99學年度高一上第二次定期考

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定期考優良試題推介

99

學年度高一第二次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、 國立臺灣師範大學數學系洪有情教授、 國立臺灣師範大學數學系張幼賢教授、 國立臺灣師範大學數學系朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、 國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、 國立竹南高中李政豐老師、 國立臺中一中李吉彬老師、 國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、 報告撰寫:臺北市立北一女中蘇麗敏老師

一、前言

命題是一門藝術,如何切中綱要,難易適中,題數合理,又希望題目創新 且能考出有鑑別度的分數,真的很難。在審視20 所學校的月考試題時,大部分 學校的試題幾乎都注意到這些要求,可直接使用的優良試題指的就是切中課綱, 難易適中的試題,這類題目占最多數,似乎是英雄所見略同,但限於篇幅,同 一題型,我們只擇一為代表;除此之外,新穎創意考題更是看的出命題老師的 用心與努力。 除了優良試題、新穎創意考題外,因為這是99 課綱的第一年,仍有少數學 校忽略新舊課綱的不同,命題內容超出課綱範圍,我們整理成第四部分,以提 醒之!而審題過程中,經教授提醒,發現大家最常疏忽的小問題是問句的寫法 不適當,一般單選題的問句應是「下列何者...」,多重選擇的問句為「下列哪 些...」,而填充題大家常寫的問句「求餘式為 」 ,應改為「則餘式為 」 才是正確的表達,有鑒於此,我們已將不妥的問法,修改呈現;另外,審題 過程中,雖看不到整份試卷的配分,及考試時間,但仍有少數試卷令人憂心, 若是在正常的時間下,題數過多,絕對壓縮學生思考的時間,考不出思考力, 更易讓學生失去對數學的信心與熱忱。 這是第二份優良試題推介,學科中心掛上第一份試題的當週,赫然發現辦 公室的印表機中有第一份優良試題,似乎代表著高中老師對優良試題的關心, 大家想努力出一份好試題的心情是一樣的,因此希望每個被抽中的學校都能大

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方的提供試題,也期盼命題老師能以交流互相學習求進步的心看待之,透過學 科中心這個交流平台,讓高中數學的命題品質越趨於正常化。

二、基礎重要試題

1. ( 單 選 ) f x( )x32x2 x 2,則多項式 g x( )f f x( ( ))除以 x2 得的餘式為何? (1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 0 (5) 2 參考答案:(5) 出處:岡山高中 2. (單選)設 f x( )為實係數五次多項式,且 f(2 i) 0, f(1 2 ) 0 i;則函yf x( )的圖形與x軸有幾個交點? (1) 3 (2) 2 (3) 1 (4) 0 (5) 因 f x( )的不同而異。 參考答案:(3) 出處:苑裡高中 3. (多選)設 a, b, c 皆為整數,判斷下列哪些數絕對不可能是 4 3 2 3xaxbxcx 2 0的根? (1) 1 (2) -3 (3) 1 2  (4) 1 3  (5) 2 3 參考答案: (2)(3) 出處:新竹高中 4. (多選)設實係數多項式 f x( ) 2 x3bx2cx5,且已知複數 1 2i為方程f x( ) 0 的一根,試問下列敘述哪些正確? (1) f(1 2 ) 0 i(2) 2 2 5 xx 為 f x( )的因式 (3) f( 1)  f( 2) 0  (4) yf x( )的圖形與x軸只有一個交點 (5) yf x( )yx的圖形只有三個交點 參考答案: (2)(3)(4) 出處:新竹女中 建議修正:第(5)個選項涉及三次函數的圖形,學過微積分後再考較合適, 因此建議此小題可改為「yf x( )yx的圖形沒有交點」。

