104年數學科學科能力測驗試卷-2

(1)

數學

104 年學科能力測驗試卷

班級：

／座號：／姓名：__

總　分

第 ﹕選 50 分 一部分擇題（占）一 20 分 ﹑單選題（占）說 ﹕第 1 題 4 題 5 明至第 ﹐每題有個 5 項當得﹐者對答題各﹒項選的適﹐選或確正是個一有只中其最分選算計分零以題該﹐者項個﹔一於多或答作未﹑錯答﹒ ( 　 )1. 每 a11 ﹐a22 ﹐a36 　成植週同一時間點記錄某的物長為據數的週五連﹐度高續 ﹐a4 15 ﹐a5 31 ﹒ (1) 問選　﹖子式個一哪中項列此下足滿列數請高長成度 1 3 1 t t a_  a  _﹐t1, 2, 3, 4 　(2)a_t t! _﹐t1, 2, 3, 4, 5 　(3) 2 1 t t a_  a t _﹐ 1, 2, 3, 4 t 　(4) 2 1t t a   _﹐t1, 2, 3, 4, 5 　(5)at1tat 1 ﹐t1, 2, 3, 4 ﹒ ( 　 )2. 第1 天 1 元 2 天 2 元 3 天 4 元 4 天 8 　獲得第﹑ 得獲 ﹑第獲得 ﹑第獲得元 30 天 30 每倍依此第到行進此如天﹐﹑的天一前為錢的得獲所兩 ﹐試問這天　 (1)10,000 元 (2)1,000,000 元一﹖項選個哪所列下近接最數總﹐錢的得獲　　 (3)100,000,000 元 (4)1,000,000,000 元 (5)1,000,000,000,000 元　　 ﹒ ( 　 )3. 有 A ﹑B ﹐ 0.1 ﹑0.15 　組器兩機供配運作的件率為別分障機的故生發單其獨 ﹒ A B, 都 A ﹑B 有當只發無﹒作運法才生器機此時障故﹐ 兩配件若用串接方式 ﹐ 前面故障

(2)

會導致後面故障 ﹐ 但若後面故障則不會影若形互不影響﹒考障慮以下三種情形情故響形前面的故障情﹔則若用並列方式﹐﹕ ( 一 ) 將B 串 A 之 ( 二 ) 將A 串 B 之 ( 三 ) 將A B, 於接後　接於後　獨立並列在 ( 一 )﹑( 二)﹑( 三 ) 之 p1 ﹑p2 ﹑p3 情況法器下﹐機為無運別分率機作的 ﹒ (1)p1 p2 p3 　(2)p2  p1 p3 　(3)p3  p2 p1 　 (4) ﹒請選出正確的選項　 3 1 2 p p  p 　(5)p1 p2  p3 ﹒ ( 　 )4. 一　為邊八正的上面平標坐解域區行可的題問劃規性線形 ABCDEFGH 及 ax by 3 ﹐如右圖﹒部知目標函數內其已（ a b, 為 B 中其實數）最大值只發生在的點 3 bx ay  ﹒請問當目標函數改為時　 (1)A 　 (2)B 　 (3)C 　哪﹐點﹖列下在生發會值大最一 (4)D 　(5)E ﹒

(3)

二 30 分 ﹑多選題（占）說 5 題 10 題 5 明﹕第至第 ﹐每題有個選項 ﹐ 5 中獨得﹐者對答均項選有所﹐定判立項至確少有一個是正的其選項﹐各題之選分 1 個 3 分 2 個 1 分 2 錯答﹔ 項﹐得選者錯答﹔ 選者﹐得項 ﹔答錯多於個者算計分零以題該﹐答選作未均項選有所或項﹒ ( 　 )5. 小 10 　明參加某次路跑公 ﹑里的完成時間平各均心率及步數公之里表組的比賽﹐下為錄小明手錶所記﹕ 完平步成時間均心率數第 5:00 161 990 一公里第 4:50 162 1000 二公里第 4:50 165 1005 三公里第 4:55 162 995 四公里第 4:40 171 1015 五公里第 4:41 170 1005 六公里第 4:35 173 1050 七公里第 4:35 181 1050 八公里第 4:40 171 1050 九公里第 4:34 188 1100 十公里在 10 公 (1) 這里﹐　﹒項選的確正出選數據的述據依請﹐程過賽比上由 188 　 (2) 的最公里為率心高明平小每得率心均知小 1 公 (3) 路跑此次於小均平的明距步每﹐離尺　每　 (4) 完的里關相正為數係關相率成公均平里公每和間時心每　 (5) 步相里關相正為數係關的數公心均平里公每和率每數關相負為數係關相的步公里公每和間時成完里﹒ (　　 )6. 設 f x

