李政貴
臺北市立第一女子高級中學
九十一年度由行政院大陸委員會主辦， 為促進海峽兩岸數學與自然課程與教材統整 之交流，於九月十日在師大科教大樓所舉辦 的海峽兩岸數學與自然課程與教材統整教學 研討會，本人能參與這個盛會，並受邀做專 題報告，殊感榮幸 。下面從“數學難、數學 美”談“數學教育”是當天的報告內容稍加 補實而成 ，期先進與專家惠於指教。 今年 7 月 8 日北一女中數學科邀請中央 研究院數學研究所長劉太平院士給本校高一 新生作專題演講， 劉所長以“數學難、數學 美”為題，談“學數學”。我們常有的經驗 是：一群人在一起聊天時，談到中學階段學 數 學 的 經 歷 ， 七 八 成 以 上 的 人 都 是 一 場 夢 魘。有時候大夥兒在一起自我介紹時，說到： 我是數學老師，大家都會拋出異樣的眼光， 這是為什麼呢？數學真的這麼難學嗎？數學 的學習真的都是痛苦的經驗嗎？下面就以個 人學習的經驗和任教高中三十年的經歷與心 得，作個粗淺的分析和探討。首先談數學學 習，然後再以“數學難、數學美”來談“數 學教育”。一、教育、文化、文明的基本— 語文與
數學
我們可以說：凡是研究現實世界裡的數 量關係與空間形式的學問都是數學的內涵。 因此，我們可以說：“大自然中自有數學”。 數學的起源與應用比語言還要早，還要長。 數學與人類文明同樣地古老，有文明就必須 有數學，也可以說 ：缺乏數學就不可能有科 學的文明。不過，數學的表達，數學的傳遞 與應用必須靠語言與文字。因此，語文與數 學都是人類社會溝通不可或缺的工具。由下 面一個簡表可以說明語文與數學的重要性。 教育的傳承 語文 文化的發展 基本工具 文明的創造 數學 我們再以東西方兩項既有的事實與現況 來看：孔子的教育內涵:(六藝)
禮、樂、射、育、書、數 其中：書與數就是語文與數學美國進大學必須考 S.A.T.(Scholatic
Aptitude Test)
主要的科目： 語文、數學 由此可知東西方對知識的基本認知是一 樣的。東西方對人類生活與社會的發展的基 本認識是一樣的，既語文與數學是不可或缺 的。理性與感性的思想概念，都必須透過語文的傳述和表達，而對大自然與生活周遭的 現象，則需藉著數學來表達。 如：萬有引力 12 2 R M M G F= 如：自由落體運動 S = 2 1 gt2 如：人口的成長 p(t)=kat 義大利物理兼數學家伽利略曾說：自然 界中偉大的書是用數學語言寫成的。物理定 律與科學的許多最基本的原理，甚至於經濟 學的基本原理，如：萬有引力、自由落體運 動都是用數學來表達，沒精確的數學是難以 表達的。因此，數學創造科學的文明是無可 置疑的。
二、 數學難、數學難學
1.眾人都說數學難— 數學本質是難的
(a)概念的認知是難的 數學新概念的認識，必須利用自己已有 的知識與經驗作為建構的基礎，並與具 體化的事物相結合，方能確實的體認新 的概念，並應用之。 如：函數概念：當我們介紹了函數的概 念之後，我們常會請同學們舉例說明。 可 是 ， 同 學 們 的 回 答 常 會 有 很 大 的 困 惑，或不知所云？雖然函數的概念，函 數的定義，可以用簡短的一些字或幾句 話來表達，可是它的內涵卻不是一時間 可完全體認的。 (b)理論的建立是難的 我們從下列兩個歷史性的發展來說明 b-1 從解方程式的發展歷史看：（注 1） (1)一次方程式的解 希臘數學家 Diophantus of Alexandria （約西元 250 至 275 年），在〝算術〞 書中，詳述了一次式的解法。 (2)二次方程式的解 阿拉伯數學家 al-Khowarizmi Moham- medibn Musa （約 783 至 850 年）在 820 年左右的〝代數學〞書中，系統 地給出解二次方程式的一般公式。 (3)三次四次方程式的解 義大利數學家 Tartaglia Niccolo （約 1499 至 1557 年）在 1541 年得到一 般 三 次 式 的 解 法 。 義 大 利 數 學 家 Cardano （約 1501 至 1576 年）在 1545 年出版〝大法〞一書中公開了 三次與四次方程式的一般解。（四次 式 其 實 是 Cardano 的 學 生 Ferrari （1522 至 1565 年）求得一般解） (4)五次及五次以上方程式挪威數學家 Niels Henrik Abel（1802 至 1829 年）在 1824 年証明〝一般 五次方程式的不可解性〞（即一般的 五次方程式不可能用根式求解） 從上面四個階段的發展歷程，至少經 歷 了 近 一 千 八 百 年 的 時 間 才 較 完 整 的 處 理 一 般 方 程 式 的 解 的 理 論 基 礎。所以，我們可以說：數學理論確 實是不容易的。 b-2 從求面積的發展歷史看：（注 2） 如下列的圖形：曲線 y=f（x）下與 x 軸 所圍面積 (1)利用中國古書〝周髀算經〞(大約是 西漢時代,公元前一百多年之作)中的
勾股定理與古希臘數學家 Pythagoras ( 約 公 元 前 六 世 紀 ) 的 畢 氏 定理即可求得 y=x 下的面積 (2)希臘數學家阿基米德 Archimedes（西 元 前 287 至 212 年）利用 〝窮盡法〞 求 得 y=x2 下 的面積 (3)英國數學家牛頓 Isaac Newton（ 1642 至 1727 年）、德國數學家來布尼茲 Gottfried Wilhelm Leibniz（ 1646 至 1716 年）發明了〝微積分 〞之後， 才求出 y=x3，y=x4的曲線下面積， 也解決了 n x y= 曲線下的面積。而旋 轉體積與表面積至 20 世紀才解決。 由上面三個階段的發展歷史我們看到： 至少經歷了兩千年以上，才較完整的解決曲 線所圍的區域面積。 所以，從歷史的沿革可以看到數學理論 是難的，也就是數學的本質是難的。
2.數學學習之道—
數 學 難 學 主 要 不 在 本 質的困難，而是基礎觀念學得太快，無法 去深刻體認，然後去克服學習數學的難。 下面提出個人對學習數學的基本看法： (a)在無疑處存疑：這是追根究底與研究的 原動力。 一般人在學習之際，常直接接受習以為 常的東西，而不質疑它是否為必然或可 行。偉大的思想家、科學家常在無疑處 存疑，慎密地去思維，以發現新的問題 追根究底，解決問題。 如：劉太平 所長小學二年級學九九乘法 的 經 驗 談 中 ， 5×9=45 =9×5， 56 78 4368 78 56× = = × ，而a×b=b×a 必 成 立 嗎 ？ 作 乘 法 時 ， 兩 個 數 互 換，其乘積的結果，必然相同嗎？ 乘法運算必然可交換嗎？為了這樣 的問題，他被老師罰坐在教室裡一 個下午。後來在矩陣代數與幾何變 換中，對於乘法運算的不可交換性 就完全解決了他的疑惑。事實上， 很多地方，乘法是不可交換。見微 知著，劉所長在數學上的成就不是 偶然的。 愛因斯坦 （Einstein）三歲時還不會 講話，九歲時還結結巴巴。四、五 歲時，有一次臥病在床，對爸爸送 y=x4 y=x3 y=x2 y=x y=x y=x2 y=x4 y=x3給他的羅盤質疑：「一定有什麼東西 深 深 地 隱 藏 在 事 情 後 面 」。 