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5. (多選) f x( )為三次實係數多項式,若1 i 為 f x( ) 0 之一解,則下列哪些正 確? (1) f(3 i) 0 (2) 若 f(0) 0 f(2) 0 ,則 f(5) 0 (3) f(1 i) 0 (4) 沒有實數x滿足 f x( )x2 (5) 沒有實數x滿足 f x( ) 05 參考答案: (1)(2)(3) 出處:鳳新高中 6. (多選)考慮多項式方程式x4 5x2 6 0,下列敘述哪些正確? (1) 1, 2之間有實根 (2) 有四個實根 (3) 有四個虛根 (4) 四根之和為 5 (5) 四根之積為 6。 參考答案: (1)(2)(5) 出處:武陵高中 7. (多選)實係數多項式 f x( )ax3bx2cx d a ( 0),則下列哪些正確? (1) 若u v, 為實數,且uv之間存有 f x( ) 0 之根,則 f u( ) f v( ) 0 (2) 若2 3為 f x( ) 0 的一根,則2 3亦為 f x( ) 0 之根 (3) 若 f(2 3 ) 5 6 i   i,則 f(2 3 ) 5 6 i   i (4) f x( ) 0 至少有一實根 (5) yf x( )之圖形可能與x軸無交點。 參考答案:(3) (4) 出處:暖暖高中 8. (多選)關於整係數三次多項式 3 2 3 2 1 0 ( ) f xa xa xa x a 的敘述,下列哪些 正確? (1) 若2x4 f x( ),則2 a3, 4 a0 (2) 若 f(1  i) 2 3i,則 f(1  i) 2 3i (3) 方程式 f x( ) 0 至少有一實根 (4) 方程式 f x( ) 02 至少有一實根

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(5) 若 f(1 i) 0,則 f(2 i) 0 參考答案: (2)(3)(5) 出處:建國中學 9. (多選)下列哪些選項是正確的? (1)       1 2 5 10 i (2) 2 2 5 5     (3) 若a b ab , 皆為實數,則a b, 均為實數 (4) 若a b, 均為複數且2ai b 3i,則a 3, b2 (5) 若a b, 均為複數且a2b2 0,則a0, b0 參考答案: (1)(2) 出處:台南二中 10. 設 f x( )x2ax b 為二次實係數多項式函數,若函數圖形通過( 1, 4) 且圖 形與x軸不相交,則a的範圍為__________。 參考答案:   2 a 6 出處:金門高中 11. 已知實係數方程式x314x2ax b 0有兩個複數根為c i, 1 di (其中 c, d 是實數且d 0),則三次函數 f x( )x314x2ax b 的圖形與x軸的交點 坐標為__________。 參考答案:(12,0) 出處:金門高中 12. 設 f x( )x59x416x317x210x k , k為實數,且 f(7) 5,則k ____ ______。 參考答案:82 出處:小港高中 13. 已知方程式(x1)(x2  x 3) 2.01 0 恰有一實根 ,若n   n 1, n 整數,則n__________。 參考答案: -1 出處:小港高中 14. 若k為實數,且已知x2 (k i x )   (3 i) 0有一實數解 ,則另一虛數解 為__________。 參考答案:3 + i 出處:暖暖高中

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15. ,  , 2x34x2kx 4 0之三根,則k__________ 參考答案: -2 出處:明台高中 16. 對任意實數x,不等式(a2)x2(a2)x 2 0恆成立,a是實數,則a 範圍為__________。 參考答案:   6 a 2 出處:台中二中 17. 設實係數方程式9x4ax3bx2cx 1 0有四個相異有理根,則a b c  __________。 參考答案:10 出處:蘭陽女 18. 設 a 是正數,且a2x 3,則 3 3 3 9 x x k aa  ,則k為__________。 參考答案:28 出處:蘭陽女中 19. 已知:以每秒v0公尺的速度從地面垂直向上發射子彈,t秒後的高度為y公 尺,可由 2 0 4.9 y v t  t 確定。今以每秒 58.8 公尺的速度從地面垂直向上發 射子彈,問子彈高度不低於 98 公尺的時間有__________秒。 參考答案: 8 出處:馬公高中 20. 設 f x( )g x( )為實係數多項式,以 x23x2 f x( )得餘式2x3,以 1 x 除g x( )得餘式 8;且g(2) 5 (1) 試求以x1除 f x( )g x( )的餘式。 (2) 試證: f x g x( ) ( ) 0 在 1 與 2 之間有實根。 參考答案: (1) 13 (2) 略 出處:苑裡高中

