4-2-3排列組合-排列

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(1)第四冊 2-3 排列組合-排列【重點】完全相異物的直線排列：由 n 個相異物品中取出 m 個排成一列，不重複取，其方法數有 Pmn 種，其中 Pmn = n × ( n − 1) × " × (n − m + 1) n! n × (n − 1) × " × (n − m + 1) × (n − m)" × 2 × 1 = = 。(規定 0!= 1 ，即想成取 0 個 ( n − m) × " × 2 × 1 (n − m)! 物品的方法數為 1 種，也就是不取的那一種方法) 想法一：想成將位置固定，把物品放置到位置上想法二：想成將物品固定，將位置編號給物品【重點】不完全相異物的直線排列（排列有先後順序之分，但相同物之間則不分順序）：第 1種物品有 n1 個，第 2 種物品有 n2 個，．．．，第 k 種物品有 nk 個，作直線排 (n1 + n2 + " + nk )! 列，其方法數有種。 n1!×n2 !×" × nk ! 註：想成原來的方法當中，每幾種變成一種的意思。【重點】重複排列：由 n 種相異物品中取出 m 個排成一列，可重複選取且每種至少有 m 個，其方法數有 n m 種。註：在判別題目時，想成一對多的概念，即 1多的類型。【重點】環狀排列：由 n 個相異物品中取出 m 個排成一個圓圈，其方法數有 n!. Pmn n × (n − 1) × " × (n − m + 1) ( n − m )! n! 種。 = = = m m m m × (n − m)! 註：直排數即環排數 = 。旋轉數【重點】項圈排列：由 n 個相異物品中取出 m 個串成一條項鍊，其方法數有 n!. Pmn n × (n − 1) × " × (n − m + 1) ( n − m )! n! 種。 = = = 2m 2m 2m 2m × (n − m)! 註：直排數即項排數 = 。旋轉數 × 翻轉數.

(2) 不盡相異物之項圈排列：方法數 1 = (非對稱環狀排列數)+(對稱環狀排列數) 2 1 = (全部環狀排列數-對稱環狀排列數)+(對稱環狀排列數) 2 1 (全部環狀排列數+對稱環狀排列數) = 2 正 k 邊形桌之排列數： Pn 由 n 個人中取出 m 個人坐入正 k 邊形桌，其方法數有 m k 長方形桌之排列數： Pn 由 n 個人中取出 m 個人坐入長方形桌，其方法數有 m 2 【應用】 1. 走捷徑：如圖由左下角的 A 點走到右上角的 B 點走捷徑，則共有幾種走法？ B. A 2. 塗色問題：以 5 種顏色塗. 3. 4. 1.. 2.. 3.. A B C D E F 但相鄰要異色，其方法有 3380 種。註：對接觸最多面的那一面先塗色，可以使問題較為簡化。排容原理的應用：5 人坐 5 位，甲非 1、乙非 2、丙非 3 之方法數為 C 03 5!−C13 4!+C 23 3!−C 33 2! = 64 。排容原理的應用：5 件不同之玩具分給 3 人，甲至少 1、乙至少 1、丙至少 1 之方法數為 C 03 3 5 − C13 2 5 + C 23 15 − C 33 0 5 = 150 。排容原理的應用： AABBCCDD 排成一列，同字不相鄰之方法數為 8! 7! 6! 5! C 04 − C14 + C 24 − C 34 + C 44 4!= 864 。 2!2!2!2! 2!2!2! 2!2! 2! 數字排列問題：用 1,2,3,4,5 等 5 個數字排成五位數，但數字不重複使用，則總共有幾種情形？這些數字的總合為多少？一筆劃問題： A B. 如圖共有 n 個圓圈相連在一起，現由 A 至 B 一筆劃，共有 2 n −1 × (3!) n 種方法。.

(3)