一 連 幾 天 ， 他 都 想 知 道 ：「 為 什 麼 它 能 指 南？」小時候，他看到地上的螞蟻 在忙碌地搬運食物時，他就會觀察 半天不動，在那兒細聲的對螞蟻說 話。同 學 們 就 給 他 取 個 外 號 ：「 方 塊」，罵他笨頭笨腦的；但他卻是廿 世紀科學界的代表人物。1921 年 11 月 10 日榮獲瑞典科學院頒發的物 理諾貝爾 獎（注 3），最引人注意的 是他提出相對論的質量與能量互相 轉換的質能關係： E＝m c2 他常告誡學生「不要選擇輕鬆的途 徑」、「研究的目的在追求真理」。 (b)欲速則不達 學數學要慢，不能稍遇困難就想用簡便 方法而忽略它的根本。越是基礎性的概 念，越要花更多時間，才能徹底的瞭解 其 根 本 的 道 理， 進 而 類 比 之 ，並 應 用 之。 如：時鐘問題，流水問題，兩個的本質 都是賽跑的追趕問題。而雞兔問題、父 子年齡問題也是同質的代數題。這些問 題徹底的瞭解，就能解決更一般的應用 問題了。 又如：體積的應用 (9 等分蛋糕) 圓 柱型蛋糕 9 等分，大家都覺得很容易， 但是要 9 等分方形蛋糕要如何？這是不 是 很 難 呢 ？ 只 要 想 一 想 體 積 的 原 理 就 可知道了。 (c)同儕同好的互動學習 同儕互動可以解除疑惑、增進情誼，同 好激勵更能激盪出智慧的火花。 如：懸疑三百多年的「費瑪最後定理」 （Fermat’s Last Theorem）
費瑪（1601-1665 生於法國波蒙特）大 約在 1637 年他珍藏的奧幻特斯所著的 《算術》一書的某一頁邊寫下：… 除 了平方之外，一個 n 次方數不能表示成 兩個 n 次方數的和（ n n n z y x + = ）。我已 經 為 這 個 命 題 找 到 了 一 個 非 常 美 妙 的 證明，然而這裡的篇幅不足以讓我寫下 這個證明。 費瑪最後定理先後經過了尤拉、高斯、 傅立葉、庫麥拉梅、科西的努力，尚無 法解決。到了 90 年代，再由龐加萊、 莫德爾的努力，亦未能克服困境。三百 多 年 來， 數 學 家 們 前 仆 後 繼 地 為 解 決 「費瑪最後定理」而努力；到了 1950 年後， 谷山豐、志村五郎提出關鍵性的 谷山 -志村猜測，再梅 哲、弗 維、里貝 特在掀起研究的高潮；最後， 1993 年 6 月 23 日 ， 英 國 數 學 家安 德 魯 懷 爾 斯 (A.Wiles)在 一 個 研 討 會 上 宣 稱 破 解 了 谷 山 - 志 村 測 ， 但 有 一 些 邏 輯 上 的 漏 洞。直到 1995 年，懷爾斯在 5 月出版 的數學年鑑（Annals of Mathematics ） 上刊登了新的證明，才被確認解決了費
c c c c b b a b a b a a 瑪最後定理。這份榮耀不僅是 懷爾斯的 成就，更是為解決這問題而努力的數學 家所共有的。 如：錢展望老師指導學生的例子： 錢老師早期是小學的體育老師，可 是他對數學教學很有興趣，他去應 徵中學數老師；進入湖北省武漢市 武 鋼 三 中 後 ， 除 了 一 般 的 教 學 之 外，還從事數學超常訓練（即資優 學生輔導課）；錢老師指導學生時， 提供充分的問題給學生思考，鼓勵 學生互相討論－常有一些問題是經 由學生討論之後才得到解答，在錢 老師的指導下他的學生因互動學習 而培養了超強的實力，在 1997 年及 歷年來 IMO 國手選拔中都有非常 傑出的表現。錢老師的教學更是受 了大家的讚揚與肯定，因此，錢老 師被任命為中國數學奧林匹克高級 教練員。
三、數學美
1.數學的表達簡明清晰精確，而且有易
懂之美
