104 年國中數學教育會考 數學科難題詳解
21. 座標平面上,二次函數 y=-x2+6x-9 的圖形的頂點為 A,且此函數圖形與 y 軸交於 B 點。若 在此函數圖形上取一點 C,在 x 軸上取一點 D,使得四邊形 ABCD 為平行四邊形,則 D 點坐 標為何?
(A) (6 , 0) (B) (9 , 0) (C) (-6 , 0) (D) (-9 , 0 詳解:
二次函數 y=—x2+6x—9
→ y=—(x—3) 2,可知頂點為(3,0),對稱軸為 x=3,開口向下 將 x=0 代入,可知與 y 軸交點為 B(0, —9)
以 x=3 為對稱軸,B(0, —9)的對稱點是(6,—9),即為 C 點。
因為平行四邊形對邊等長,C 點位置為 B 點往右移 6 單位,
故 D 點位置也是 A 點往右移 6 單位,即(9,0),故選(B)
22. 已知甲校原有 1016 人,乙校原有 1028 人,寒假期間甲、乙兩校人數變動的原因只有轉出與轉 入兩種,且轉出的人數比為 1:3,轉入的人數比也為 1:3。若寒假結束開學時甲、乙兩校人 數相同,則乙校開學時的人數與原有的人數相差多少?
(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 18 詳解:
設甲校轉出 r 人,乙校轉出 3r 人、 甲校轉入 s 人,乙校轉入 3s 人 寒假後:
甲校人數為(1016—r+s)人 乙校人數為(1028—3r+3s)人 寒假後兩校人數相同:
1016—r+s=1028—3r+3s 化簡得 r—s=6
乙校開學前後人數差:
1028—(1028—3r+3s)=3(r—s)=18,故選(D)
23. 圖(十五)為兩正方形 ABCD、BEFG 和矩形 DGHI 的位置圖,其中 G、F 兩點分別在 BC 、 EH 上。若 AB =5, BG =3,則△GFH 的面積為何?
圖(十五) (A) 10 (B) 11 (C) 15
2 (D) 45 4
詳解:
DGHI 為矩形→∠DGC+∠CGH=90°
BEFG 為正方形→∠FGH+∠CGH=∠FGC=∠FGB=90°
→∠DGC+∠CGH=∠FGH+∠CGH
→∠DGC=∠FGH
△DGC 與△HGF 中:
∠DGC=∠FGH
∠HFG=∠DCG=90°
所以△DGC 與△HGF 相似(AA 相似)
-GC=- BC —-
BG=- AB—-
BG=3
-GF =- BG=3
-CD=- AB=5
相似三角形對應邊成等比例:
-GF :- GC=-
FH :- CD
3:2=- FH :5
-FH =15 2
△GHF=1 1 15 3 45
2FH GF 2 2 4 ,故選(D)
24. 將甲、乙、丙三個正分數化為最簡分數後,其分子分別為 6、15、10,其分母的最小公倍數為 360。判斷甲、乙、丙三數的大小關係為何?
(A) 乙>甲>丙 (B) 乙>丙>甲 (C) 甲>乙>丙 (D) 甲>丙>乙
詳解:
設甲、乙、丙分別為6 a、15
b 、10 c
a、b、c 的最小公倍數為 360,將 360=23×32×5 因為甲、乙、丙為最簡分數,所以:
甲的分母因數不會有 2 和 3,a=5,甲=6 432 5 360 乙的分母因數不會有 3 和 5,b=23,乙=15 675
8 360 丙的分母因數不會有 2 和 3,c=32,丙=10 400 9 360
(b 不能為 2 或 4,否則最小公倍數不會是 360,同理 c 不能為 3) 乙>甲>丙,故選(A)
25. 圖(十六)的灰色小三角形為三個全等大三角形的重疊處,且三個大三角形各扣掉灰色小三角形 後分別為甲、乙、丙三個梯形。若圖中標示的∠1 為 58°,∠2 為 62°,∠3 為 60°,則關於甲、
乙、丙三梯形的高的大小關係,下列敘述何者正確?
(A) 乙>甲>丙 (B) 乙>丙>甲 (C) 丙>甲>乙 (D) 丙>乙>甲 詳解:
1 三個全等大三角形,即三角形面積相等
甲面積+重疊處=乙面積+重疊處=丙面積+重疊處
→ 甲面積=乙面積=丙面積
2 因為甲、乙、丙為梯形,可知∠4=60°、∠5=62°、∠6=58°
→ 丙上>甲上>乙上 (大角對大邊)
→ 丙下>甲下>乙下 (大角對大邊) 3 丙上+丙下 > 甲上+甲下 > 乙上+乙下
4 甲面積=乙面積,依照梯形面積公式
( ) ( )
2 2
甲上 甲下 甲高 乙上 乙下 乙高
因為甲上+甲下 > 乙上+乙下,故乙高>甲高
5 甲面積=丙面積,依照梯形面積公式
( ) ( )
2 2
甲上 甲下 甲高 丙上 丙下 丙高 因為丙上+丙下 > 甲上+甲下,故甲高>丙高
得乙高>甲高>丙高,故選(A)