21』，在按『』可得4.5825756，此數為 21的近似值。（二）使用乘開方表（平時幾乎不用，僅有基測會考！）

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eg:由上表可查 56B7.483315， 570B23.87467， 2 58 =3364 （三）十分逼近法（一般考試都會考！）若 a、x、b 皆為正數，則_{a <x<b}2 2 _{a < x < b}2 2 _{a< x <b} eg:試求 56 的近似值到小數第一位？ 2 2 2 2 7 <56<8  7 < 56< 8 7< 56<8， 2 2 2 2 7.4 <56<7.5  7.4 < 56< 7.5  7.4< 56<7.5 【方根與近似值】講解一：（1）已知 8 B2.828, 80 B8.944, 則 0.08 B？（2）滿足9 n <19的正整數 n 有多少個呢？ Sol) （1） 0.08=0.01, 0.08 2.828 0.01=0.2828 8   Q B （2）

( )

9 n <19 81 n<361 n 361-81=280     Q 有個練習一：（1）已知 72 的正平方根 72 B8.485，請問哪一個數的正平方根為 0.8485 呢？（2）已知

(

4.24

)

2=17.9776, 4.25

(

)

2=18.0625, 4.243

(

)

2=18.003045，請利用四捨五入法求 18 的近似值到小數第二位的結果為何呢？ Sol) （1）0.8485 8.485=0.1  該數為=72

( )

0.1 =0.722

(6)

（2）

(

)

( )

(

)

(

)

2 2 2 17.9776<18<18.0625 4.24 < 18 < 4.25 4.24< 18<4.25 4.243 =18.003045>18, 18<4.243 18 4.24     Q Q B 【十分鐘即時練習】 （D）1.已知23＝4.79583，230＝15.16575，則＝？(A)0.0479583 (B)0.00479583 (C)1.516575 (D)0.1516575 Sol) 0.023 ＝ _{10000 ＝}230 _{100 ＝0.156575}230 （D）2.已知滿足5≦x＜5.7的正整數x中最大值為a，最小值為b，若c亦為正整數，且使得為整數，則c的最小值為何？(A)47 (B)48 (C)49 (D)50 Sol) 62_≦（x）2_＜（5.7）2_{，25≦x＜32.49，∴a＝32，b＝25，} ac b ＝ 32c 25 為整數，則 c＝25×2＝50 （A）3.滿足 87 ＜x＜ 1998 的整數x的個數為何？(已知 87 9.3274B ， 1998 B44.6990） (A)35 (B)36 (C)37 (D)38 Sol)∵ 87 B9.3274， 1998B44.6990，9＜x＜45，∴整數 x 有 45－9－1＝35(個) （C）4.試問 - 3 與 2在數線上的相對位置，下列那一選項較合理? (A) (B) (C) (D) Sol) ∵3＝1.732… ∴－2＜－3＜－1.5，又∵2＝1.414… ∴1＜2＜1.5 （A）5.已知 21＝4.5826， 2.1 ＝1.4491，則 210 ＝？(A)14.491 (B)45.826 (C)0.45826 (D)0.14491 Sol)∵ 210 ＝ 2.1×100 ＝ 2.1 ×10＝1.4491×10＝14.491

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能力三：商高定理與應用一、商高定理（畢氏定理）若一個三角形有一內角是直角（Right Angle=90 ），則此三角形為直角三角形，必符合下列規則：兩股平方和等於斜邊的平方。二、已知有一直角三角形的兩股為 a、b，斜邊為 c，則：

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 - -3 - -c a b c a b a c b a c b b c a b c a = +  = + =  = =  = 三、商高數（一）商高數是指直角三角形三邊長皆為整數形式，常見的商高數如下所示：（3、4、5）、（5、12、13）、（7、24、25）、（8、15、17）、（9、40、41）、（20、21、29）等等，請同學要熟記上面之商高數，可省去許多繁雜的計算。如果不想死記，也可參考（二）商高數之通式。（二）商高數之通式：

(

m2 -n2 , 2mn , m2 +n2

)