如：商高定理（畢氏定理） 若直角三角形 ABC 中，∠ C=90°，則 c2=a2+b2。 由右圖即可知 c2=4(1/2)ab+(b -a)2 即 c2=a2+b2 同樣地，(b+a )2=4(1/2)ab + c2 亦即 c2=a2+b2 畢氏定理將幾何與代數緊密的結合，它 是解決面積問題的根本，也是處理距離與長 度的基石。不論在東方或西方，不論在中國、 希臘、印度、古埃及、巴比倫，都對它有深 入且廣泛的研究。 又如下面兩個代數不等式： (1)若 a,b,c,d 為四個正數，且 a/b < c/d ，則 a/b < (a+c)/(b+d) < c/d。 (2)若 0 < x <1，則 x (1-x) ≦ 1/4。 利用代數推論需要花點功夫，但用幾何 圖形表示就不言而喻，如下：2.數學有規律、有變化、是多采多姿
的，而且有勻稱之美
如：幾何中， G 為△ABC 的重心時 ， 0 = + +BG CG AG ， 同 樣 的 ， G 為 四 面 體 ABCD 的重心時，AG+BG+CG+DG=0。 如 ： 科 西 不 等 式 （ Cauchy-Schwarz inequality ）u ,v為兩向量，則 u⋅v≤ uv 在處 理不等式時，它扮演著重要的角色。 應用： 設 p1，p2，﹒﹒ ，pn為 1，2，﹒﹒， n 的任一排列 試証 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 1 + − > + + + + + + + + − − − n n p p p p p p p p L n n n n 。 又如：直線 A B 與直線 CD 相交於 P，而 圓 O 交直線 A B 於 A､ B，交直線 CD 於 C､ D 時 AP×BP=CP×DP 不論 P 在任何位置。 a d c a d b 1-x 1-x x 1-x x 1-x x x（A 與 B､ C 與 D 均可重疊）
3.數學難，但是如果能深刻的體認它的
難，就會欣賞到它的美。
數學常藉著概念符號與關係來表達抽象 的東西，若沒有真正理解，它會是很冰冷而 且不容易體會的，正如古詩詞是抽象的。但 當我們領略到它的意境，那結構之美，文辭 之美，便浮現在腦海裡，正如同一幅藝術精 品，呈現在眼前。 諾貝爾物理獎得主李政道博士在為前中 研院院長吳大猷九十歲大壽（科學與藝術） 的演講中，以藝術大師李可染的〝鬥牛圖〞 （ 如 文 後 之 附 件 ） 來 解 說 〝 高 能 物 理 的 世 界〞。 李政道院 士 對 〝 鬥 牛 圖〞（如文後之附 圖）: 圖中的兩隻牛看來只是頂在一起，但兩 對牛角所蓄積的位能，卻是驚人的。這就是 〝相對論〞的重離子碰撞，核子如重牛，對 撞出新生態。 他也以南宋詞人蔣捷的〝一剪梅〞（原題 「舟過吳江 」）中的一段詞（如下文）— 「流 光容易把人拋，紅了櫻桃，綠了芭蕉」說： 在藝術裡，光是留不住時間的。他也藉此推 導出〝時間與速度的關係〞。 一剪梅： 一片春愁待酒澆，江上舟搖，樓上帘招。 邱娘渡與泰娘橋，風又飄飄，雨又蕭蕭。 何日歸家洗客袍，銀字笙詞，心字相燒。 流光容易把人拋，紅了櫻桃，綠了芭蕉。 在數學上，戰國末年時公孫龍所提的一 句話： 一尺之棰，日取其半，萬世不竭。 更可說是「極限」最貼切的註解。 數學固然起源於人類對日常生活現象的 觀察，但它絕不簡單，有一定的難度，需要 時間去演練、把玩並體會它的意涵。德國數 學家閔可夫斯基（H﹒Minkowski）將數論比 喻為： 以柔美的旋律演奏出強而有力的數論音 樂。 