行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
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以波向線座標解析等緩坡度底床㆖前進波折射流場
以波向線座標解析等緩坡度底床㆖前進波折射流場
以波向線座標解析等緩坡度底床㆖前進波折射流場
以波向線座標解析等緩坡度底床㆖前進波折射流場
The studies of using wave ray coordinates to analyse a waves
train propagating on a gentle sloping beach
計畫編號：NSC90-2611-E-110-002
執行期限：90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日
主持㆟：陳陽益 國立㆗山大學海洋環境及工程學系
摘要
於三度空間中，針對前進波列斜向傳遞於等緩 坡度B 之底床上的波動流場，本文依波浪守衡性的 本質於線性化處理下，以底床坡度B 進行攝動展 開，在波向線座標系統裡，推導出其於Eulerian 系 統 之 描 述 下 至 B 階 的 流 速 勢 函 數 (velocity 2 potential) 之明確顯然的函數形式，然後再轉換至 Lagrangian 系統之描述下求其波動之波形。由此， 前進波列在等緩坡度的斜面底床，由深至淺，其淺 化及折射得以描述，並可得波形隨時空連續演化的 變形。 ABSTRACTThe three-dimensional waves incident over a gentle sloping plane beach is studied in the present paper. Under linearizing the problem and according to the conservation of wave motion on the wave ray coordinate system, the velocity potential expressed in a suitable perturbation expansion in the bottom slope B has been derived to second order in the Eulerian system, then the wave profile is found by using a transformation in the Lagrangian system. The characteristics of waves shoaling and refraction along the direction of wave propagation from deep to shallow water are therefore described. Particularly, the
process of successive deformation of the wave profile is apparently shown in detail.
一、前言
在滿足流体力學之必要的控制方程式下，於三 度空間裡，波浪由深水經變動水深的底床前進至淺 水時，在自由表面邊界條件線性化下，含括了折射 現象的波動流場其解析方程式已被 Eckart (1952) 所導述；且對簡單特例，即底床為等坡度的斜坡情 況時，則為超越幾何級數 (hypergeometric series) 型 式的波動流場解亦被獲得。同時，Peters (1952) 與 Roseau (1952) 亦如同 Eckart (1952) 的考慮般，在 自由表面邊界條件線性化下，對水波從深水經等坡 度的斜坡底床前進至淺水的情況，提出積分型式的 波動流場解；最近，Ehrenmark (1998) 將 Peters (1952) 與 Roseau (1952) 的積分型式解展開數值計 算，並擴展應用到碎波前的自由表面平均水位下降 (set-down) 的計算。另者，Keller (1958) 亦恰如 Eckart (1952) 之考量般，並以等深水中前進波的線 性解的修飾型式，來對此問題進行理論解析其波動 流場解，然其仍限制在很緩變水深的底床與頗短的 深水波長的條件上，且亦無得出明確顯然函數式的 解析解；Lozano & Liu (1980) 應用 Keller (1958) 的 解析模式，延伸到很緩變水深底床上水中的前進波 之折射－繞射 (refraction-diffraction) 現象數值計 算。其實在淺化過程中，不只是波高在改變，波形也變得不對稱，近年來 Goda (1975) 指出底床坡度 影響著破碎時的波高，亦即底床坡度會直接影響波 浪在波碎前的波形變化，這些都是上述理論無法表 現出來的。傳統依等水深下之能通量守恆原則以階 梯式底床描述斜坡底床之解析方式，無法明顯地呈 現底床坡度效應，且在波浪斜向入射時，其無法滿 足流速方向與波向線曲面相切之重要關係。