99學年度高一上第二次定期考

定期考優良試題推介

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99

學年度高一第二次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、 國立臺灣師範大學數學系洪有情教授、 國立臺灣師範大學數學系張幼賢教授、 國立臺灣師範大學數學系朱亮儒教授 小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、 國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、 國立竹南高中李政豐老師、 國立臺中一中李吉彬老師、 國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、 報告撰寫：臺北市立北一女中蘇麗敏老師

一、前言

命題是一門藝術，如何切中綱要，難易適中，題數合理，又希望題目創新 且能考出有鑑別度的分數，真的很難。在審視20 所學校的月考試題時，大部分 學校的試題幾乎都注意到這些要求，可直接使用的優良試題指的就是切中課綱， 難易適中的試題，這類題目占最多數，似乎是英雄所見略同，但限於篇幅，同 一題型，我們只擇一為代表；除此之外，新穎創意考題更是看的出命題老師的 用心與努力。 除了優良試題、新穎創意考題外，因為這是99 課綱的第一年，仍有少數學 校忽略新舊課綱的不同，命題內容超出課綱範圍，我們整理成第四部分，以提 醒之！而審題過程中，經教授提醒，發現大家最常疏忽的小問題是問句的寫法 不適當，一般單選題的問句應是「下列何者...」，多重選擇的問句為「下列哪 些...」，而填充題大家常寫的問句「求餘式為 」 ，應改為「則餘式為 」 才是正確的表達，有鑒於此，我們已將不妥的問法，修改呈現；另外，審題 過程中，雖看不到整份試卷的配分，及考試時間，但仍有少數試卷令人憂心， 若是在正常的時間下，題數過多，絕對壓縮學生思考的時間，考不出思考力， 更易讓學生失去對數學的信心與熱忱。 這是第二份優良試題推介，學科中心掛上第一份試題的當週，赫然發現辦 公室的印表機中有第一份優良試題，似乎代表著高中老師對優良試題的關心， 大家想努力出一份好試題的心情是一樣的，因此希望每個被抽中的學校都能大

方的提供試題，也期盼命題老師能以交流互相學習求進步的心看待之，透過學 科中心這個交流平台，讓高中數學的命題品質越趨於正常化。

二、基礎重要試題

1. （ 單 選 ）_{若 f x( )x}3_2x2_{ x 2，則多項式 g x( )} _{f f x( ( ))除以 x2所} 得的餘式為何？ (1) 3　(2) 5　(3) 7　(4) 0　(5) 2 參考答案：(5) 出處：岡山高中 2. (單選)設 f x( )_{為實係數五次多項式，且} f(2 i) 0, f(1 2 ) 0 i  _；則函 數 y f x( )_的圖形與x_{軸有幾個交點？} (1) 3　(2) 2　(3) 1　(4) 0　(5) 因 f x( )_{的不同而異。} 參考答案：(3) 出處：苑裡高中 3. (多選)設 a, b, c 皆為整數，判斷下列哪些數絕對不可能是 4 3 2 3x ax bx cx 2 0的根？ (1) 1 (2) -3 (3) 1 2  (4) 1 3  (5) 2 3 參考答案： (2)(3) 出處：新竹高中 4. (多選)設實係數多項式 _{f x( ) 2 x}3_bx2_{cx5，且已知複數 1 2i為方程} 式 f x( ) 0 _{的一根，試問下列敘述哪些正確？} (1) f(1 2 ) 0 i  (2) 2 2 5 x  x 為 f x( )_的因式 (3) f( 1)  f( 2) 0  (4) y f x( )_的圖形與x_{軸只有一個交點} (5) y f x( )_與yx_{的圖形只有三個交點} 參考答案： (2)(3)(4) 出處：新竹女中 建議修正：第(5)個選項涉及三次函數的圖形，學過微積分後再考較合適， 因此建議此小題可改為「y f x( )_與yx_{的圖形沒有交點」。}