在數論中有很多的性質是那麼地明顯， 可是要證明它們卻異常地困難，正是這種可 望又不可得的美麗的真理吸引了眾多的天才 數學家，使他們讚嘆，使他們傾心。數學本 質是難的，所以學數學要有一定的進度，要 不時的感覺它，深刻地體認它，才能發現數 學的美就在其中，並享受做數學苦盡甘來後 的樂趣。簡單、清晰、易懂、對稱就是數學 之 美 。 法 國 數 學 家 龐 加 萊 （ Jules Henri Poincare ）說：數學家們非常重視他們的方法 和理論是否優美，這並非華而不實的作風。 那麼，到底是什麼使我們感到一個解答、一 個證明是優美的呢？那就是各個部分之間的 和諧、對稱、恰到好處的平衡。換句話說井 然有序，統一協調，從而使研究者對整體以 及細節能有清楚的認知和理解，這正是產生 偉大成果的地方。四、數學教育
數學是一門思維的科學，也是一種文化 和藝術。數學知識和方法具有基礎性、工具性、和廣泛的應用性。數學學習的目標首重 培養學習者的思維能力與解決問題的能力與 創造力；因此數學教育的理念與實踐，就要 針對學習者的目標。
1.中學數學教育的目標基本上有下列
幾項：
(a)使學生具有正確的邏輯思維能力 (b)使學生具有一定的空間想像能力 (c)使 學 生 具 有 正 確 迅 速 的 運 算 及 推 理 及 診錯能力 二十世紀的八○年代，美國數學教育界 大力倡導〝問題解決（problem solving）〞 的理念與口號。〝問題解決〞的內涵不僅包括 了綜合已學的知識與方法去解決問題，更需 重 視 創 造 力 的 開 發。〝 問 題 解 決〞的核心工 作，不在於各種特殊的解題方法與技巧，而 應該重視一般性的思維能力的培養。國民教 育階段，數學教育的目標是發展學生對〝數〞 的感覺，也就是使學生具有應用數字來表示 具體的〝數據〞與〝量〞的關係的能力，以 及 能 夠 判 定 各 種 算 術 運 算 的 意 義。 中 學 階 段，數學教育的目標在發展學生對〝符號〞 的感覺，使學生具有應用符號來表示數學問 題與解決問題的能力。 科技資訊時代，電 腦是強而有力的工具，但人不能完全依賴電 腦而沒有計算能力。今年七月當選中央研究 院士的數學家姚鴻澤教授，就是靠著演算能 力，花一年左右的時間，解開了現今一位數 學大師與研究助理利用最先進的電腦並花了 多年時間仍無法 解決的「相對論性的物質穩 定性」的數學式。2.數學教育的內涵
數學教育的內涵，至少包含下列幾項最 基本的內容：(a)數學課程與教材 (b)數學教學法與原理、原則 (c)學生的學習與身心發展 (d)教學評量 (e)教育制度與政策 根 據 教 育 主 管 當 局 訂 定 的 課 程 綱 要 (或 課程大綱)，選擇適當的教材，作為教學活動 與學生學習的具體素材。依據數學教學的原 理原則，引導學生正常的學習，並注意學生 身心發展與個別輔導，充分發揮教師的責任 心與專業自主的能力。在教學的過程中，藉 著各種必要的評量方式，瞭解學生學習的成 就 ， 以 診 斷 學 生 學 習 的 困 難 給 予 適 時 的 輔 導。除外，完善的教育制度與政策更是教育 成敗的原動力。
3.目前國內數學教育問題的癥結