Biesel (1952) 提出一很具價值的近似式，其以底床坡度 B 對波動場作攝動展開，來描述二度空間裡(即波列向 岸垂直入射狀況)表面波動在等緩坡度底床上傳遞 的現象，可將底床坡度效應呈現於其解析結果之 中；陳、湯 (1992)、陳 (1997) 及陳、張 (1999) 針 對 Biesel (1952) 的近似式進一步給予理論模式 化，且將之系統化擴展解析至底床坡度B 階次，並3 進行試驗印證；Weiss (1997) 亦依 Biesel (1952) 的 近似式來處理波列斜向入射於等緩坡度底床上，但 其僅是將 Biesel (1952) 結果的波高乘上一折射係 數 (refraction coefficient)，並將位相函數 (phase function) 擴展成平面形式而已，惜其所得之結果無 法適當地滿足邊界條件，以及流速方向與波向線曲 面相切的關係，蓋因其無慮及波浪折射現象而給予 適足地解析流場之故。近來，由於數值模式的發展， 可計算出任一等深水中之前進波達到近於最高波的 程度，如 Cokelet (1977)、Rienecker & Fenton (1981) 等 所 提 出 的 模 式 ，Ryrie & Peregrine (1982) 與 Peregrine & Ryrie (1983) 應用此等模式，並聯合波 浪守衡性 (the conservation of wave) 即波數向量 (wave-number vector) kK 需滿足 qkK 0，來對 三度空間中的有限振幅波前進在頗緩變水深底床上 水中的折射現象，以階梯式地改變水深下進行數值 計算，說明其所會造成的波動流場中各種特性的變 化，然可惜此模式無法慮及底床坡度因素造成的影 響，故在實際滿足上仍留有些許空間。最近，陳、 湯 (1999) 針對波浪折射現象的整體特性，包含波 向線 (wave-ray line)、等位相線 (the line of constant phase)、位相函數與折射係數等，皆已導述出其明 確顯然的函數形式，然尚未求得波動流場解。 經由以上所述，往昔迄今，對三度空間中前進 在變動水深底床上水中的波動現象研究，可很明確 地得知，就連最簡單的等坡度斜坡底床情況，且在 線性化自由表面邊界條件下，其波動流場的明確顯 然函數式的解析解仍尚未被求出，遑論任意變動水 深的底床情況及有限振幅的非線波者。本文即針對 此問題，就規則前進波列斜向傳遞於等緩坡度的斜 面底床上之水中，在線性化自由表面邊界條件之最 基本給定下，依陳 (1997) 之對斜坡底床與陳、湯 (1999) 對波浪折射之理論解析模式，延續楊等人 (2000、2001) 之論述，以更為嚴謹的數學處理方 法，將波動系統攝動展開於底床坡度B 之冪級數 裡，在考量流速方向與波向線曲面相切之重要特性 下，以波向線座標系統進行解析至B 階次解。文中2 第二節是對所考慮的問題給予其必要的公式化之陳 述；而其理論解析則被導述於第三節中；第四節針 對波浪經淺化及折射所造成之波形變形與其相關特 性做一討論；而一些顯要的結果與堪值的討論則歸 結於第五節中論述之。
二、波動系統之描述
於三度空間裡，對等緩坡度斜面底床上之水中 傳遞的規則表面重力波之描述，因波浪折射之特 性，今選取沿波向線與等位相線所構成之正交座標 系統( , )s n 為參考座標，其與卡氐直角座標 ( , )x y 關 係如圖１所示；其中x 軸是取在平直的海岸線處，y 軸是向海的方向取負，以垂直於x y 平面向上取正 的z 軸表示下之底床水深為 z d By，B 為底 床坡度，波向與x 軸夾角定義為波向角 R 。 圖1 等坡度斜面底床㆖前進波折射現象示意圖 令( ,h hs n) 分 別 為( , )s n 的 尺 度 因 子 (scale factor)，由 Pearson (1983 § 3.1.2)可知 等位相線 波向線 等深線 等深線 ( ) X XX X -Y -Y -Y -Y ( ) 等深線 -Y -Y -Y -Y Z Z Z Z = d 底床 海岸線 ( ) 等位相線 等位相線s s xi yj zk h e s s s s s s s s s G G G JG (1) n n xi yj zk h e n n n s s s s s s G G G JJG (2) 式 中 , , , ,i j k e es n G G G JG JJG 分 別 為 , , , ,x y z s n 座 標 之 單 位 向 量，es icosR jsinR G G JG ，en isinR jcosR G G JJG 。