 

是首項係數為1的實係數二次多項式﹒請選出正確的選項﹒　(1)若 f

 

2 0﹐ 則x2可整除 f x

 

　(2)若 f

 

2 0﹐則 f x

 

為整係數多項式　(3)若 f

 

2 0﹐則

 

2 0 f   　(4)若f

 

2i 0﹐則 f



2i



0　(5)若 f

 

2i 0﹐則 f x

 

為整係數多項式﹒ ( 　 )7. 坐 _y_2x _上　形圖數函在﹐上面平標 _﹐_標_示 A ﹑B ﹑C ﹑D 四 x 個點﹐其坐 1 ﹑0 ﹑1 ﹑2 ﹒ 　 (1) 點B 落 AC 標為別分出正確的選項﹒請選在直線

(4)

下 (2) 在 AB ﹑ BC ﹑ CD 中 CD 的　(3)A 方　線直直線線直 ﹐直線以斜率最大 ﹑B ﹑C ﹑D 四 B 最靠 x 軸　 (4) 直 y2x與_y_2x 點以﹐點個近線的　 (5) 點A 與 C 對 y軸兩個交點有形圖點稱於 ﹒ ( 　 )8. 坐 x y 0 和x y 0 　一有標平面上線為雙近漸其線曲﹐ ﹒ 　 (1) 此選﹒項選的關正出確請曲﹐此雙於線的性質雙曲線的方程式為 2 2 2 2 1 x y r r  或 2 2 2 2 1 x y r r   ﹐ r 為　 (2) 此　 (3) 中其實零非數於長軸軛共軸等長貫的線曲雙若



a b,



為 a1000 時 a b 1　 (4) 若點則當上﹐點一限象一第在線曲雙此 ﹐ 點



a b,



﹐



a b ,



為 a a ﹐ b b 　 (5) 象限上兩點且一在線曲雙此第則此 x 軸 y軸雙曲線同時對稱於與 ﹒ (　　 )9. 如圖﹐以M 為圓心﹑_MA_₈為半徑畫圓﹐_AE為該圓的直徑﹐ B﹑C﹑D三點皆在圓上﹐且_{AB BC CD DE}_ _ _ ﹒若













8 cos 90 ,sin 90 MD



      ﹒請選出正確的選項﹒　(1)





8 cos ,sin MA



   　(2)MC



8 cos



 45 ,sin





 45



　(3) （內積）_{MA MA}

 

_ _₈　(4)（內積）_{MB MD}

 

_ _₀　(5)













8 cos cos 90 ,sin sin 90

BD



          ﹒ ( 　 )10. 某 45 人　一班共有 ﹐ 板電腦人資顯料問卷調查有手機與平的 ﹒ 從數統計示此班有 35 人有而有板電腦手平機 ﹐ 有24 人 ﹒設﹕ A 為板電腦同時有手機與平的數人 B 為沒有手機﹐但有平板電腦人的數 C 為沒板電腦人有手的數機 ﹐ 但有平 D 為沒的數有手也沒有平板電腦人機 ﹐ 請選出恆立的不成　(1)A B 　(2)A C 　(3)B C 　 (4)B D 　 (5) 等式 ﹒選項 C D ﹒ 第 ﹕選二部分填題（ 50 分 占）說 ﹕第 A至 J 題 明 ﹐每題完全倒扣 ﹐完未答對不分﹒ 答對給 5 分 全給 ﹐答錯不 A. 如圖﹐ 老王在平地方仰為老進前角王朝山著點A 測遠頂點山 P 的 13 ﹒ 的方向 37 得公丈來再仰為高為丈角後點到 B ﹐ 測得山頂點P 的 15 ﹒ 山約　公 ﹒ 則　　　（捨四五至個位入數﹐ tan13 0.231 ﹐tan15 0.268 ） A E D C B M

