高二上期末考數學3A題庫(40)

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/10 Ch8 一、單選題 1. （ ）已知AB(4,3)、BC(0, 6) ，則△ABC 的周長為 (A)11 97 (B)16 (C)11 18 (D) 61 (E) 158 解答 B 解析 _|AB|5、_|BC|6， (4,3) (0, 6) (4, 3) ACAB BC      ，即|AC|5， 因此，周長為AB BC AC16 2. （ ）如圖所示，O為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點P落在△ODE內部（不含邊 界）？ (A)_{OPOC OE} (B) 1 1 4 2 OP OC OE (C) 1 1 4 2 OP  OC OE (D) 1 1 4 2 OP OC OE (E) 1 1 4 2 OP  OC OE 解答 B 解析 如圖。令_{OPxOCy OE}， P落在直線OE右側的條件為x0， P落在直線OD左側的條件為x y 0_， P落在直線DE下方的條件為y1 3. （ ）如圖，OABCDE 為坐標平面上一正六邊形，其中 O 為原點，A 點坐標為(2 , 0)， 則向量_DE的坐標表示法為 (A)(1, 3) (B)( 1,  3) (C)( 3,1) (D)( 3, 1) (E)( 1, 3)

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/10 解答 B 解析 作_EFOA於F。 因為O (0 , 0)、A (2 , 0)，且∠AOE = 120°， 所以在△OEF 中，OEOA2、OF1、EF 3。推得E( 1, 3) 。 又因為OD2EF，所以OD2 3。推得D(0,2 3)。 故_{DE ( 1, 3)(0,2 3)  ( 1, 3)} 4. （ ）在正六邊形 ABCDEF 中，下列哪一個向量的長度最短？ (A)_ABBC (B)ABBCCD (C)ABAF (D)ABAE (E)AC AE 解答 C 解析 如圖， (A)_ABBCAC (B)_AB_BC_CD_AC_CD_AD (C)_ABAFAO (D)_ABAEEB (E)ACAEEC 因為_AO的長度最短，故長度最短的為_ABAF

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/10 5. （ ）若三向量 a 

 

5,1 、 b 



1, 2



、 c 



18,8



滿足m a n b  c ，其中m、n為實數， 則m2n的值為 (A)8 (B)4 (C)0 (D)4 (E)8 解答 C 解析 因為_{m a n b  c} ，即m

  

5,1 n 1, 2 

 

18,8



， 所以 5 18 2 8 m n m n        ，解得m4、n 2。因此，m2n    4 2

 

2 0 6. （ ）若_{2OC5OA3OB}且AB8，則BC的長為 (A)4 (B)8 5 (C) 8 3 (D)10 (E)20 解答 E 解析 將_{2OC5OA3OB}變形為_{2OC2OB5OA5OB}，即2_OC OB _5_OA OB _    ， 由向量的拆解，可得_2BC5BA。 因此，2 5 5 5 5 8 20 2 2 2 BC  BA BC  BA BC AB   二、多選題 1. （ ）正六邊形 ABCDEF，下列何者為真？ (A)(AB BC )(CD DE )AE (B)ACAFCF (C)_{(AC CE )CBCD} (D)(AD CF )DCAF (E)_{ADAB BD BD BA} 解答 ACDE 解析 (A)○：_{(AB BC} ₎_{(CD DE} ₎_{AC CE} _AE (B)╳：_{ACAFAC CD AD} (C)○：_{(AC CE} ₎_CB_{AE CB} _{AE EF}  _AF_CD (D)○：(AD CF )DC(AD DC )CF AC CF AF (E)○：_{AB BD AD}，_{BD BA BD ( AB)AB BD AD} 2. （ ）如圖，設O為正六邊形ABCDEF的中心，且令_{OA a} 、_{OB b} ，選出正確的選項。 (A) _{a  b} (B)_{OD a} (C)_{EF a} (D)_{EO b} (E)_{CD b} 解答 CD 解析 因為兩個向量要「大小相等，且方向相同」才相等，所以_{EF a} 、_{EO b}

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/10 三、填充題 1. 設一圓的圓心坐標為(5 , 12)，△ABC 為此圓上一內接正三角形，O 為坐標平面的原點， 則_{|OA OB OC  |}的值為____________。 解答 39 解析 設 G (5 , 12)為正三角形 ABC 的重心，則_{|OA OB OC  |3 |OG|39}。 2. 設 A (6 , 0)、B (4 , 6)、O (0 , 0)，則滿足_OQ_{OA OB} ，− 1 ≤ α ≤ 1 且 α 為實數的所有點 Q 所 成線段長為____________。 解答 12 解析 如下圖， 點Q 所成線段表一過 B 平行於_OA的線段CD，長度為_2OA， 因為_OA ₆2₀2 ₆，所以所求長度為12。 x y O A(6,0) B Q Q _D C ( = 1) ( =1)