式(1)及(2)對 iG及 jG作內積，可得 cos s s s x h e i h s R s ¸ s G JG (3) sin s s s y h e j h s R s ¸ s G JG (4) sin n n n x h e i h n R s ¸ s G JJG (5) cos n n n y h e j h n R s ¸ s G JJG (6) 再經Jacobian 轉換可得 cos sin sin cos n n s s x y s s x y n n s n n s y x s s h h y x n n x y x y h h R R R R ¯ ¯ ¡ ° ¯ ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡¢ °± ¡ ° ¡ ° ¢ ± ¡ ° ¡ ° ¢ ± (7) 上式中下標表示為偏微分。 由Pearson (1983 §3.1.3)可知 , , s n s n s n n s s n n s n s n s e e h e e h s h n n h s e e h e e h s h n n h s £ s s s s ¦¦ ¦ s s s s ¦¦¤ ¦ s s s s ¦ ¦¦¦¥ s s s s JG JJG JG JJG JJG JG JJG JG (8) 卡 式 直 角 作 座 標 之 單 位 向 量 ( , )i jG G 不 隨( ,s n )變 化，因此 0 ( cos sin ) 1 ( )(sin cos ) s n s s n n i e e s s h e e h n s R R R R R s s s s s s s s G JG JJG JG JJG (9) 0 ( cos sin ) 1 ( )(sin cos ) s n n s n s i e e n n h e e h s n R R R R R s s s s s s s s G JG JJG JG JJG (10) s eJG與eJJGn 為兩正交之單位向量，因此由上二式可得 1 s n h h n s R s s s s (11) 1 n s h h s n R s s s s (12) 當水深d d y( )時，則R R( )y ，hs h ys( )， ( ) n n h h y 。則上二式可改寫為 1( s) n y h y h n y s y R s s s s s s s s (13) 1 ( ) n s y h y h s y n y R s s s s s s s s (14) 將式(4)及(6)之 ,y y 代入上二式，可得 s n 1 tan s s h h y y R R s s s s (15) 1 cot n n h h y y R R s s s s (16) 將上二式對y 積分，並引入深海時R Ro，h s 1 及h 之條件，可得 n 1 cos / cos s o h R R (17) sin / sin n o h R R (18) 令曲線座標( , )s n (0, 0)對應深海之卡氏直角 座標為( , )x y ( , )x yo o 。應用式(7)對s 及x s 分別作y x 及 y 偏積分，可得 1 cos ( )cos ( ) o x o o s x s dx x x C y h R R
¨
2 sin cos tan ( ) o o y y o s y y s dy dy C x h R R R¨
¨
由以上兩式比較可得 cos ( tan ) o y o o y s R xx¨
Rdy (19) 同理，應用式(7)對n 及x n 分別作 x 及 y 偏積分，y 比較後可得 sin ( cot ) o y o o y n R x x¨
Rdy (20) 設流體為無黏性與不可壓縮的 (inviscid and incompressible) ， 且 其 運 動 為 非 旋 轉 性 的 (irrotational)，因此可定義出一流速勢函數 (velocity potential) ( , , , )Gs n z t ，可得流 體質點速度VG為(見 Pearson，1983 § 3.3.7) 1 1 , , s n V h s h n z G G G G s s s ¬ s s s ® G (21) 所考慮的波動流場之基本控制式為 (即滿足質 量守衡，見 Pearson，1983 § 3.3.2)2 2 2 2 2 1 1 1 0 n s s n s n s s n n n n n s s s n n h h h h s h s n h n z h s h s h n h n z h h h h s h s h h n h n G G G G G G G G G G ¸ s s s s s ¬ ¬¯ ¢¡¡ s s ® s s ®°°± s s s ¬ s s ¬ s s s ® s s ® s s s s s s s s s (22) 由於流體速度必與波向線曲面相切，即無垂直 於波向線之速度分量，即 0 n G (23) 在上式條件下，式(21)之流速可表示為 1 s s V e k h s z G G G s s s s G JG G (24) 式(22)之 波 動 流 場 的 基 本 控 制 式 在G n 0條 件 下，可得為 2 2 2 1 0 s s n n n n s s h s h s h n h n z h h