5. (多選) f x( )_{為三次實係數多項式，若}1 i 為 f x( ) 0 _{之一解，則下列哪些正} 確？ (1) f(3 i) 0 (2) 若 f(0) 0 _且 f(2) 0 _，則 f(5) 0 (3) f(1 i) 0 (4) 沒有實數x_{滿足 f x( )x}2 (5) 沒有實數x_{滿足 f x( ) 0}5 _{ 。} 參考答案： (1)(2)(3) 出處：鳳新高中 6. (多選)考慮多項式方程式_x4 _5x2_{ 6 0，下列敘述哪些正確？} (1) 1, 2_{之間有實根} (2) 有四個實根 (3) 有四個虛根 (4) 四根之和為 5 (5) 四根之積為 6。 參考答案： (1)(2)(5) 出處：武陵高中 7. (多選)實係數多項式 _{f x( )ax}3_bx2_{cx d a ( 0)，則下列哪些正確？} (1) 若u v, 為實數，且u_與v_之間存有 f x( ) 0 _之根，則 f u( ) f v( ) 0 (2) 若2 3為 f x( ) 0 _{的一根，則2 3亦為} f x( ) 0 _之根 (3) 若 f(2 3 ) 5 6 i   i_，則 f(2 3 ) 5 6 i   i (4) f x( ) 0 _{至少有一實根} (5) y f x( )_{之圖形可能與}x_{軸無交點。} 參考答案：(3) (4) 出處：暖暖高中 8. (多選)關於整係數三次多項式 3 2 3 2 1 0 ( ) f x a x a x a x a 的敘述，下列哪些 正確？ (1) 若2x4 f x( )_，則2 a3, 4 a0 (2) 若 f(1  i) 2 3i_，則 f(1  i) 2 3i (3) 方程式 f x( ) 0 _{至少有一實根} (4) 方程式 _{f x( ) 0}2 _{ 至少有一實根}

(5) 若 f(1 i) 0_，則 f(2 i) 0_。 參考答案： (2)(3)(5) 出處：建國中學 9. (多選)下列哪些選項是正確的？ (1)       1 2 5 10 i (2) 2 2 5 5     (3) 若a b ab , _{皆為實數，則}a b, _均為實數 (4) 若a b, _{均為複數且}2ai b 3i，則a 3, b2 (5) 若a b, _{均為複數且a}2_b2 _0，則a_{0, b}_0。 參考答案： (1)(2) 出處：台南二中 10. 設 _{f x( )x}2_{ax b 為二次實係數多項式函數，若函數圖形通過( 1, 4) 且圖} 形與x軸不相交，則a的範圍為__________。 參考答案：   2 a 6 出處：金門高中 11. 已知實係數方程式_x3_14x2_{ax b 0有兩個複數根為c i} _{, 1 di (其中 c,} d 是實數且d 0)，則三次函數 _{f x( )x}3_14x2_{ax b 的圖形與x軸的交點} 坐標為__________。 參考答案：(12,0) 出處：金門高中 12. 設 _{f x( )x}5_9x4_16x3_17x2_{10x k , k為實數，且 f(7) 5} _{，則k ____} ______。 參考答案：82 出處：小港高中 13. 已知方程式_(x1)(x2_{  x 3) 2.01 0 恰有一實根 ，若n   n 1, n為} 整數，則n__________。 參考答案： -1 出處：小港高中 14. 若k為實數，且已知_x2 _{(k i x )   (3 i) 0有一實數解 ，則另一虛數解} 為__________。 參考答案：3 + i 出處：暖暖高中

15. ,  , _為2x3_4x2_{kx 4 0之三根，則k__________。} 參考答案： -2 出處：明台高中 16. 對任意實數x_{，不等式(a2)x}2_{(a2)x 2 0恆成立，a是實數，則a的} 範圍為__________。 參考答案：   6 a 2 出處：台中二中 17. 設實係數方程式_9x4_ax3_bx2_{cx 1 0有四個相異有理根，則a b c  為} __________。 參考答案：10 出處：蘭陽女_中 18. 設 a 是正數，且_a2x _3，則 3 3 3 9 x x k a a  ，則k為__________。 參考答案：28 出處：蘭陽女中 19. 已知：以每秒v0公尺的速度從地面垂直向上發射子彈，t秒後的高度為y公 尺，可由 2 0 4.9 y v t  t 確定。今以每秒 58.8 公尺的速度從地面垂直向上發 射子彈，問子彈高度不低於 98 公尺的時間有__________秒。 參考答案： 8 出處：馬公高中 20. 設 f x( )_與g x( )_{為實係數多項式，以 x}2_{3x2除 f x( )得餘式2x3，以} 1 x 除g x( )_{得餘式 8；且}g(2) 5_。 (1) 試求以x1除 f x( )g x( )_的餘式。 (2) 試證： f x g x( ) ( ) 0 _{在 1 與 2 之間有實根。} 參考答案： (1) 13 (2) 略 出處：苑裡高中