(5)

　　　　　　　 B. 不透袋共球球狀色顏僅異甲乙丙丁戊明有中 3 白3 紅 6 個 ﹐ 形大小相﹐同相 ﹒ ﹑ ﹑ ﹑ ﹑ 5 人依第一﹑ 第二﹑ 甲乙 … … ﹑ 戊第五的次序 ﹐ 從中各取球取 ﹑ 球的色 ﹐下件球的紅率機為袋一 ﹐ 後不放回 ﹒試問在甲取出乙同不條戊取得 ﹒ 化（為最簡分數） C. 小燦定在陽台上種植合 ﹑百葵日向盆栽 ﹒如果陽台種間能多最預瑰 ﹑玫菊花和等種四的空上 8 盆 ﹐ 必擺滿﹐並且每種花盆栽盆買燦共的方有法可以不一少至則小﹐ 　種　　　 ﹒ D. 平 x y z  0 與 x2 ﹐x y  2 ﹐x y 2 面三平面分別相交所得的三直線可圍形此﹒三角長成最簡根式可為表﹐ 三個一成角之周形化 a b c d ﹐ a b c d, , , 為 b d ﹐ 其中正整數且則a 　 ﹐b 　 ﹐c 　 ﹐d  　 ﹒ 　　　　　　　　　　　　 E. 坐標平面上﹐直線L1與L2的方程式分別為x2y0與3x5y0﹒為了確定平面上某一定點 P的坐標﹐從L1上的一點Q1偵測得向量Q P



₁  



7,9



﹐再從L2上的點Q2偵測得向量





2 6, 8 Q P



   ﹐則P點的坐標為　　　　﹒ F. 小華貸款 ﹐年其為率準備向銀行 3 百當做元基業創利 3% 萬金 ﹐ 約定三年期滿

(6)

一次還清貸款的本利和 ﹒ 銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款 ﹐ 但給

(7)

小華創業優惠改以單計 ﹒試問在此華期款時還可一以比計少利款還息優惠下小﹐ 三在年滿般複利息繳元 ﹒ G. 某一公司開始時各有 ﹐有 A﹑B﹑C三 營業據點﹐ 36 個位 ﹐為了營了業員讓解各據點業務狀員營業況 ﹐ 所以進行兩次調動 ﹒每次調動都是﹕將當時 A 據營業點員中的 1 6 調到 B 據 1 點﹑ 6 調到中的 C 據 B 據 營業 1 點﹔將當時點員 6 調到 A 據 1 點﹑ 3調到中的 C 據 C 據 營業 1 點﹔將當時點員 6 調到 A 據 1 點﹑ 6 調到 B 據點﹒則兩次的調動後﹐ C 據　位 ﹒ 點有　　　營業員 H. 有底一面為正面三的形邊方形的四錐 ﹐角其展開圖兩其中﹐示圖右如所側角長 3, 4, 5﹐ 為則此角錐的為最簡根式）體積為　 ﹒ 化　　　（ I. 在空」義面夾平角值中間「坡度定面與為斜水  的切 ﹐ 正一的面斜個 tan ﹒ 若金字一塔（ ﹐部為一正方形三的每的面斜個一形）度為四個等為面斜底腰角坡皆 2 5 ﹐ 鄰如圖﹒則相斜面的餘弦函數的對值為夾角的絕　 ﹒ 　　　（化分數）為最簡 J. 下圖為汽車迴轉示 3 3 5 5 4 4

(8)