h s h s G G G G G s s ¬ s s ¬ s ® ® s s s s s s s s s (25) 至於必要滿足的邊界條件，有： (1) 在 固 定 不 透 水 之 等 緩 坡 度 B 的 斜 面 底 床 ( , , ) 0 F s n z z d 處，在考量G n 0下，有 2 2 | | 1 / 1 0, z z s s F d n F d z d h s h s G G G G B G G B ¸ ¸ ¸ s s ¬ s s ® G nG為垂直底床之法線單位向量，ds d xx s d yy s sin s h B R ；故底床邊界條件為 2 / s sin / s 0, z s sd h s h z d G G B R G (26) (2) 在自由表面處之動力及運動邊界條件分別為 2 | | /2 0, t g z G G I (27) I / , z d dt z G I I (28) 將(27)式對 d / dt 總微分後，再將(28)式代入，可得 2 2 (| | ) (| | / 2) 0, z tt g t z G G G G G I ¸ (29) 接著，(29)式對 z 泰勒級數展開在靜水位z 0處， 並取線性項後可得自由表面處之邊界條件為 tt g z 0,z 0 G G (30)
三、理論解析
求解式(25)、(26)、(30)，在底床坡度 B 為小值 下，今給定沿著某條波向線之流速勢函數G 以及波數 (wave number)k |kG|有一B 的冪級數 (power series) 展開為 2 1 2 0 ( , , , ) ... m m o m f s n z t f f f G B B B d
(31) 2 1 2 0 ... i o i i k Bk k Bk Bk d
(32) 由於是考慮前進波列在等緩坡度B 之斜面底 床，斜向從深水傳至淺水的波動現象，故可給定其 反射波甚小而可略去；因此，依前進波的波動特性， o f 可如 Keller (1958) 或陳、湯(1992)般之給定；然 今 又 進 一 步顧 及 波動 振 幅可能 受 到 坡 度B 之影 響，故在含括更廣泛的相關因素之通則下，f 保留m 其空間分佈形式，如下所示 (方便上以複變數表示 其形式，當然最後之解需取成實數函數者) ' ' ( , )cosh ( ) ( , , ) i o o i m m f A s n k d z e e f A s n z e e 8 8 8 8 (33) ( , ) ( , )o o o x y s s x y k dX Tt s kh ds Tt 8¨
G¸ G¨
(34) 式中8 為位相函數 (phase function)， T 為波浪週波 率，XG i xG i yG 為x y 平面之位置向量。8 為' 一修正函數，使流場能滿足流速方向與波向線曲面 相切之關係(即G )，在求解至n 0 B 階次下，其定2 義為： 1 ' ' n( o ) n H BH dn 8¨
(35) 上式為一延n 方向之線積分， 'n 為某固定座標值。 在滿足G 條件下，可求得 n 0 1 1 2 2 1 [ cosh ( )] cosh ( ) [ cosh ( )] cosh ( ) cosh ( ) o n o o o n n o o A k d z A k d z A A k d z A A k d z A k d z H H (36) 因底床坡度B 為小值，故傳遞於其上的規則表 面波動中的相關量A A k 等，它們對 s 或 n 的 l , m, i 次微分量可被給定皆為B 之階次者，即 l, , ( ), 0; 1; 0 , , ( ), 0; 1; 0 l l l m i l l l l l l l m i l l l l k A A O l m i s s s k A A O l m i n n n B B s s s ¬ p p p s s s ® s s s ¬ p p p s s s ® (37)
3.1
B 階解
o 將式(31)至(37)代入式(25)、(26)、(30)中並取出 o B 項，得有 2 tanh o o gk k d T (38) 式(38)為分散關係式，其對 s 偏微，可得有 2 ( ) sin / 2 sin /( sinh 2 ) 1 2 / sinh 2 s o s o s os o o o o k d h k D k h k D k d D k d k d B R B R £ ¦¦ ¦¦¦¦ ¤¦ ¦¦ ¦¦¥¦ (39)再由Snell’s law (kocosR const.) 對 s 偏微，得有
( cos ) cos sin 0
cot 2 cos sinh 2 o s os o s s os o s o o k k k k h k k D k d R R R R R B R R £ ¦¦ ¦¦¤ ¦ ¦¦¦¥ (40) 2 2 2 cos cos
cos cos / tanh / ,
sin 1 cos 1 tanh /