，其中m  n 0 【商高定理】講解一：（1）已知直角三角形的兩邊長分別為 6 和 8，試求第三邊的長為何呢？（2）△ABC 中，∠C＝90°，以AB、BC為邊長的兩正方形面積分別是 169cm2_、 25cm2，則 AC 多少 cm？ Sol) （1）第三邊= 2 2 8 6 ＋＝ 36＋64＝10，若第三邊是其中一股，則 2 2 6 8 －＝ 36 64－＝ 28 ＝2 7 ，Ans：10 或 2 7 （2）∵∠C＝90°∴AB =BC +AC ，169＝25+2 2 2 AC ，∴2 AC ＝169-25，2 AC＝12 斜邊（c）股（a）股（b） 2 2 2

a

+

b

=

c



(8)

練習一：

（1）設矩形面積為120平方公分，寬為8公分，則對角線長是多少公分？（2）右圖中的x值為何呢？

Sol)

（1）長方形的長＝120÷8＝15 ∴對角線＝ _{8 +15 = 289=17}2 2

（2）如圖，過A點作AD垂直CE，則AD=BC=12，ED=10-5=5，故 2 2 x= 5 +12 =13 【商高定理的應用】講解二：如圖，在△ABC 中，AC＝10，∠B＝90°，若以AB、BC為直徑各自作出一半圓，則斜線部分面積共多少平方單位？ Sol) 斜線部分面積＝以AC為直徑的半圓面積 ∴1 2 ×( 10 2 ) 2_π＝25 2 π 練習二：如圖，橙果園藝公司設計一長方形庭園，其中長方形庭園長 16 公尺，寬 12 公尺，在其內部規劃 S 區（△ABC 為等腰直角三角形）為觀賞休憩區，T 區（長方形區域）為人行步道區，使得剩餘的花草區的面積為 141 平方公尺，試問 T 區的寬度（EF）是多少公尺？ Sol)△ABC 為等腰直角三角形，則AB=AC＝12 2 ＝62， △ABC 面積為6 2×6 2 2 ＝36， △ABC 中，BC上的高為6 2×6 2 12 ＝6，16－6＝10，則 16×12－36－10×EF＝141，10×EF＝15，EF＝15 10 ＝ 3 2 【十分鐘即時練習】 （B）1.已知直角三角形中，兩股長的平方和等於斜邊長的平方。若一直角三角形的兩股長各為 2 公分及 3 公分，且斜邊長為 a 公分，則下列那一個選項是正確的？(A)3.0＜a＜3.5 (B)3.5＜a＜4.0 (C)4.0＜a＜4.5 (D)4.5 ＜a＜5.0

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Sol) a= 2 +3 = 132 2 B3.6 （D）2.直角三角形之兩股長的比為3：4，且其周長為72公分，則三角形斜邊上的高為下列何者？(A) 公分 (B) 公分 (C) 公分 (D) 公分 Sol)設兩股分別為 3r，4r，則斜邊長為 5r，又 3r+4r+5r＝72，∴r＝6，故斜邊上高＝3r‧4r 5r ＝ 12r 5 ＝ 72 5 (公分) （C）3.如圖，四邊形 ABCD 中，AC⊥BD於 O，AB＝3，CD＝4，求BC2＋AD2 ＝？ (Ａ) 7 (Ｂ) 16 (Ｃ) 25 (Ｄ) 36。 Sol) BC2＋AD2＝BO2＋CO2＋AO2＋DO2 ＝（BO2＋AO2）＋（CO2＋DO2）＝32＋42＝25 （D）4.如圖，在直角△ABC 中，兩股長為 7 和 24，分別以 A 為圓心，24 為半徑，以 B 為圓心，7 為半徑畫弧，交斜邊於 M、N，則MN的長度是多少？ (Ａ) 3 (Ｂ) 4 (Ｃ) 5 (Ｄ) 6。 Sol) 72＋242 ＝25，7+24-25＝6 （C）5.一個三角形邊長為 101 2，10， 9 10 2，則此三角形的面積為 (Ａ) 2 75 平方單位(Ｂ) 75 平方單位(Ｃ)105 2 平方單位(Ｄ) 105 平方單位。 Sol) 101 2：10： 9 10 2＝ 21 2 ： 20 2 ： 29 2 ＝21：20：29，∵ 2 2 2 21 +20 =29 ∴為直角△，面積＝101 2×10× 2 1 ＝ 2 75 【基本觀念題】 （B）1.敘述甲：－8是64的平方根；乙：－12是－144的平方根；丙：0.3是0.9 的平方根；丁：－是的平方根；以上四個敘述中，正確的有幾個？ (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 Sol)∵