國內高等教育學校不斷的擴充，一般大 學也廣設教育學程，以培育中小學師資，並 提供教師進修的機會，因此，中小學師資素 質普遍提昇。但是教學的過程中仍存在一些 傳統上的缺失： (a)教材進度操之過急，不能因材施教 (b)考試文化與補習現象 (c)數 學 教 育 理 論 研 究 與 教 學 實 踐 不 能 契 合 (d)急功近利，缺乏宏觀視野 姚鴻澤教授在當選院士後，建議學生： 多接觸各學科，慢慢找到自己的方向，別跟著潮流走，去選擇自己的方向。他鼓勵理科 學生，要多接觸文學與藝術，因為「真正的 科學家，對文化有影響，若對文化不瞭解， 眼界會狹窄。」 今年七月當選院士的生物統計學家梁賡 義教授說高中生物唸得很差，在清華大學數 學系四年， 也沒有生物課程。但他認為：組 合統計應該可以實際應用，深入生活，赴美 深造攻讀生物統計，踏入了生物統計領域。 他建議學生：數學是作生物統計很重要的工 具，對科學要有好奇心。要多看書，增加人 文素養。 前國立暨南國際大學校長李家同博士， 在 一 次 頒 獎 典 禮 中 ， 闡 釋 科 學 獎 競 賽 的 精 神，那就是創意建築在學問之上，對人類科 學有極大貢獻的人，都是飽學之士，唯有不 斷的讀書，吸取新知，開拓視野，未來的創 意才比現在的創意更有價值 。 教育的目的是發揮人類的天賦，服務全 人類。科學教育不只是創造發明，更要人文 關懷。高中階段，數學確實學好，數學與自 然科學的統整是很自然的。生物、物理、化 學、統計都越來越依賴數學。把數學學好， 並加強人文、藝術的素養，才能培養出宏觀 的視野，並建立研究發展的良好基礎。不僅 如此，社會科學教育也不能脫離數學與自然 科 學 教 育 ， 否 則 就 不 能 適 應 多 元 社 會 的 需 要。教育要重視本質，不能本末倒置。否則 不僅事倍功半，更可能造成 教育的反效果。
五、結語
1.有志者事竟成
(1)華羅庚（ 1905 年生於江蘇省）小時候，因 父親家業不順，生活窮困，十歲進小學， 但個性寡言少歡的他，雖然肯動腦筋，但 平時喜歡到處遊蕩，以致功課不佳，小學 沒拿到畢業證書。進初中後，初二開始勤 奮讀書，漸露數學天分。（此時，就發現 並 指 正 一 篇 大 學 數 學 教 授 文 章 中 錯 誤 的 解答。）初中畢業，就讀於私立中華職業 教育社附設補習學校。兩年後，因家裡沒 錢供他繼續讀書，於是輟學回家幫助父親 經營小店生意。這時候，由於他對數學產 生 強 烈 的 興 趣 ，所 以 勤 奮 的 自 習 數 學 。 1929 年 12 月發表了第一篇論文〝Sturm 氏 定理〞的研究。1931 年被清華大學數學系 主 任 延 攬 至 清 華 大 學 數 學 系 當 助 理 、 助 教。一年後，就升任講師正式開課。1936 年 7 月榮膺國民政府徵派到英國深造，到 倫敦的劍橋大學進修，不到三年就學成歸 國，並被譽為二十世紀四○年代全世界五 大 頂 尖 數 學 家 之 一 。 華 羅 庚 憑 自 己 的 意 志，追求心中的理想，立身世界頂尖數學 家之林，堪為世人的典範。 (2)趙忠堯（1902 至 1998）（第一屆中研院院 士，也是中國科學院院士）自幼對數理化 十分感興趣，中學畢業後，進入南京高等 師範學校就讀化學系， 1924 年轉至東南大 學，而後，到美國追隨諾貝爾物理獎得主 密立根博士作研究。1931 年返國後，任教 清華大學、雲南大學、西南大學。 1945 年 應聘為重慶中央大學物理系主任，也建立原子研究室。1946 年 6 月，應邀參觀美國 在太平洋的比基尼島上的原子彈試爆。於 是 前 往 美國 實 地 瞭 解 核 子 物 理 研 究 的 新 進展，並購買核物理研究設備。為了獲得 加速度和製造的細節知識，出生入死穿梭 在各研究機構。返國時，在「威爾遜總統 號 」 艦 上 ， 被 駐 日 美 軍 最 高 司 令 逮 捕 入 獄。獲釋後， 1950 年底，帶著大批加速器 資料和關鍵設備回到中國大陸。五年後， 完成了中共第一台質子靜電加速器，展開 中國原子物理研究的新紀元，並奠定了核 子高能物理研究的基礎。