21. 若 f x( )_{為實係數三次多項式函數，領導係數為 1，} f x( )_除以x1的餘式為 5，且 f(2 i) 5_， (1) _{f x( )x}3_ax2_{bx c ，求序組( , , )a b c 。} (2) 若_{g x( ) 3 x}3_12x2 _{35x34，求 f x( )與g x( )圖形相交時之x值為何？} 參考答案：(1) (-3,1,10) (2) 2, 4, 3 2    出處：武陵高中

三、新穎創意試題

22. (單選)設實係數多項式 3 2 ( ) f x x ax bx c ，下列何者可能為不等式 ( ) 0 f x  _之解？ (1) x1或2 x 3 (2)1 x 3且x2 (3) x1且x2 (4) x_ （全體實數） 參考答案： (3) 出處：北一女中 23. (單選）已知四次多項式函數 f x( )_{的圖形如下圖。若實數}a_滿足 f a( ) 0 ， 則下列何者可能為a_值？ (1) _3_{9　(2) 3} 1 9  　(3) 3_{7　(4) 3} 1 7 。 參考答案： (3) 出處：新竹女中

24. (單選)不等式( 4)( 5) 0 ( 1)( 2) x x x x   _   的整數解共有多少個？ (1) 5 個　(2) 6 個　(3) 7 個　(4) 8 個　(5) 9 個。 參考答案： (2) 出處：苑裡高中 25. (多選)設 _{f x( ) 3 x}4_22x3_x2_{5x1，下列敘述哪些正確？} (1) 方程式 f x( ) 0 _{在 0 與 1 之間恰有一個有理根} (2) 方程式 f x( ) 0 _{在 0 與 1 之間恰有一個無理根} (3) 方程式 f x( ) 0 _{恰有一個負根} (4) 方程式 f x( ) 0 _{有實根大於 5} (5) 方程式y f x( )_的圖形與x_{軸恰交兩點。} 參考答案： (1)(2)(3)(4) 出處：北一女中 26. (多選)已知實係數多項式y f x( )_{的圖形通過三點：}( 3, 1)  , (0, 5), (1, 7)_， 則下列敘述哪些正確？ (1) f x( )_{有無限多個} (2) f x( )_{的次數至少是二次} (3) f x( )_除以x x( 1)(x3)_{的餘式是二次式} (4) f x( )_除以x x( 1)(x3)_的餘式是( 3) ( 5)( 7) 1 ( 1)( 5) ( 1 5)( 1 7) (7 1)(7 5) x x x x           (5) 若 f x( )_{為至多二次的多項式，則} f( 2) 1  。 參考答案： (1)(5) 出處：新竹女中 27. (多選)下列關於方程式之根的敘述哪些正確？ (1) 方程式_2x2_{2(1i x i)  0有兩個相等實根} (2) 方程式 3 5 2 4 5 0 4 x  x  x  沒有有理根 (3) 方程式 4 2 6 5 0 x  x   有四個純虛根 (4) 方程式_x5_x4_x3_x2_{  x 1 0沒有正實根} (5) 方程式 6 2 x  只有一個正實根。 參考答案：(1)(3)(4)(5) 出處：新竹女中

