106 年國中數學教育會考 數學科難題詳解
22 已知坐標平面上有兩個二次函數 y＝a(x＋1)(x－7)、 y＝b(x＋1)(x－15)的圖形，其中 a、b 為整數。
判斷將二次函數 y＝b(x＋1)(x－15)的圖形依下列哪一種方式平移後，會使得此兩圖形的對稱軸重 疊？
(A) 向左平移 4 單位 (B) 向右平移 4 單位 (C) 向左平移 8 單位 (D) 向右平移 8 單位
詳解：
y=a(x+1)(x-7)，可求得通過(—1,0)和(7,0)兩點 (—1＋7)/2＝3，可知對稱軸為 x＝3
y=b(x+1)(x-15)，可求得通過(—1,0)和(15,0)兩點 (—1＋15)/2＝7，可知對稱軸為 x＝7
將 x＝7 向左平移 4 單位會與 x＝3 重疊，故選(A)
23 圖(十一)為阿輝、小薰一起到商店分別買了數杯飲料與在家分飲料的經過。
圖(十一)
若每杯飲料的價格均相等，則根據圖中的對話，判斷阿輝買了多少杯飲料？
(A) 22 (B) 25 (C) 47 (D) 50
詳解：
依題意，兩人共花費 2000 元 小薰花費 1000＋120＝1120 元 阿輝花費 1000—120＝880 元
小薰比阿輝多買 6 杯，這 6 杯的價格是 1120—880＝240 元 1 杯的價格是 240/6＝40 元
阿輝買的杯數是 880/40＝22 杯，故選(A)
24 如圖(十二)，水平桌面上有個內部裝水的長方體箱子，箱內有一個與底面垂直的隔板，且隔板左 右兩側的水面高度分別為 40 公分、50 公分。今將隔板抽出，若過程中箱內的水量未改變，且不 計箱子及隔板厚度，則根據圖中的數據，求隔板抽出後水面靜止時，箱內的水面高度為多少公分？
圖(十二)
(A) 43 (B) 44 (C) 45 (D) 46
詳解：
如圖，設深度為 x 公分。
y＝130＋70—90＝110
右邊體積為 50×(70＋90)×x/2＝4000x 左邊體積為 40×(130＋110)×x/2＝4800x 拿掉隔板後底面積＝200x
水面高度＝(4000x＋4800x)/200x＝44(公分)，故選(B)
25 如圖(十三)，某計算機中有 、 、 三個按鍵，以下是這三個按鍵的功能。
1. ：將螢幕顯示的數變成它的正平方根，例如：螢幕顯示的數為 49 時，按下 後會變成 7。
2. ：將螢幕顯示的數變成它的倒數，例如：螢幕顯示的數為 25 時，按下1/x 後會變成 0.04。
3. ：將螢幕顯示的數變成它的平方，例如：螢幕顯示的數為 6 時，按下 後會變成 36。
若螢幕顯示的數為 100 時，小劉第一下按 ，第二下按 ，第三下按 ，之後以 、 、 的順序輪流按，則當他按了第 100 下後螢幕顯示的數是多少？
圖(十三)
(A) 0.01 (B) 0.1 (C) 10 (D) 100
詳解：
原始數字：100 第 1 次按：10 第 2 次按： 1
10 第 3 次按： 1
100 第 4 次按： 1
10 第 5 次按：10 第 6 次按：100
第 7 次按：10，跟第 1 次相同 第 8 次按： 1
10，跟第 2 次相同
可知每 6 次為 1 循環，只要將按鍵數字除以 6，看餘數即可知道與第幾次數字相同 按 100 次：100/6＝16，餘數 4
故與第 4 次相同，數字為 1
10＝0.1，選擇(B)
26 圖(十四)為兩正方形 ABCD、BPQR 重疊的情形，其中 R 點在 AD 上， CD 與 QR 相交於 S 點。
若兩正方形 ABCD、BPQR 的面積分別為 16、25，則四邊形 RBCS 的面積為何？
圖(十四)
(A) 8 (B) 17 2 (C) 28
3 (D) 77 8
詳解：
正方形 ABCD 面積為 16→邊長為 4 正方形 BPQR 面積為 25→邊長為 5
2 2 2 2
5 4 3
AR BR AB 4 3 1 RD ADAR
△ABR 和△DRS 中：
∠A＝90°＝∠D
∠ABR＝90°—∠AR＝∠DRS 故△ABR 和△DRS 相似(AA 相似) 相似三角形對應邊成比例：
: :
: 3 1: 4 3
DS AR RD AB DS
DS
RBCS 面積＝正方形 ABCD 面積—△ABR 面積—△DRS 面積
2
1 3
4 3 4
4 2 2
16 6 3 8 95
8 77 8
故選(D)