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21. 若 f x( )為實係數三次多項式函數,領導係數為 1, f x( )除以x1的餘式為 5,且 f(2 i) 5 (1) f x( )x3ax2bx c ,求序組( , , )a b c (2) 若g x( ) 3 x312x2 35x34,求 f x( )g x( )圖形相交時之x值為何? 參考答案:(1) (-3,1,10) (2) 2, 4, 3 2    出處:武陵高中

三、新穎創意試題

22. (單選)設實係數多項式 3 2 ( ) f xxaxbx c ,下列何者可能為不等式 ( ) 0 f x之解? (1) x1或2 x 3 (2)1 x 3且x2 (3) x1且x2 (4) x (全體實數) 參考答案: (3) 出處:北一女中 23. (單選)已知四次多項式函數 f x( )的圖形如下圖。若實數a滿足 f a( ) 0 , 則下列何者可能為a值? (1) 39 (2) 3 1 9   (3) 37 (4) 3 1 7 。 參考答案: (3) 出處:新竹女中

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24. (單選)不等式( 4)( 5) 0 ( 1)( 2) x x x x     的整數解共有多少個? (1) 5 個 (2) 6 個 (3) 7 個 (4) 8 個 (5) 9 個。 參考答案: (2) 出處:苑裡高中 25. (多選)設 f x( ) 3 x422x3x25x1,下列敘述哪些正確? (1) 方程式 f x( ) 0 在 0 與 1 之間恰有一個有理根 (2) 方程式 f x( ) 0 在 0 與 1 之間恰有一個無理根 (3) 方程式 f x( ) 0 恰有一個負根 (4) 方程式 f x( ) 0 有實根大於 5 (5) 方程式yf x( )的圖形與x軸恰交兩點。 參考答案: (1)(2)(3)(4) 出處:北一女中 26. (多選)已知實係數多項式yf x( )的圖形通過三點:( 3, 1)  , (0, 5), (1, 7) 則下列敘述哪些正確? (1) f x( )有無限多個 (2) f x( )的次數至少是二次 (3) f x( )除以x x( 1)(x3)的餘式是二次式 (4) f x( )除以x x( 1)(x3)的餘式是( 3) ( 5)( 7) 1 ( 1)( 5) ( 1 5)( 1 7) (7 1)(7 5) xxxx           (5) 若 f x( )為至多二次的多項式,則 f( 2) 1  。 參考答案: (1)(5) 出處:新竹女中 27. (多選)下列關於方程式之根的敘述哪些正確? (1) 方程式2x22(1i x i)  0有兩個相等實根 (2) 方程式 3 5 2 4 5 0 4 xxx  沒有有理根 (3) 方程式 4 2 6 5 0 xx   有四個純虛根 (4) 方程式x5x4x3x2  x 1 0沒有正實根 (5) 方程式 6 2 x  只有一個正實根。 參考答案:(1)(3)(4)(5) 出處:新竹女中