28. (多選)下列敘述哪些正確？ 　 (1) 不等式(x1)(x2) 0 _與 1 0 2 x x  _  有相同的解 　 (2) 不等式_x2_{2x 2 0的解為     1 i x 1 i} 　 (3) 設a b, _為整數，2 3 可能為方程式 3 2 2x ax bx 3 0的一個有理根 　 (4) 實係數方程式 _{f x( )ax}3_2x2_{bx 1 0，則此方程式至少一實根} 　 (5) 實係數多項式函數 f x( )_與x_{軸有兩個交點，代表方程式} f x( ) 0 _{有 2 個實} 根（k重根算k個根）。 參考答案： (1)(4) 出處：金門高中 建議修改：此題答案有(4)，因此需確定為三次實係數多項式，建議改為「三 次_{實係數方程式」 。} 29. (多選)已知實係數四次多項式函數 _{f x( )ax}4_bx3_cx2_{dx e ，其 f x( )函} 數值正負如下表，且 f(5 3 ) 0 i  ，則下列敘述何者正確？ x 0 1 2 3 大於4 ( ) f x 值 － ＋ ＋ ＋ ＋ (1) 2, 3之間至少有一實根 (2) 0, 1之間恰有一實根 (3) f x( ) 0 _有四實根 (4) f x( ) 0 _{恰有一負根} (5) 5 3i 為 f x( ) 0 _之根 參考答案： (2)(4)(5) 出處：金門高中 30. (多選) f x( )_{為實係數四次多項式，若} f i( 2) 0 _，且 f x( ) 0 _的解為x 3 或 1 2 x ，則下列敘述哪些正確？ (1) y f x x( )( 1)_之圖形與x_{軸有三個交點} (2) f(3 ) 0x  _之解為 1 1 6 x    (3) a b, _{為任意實數，且} f a bi(  ) 1 _，則 f a bi(  ) 1 (4) f i( 2) 0

(5) y f x( )_之圖形與x_{軸沒有交點。} 參考答案：(1)(2)(3) 出處：鳳新高中 31. (多選)下圖為實係數三次函數 _{f x( )ax}3_bx2 _{cx d 之圖形。若y f x( )} 之圖形與x_軸相交於( 1, 0) , (2, 0), (4, 0)_{三點，則下列哪些選項是正確的？} (1) a0 (2) b0 (3) cd 0 (4) 不等式 f x( ) 0 _之解為  1 x 2或x4 (5) 8a4b2c d 0 參考答案： (2)(3)(4)(5) 出處：台南二中 32. （多選）已知 f x( )_{為實係數五次多項式，且} f( 1) 0,  f(0) 0, f(1) 0, (2) 0 f  _{，則下列有關實係數方程式} f x( ) 0 _{之敘述哪些正確？} (1) 1, 2之間恰有一實根 (2) 0, 1之間沒有實根 (3) 1, 0之間必有實根 (4) 1, 0之間可能存在五個相異實根 (5) 假設1, 2之間存在五個實根，則 f(5) 0 _{必定成立。} 參考答案：(3)(5) 出處：錦和高中 33. (多選)已知以mx n _{除 f x( )ax}3_bx2_{cx d 的綜合除法算式如下，根據} 此算式可知： (1) a2　 (2) b7　 (3) g3₍₄₎ 1 2 h  　 (5) n 1。 參考答案： (1)(3)(5) 出處：陽明高中

建議：此題算式中使用符號「f」 與f x( )，符號重複使用，建議將式子中的 「f,g,i」依次改為「l,k,p」。 34. (多選)下圖為四次多項函數 y f x( )_{之圖形，此圖形與} x_{軸的三個交點} , , A B C_之x_{軸坐標依次為} 4, 1, 3_，與y_{軸的交點坐標為D(0, 2)，且最} 高點E的坐標為( , )m n _{，則下列敘述哪些正確？} (1) 方程式 f x( ) 0 _有虛根 (2) 不等式 f x( ) 0 _的解為   4 x 1 (3) 方程式 f x( ) x 0_{恰有 2 個實根} (4) 多項式 f x( )_除以(x m )_的餘式為n (5) 對於任意實數x_而言， f x( )n_恆成立。 　　　　　　　　 參考答案：(3)(4)(5) 出處：北一女中 35. 老王 在岸邊高處丟出一個救生圈，救生圈所經過的路徑為一拋物線（距離 海平面的高度是時間的二次函數），已知在此次拋擲中，1 秒後救生圈距海 平面的高度為 5.013 公尺，2 秒後的高度為 3.987 公尺，4 秒後的高度為 1.818公尺，試問老王丟出的剎那，救生圈距離海平面__________公尺。 參考答案： 6 出處：北一女中 建議：此題可改為計算題，可看出學生的解法過程，是否有計算上的錯誤。 36. 已知實係數三次多項式 _{f x( )x}3_(k1)x2_{(k4)x4之圖形與x軸恰交} 於一點P a( , 0)_，其中a_{為整數，試問：} (1) a__________；(2) 此時k的範圍為__________。 參考答案： (1) -1 (2)  4 k 4 出處：北一女中