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/10 Ch9 一、單選題 1. （ ）若 O 為△ABC 內部一點且_{OA OB OB OC OC OA} ，則O 是△ABC 的 (A)內心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心 解答 D 解析 因為_{OA OB OB OC} ⇒OB OA OC(  )0⇒OB CA 0， 所以_OBCA，同理_OCAB，_OACB，所以O 為△ABC 的垂心 2. （ ）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則在下列選項中，何者與_OF的內積最小？ (A)_OA (B)_OB (C)_OC (D)_OD (E)_OE 解答 C 解析 設正六邊形ABCDEF的邊長為r，則OA OB OCODOEOFr。 因為 _{cos 60} 1 2 2 OF OA OF OE   r r   r ， _cos120 1 2 2 OF OB OF OD   r r    r ， 2 cos180 OF OC   r r   r ，所以OF OC 的值最小

3. （ ）△ABC 的三頂點為 A (2 , − 3)、B (3 , 1)、C ( − 4 , 3)，則△ABC 的面積為 (A)9 (B)12

(C)14 (D)15 (E)18 解答 D 解析 AB(1,4)、AC ( 6,6)，△ABC 的面積 1 4 1 1 | | | 6 24 | 15 6 6 2 2      4. （ ）設坐標上相異三點A a

 

,4 、B

 

6,b 與C

 

3,4 ，而O為原點。若向量_OA與_OB在_OC上的 正射影相同，則下列哪一個選項a、b的值滿足此條件？ (A)a 3、b2 (B)a2、 1 b (C)a6、b 4 (D)a7、b10 (E)條件不足，無法判斷 解答 B 解析 依題意 OA OC₂ OC OB OC₂ OC OA OC OB OC OB OA OC 0 OC OC      _   _      _  _{       }               0 AB OC    。



6 a b, 4

  

3,4 0 3 6



a

 

4 b 4



0 3a 4b 2              。 故選項內a2、b1滿足此式

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/10 5. （ ）△ABC內接於圓心為O之單位圓。若_{OA OB  3OC 0} ，則BAC之度數為何？ (A)

30 (B)45 (C)60 (D)75 (E)90 解答 D 解析 因為OA OB  3OC 0 ，所以OB 3OC OA。 由 2 2 3 OB OC  OA ⇒1 2 3 OB OC  3 1， 得 3 2 OB OC   。因此 3 cos 2 OB OC BOC OB OC      _， 即BOC150。又因為圓周角為圓心角的一半， 所以 1 75 2 BAC BOC      6. （ ）若O為△ABC的外心，且_{OA OB OC  OP}，則_{AP BC} 的值為 (A)2 (B)1 (C)0 (D)1 (E)2 解答 C 解析 因為O為△ABC的外心，所以OA  OB  OC _， 又_{OP OA OB OC APOB OC} 2 2 0 AP BC OB OCOC OB OC OB   _  _  _      二、多選題 1. （ ）設直線 : 3 1 2 L y x 。下列哪些向量可為L的法向量？ (A) 1 3 ,1 2 n   _   (B)n2 

 

3,2 (C) n₃ 



3, 2



(D)n₄  



6,4



(E) n₅   



2, 3



解答 CD 解析 將直線 : 3 1 2 L y x 改寫為3x2y 2 0，其法向量為平行



3, 2



的向量。 故L 的法向量可為選項中的(3, − 2)或( − 6,4) 2. （ ）若A

 

1,3 、B

 

2,2 ，則C為下列何者可滿足△ABC的面積為2？ (A)

 

0,1 (B)



2,2



(C)

 

3,3 (D)

 

4,4 (E)



 5, 5



解答 BD 解析 設C x y

 

, ，則_AB



_{1, 1}



、_AC



_x_1,y₃



。 因為△ABC的面積為2，即1| 1 1 | 2 1 3 2 x y     ，整理得x y 8或0。 故C 可為選項中的( − 2,2)或(4,4)

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/10 三、填充題 1. 若 3x − y = 10，則 9x2 + 4y2的最小值為____________。 解答 80 解析 ((3 )2 (2 ) )(12 2 ( 1) )2 (3 )2 2 x  y    xy ⇒ 2 2 5 (9 4 ) 100 4 x  y   ⇒ 9x2 + 4y2 ≥ 80， 因此最小值為80。 2. 如圖，在梯形ABCD中，若AB CD// ，ABBC4、CD9、AD6，則AD BC  ____________。 解答 27 2 解析 過B點作AD的平行線交CD於E點，如圖所示，得_ADBE， 所求_{AD BC } 6 4 62 42 52 27 2 6 4 2 BE BC         。