( )

-8 2＝64 ∴－8 是 64 的平方根：甲是正確的敘述 ∵(－12)2_{＝144 ∴－11 不是－144 的平方根：乙是錯誤的敘述} ∵0.32_{＝0.09 ∴0.3 不是 0.9 的平方根：丙是錯誤的敘述} ∵(－ 4 5 )2＝ 16 25 ∴－ 4 5 是 16 25 的平方根：丁是正確的敘述故正確的敘述有 2 個。 24 7

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（D）2.下列何者正確？(A) 169 ＝±13 (B)

( )

2 -4 ＝－4 (C) (D)-

( )

-11 =-11 Sol)選項中（A） 169=13，（B）

( )

-4 2= -4 =4，（C） 9 4 25 ＝ 229 25 ＝ 229 5 ，（D）-

( )

-11 =- -11 =-11 （B）3.請問的平方根是下列那一個選項？(A) (B) ± (C) (D)－ Sol) 4 49 的平方根為± 4 49 ＝± ( 2 7)2 ＝± 2 7 （D）4. 請問9 的平方根為何呢？(A)3 (B)－3 (C)±3 (D)以上皆非 Sol) 9 1 25 的平方根為± 9 1 25 ＝± 226 25 ＝± 226 5 （D）5.若 a＝3＝1.732……，則 a 與 1.732 的大小為何？(A)a＜1.732 (B) a1.732 (C)a=1.732 (D) a＞1.732 Sol) ∵1.732……＞1.732 ∴a＞1.732 （A）6.假設8是3x＋1的平方根，則下列何者是x的值呢？(A)21(B)25(C) (D) Sol) 3x＋1＝82_{，3x＋1＝64，3x＝63 ∴x＝21} （B）7.如圖，AB⊥BF，DF⊥BF，DE⊥AC，AB＝4，BC＝3，AD＝5， DE＝3，DF＝ 6 ，求CF＝？ (Ａ) 3 (Ｂ) 2 (Ｃ) 5 (Ｄ) 6 。 Sol) AC＝ 3 ＋2 42 ＝5，AE＝ 5 －2 32 ＝4 EC＝5－4＝1 ∴DC＝ 3 ＋2 12 ＝ 10  CF＝ 2 2 6 10）－（）（＝ 4＝2

（A）8.如圖，坐標平面上點 A（a，b）在直線 L：4x－3y＝0 上，AB⊥x 軸於 B 點。若△AOB 面積為 84 平方單位，則△AOB 周長為多少單位長？ (Ａ) 12 14 (Ｂ)12 12 (Ｃ) 6 14 (Ｄ) 6 12。

Sol) A（a，b）代入 4a－3b＝0，a＝

4 3 b △AOB 面積＝ 2 1 ×a×b＝84， 2 1 × 4 3 b×b＝84 b＝±4 14（負不合） ∴a＝ 4 3 ×4 14＝3 14 ∴OA＝

(

) (

)

2 2 3 14 ＋ 4 14 =5 14∴周長＝3 14＋4 14＋5 14＝12 14 （B）9.設一直角三角形的斜邊長為 a2_＋b2_{，一股長為 2ab，則另一股長為 (Ａ)}