tanh / cos o o o o o o o o o o o k k k d j k d j j d R M R R M R R R M R £¦¦ ¦¦ ¦¦¦¦ ¤¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦¦¥ (41) 上式中 M Ro, ,odo 分別為入射波之波數、角度及所 在的水深。
3.2 B 階解
將式(31)至(37)代入式(25)、(26)、(30)中並取出 B 項，得有 2 1 1 1 2 ( ) {( 2 / 2 )cosh ( ) [2 ( ) 2 ]sinh ( )}/ o os o s zz n n s o s o o s os o o s o A k A i k A k A k h A h i h k k A k d z k k A d z k d A k d z h B B (42)A1z ik Ao sin 0,z d B R (43)
2 1z 1 0, 0 gA A z B T (44) 相同於楊等人(2001)的解析過程，最後可得 1 sin 1 0, . sin tanh o o o k a a k d D R R (45) 1 cosh o ga A A k d T (46)
\
2 1 2 2 sin ( ) sinh cosh tanh ( ) ( ) cosh sinh 2 o o o o o o o o iag k d z A k d z k d D k d k d z k d z k d z D k d R T ¯ ²¦¦ ¡ ° ¡ ° » ¦¦ ¢ ± ¼ (47) 式中a 為入射波之振幅， T 為週波率。 o3.3
B
2階解
將式(31)至(37)代入式(25)、(26)、(30)中並取出 2 B 項，得有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) {[(3 /2 ( / ) 3 3 /2 )( ) (7 4 2 ( / ) 2 / )( ) 3 ( / ) / 2 ]cosh ( ) [ ( ) 3 s s o os o os s zz n n o os s o os s s s o os s o s s o s s n n s s o s s o s s s n n s s s o o o os A k A k A k k h h A k k A k k h A h d z k k d A k d A k d h h A k d h A h d z k d A A h h h A h h k k A k d z k k A d z k B B 2 2 3 2 2 2 ( ) (2 2 ( / ) 3 ( / ) 3 /2 2 / ( / ) ( / ) /2)( ) 4 2 2 / ( / ) ] sinh ( )}/ o os s o s s s s s o s os s os s n n n n n n s s os s o s s o s s n n o s o s s os s n n s s o s s o s s s o k d A d z k d A k A h h k A k h h A k h A h k A h h k h h h h A k h h A d z k d A k d A k d h A h k d h h A k d z h q 2 2z ssin 0, A A z d B B R (49) 2 2 2 2 (gAz A) 0,z 0 B T (50) 相同於楊等人(2001)的解析過程，最後可得>
2 4 4 2 2 2 3 3 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 3 2 2 2 /( cosh ) {[ ( ) sin /(2 sinh 2 ) ( ) sin /( sinh 2 ) ( ) ( 4 5 coth )sin /(2 ) 3 ( ) cosh cos /( sinh 2 )( )sin /( tanh ) cosh ( )
o o o o o o o o o o o o o A ga k d k d z D k d k d z D k d k d z D D k d D k d z k d D k d k d z D k d k d z T R R R R R q
<
2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 (4 10 cosh ) ( ) sin /(3 sinh 2 ) 2( cosh ) ( ) sin /( sinh 2 ) 2 ( ) cos /(3 sinh 2 ) ( ) cos /( sinh 2 )(4 cos cosh 2 cot cos cot ) ( )/(2 sinh o o o o o o o o o o o o D k d k d z D k d D k d k d z D k d k d z D k d k d z D k d k d D D k d z D R R R R R R R R q q 2 2 2 2 2 ) cos /( sinh 2 ) ( sin )( )]sinh ( )} o o o o k d D k d k k d z k d z R R (48) (51)