意圖 ﹒ 汽車迴轉時 ﹐ 將方向盤轉動到極限 ﹐ 低速以讓汽車進行轉向圓運 ﹐ 半徑的就是徑周動汽車轉向的圓成形所時周迴轉半 ﹐如圖中的 BC 即是的向直 ﹒ ﹐ 已在知低速前進﹐圖中時 A 處輪胎行方進與_AC 垂 B 處的向直 ﹒ 在中﹐距軸知圖已胎行輪方進與_BC 垂 _AB 為2.85 公向盤轉尺﹐方到限時﹐ 子方向偏了車迴轉半極輪 28 度的徑_BC 為　公問此試﹐ 　　　尺﹒ （小數點後第一位捨入以下四五 ﹐sin 28 0.4695 ﹐cos 28 0.8829 ）　　　　　　　　

104年

學

科

能

力

測

驗

答

案

與

解析

答

案

(9)

第 ﹕選一部分擇題一 ﹑單選題　 1. (3) 　 2. (4) 　 3. (2) 　 4. (1) 二 ﹑多選題　5. (2)(4)(5) 　 6. (1)(4)(5) 　 7. (1)(2)(4) 　8. (1)(2)(4)(5)　 9. (2)(4) 　 10. (2)(3)(4) 第 ﹕選二部分填題　 A. 62 　 B. 1 2 　 C. 70 　 D. 6, 2, 2, 6 　E.

 

9,1 　F. 8181 　 G. 44 　 H. 1, 6, 5 　I. 25 29 J. 6.1

解

析

第 ﹕選一部分擇題一 ﹑單選題 1. (1)a2 2 ﹐a36 不 a33a21﹒ 滿足 (2)a4  4! 24 15 ﹒ (3)a1 到a5 均遞迴關係﹒ 滿足此 (4) 2 2 2 1 3 2 a     ﹒ (5)a2 2 ﹐a36 不 a32a21﹒ 足滿故 (3)﹒ 選 2. 利用和公式﹐得等比級數求總 _{  }_{1 2 2}2_₂3_{ }₂29 數  ﹐





30 30 1 1 2 2 1 1 2       ﹒ 又為_{log 2}30 __{30log 2 30 0.3010 9.03 9 0.03}_ _ _ _{ } _﹐ 因即其尾首數為 9 ﹐ 數為 0.03 ﹐ ₂30 _{ }_a ₁₀9 _﹐ ₁ _a ₂ _﹐ 以所 _其_中得知總數是最高位字數﹒ 數為1 的位十故 (4)﹒ 選 3. ( 一 ) 因為否決取全 B 串 A 之完於接於面機後﹐且與作運器以故所﹐障故面前致導會障後 A ﹒ 因此﹐ p1 0.1 ﹒ ( 二 ) 同 ( 一 )﹐ 機器運作與否全取決因完於B ﹒ 此﹐ p2 0.15 ﹒ ( 三 ) 因為停止運所﹐作以 A B, 獨 ﹐才立並列會機器且時障都件配兩故 3 0.1 0.15 0.015 p    ﹒ 得 p2  p1 p3 ﹐ (2)﹒ 知故選

(10)

4. 令L1 : ax by  3 k ﹐ 即 1 3 : a k L y x b b     ﹐ 因為最大值只發生在 B 點 _AB



的 1 ﹐ 且﹐ 斜率為所 L1 斜 1 以率 a b   ﹐x 項 a0 ﹐y項 b0 ﹒ 數係係數再 L2 : 3bx ay h  ﹐ 令即 2 3 : b h L y x a a     ﹐ 因為 L2 斜 0 1 率 b a    ﹐x 項  b 0﹐y項  a 0﹒ 數係係數所 A 點以最大值只發生在 ﹒ 故 (1)﹒ 選二 ﹑多選題 5. (1) 平 188 ﹐ 188 ﹒ 高最率心均不表示最高心率是並 (2) 因為過路跑總長 10 公 10,000公超 10,000 步里尺﹐總步數 ﹐ 所 10,000公尺1 以每步距離的平均總步數公尺﹒ (3) 觀第一減察到十公里﹕完成時間有少的趨勢 ﹐但平均心率有加的趨勢 ﹐ 增因此兩數據為負相關﹒ (4) 觀第一增察到十公里﹕步數有加的趨勢 ﹐平均心率有加的趨勢 ﹐ 也增因此兩數據為正相關﹒ (5) 觀第一減察到十公里﹕完成時間有少的趨勢 ﹐但步數有加的趨勢 ﹐ 增因此兩數據為負相關﹒ 故 (2)(4)(5)﹒ 選 6. (1) 因為因 f

