第 4 章 布林代數
4-1
布林代數的特質
4-2 單變數定理
4-3
多變數定理
4-4
第摩根定理
4-5
布林代數與邏輯電路組合
=== 第 4 章 布林代數 ===EXIT 4-2
4-1 布林代數的特質
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5線上影片連結補充教材
•
組合邏輯簡介(布林代數)
EXIT 4-3
4-1 布林代數的特質
4-1 4-2 4-3 4-4 4-51.若 X ≠ 1 ，則 X = 0 ；
2.若 X ≠
0 ，則 X = 1 。
4-1 布林代數的特質EXIT
4-4
EXIT
4-5
4-2 單變數定理
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT
4-6
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
試證明 X + = 1 。
EXIT
4-7
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
2.
EXIT
4-8
EXIT 4-9 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 如右圖所示，請寫出 E0 、 E1 兩致能控制端對 y 輸出的影響 。 4-2 單變數定理
EXIT
4-10
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
二輸入 XOR gate 中，當其輸入波形如下圖之 A 、 B
EXIT
4-11
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT
4-12
4-3 多變數定理
EXIT 4-13 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
X + YZ = ( X + Y ) ( X + Z ) 。可將其擴大運用：
可能出現的類型如下：
4-3 多變數定理EXIT
4-14
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
試證明定理
EXIT
4-15
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
3. 試簡化
EXIT
4-16
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
試簡化
EXIT
4-17
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
試簡化
EXIT
4-18
EXIT
4-19
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
試簡化
EXIT
4-20
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT
421
4-4 第摩根定理
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT
4-22
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT
4-23
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
試完成下列布林代數化簡。
EXIT
4-24
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT 4-25
4-5
布林代數與邏輯電路組合
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5組合順序與一般代數運算類似，要領如下：
1. 變數本身的補數第一優先。
2. 補數底下的邏輯運算或括號內的邏輯運算次之。
3. 先及（ AND ）最後才或（ OR ）運算。
4-5 布林代數與邏輯電路組合EXIT
4-26
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT 4-27 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 7. 試完成 的組合邏 輯電路。 4-5 布林代數與邏輯電路組合
EXIT
4-28
EXIT
4-29
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
試繪出 的邏輯電路。
EXIT
4-30
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT 4-31 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 (2) AND 閘的布林代數式 y = AB 由 (3) 欲以反及閘來取代其它邏輯閘的要領，就是利 用第摩根定理將邏輯閘中 的“或”運 算 以“及 ”運算來取代。 由 或 閘（ OR gate ）的 布林 代 數 式 4-5 布林代數與邏輯電路組合
EXIT
4-32
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT
4-33
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
試用 NOR 閘來取代 NOT 、 OR 和 AND 閘。
EXIT 4-34 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 (2) 或閘（ OR gate ）的布林代數 故 (3)用 NOR 閘來取代其它邏輯閘的要領，就是將 邏輯閘中的“及”運算用第摩根定理予以轉成 “或”運算。由及閘（ AND gate ）的布林代數 故
EXIT 4-35 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 9. 試以 NAND 閘來取代 NOR 。 反及閘（ NAND gate ）的布林代數 ，故 4-5 布林代數與邏輯電路組合
EXIT
4-36
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
如下圖所示電路，請寫出其輸出的布林代數。
EXIT
4-37
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT
4-38
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
10. 試求例 4-15 圖 (2) 輸出之布林代數。
EXIT 4-39 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
NAND 與 NOR 閘兩者皆具有“及”與“或”
運算的功能，而且執行速度又比 AND 和 OR 閘快
，因此成為組合邏輯設計的主流。
4-5 布林代數與邏輯電路組合EXIT 4-40 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
1.由最終輸出閘往回算，將電路分層
。2.將奇數層的 NAND 閘改成具補數輸入的 OR 閘
（即 ），
奇數層的 NOR 閘改成具補數輸入的 AND 閘
（即 ）
。3.將奇數層輸入端的補數符號“。 ”與偶數層輸出
端的補數符號抵消。
4.由輸入端起逐級寫出各閘的輸出布林代數，直到最
終輸出為止。
EXIT
4-41
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
EXIT 4-42 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 試求下圖輸出之布林代數。 (1) 如下圖所示，將奇數層的 NAND 閘改成具補數 輸入之 OR 閘。 (2) 將偶數層的補數輸出與奇數層的補數輸入去掉 （抵消）。 (3) 如下圖所示，依序寫出各級輸出布林代數，得：
EXIT
4-43
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
故本電路相當於二輸入的 XOR 閘。
EXIT 4-44 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 11. 試求例 4-16 圖 (2) 之輸出布林代數。 如下圖所示將奇數層反或閘改成具補數輸入的及閘 ，可得：
EXIT 4-45 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 下圖電路相當於何種邏輯閘？ (1) 如下圖所示，將 3 號的 NOR 閘改為具補數 輸入的 AND 閘。 4-5 布林代數與邏輯電路組合
EXIT 4-46 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 (2)如圖所示，由輸入逐級寫出各閘輸出之 布 林 代 數式。留意 1 號閘輸出與 3 號閘輸入相互抵消。 而 2 號閘因無補數輸出可抵消，故 AND 輸出 會經反相再輸入 3 號閘。 (3)由輸出布林代數 故本電路相當於互斥或閘。
EXIT 4-47 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 12. 例 4-17 圖 (2) 所示電路相當於何種閘？ 如下圖所示將奇數層反及閘改成具補數輸入的或閘 ，可得： 4-5 布林代數與邏輯電路組合
