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104 年國中數學教育會考 數學科難題詳解

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Academic year: 2022

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(1)

104 年國中數學教育會考 數學科難題詳解

21. 座標平面上,二次函數 y=-x2+6x-9 的圖形的頂點為 A,且此函數圖形與 y 軸交於 B 點。若 在此函數圖形上取一點 C,在 x 軸上取一點 D,使得四邊形 ABCD 為平行四邊形,則 D 點坐 標為何?

(A) (6 , 0) (B) (9 , 0) (C) (-6 , 0) (D) (-9 , 0 詳解:

二次函數 y=—x2+6x—9

→ y=—(x—3) 2,可知頂點為(3,0),對稱軸為 x=3,開口向下 將 x=0 代入,可知與 y 軸交點為 B(0, —9)

以 x=3 為對稱軸,B(0,9)的對稱點是(6,9),即為 C 點。

因為平行四邊形對邊等長,C 點位置為 B 點往右移 6 單位,

故 D 點位置也是 A 點往右移 6 單位,即(9,0),故選(B)

(2)

22. 已知甲校原有 1016 人,乙校原有 1028 人,寒假期間甲、乙兩校人數變動的原因只有轉出與轉 入兩種,且轉出的人數比為 1:3,轉入的人數比也為 1:3。若寒假結束開學時甲、乙兩校人 數相同,則乙校開學時的人數與原有的人數相差多少?

(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 18 詳解:

設甲校轉出 r 人,乙校轉出 3r 人、 甲校轉入 s 人,乙校轉入 3s 人 寒假後:

甲校人數為(1016r+s)人 乙校人數為(10283r+3s)人 寒假後兩校人數相同:

1016r+s=10283r+3s 化簡得 rs=6

乙校開學前後人數差:

1028(10283r+3s)=3(rs)=18,故選(D)

(3)

23. 圖(十五)為兩正方形 ABCD、BEFG 和矩形 DGHI 的位置圖,其中 G、F 兩點分別在 BC 、 EH 上。若 AB =5, BG =3,則△GFH 的面積為何?

圖(十五) (A) 10 (B) 11 (C) 15

2 (D) 45 4

詳解:

DGHI 為矩形→∠DGC+∠CGH=90°

BEFG 為正方形→∠FGH+∠CGH=∠FGC=∠FGB=90°

→∠DGC+∠CGH=∠FGH+∠CGH

→∠DGC=∠FGH

△DGC 與△HGF 中:

∠DGC=∠FGH

∠HFG=∠DCG=90°

所以△DGC 與△HGF 相似(AA 相似)

-GC=- BC —-

BG=- AB—-

BG=3

-GF =- BG=3

-CD=- AB=5

相似三角形對應邊成等比例:

-GF :- GC=-

FH :- CD

3:2=- FH :5

-FH =15 2

△GHF=1 1 15 3 45

2FH GF  2 2   4 ,故選(D)

(4)

24. 將甲、乙、丙三個正分數化為最簡分數後,其分子分別為 6、15、10,其分母的最小公倍數為 360。判斷甲、乙、丙三數的大小關係為何?

(A) 乙>甲>丙 (B) 乙>丙>甲 (C) 甲>乙>丙 (D) 甲>丙>乙

詳解:

設甲、乙、丙分別為6 a15

b10 c

a、b、c 的最小公倍數為 360,將 360=23×32×5 因為甲、乙、丙為最簡分數,所以:

甲的分母因數不會有 2 和 3,a=5,甲=6 432 5 360 乙的分母因數不會有 3 和 5,b=23,乙=15 675

8 360 丙的分母因數不會有 2 和 3,c=32,丙=10 400 9 360

(b 不能為 2 或 4,否則最小公倍數不會是 360,同理 c 不能為 3) 乙>甲>丙,故選(A)

(5)

25. 圖(十六)的灰色小三角形為三個全等大三角形的重疊處,且三個大三角形各扣掉灰色小三角形 後分別為甲、乙、丙三個梯形。若圖中標示的∠1 為 58°,∠2 為 62°,∠3 為 60°,則關於甲、

乙、丙三梯形的高的大小關係,下列敘述何者正確?

(A) 乙>甲>丙 (B) 乙>丙>甲 (C) 丙>甲>乙 (D) 丙>乙>甲 詳解:

1 三個全等大三角形,即三角形面積相等

甲面積+重疊處=乙面積+重疊處=丙面積+重疊處

→ 甲面積=乙面積=丙面積

2 因為甲、乙、丙為梯形,可知∠4=60°、∠5=62°、∠6=58°

→ 丙>甲>乙 (大角對大邊)

→ 丙>甲>乙 (大角對大邊) 3 丙+丙> 甲+甲> 乙+乙

4 甲面積=乙面積,依照梯形面積公式

( ) ( )

2 2

    

甲上 甲下 甲高 乙上 乙下 乙高

因為甲+甲> 乙+乙,故乙>甲

5 甲面積=丙面積,依照梯形面積公式

( ) ( )

2 2

    

甲上 甲下 甲高 丙上 丙下 丙高 因為丙+丙> 甲+甲,故甲>丙

得乙>甲>丙,故選(A)

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