 

2 0﹐ f x

 

有x2 的式﹐ 即x2 可 f x

 

﹒ 以所整除 (2) 錯﹗例如 ﹕ f x

  

 x2





x 2



x2 



2 2



x2 2 非整係數多項式﹒ (3) 錯﹗例如 ﹕ f x

  

 x2





x 2



滿 f

 

2 0 ﹐ f

 

 2 0 ﹒ 足但 (4) 根據理則另﹐ 必為根根成虛雙定 ﹐得知若 2i 是根一 2i ﹒ 一 (5) 承 (4)﹐ 得

  

 



2 2 2 4 f x  x i x i x  為整係數多項式﹒ 故 (1)(4)(5)﹒ 選

(11)

7. 依意題 ﹐ 得 1,1 2 A_ _   ﹐B

 

0,1 ﹐C

 

1,2 ﹐D

 

2,4 ﹒ (1) 因為 _凹_口_向 _y_2x _的 _上_﹐_所_以 _圖_形 B 在_AC



下方﹒ (2) 由 _CD



的右圖﹐得知斜率最大﹒ (3) 由 A 最 x 軸右圖﹐得知點靠近 ﹒ (4) 兩圖形恰交於 C D, 兩點﹒ (5) 因為 A C, 兩 y軸不於稱對所以﹐高等不點 ﹒ 故 (1)(2)(4)﹒ 選 8. (1) 因為形形方正為﹐ 漸近為率斜的線 1 ﹐ 矩以圖中的所即貫軸長 共軛軸長﹒ 因此右 ﹐則為若是左開 2 2 2 2 1 x y r r  ﹐ 若開是上下 ﹐ 則為 2 2 2 2 1 x y r r   ﹒ (2) 由 (1) 知此選項正確﹒ (3) 錯﹗例如 ﹕ 當 2 2 2 2 1 1000 1000 x _ y _{ 時} _﹐ 若a1001 ﹐ b21001210002 



1001 1000 1001 1000

 





2001﹐ 則即b 2001 45 ﹐ a b 1﹒ 不滿足 (4) 因為論左右或上下象是都形圖限的一在﹐第不開開遞增的項確正﹐選此以所﹒ (5) 因為 x 軸 y軸與線確正項選此以所﹐所直的在軸軛共或軸貫為﹒ 故 (1)(2)(4)(5)﹒ 選 9. 依意建立坐標題系 ﹐如右圖﹐其中 PMB ﹐ 且每一弧角的圓心 45 ﹒ (1) 有向根函定的數義角 PMA 



45 



   45 ﹐ 三角據 ﹐得













8 cos 45 ,sin 45 MA



      ﹒ (2) 因為向角有 PMC   45 ﹐ 所以













8 cos 45 ,sin 45 MC



       ﹒ (3) 2 2 8 64 MA MA

  

  MA   ﹒ x y O A B C D y=2x y=2x x y O y=x y=－x

(12)

(4) 因

為 _MB

 

__MD ﹐ _{MB MD}

 

_ _₀ ﹒ 所以

(5) BD MD MB

  

  8 cos



  90 ,sin





   90



8 cos ,sin



 