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28. (多選)下列敘述哪些正確?   (1) 不等式(x1)(x2) 0 1 0 2 x x  有相同的解   (2) 不等式x22x 2 0的解為     1 i x 1 i   (3) 設a b, 為整數,2 3 可能為方程式 3 2 2xaxbx 3 0的一個有理根   (4) 實係數方程式 f x( )ax32x2bx 1 0,則此方程式至少一實根   (5) 實係數多項式函數 f x( )x軸有兩個交點,代表方程式 f x( ) 0 有 2 個實 根(k重根算k個根)。 參考答案: (1)(4) 出處:金門高中 建議修改:此題答案有(4),因此需確定為三次實係數多項式,建議改為「三 次實係數方程式」 。 29. (多選)已知實係數四次多項式函數 f x( )ax4bx3cx2dx e ,其 f x( ) 數值正負如下表,且 f(5 3 ) 0 i  ,則下列敘述何者正確? x 0 1 2 3 大於4 ( ) f x 值 - + + + + (1) 2, 3之間至少有一實根 (2) 0, 1之間恰有一實根 (3) f x( ) 0 有四實根 (4) f x( ) 0 恰有一負根 (5) 5 3i 為 f x( ) 0 之根 參考答案: (2)(4)(5) 出處:金門高中 30. (多選) f x( )為實係數四次多項式,若 f i( 2) 0 ,且 f x( ) 0 的解為x 3 或 1 2 x ,則下列敘述哪些正確? (1) yf x x( )( 1)之圖形與x軸有三個交點 (2) f(3 ) 0x之解為 1 1 6 x    (3) a b, 為任意實數,且 f a bi(  ) 1 ,則 f a bi(  ) 1 (4) f i( 2) 0

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(5) yf x( )之圖形與x軸沒有交點。 參考答案:(1)(2)(3) 出處:鳳新高中 31. (多選)下圖為實係數三次函數 f x( )ax3bx2 cx d 之圖形。若y f x( ) 之圖形與x軸相交於( 1, 0) , (2, 0), (4, 0)三點,則下列哪些選項是正確的? (1) a0 (2) b0 (3) cd 0 (4) 不等式 f x( ) 0 之解為  1 x 2或x4 (5) 8a4b2c d 0 參考答案: (2)(3)(4)(5) 出處:台南二中 32. (多選)已知 f x( )為實係數五次多項式,且 f( 1) 0,  f(0) 0, f(1) 0, (2) 0 f,則下列有關實係數方程式 f x( ) 0 之敘述哪些正確? (1) 1, 2之間恰有一實根 (2) 0, 1之間沒有實根 (3) 1, 0之間必有實根 (4) 1, 0之間可能存在五個相異實根 (5) 假設1, 2之間存在五個實根,則 f(5) 0 必定成立。 參考答案:(3)(5) 出處:錦和高中 33. (多選)已知以mx n f x( )ax3bx2cx d 的綜合除法算式如下,根據 此算式可知: (1) a2  (2) b7  (3) g3  (4) 1 2 h    (5) n 1。 參考答案: (1)(3)(5) 出處:陽明高中

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建議:此題算式中使用符號「f」 與f x( ),符號重複使用,建議將式子中的 「f,g,i」依次改為「l,k,p」。 34. (多選)下圖為四次多項函數 yf x( )之圖形,此圖形與 x軸的三個交點 , , A B Cx軸坐標依次為 4, 1, 3,與y軸的交點坐標為D(0, 2),且最 高點E的坐標為( , )m n ,則下列敘述哪些正確? (1) 方程式 f x( ) 0 有虛根 (2) 不等式 f x( ) 0 的解為   4 x 1 (3) 方程式 f x( ) x 0恰有 2 個實根 (4) 多項式 f x( )除以(x m )的餘式為n (5) 對於任意實數x而言, f x( )n恆成立。          參考答案:(3)(4)(5) 出處:北一女中 35. 老王 在岸邊高處丟出一個救生圈,救生圈所經過的路徑為一拋物線(距離 海平面的高度是時間的二次函數),已知在此次拋擲中,1 秒後救生圈距海 平面的高度為 5.013 公尺,2 秒後的高度為 3.987 公尺,4 秒後的高度為 1.818公尺,試問老王丟出的剎那,救生圈距離海平面__________公尺。 參考答案: 6 出處:北一女中 建議:此題可改為計算題,可看出學生的解法過程,是否有計算上的錯誤。 36. 已知實係數三次多項式 f x( )x3(k1)x2(k4)x4之圖形與x軸恰交 於一點P a( , 0),其中a為整數,試問: (1) a__________;(2) 此時k的範圍為__________。 參考答案: (1) -1 (2)  4 k 4 出處:北一女中