37. 設 _{f x( )ax}4_bx3_cx2 _{dx1，若a c 5, b d 3，則 f x( )除以} 2 (x 1)的餘式為 。 參考答案： 3x6 出處：新店高中 38. 設三次函數y f x( )_{之圖形如下：} 則a b __________。 參考答案： 26 5 出處：暖暖高中 39. 設 _{f x( )x}3_ax2 _{bx c 為整係數多項式，若 f x( ) 0} _{的三根皆為有理數，} 且 f( 3) 0 ， f( 5) 0 ， f( ) 0  _， f( 17) 0 ，則係數 b = 。 參考答案：26 出處：國立陽明高中

四、建議避免出現或可待討論改善之試題

1. 解不等式 1 2 1 x x    ，得x 的範圍為__________。 原因：99 數學課綱高一課程不含分式型絕對值不等式。 2. 證明：3 _{4是無理數。} 原因：99 數學課綱高一課程中無理數的證明置於附錄，不宜做為評量試題。 3. (1) 證明 2為無理數。 (2) 利用(1)證明3 2為無理數。 原因：99 數學課綱無理數證明移至附錄，不宜列入評量。

4. x0且x1，若 2 _{4 3} ( ) x x x   x ，則滿足不等式之x_{的範圍為 。} 原因：底數為變數 x 的指數不等式，超出 99 數學課綱內容，對高一學生而言太 難，且流於形式化解題，意義不大。 5. 直線L通過A

 

5,0 _，且與B

 

4,0 _、C



4,3



_{兩點所連成的直線平行，求}L之 直線方程式為__________。 原因：依 99 數學課綱內容，此題移至第三冊直線單元較適宜。 6. 解不等式 _x2_{3x 4x 6 0，則x的範圍為__________。} 原因：依 99 數學課綱內容，二次絕對值不等式，不宜於高一施測。 7. 若a0﹐且 2 ₄ 1 2 1  a a ﹐求  2  5 2 5 a a __________。 原因：五次方化簡超出 99 數學課綱內容，不適宜評量，或需適當引導先求 1 a a  及_a32 _a32。 8. 設 f (x)＝x5_＋x4_－10x3_－10x2_{＋x＋5－aZ[x]﹐若 f (x)＝0 之一根為} 3－ 2﹐則其餘四根為__________﹐又 a＝__________。 原因：99 數學課綱不含此概念。 9. 設 a＝19993_{＋4  1999}2_{＋1999－6﹐b＝1999}3_{＋3  1999}2_{＋4  1999＋12﹐則 a} 與 b 的最大公因數為__________。 原因：99 數學課綱已刪除最高公因式及最低公倍式相關內容，宜避免再評量。 10. 試求 f (x)＝2x4_＋x3_－6x2_{－2x＋3﹐g(x)＝2x}4_－3x3_{＋2x－3 之最高公因式______} ____。 原因：99 數學課綱不含最高公因式及最低公倍式相關內容，宜避免再評量。 11. f (x)＝x4_－2x2_{－3x－2﹐g(x)＝x}3_－4x2_{＋x＋6﹐f (x)﹐g(x)的最低公倍式＝} __________。 原因：99 數學課綱不含最高公因式及最低公倍式相關內容，宜避免再評量。 12. x_{是實數，一鈍角三角形的三邊長為}x,x1,x2，則x_{的範圍為________。}

原因：依 99 數學課綱內容，應移至第三冊餘弦定理之後再考。 13. 若將多項式 _f(_x)_(2_x3)4 _(2_x3)3 _2(2_x3)2 _13(2_x3)_8_{展開後，則}

x

_{項的係數為________。} 原因：以二項式定理解之較佳，所以依 99 數學課綱內容應在第二冊二項式定理 之後_{考更適宜。} 14. 設 x﹐y﹐z 是實數﹐且 x  y  z  3﹐xy  yz  zx   9﹐令 x 的最大值為 M﹐ 最小值為 m﹐則數對(M,m) 為何？ 原因：超出 99 數學課綱範圍，此題太難不宜列入評量。