3 3 5 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 csch sech /(96 ) {2 [3 (5 2 2 ) 8 24 cosh 2 3(3 2 ) cosh 4 3(2 4 4 (1 ) )sinh 2 3 sinh 4 ] 6 cot (2 sinh 2 )
sin [6 (25 2 3 ) 40 (1 ) (3 o o o o o o o o o o o o o o o o k k k d k d D D k d D D Dk d k d k d D k d k d D D D D k d k d k d D k d k d k d D D D Dk d D k R R ¸ q 2 3 3 3 2 3 4 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 (75 12 2 ) 8 (5 3 ) )cosh 2 6 (15 7 2 2 3 )cosh 4 3 (5 4 2 )cosh 6 3 ( 4 7 8 3 20(1 ) )sinh 2 6 (1 2 (5 2 3 ) )sinh 4 3 (1 )sinh 6 ]} o o o o o o o o o o o o d D D D D D k d k d k d D D D D k d k d D D D k d D D D D D k d k d D D D D k d k d D D k d 由(46)、(47)、(51)、(52)式，波動場至B 階次2 已完整求得為 2 1 2 cosh ( )i i i o A k d z e Ae A e G 8 B 8 B 8 (53) 取其虛部(當然取其實部亦可)，最後得 2 ' 2 ' 1 2 2 1 '
Im( ) [ cosh ( ) ] sin cos ( ) ' ( ) o o s s o s n o n A k d z A e i Ae k k h ds t dn G B B B T H BH 8 8 £' 8 ¦¦ ¦¦ ¦ 8 ¦¦ ¦¦¦¤ ¦8 ¦¦ ¦¦ ¦8 ¦¦¦¥¦
¨
¨
式(54)若以卡式直角座標表示，僅需修正 8 及 ' 8 即可，其他項結果完全相同。 2 ( , ) 2 2 ( , ) 2 ( )cos ( )sin o o o x y x y o k k dx t k k dy B R T B R ¯ ¡ ° 8 ¡ ° ¡ ° ¢ ±¨
(55) ' ' 1 ' ' ' 2 1 ' ' ( )sin cos ( )cos x o x y o y dx dy H BH R R H BH R 8¨
¨
(56) ' [ cosh ( )] cosh ( ) o y o o A k d z A k d z H (57) 1 ' 1 1 2 2 [ cosh ( )] cosh ( ) cosh ( ) o y y o o A A A k d z A k d z A k d z H (58)四、波浪變形
4.1 流體質點速度
流 體 質 點 必 定 沿 著 波 向 線 運 動 ， 故 可 知 ' n n ，即 8 。將式(54)代入式(24)可得流' 0 體質點速度為 2 2 1 2 2 1 {[ cosh ( ) ]sin cos } { cosh ( ) ]sin cos } s s o s s o V e k h s z A k d z A h s i A e A k d z z A i A k B B B B s' s' ' s s s 8 s s 8 s 8 8 G G G G G (59)4.2 Lagrangian 座標系統轉換
由於在等深水中，當波浪達到極限臨界碎波 時，利用Lagrangian 座標系統來表示第一階波浪理 論可明顯顯示其波峰變成一尖點狀況；相較上， Eulerian 座標系統所得之結果僅可得到正弦型式的 (sinusoidal)波形映成函數，而無法顯現出此尖頂波 峰。是故以Lagrangian 座標系統來表示傳遞在緩坡 底床上前進的波列，亦將保有其真實性的優點。如 圖2 所示。 圖2 Eulerian 與 Lagrangian 座標系統下之波形 依據本文對基本控制方程式之線性化的處理 下，今將所要求出的方程式轉換到Lagrangian 座標 系統裡來表示，則對起始平均位置在( , )s z 處流體質 點，其水平與垂直位移分量 ,SZ 至B 階次可由式2 (59)之應用被寫出為 ( / ) ; t t s s h dt Z zdt¨
'¨