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2 2 2 2 2 2 2 2 中, 2 4 20, 1 3 10, 1 3 10, 為等腰直角三角形, 中, 20, 5, 3 4 5 為等腰三角形 ABC AB AC BC ABC ABD AB AD BD ABD = + = = + = = + =  = = = + =  V V V V sol) _（_a2_＋_b2_）2_－（₂_ab_）2 _＝ _a4_＋₂_a2_b2_＋_b4_－₄_a2_b2 ＝ _a4_－₂_a2_b2_＋_b4 _＝ _（_a2_－_b2_）2 _＝｜a2_－b2_｜（C）10.在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝5，AD⊥BC於 D，則下列何者錯誤？ (Ａ)BC＝13 (Ｂ)AD＝ 13 12 5 (Ｃ)CD＝4 (Ｄ)BD＝ 13 144 。 Sol) (Ａ)BC＝ 5 ＋2 122 ＝13，(Ｂ)AD＝ 13 12 5  (Ｃ)CD×13＝52，CD＝ 13 25_， (Ｄ)BD×13＝122 ∴BD＝ 13 144 【溫故歷屆基測試題】 （B）1.如圖，AB⊥ BC 、AD⊥ CD ，且AB＝7、 BC ＝a、 CD ＝b、AD＝9，求（a＋b）（a－b）＝？ (Ａ) 16 (Ｂ) 32 (Ｃ) 63 (Ｄ) 130。【95.基測二】

Sol)連接 AC ，在△ABC 中，AC2 =72 + ，在△ADC 中，a2 AC2 =92 + ， b2

2 2 2 2 2 2 2 2

∴ 7 +a =9 +b , a -b =9 - 7 =32

（A）2.如圖為 A、B、C、D 四點在方格紙上的位置圖，其中每一點均位於某兩線的交點上。關於△ABC 與△ABD 的形狀，下列判斷何者正確？ (Ａ) 兩個都是等腰三角形(Ｂ)兩個都不是等腰三角形(Ｃ)△ABC 是等腰三角形，△ABD 不是等腰三角形(Ｄ)△ABC 不是等腰三角形，△ABD 是

等腰三角形。【95.基測二】

Sol)

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2 2 等速度 , ∴距離比時間比, 乙到丁的時間 8 15 17, ∴甲到丁的時間 8 17 25 = = + = = + = Q 2 2 2 2 連接 , 在中, 5, 50, 在中, - 46, 6 46 7 , 6 46 7 BD BCD BC CD BD ABD AB BD AD = = = = =     V V

( )

2 _10, ₁₀ 在數線上可以找到座標為 10的點 2 5 20 10 3.26 A x x B C D = =  = = L

( )

5 25

( )

5

( )

5 25

( )

5 5 , , , , 2 4 2 ₂ 2 2 4 5 最大 2 A = B C = D =  朝東偏南直行 8 分鐘至丙，左轉 90 度直行 15 分鐘至丁。若此車由甲地以原來的速率向東直行可到達丁地，則此車程需多少分鐘？ (Ａ) 19.5 (Ｂ) 24 (Ｃ) 25 (Ｄ) 28。【94.基測二】 Sol) （B）4.如圖，ABCD 為一四邊形，∠A＝∠C＝90°，BC＝CD＝5、AD＝2，AB 的長會落在下列哪一個範圍內？ (Ａ) 5＜AB＜6 (Ｂ) 6＜AB＜7 (Ｃ) 7＜AB＜8 (Ｄ) 8＜AB＜9。【91.基測二】 Sol) （C）5.下列有關 10 的敘述，何者不正確？ (Ａ) 10 是方程式 x2_{＝10 的一個} 解(Ｂ)在數線上可以找到坐標為 10 的點(Ｃ) 10 ＝2 5(Ｄ) 10 ＜ 4。【92.基測一】 Sol) （C）6.比較 2 5 ， 2 5 ， 2 5 ， 2 5 四數的值，何者最大？ (Ａ) 2 5 (Ｂ) 2 5 (Ｃ) 2 5 (Ｄ) 2 5 。【92.基測二】 Sol)

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【模擬學力基測試題】 （C）1.下列敘述何者錯誤呢？(A)395 的正平方根比 20 小 (B)15 的正平方根介於 3 與 4 之間 (C)235 的正平方根比 15 小 (D)441 的平方根為±21 Sol) (A)∵202_{＝400＞395 ∴395＜20} (B)∵32_{＝9＜15，4}2_{＝16＞15 ∴3＜ 15 ＜4，故選項(B)為錯誤的選項} (C)∵152_{＝225＜235 ∴235＞15} (D)441 的平方根為 441＝±21 （C）2.若ab＞0，則下列何者正確？(A) a + b ＝｜a+b｜(B) a =a (C) (D) a + b ＝a+b