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/10 Ch10 一、單選題 1. （ ）若 a b 5 c d   ，則 3 2 4 3 2 4 a b b c d d   的值為 (A) − 120 (B) − 60 (C)30 (D)60 (E)120 解答 B 解析 3 2 4 3 4 2 4 3 4 12 ( 5) 60 3 2 4 3 4 2 4 a b b a b b b a b c d d c d d d c d               2. （ ）行列式 252 2 126 2 14 7 的值為 (A)126 2 (B)7 2 (C)0 (D) 2 (E)7 解答 C 解析 計算252 2 126 2 126 2 7 2 1 0 2 1 14 7     3. （ ）若聯立方程式 2 3 0 4 5 6 0 x y x y      _{  }  的解為



x y,



，則 (A) 3 2 6 5 1 2 4 5 x (B) 3 2 6 5 1 2 4 5 x    (C) 1 3 4 6 1 2 4 5 x    (D) 1 3 4 6 1 2 4 5 y (E) 3 1 6 4 1 2 4 5 y    解答 B 解析 將聯立方程式 2 3 0 4 5 6 0 x y x y      _{  }  改寫成 2 3 4 5 6 x y x y      _{  }  。 使用克拉瑪公式，得 3 2 6 5 1 2 4 5 x    ， 1 3 4 6 1 2 4 5 y    4. （ ）若a、 、 、b c d_{為實數，下列何者不成立？ (A)} a b a c c d  b d (B) a b b a c d  d c (C) 2 3 0 2 3 a a c c  (D) a b a b c d  d c (E) a b a b b c d c d d    解答 D 解析 (A)○：行列互換，其值不變 (B)○：任兩行互換，其值變號，所以正確 (C)○：任兩 行成比例，其值為0，所以正確 (D)╳：a b ad bc c d   與 a b ac bd d c   兩者未必相等 (E)○：將第二行的元加到第一行對應的元，其值不變

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/10 5. （ ）已知a、b為整數且行列式 3 2 5 a b  ，則絕對值 ab為何？ (A)8 (B)12 (C)14 (D)15 (E)條件不足，無法確定 解答 C 解析 3 2 15 2 13 5 a ab ab b       。 因為a、b為整數，所以 a 13 1 13 1 b 1 13 1 13 可得a b 14 6. （ ）行列式 2020 2019 109 108 的值為 (A)1911 (B)1911 (C)2019 (D)109 (E)0 解答 B 解析 2020 2019 2020 2019

 

1 2019 1 2019 108 2019 1911 109 108 109 108 ( 1) 108 1 108             二、多選題 1. （ ）關於聯立方程式 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c      _{  }  ，則下列敘述何者正確？ (A)若 1 1 2 2 0 a b a b  ，則聯立方程式必有解 (B)若c1 c2 0，則聯立方程式必有解 (C)若 1 1 2 2 0 a b a b  ，則聯立方程式必有無限多解 (D)若 1 1 2 2 0 a b a b  且c1 c2 0，則聯立方程式必有無限多解 (E)若 1 1 2 2 0 a b a b  且c10、c20，則聯立方程式無解 解答 ABD 解析 (A)○： 1 1 2 2 0 a b a b    ，恰有一組解 (B)○：兩直線方程式都通過(0,0)，必有解x0且 0 y (C)╳：兩條直線也可能平行，即無解 (D)○： 0兩直線法向量平行，又兩直線都 通過(0,0)，所以兩直線重合，有無窮多組解 (E)╳：兩條直線也可能重合，即無窮多 組解

1091 高二數學 3A 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/10 2. （ ）設二元一次聯立方程式

_

6



_

1



5 2 6 2 7 22 x k y k k x y k              。若ka時，聯立方程式有無窮多組解； 若kb時，聯立方程式無解。選出正確的選項。 (A)ab0 (B)a b  5 (C)a b 1 (D) 3 2 a b (E)a、b互質 解答 ABCE 解析 6 1 2 5 6



3



2



0 3 6 2 k k k k k k k                  或k 2。 (I)當k 2時，聯立方程式為 6 3 12 4 2 8 x y x y      _{  }  有無窮多組解，因此a 2。 (II)當k 3時，聯立方程式為 6 4 17 3 2 1 x y x y          無解，因此b 3。

故ab > 0，a + b = − 5，a − b = 1，a、b 互質

三、填充題 1. 設 a b 3 c d   ，則 2 10 5 a b c d ____________。 解答 30 解析 2 10 2 5 2 5 2 5

 

3 30 5 5 a b a b a b c d  c d   c d       。 2. 若 1 1 2 2 2 a b a b  ， 1 1 2 2 4 b c b c  ， 1 1 2 2 6 c a c a  ，則聯立方程式 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c     _{ }  的解

 

x y, ____________。 解答



 2, 3



解析 利用克拉瑪公式， 解得 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 2 c b b c c b b c x a b a b a b a b        ， 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 6 3 2 a c c a a c c a y a b a b a b a b        。 故聯立方程式的解

  

x y,   2, 3



。