尤拉的魔術 e

(1)

尤拉的魔術

∼ e ∼

bee* 104.10.16∼ 104.10.18

1. 尤拉的奇想

首先我們先介紹棣美佛 (Abraham de Moivre，1667 年－ 1754 年) 定理：

(cosθ + isinθ)n = cosnθ + isinnθ (1) 這是一個化乘為加的計算公式，因此，不禁讓我們想到能化乘為加的「指數」。

ax× ay = ax+y (2) 於是，我們把 cosθ + isinθ看成一個指數型態 eiθ：

cosθ + isinθ = eiθ (3)

ei 是一個單位，而θ 是變動的。

利用指數型態，我們可以將棣美佛定理改寫成

(cosθ + isinθ)n = einθ (4) 然後把nθ 看成y，即θ = y

n，並將式子 (4) 改寫成

*_{bee 美麗之家: http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee}

(2)

(cos y n + isin y n) n _{= e}iy ₍₅₎ 因為式子的右邊的指數部分iy 中還有i，於是，我們將變數 y 用 −ix 取代，可得 (cos −ix n + isin −ix n ) n = ex (6) 因為 (6) 式對於任意整數都是正確的，因此，我們讓 n → ∞，則 cos−ix n 可用 1 取代，sin−ix n 用 −ix n 取代，得到 lim n→∞(1 + i· −ix n ) n ₌ _lim n→∞(1 + x n) n _{= e}x ₍₇₎ 最後取x = 1，就得到 e = lim n→∞(1 + 1 n) n (8) 利用小算盤，讓n = 100000代入可得e的近似值為 e = 2.718268237174489668035064824426 (9) 而利用 google 得到的近似值為2.71828182846，可見這一個方法要逼近 e的值，有點辛苦。

2. 後話

這是我聽林琦焜老師的開放課程得知的，真是有趣的想法。其實，數學雖然需要嚴密的思考過程，但是胡思亂想，更是數學的靈魂。 2