Sol) (A)∵a2＋b2(a＋b)2 ∴ a + b ｜a+b｜(B) a = a  a

(C) ｜a｜ × ｜b｜＝｜a｜×｜b｜＝ ab (D) a + b ＝ a + b a+b （D）3.已知b2_{＝625，b＞0，則b的平方根為何呢？(A)25 (B)±25 (C)5 (D)±5} Sol) ∵b2_＝625＝252_{且b＞0 ∴b＝25，b的平方根為} 25  ＝±5 （A）滿足 87 ＜x＜ 1998 的整數x的有多少個呢？(A)35 (B)36 (C)37 (D)38 sol) ∵92_{＝81＜87，10}2_{＝100＞87 ∴9＜ 87 ＜10，又44＜ 1998 ＜45} ∴9……＜x＜44……x 的整數值共有 44－9＝35 (個) （C）4.請問2401的平方根等於多少呢？(A)±49 (B)49 (C)±7 (D)7 Sol) ∵2401＝74_∴2401＝ 2 49 ，2401 的平方根即為 49 的平方根為±7

（A）5.若 x＋y 的負平方根是－3，且 x－y 的正平方根是 5，求 x＋y＝？ (Ａ)9(Ｂ)8(Ｃ)7(Ｄ)6。 Sol)   x＋y＝9 x－y＝25 解得 x＝17 y＝-8 ，x＋y＝17-8＝9 （B）6.家齊在電算器依序按下 12 → ，結果顯示出 3.4641，若他改按 3 → ，則會顯示下列哪個數值？ (Ａ)0.86602 (Ｂ)1.73205 (Ｃ)1.4641 (Ｄ)1.12414。 Sol) 12＝ 4 3 ＝2 3 ＝3.4641 ∴ 2＝1.73205 （D）7.如圖，△ABC 中，AD⊥BC於 D，E 是AD上的任一點，已知AB＝8， CE＝5，求AC ＋2 BE 之值為何？（A）86（B）87（C）88（D）89。 2 Sol) 由商高定理可知AC ＋2 BE ＝2 AD ＋2 CD ＋2 DE ＋2 BD ＝2 AB ＋2 CE ＝642 ＋25＝89 （A）8.有一直角三角形，其兩股長分別為 6cm、8cm，現欲從這個直角三角形

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中剪下一個最大的正方形，則此正方形的邊長是多少 cm？（A）50 17 （B） 50 19 （C）60 17 （D） 60 19 Sol)令此正方形的邊長為 r，則直角三角形面積＝5 12 2  ＝30＝A＋B＋C 則 12 2 r r （－）．＋r2_＋ 5 2 r r （－）＝30，12r－r2_＋2r2_＋5r－r2_＝60 17r＝60r＝60 17 （A）9.已知正方形甲是面積為 841 平方公分，若AP＝10 公分，則正方形 ABCD 的面積為何？（A）1681（B）1156（C）1074（D）981。 sol)甲的邊長＝ 841 ＝29，則 AQ ＝ 292－202 ＝21， AD＝AB＝20＋21＝41，面積＝412_＝1681 （C）10.如圖，正方形 ABCD 的邊長為 15，CP和 CQ 將此正方形面積分成三等分，則CP＝？（A） 5 35 （B） 315 （C） 5 13 （D） 3 15 。 Sol) 2 15 3 ＝75，15．PB＝75×2，PB＝10，則PC＝ 2 2 10＋15 ＝ 325 ＝ 5 13 【進階練習題】（C）1.如圖，四邊形 ABCD 為一正方形，則灰色部分的面積為何？（A）2430（B）2530（C）2535（D）2540 Sol) CD＝ 2 2 21 20 ＋＝29 灰色面積＝592_－（29）2_－2× 2 21 20  ＝（59＋29）（59－29）－210 ＝88×30－105＝2535 （B）2.如圖，矩形 ABCD 中，AB＝15，AD＝17，今將其折疊，使頂點 D 落在BC上一點 F，請問BF+EF=？（A）16.2（B）18.2（C）20.2（D）22.2 Sol)AF＝AD＝17 ∴BF＝ 2 2 15 17 －＝8 設EF＝x，則DE＝x，CE＝15－x，又CF＝17－8＝9 ∴在△CEF 中，x2_{＝（15－x）}2_＋92_{＝225－30x＋x}2_＋81 30x＝306，x＝ 10 102 ＝10.2，BF+EF=18.2 （D）3 若 3 ≒1.732， 7 ≒2.645，試求 1 7＋ 3 － 1 7－ 3 ＝？（請四捨五入至小數第二位）（A）1.915（B）-1.915（C）1.73（D）-1.73 Sol) ₂7 3 ₂ 7 3 －（）－（）－ 2 2 7 3 7 3 ＋（）－（）＝ 7 3 7 3 2 －－－＝ 2 3 2 －＝- 3 ＝-1.73