' S (60) 自由表面處的流體質點的座標( , )S I 可由式(60)計 算在z 0處而獲得；換言之，波動其自由表面波 形被參數化的方程式表示為 0 0 ( ) z z S s Z I £¦¦ ¤¦ ¦¥ S (61) 上式中s 為起始平均位置。由式(61)所求算波形的時 空連續變化以及相關波高分析，已於楊等人 (2001) 中作詳細說明，限於篇幅，此處不再贅述。 (52) (54) Eulerian system Lagrangian system Eulerian system Lagrangian system4.3 流體質點的運動軌跡
前人之理論，如以 Stoke 波、橢圓函數波、孤 立波理論等，描述前進波列傳遞於斜坡底床上時， 皆無法展現流體質點運動軌跡隨其所在的深度、底 床坡度B 及入射角度之變化，針對此，本文理論卻 可給予明確說明之。 方便上，今取B 階次結果來分析流體質點的運 動軌跡；任意位置之流體質點的座標 l l( , )S Z ，其參 數化的方程式表示為 l 2 2 2 2 2 2 2 cosh ( )sin sinh sin 2 cot sinh sinh 2 ( ) ( ) cosh ( ) sinh 2 ( ) 2 ( ) 1 sinh 2 tanh sinh ( )}cos o o o o o o o o o o o o o o k d z S s a k d a cosh k d D k d D k d k d z k d z k d z D k d k d z k d z D k d D k d k d z R R B 8 £ ¦¦¡ ¤ ¡¦ ¦¥¢ ¯ ° °± ¯ ¡ ° ¡ °± ¢ q 8 S (62) l\
^
0 2 2 2 2 sinh ( ) cos sinh sin 2 ( ) ( ) 1sinh sinh 2 tanh
( ) cosh ( ) ( ) sinh 2 1 sinh ( ) sin tanh o o o o o o o o o o o o k d z Z z Z a k d a k d z k d z k d D k d D k d k d z k d z k d z D k d k d z D k d R B 8 ¯ ¡ °° ¡¢ ± ¡ q ¡¢ ¯ ° 8 °± (63) 其軌跡為一傾斜之橢圓。今將座標平移至( , )s z ，再 旋轉C 角，如圖 3 所示；且忽略 O B 以上之項，( )2 最後可得流體質點運動軌跡之主軸與波向線s 軸之 交角為 2 2 sinh 2 ( )
tan sin 1 cot
2 sinh 2 ( ) 2 ( ) sinh 2 tanh o o o o o o k d z D k d k d z k d z D k d D k d C xB R ¡ R ¡¢ ¯ ° °± (64) 須注意此處所言的流體質點之運動軌跡的主軸，是 以其在深海中時的圓形軌跡之垂直線 (與 s 軸夾角 /2 Q ) 者作為基準而定的。由式(64)可知 z 值愈小 則 tanC 愈 大 ，而 在 底床 處 z 達 到 最大 ，d tanC BsinR，即其運動軌跡線之主軸的斜率洽 與斜坡底床沿波向線方向之斜率相同，此與流體質 點是沿著底床而運動的真實現象相符。由圖4 可知 在自由表面處，水深愈淺則傾斜角C 愈大；當坡度 B 愈大時，在相同水深處，傾斜角度較大而且變化 亦較大，而當入射角度R 愈大時，在相同水深處，o 此傾斜角度較大但變化較小。 圖4 自由表面處流體質點運動軌跡之主軸與波向 線s 軸之傾斜角(度)
4.4 波浪之非對稱性
波浪在淺化過程中，前峰面與背峰面會隨著水 深變淺而產生不對稱，即其斜率的大小 (以絕對值 而言) 並不一致，如圖 5 所示。 如往昔者定義般，在同一水深處，前峰面的斜 率m 為該部分之波形在平均水位(即1 z 0)處之 斜率(時間t t1)，而背峰面的斜率m 為該部分之 2 o k d C 30o o R 60o o R l Ss l ' S l Z z l ' Z C 圖3 座標轉換示 0.0 0.2 0.4 0.6 α=1/5 α=1/10 α=1/20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 α=1/5 α=1/10 α=1/20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 α=1/5 α=1/10 α=1/20 o k d C 1/ 5 1/10 1/20 B B B 90o o R 1/ 5 1/10 1/20 B B B 1/ 5 1/10 1/20 B B B圖5 斜坡底床上前進波列波形不對稱示意圖 波 形 在 平 均 水 位( 即 z 0 ) 處 之 斜 率 ( 時 間 2 t t )，如圖 5 所示。並定義一波形斜率非對稱性 參數 m 為 1 2 ( )/2 m m m (65) 由 圖 5 及 式 (65) 可 知 ， 當 波 形 對 稱 時 0 m ，而波形愈不對稱則 |m 愈大。依參數表示| 下之曲線的幾何微分，則本文考慮的波形曲線，於 式(61) 之 應 用 ， 其 在 任 一 時 間 t 的 斜 率 / [ / ]/[ / ] m dI dS dI ds dS ds ，經運算整理後， 可得至 B 階次之 m 為 2 3 3 3 2 2 2 2 2 sin ( ) tanh tanh 1 1