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37. 設 f x( )ax4bx3cx2 dx1,若a c 5, b d 3,則 f x( )除以 2 (x 1)的餘式為 。 參考答案: 3x6 出處:新店高中 38. 設三次函數yf x( )之圖形如下:a b __________。 參考答案: 26 5 出處:暖暖高中 39. 設 f x( )x3ax2 bx c 為整係數多項式,若 f x( ) 0的三根皆為有理數,f( 3) 0 , f( 5) 0 , f( ) 0  f( 17) 0 ,則係數 b = 。 參考答案:26 出處:國立陽明高中

四、建議避免出現或可待討論改善之試題

1. 解不等式 1 2 1 x x    ,得x 的範圍為__________。 原因:99 數學課綱高一課程不含分式型絕對值不等式。 2. 證明:3 4是無理數。 原因:99 數學課綱高一課程中無理數的證明置於附錄,不宜做為評量試題。 3. (1) 證明 2為無理數。 (2) 利用(1)證明3 2為無理數。 原因:99 數學課綱無理數證明移至附錄,不宜列入評量。

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4. x0且x1,若 2 4 3 ( ) x x x   x ,則滿足不等式之x的範圍為 。 原因:底數為變數 x 的指數不等式,超出 99 數學課綱內容,對高一學生而言太 難,且流於形式化解題,意義不大。 5. 直線L通過A

 

5,0 ,且與B

 

4,0 C

4,3

兩點所連成的直線平行,求L之 直線方程式為__________。 原因:依 99 數學課綱內容,此題移至第三冊直線單元較適宜。 6. 解不等式 x23x 4x 6 0,則x的範圍為__________。 原因:依 99 數學課綱內容,二次絕對值不等式,不宜於高一施測。 7. 若a0﹐且 2 4 1 2 1  aa ﹐求  2  5 2 5 a a __________。 原因:五次方化簡超出 99 數學課綱內容,不適宜評量,或需適當引導先求 1 a a  及a32 a32。 8. 設 f (x)=x5+x4-10x3-10x2+x+5-aZ[x]﹐若 f (x)=0 之一根為 3- 2﹐則其餘四根為__________﹐又 a=__________。 原因:99 數學課綱不含此概念。 9. 設 a=19993+4  19992+1999-6﹐b=19993+3  19992+4  1999+12﹐則 a 與 b 的最大公因數為__________。 原因:99 數學課綱已刪除最高公因式及最低公倍式相關內容,宜避免再評量。 10. 試求 f (x)=2x4+x3-6x2-2x+3﹐g(x)=2x4-3x3+2x-3 之最高公因式______ ____。 原因:99 數學課綱不含最高公因式及最低公倍式相關內容,宜避免再評量。 11. f (x)=x4-2x2-3x-2﹐g(x)=x3-4x2+x+6﹐f (x)﹐g(x)的最低公倍式= __________。 原因:99 數學課綱不含最高公因式及最低公倍式相關內容,宜避免再評量。 12. x是實數,一鈍角三角形的三邊長為x,x1,x2,則x的範圍為________。

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原因:依 99 數學課綱內容,應移至第三冊餘弦定理之後再考。 13. 若將多項式 f(x)(2x3)4 (2x3)3 2(2x3)2 13(2x3)8展開後,則

x

項的係數為________。 原因:以二項式定理解之較佳,所以依 99 數學課綱內容應在第二冊二項式定理 之後考更適宜。 14. 設 x﹐y﹐z 是實數﹐且 x  y  z  3﹐xy  yz  zx   9﹐令 x 的最大值為 M﹐ 最小值為 m﹐則數對(M,m) 為何? 原因:超出 99 數學課綱範圍,此題太難不宜列入評量。

數據

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參考文獻

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