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（D）4.請化簡 11 8 -3 -3 （） - （） --33 2 2 4 5 5 5 ）（－－ +（-9 7 ）÷ 6 7 ＝？（A）1 3（B） -1 3（C） 5 3（D） -5 3 Sol) 11 8 -3 -3 （） -33+ 5 25 54 ． +(-9 7 )× 7 6 ＝ 3 3 -33+5+(-3 2 )=27-33+5-3 2 ＝-5 3

（A）5.若 a＝ 12＋ 7 ，b＝ 11＋ 8 ，則 b2_－a2_{＝？（A）4(} ₂₂_- ₂₁_)（B）

-4( 22- 21)（C）2( 22- 21)（D）-2( 22- 21) Sol) b2-a2＝( 11+ 8 )2-( 12+ 7 )2＝11+8+2 88 -(12+7+2 84 ) ＝2 88 -2 84 ＝4 22-4 21= 4( 22- 21) （B）6.請計算(11＋ 119 )6_{×(11－ 119 )}7_{＝？（A）22+2 119（B）22-2 119（C）} -22+2 119 （D） -22-2 119 Sol)∵(11＋ 119 )×(11－ 119 )＝11 －2

(

)

2 119 ＝121－119＝2 ∴原式＝（11＋ 3 ）6_{×（11－ 3 ）}6_{×（11－ 3 ）＝2×(11－ 119 )＝ 22-2 119} （C）7.設 a＝ 17 - 3 ，b＝ 13 - 7 ，c＝ 15 - 5 ，比較 a、b、c 的大小關係為何？（A）a＜b＜c（B）a＜c＜b（C）b＜c＜a（D）c＜a＜b Sol) a2＝（ 17 - 3 ）2_＝17-2 ₅₁_＋3＝20-2 ₅₁ b2＝（ 13- 7）2_{＝13-2 91 ＋7＝20-2 91} c2＝（ 15- 5）2_＝15-2 ₇₅_＋5＝20-2 ₇₅ Q 91＞ 75＞ 51，又 a、b、c 皆負數b＜c＜a （B）8.已知 x、y 均為正整數，3 x －5 y＝15 且 2 x ＋3 y＝48，求 x-y＝？（A）199（B）189（C）179（D）169 Sol)   3 x －5 y ＝15……○１ 2 x ＋3 y ＝48……○２ ○１3：9 x －15 y＝45……○３ ○２5：10 x ＋15 y＝240…○４， ○３＋○４：19 x ＝285， x ＝15 ∴x＝225 ∴215＋3 y＝48，3 y＝18， y＝6，y＝36 x-y=189 （C）9.如果符號〔 x 〕表示 x 的整數部分，例如〔 2〕＝1，〔 5 〕＝2，則 7 ＋ 11＋ 13 ＋ 17 ＝？（A）10（B）11（C）12（D）13 Sol) ∵22＝4，32＝9，42＝16，52＝25， ∴求值式＝2＋3＋3＋4＝12 （C）10 已知 x、y 為整數，且 2 3 y 3 x 2 ＋－）（＋ 2 13 y 4 x 3 －－）（＝0，求 15x-4y 的平方根。（A）±3（B）±5（C）±7（D）±9 Sol)｜2x＋3y－3｜＋｜3x－4y－13｜＝0    13 y 4 x 3 3 y 3 x 2 ＝－＝＋ _ x＝3，y＝－1 ∴15x-4y＝15×3-(4×(-1))＝49 ∴15x-4y 的平方根=± 49 ＝±7