tanh sinh tanh
cot 1 2 1 sinh 2 sinh o o o o o o o o o o o o o k d m a D k d k d k d D D k d k d k d k d D D k d k d R B M R ¡ ¡¢ ¬ ® ¬¯ ° ° ®± (66) 由式(66)可明顯了解非對稱性參數之絕對值 |m | 正比於入射波浪尖銳度Mo oa 的平方，又由圖6 及圖 7 可知，水深愈淺、底床坡度 B 愈大或愈接近正向 入射，則波形斜率非對稱性參數之絕對值|m 愈| 大。圖7 為正向入射時，m 之理論曲線與黃 (1987) 之試驗值比較，圖中顯示二者雖有些許偏差，但趨 勢上是一致的，而圖7(a)的比較結果略佳於圖 7(b)， 圖6 斜率非對稱性參數 m 與相對水深 /d L 、底床 坡度B 及入射角度 R 之關係圖 o (圖㆗L 2 /Q ko為波長，Lo 2 /Q Mo為入射波 長，Ho 2ao為入射波高) 圖7 斜率非對稱性參數 m 理論曲線與試驗值比較 cG波速 t1 2 t 2 m 1 m s 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 Ho/Lo=0.01; slope α=0.05 incident angle θo 30o 60o 90o S / d L 0 0.05 0.1 0.15 0.2 d/L -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 S Slope:1/13.5 H0/L0 0.0124 0.0326 0.0550 0.0124 0 . 0 3 2 6 0 . 0 5 5 0 m / d L (a) / 0.01 0.05 incident angle 30 60 90 o o o o o o H L B R / d L m (a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 Ho/Lo=0.01 incident angle θo=90o slope α 0.05 0.1 0.2 / 0.01 90 slope 0.05 0.1 0.2 o o o o H L R B / d L m (b) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 d/L -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 S Slope:1/20 H0/L0 0.0137 0.0358 0.0520 0.0137 0 . 0 3 5 8 0 . 0 5 2 0 m (b) / d L
此乃因底床坡度較大者，波浪振幅之非線性效應造 成的影響較小，此時本文所推導之理論曲線亦較吻 合。至於試驗的碎波現象較本文理論曲線稍早發 生，亦因本文忽略波浪振幅的非線性效應之故。
五、結論與建議
雖然在底床坡度B 甚小時，本文探討之現象於 量值上影響不大，但卻能更貼切的符合真實物理意 義，亦即本文較適足地滿足斜坡底床邊界條件，而 將底床坡度B 的影響包含於解析結果中，且能符合 流速與波向線曲面相切之關係；而傳統使用階梯式 的等深底床之線性波，依能通量守恆所得之結果無 法滿足流速與波向線曲面相切之關係，亦無法充分 展現底床坡度B 的影響，因而造成無論何種底床坡 度，只要在相同的相對水深處即具有相同的波浪性 質之漏失現象。 綜觀上述之解析與結果，此處可給予結語的 是，本文針對所考慮的等緩坡度底床上前進波列斜 向傳遞的現象，在適足地考量入變淺的水深與底床 坡度B 的雙重影響因素下，得到B 階次解析解的結2 果，並得到波列之波形與其流場整個時空連續變形 與變動，直到碎波發生前之全部過程的演變現象， 並對流體質點的運動軌跡之傾斜角以及因水深變淺 所產生之波浪非對稱性作了完整說明。 本文結果是在線性化及不考慮反射波情況下所 得者，而對於真實現象之實質上的滿足，則應當擴 及到高度非線性問題的處理，以及納入反射波之考 慮。然依本文的闡述，這似乎已提出一可循的途徑， 而可適當地擴展來對此問題進一步地探究之。參考文獻
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等位相線 波向線 等深線 等深線 (x yo o, ) R X XX X -Y -Y -Y -Y o o o s s x y 等深線 -Y -Y -Y -Y Z ZZ Z = K d y 底床 海岸線 tan B K ( ) s s x y( x y, ) s n 等位相線 等位相線 o s n