8 cos  90 cos ,sin  90 sin        _﹒ 故 (2)(4)﹒ 選 10. 依意畫出題文氏圖﹐如右圖﹐且 35 24 45 A B A C A B C D               10 21 C D B D        ﹐ 因為 35 24  A 45﹐ A14﹒ 所以又A24﹐ 14 A 24﹒ 得再由推上列等式﹐ 得11 B 21 ﹐0 C 10 ﹐0 D 10 ﹒ 故 (2)(3)(4)﹒ 選第 ﹕選二部分填題 A. 設B 到山為丈山丈腳 x 公 ﹐ 高為 h 公 ﹐則 tan13 0.231 37 tan15 0.268 h x h x  _{ } _     _{  }  ﹐  37 0.231 0.268 h h _  _    0.231 37 0.231 0.268 h   h 1 0.231 37 0.231 0.268 h_  _     37 0.231 0.268 61.908 62 0.037 h     _﹒ B. 因為 ﹑ 色球（中甲乙取出不同即1 白 1 紅）﹐ 袋剩2 白 2 紅 ﹒ 球球所球球以又為因丙丁人何限任所﹐以據 ﹑ 二無制根抽籤是公平的原理 ﹐得知戊得取紅球的機率為 2 1 42 ﹒ C. 設買百合 ﹑ 日葵向 ﹐ ﹐ 玫則瑰 ﹑ 花和菊各x y z u, , , 盆空位 w 盆 8 x y z u w     _{﹐ 其} x1 ﹐y1 ﹐z1 ﹐u1 ﹐w0 ﹒ 中其 H58 4 H54 C48 70組整有解數 ﹒ 故買法共 70 種有 ﹒

(13)

D. 如角右圖﹐此三形的三點是平面頂就 x y z  0 ﹐ 與另二平面的交點﹐ 三平任面之解三個聯立方程式 ﹕ 2 2 0 x x y x y z             ﹐ 2 2 0 x y x y x y z              ﹐ 2 2 0 x x y x y z            ﹒ 得頂三點為 A



2,4,2



﹐B



0,2,2



﹐C



2,0, 2



﹒ 故周長為 AB BC CA  2 2 2 6 4 2 6 2 2 6    ﹒ 即a6 ﹐b2 ﹐c2 ﹐d 6 ﹒ E. 設P a b



,



﹐ 因為_{Q P}



₁ _{ }



_7,9



﹐_{Q P}



₂ _{  }



_{6, 8}



﹐ 所以





1 7, 9 Q a b _﹐Q a2



6,b8



﹒ 將Q1 ﹐Q2 分代入 x2y0 及3x5y0 ﹐ 別得











 



7 2 9 0 3 6 5 8 0 a b a b              2 11 3 5 22 a b a b        ﹒ 解 a9 ﹐b1 ﹐ 得即 P 點

 

9,1 ﹒ 坐標為 F. 單利本利和為的 3,000,000 1 3% 3 



 



3,270,000 元 ﹒ 複的利本利和為 3,000,000 1 3% 





3 3,278,181 元 ﹒ 故繳3,278,181 3,270,000 8,181  元少 ﹒ G. 依意題 ﹐ 用利轉移矩陣 ﹐得第一次調動後為 2 1 1 3 6 6 36 36 1 1 1 36 30 6 2 6 36 42 1 1 2 6 3 3                 _            _{    }       ﹐ 第二次調動後為 2 1 1 3 6 6 36 36 1 1 1 30 28 6 2 6 42 44 1 1 2 6 3 3                 _            _{    }       ﹒ 故C 有44 位 ﹒ 營業員 A C B

(14)

H. 立體圖﹐ 如右 ﹒ 因為高 _PM _ ₃2_₂2 _ ₅ _﹐ 所體積為1 ₄2 ₅ 16 5 以 3   3 ﹒ I. 建立間坐標 ﹐如右圖﹒ 空系依意題 ﹐ 得兩斜面方程式為 1 2 : 5 E z y E1 : 2y5z0 ﹐ 2 2 : 5 E z x E2 : 2x5z0 ﹒ 利用兩法向量



_n₁ _



_{0,2, 5}_



﹐



_n₂ _



_{2,0, 5}_



﹐ 得 1 2 1 2 25 25 cos 29 29 29 n n n n      

 

﹒ J. 依意題 ﹐ 得 cos62 2.85 BC   ﹐ 即 2.85 2.85 2.85 6.1 cos62 sin 28 0.4695 BC      ﹒ 2 M 2 3 P E1 E2 x y z O

104年數學科學科能力測驗試卷-2

數學

104 年學科能力測驗試卷

班級：

______ ／ 座號：______ ／姓名：______

總 分

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 

 

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

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













104年

學

科

能

力

測

驗

答

案

與

解 析

答

案

 

解

析







 

 

 

  



／座號：／姓名：__

總　分

解析