2-3-6三角函數的性質與應用-反三角函數的基本概念

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(1)第二冊 3-6 三角函數的性質與應用-反三角函數的基本概念【定義】 1. 對於任意 y ∈ [−1,1] ，可以找到唯一一個 x ∈ [ −. π π. , ]，使得 sin x = y ，這個唯一 2 2 y (或 arcsin y )，讀作 arc sine y 。一般稱 y = sin −1 x. 的實數 x ，就記為 x = sin −1 為反正弦函數。 2. 對於任意 y ∈ [−1,1] ，可以找到唯一一個 x ∈ [0, π ] ，使得 cos x = y ，這個唯一的實數 x，就記為 x = cos −1 y (或 arccos y )，讀作 arc cosine y 。一般稱 y = cos −1 x 為反餘弦函數。 π π 3. 對於任意 y ∈ R ，可以找到唯一一個 x ∈ (− , ) ，使得 tan x = y ，這個唯一的 2 2 −1 實數 x，就記為 x = tan y (或 arctan y )，讀作 arc tangent y。一般稱 y = tan −1 x 為反正切函數。註： 1. 注意何者為角度？ 2. 注意何者為數值？ 3. 有意義的範圍各為何？ 4. 符號 sin −1 x, (sin x ) −1 ,. 1 , sin x −1 等之意義各為何？ sin x. 5. 我們在定義反函數時，爲了使定義有意義，所以限制了定義域的範圍，使成為一對一函數。如此才不會產生定義域與值域之間的對應，不知應該取何值才是的情形發生，且大家取的值才會一致。【性質】 1. 定義域與值域反三角函數定義域 A 值域 B. [−. y = sin −1 x. [−1,1]. y = cos −1 x. [−1,1]. y = tan −1 x. R. y = cot −1 x. R. y = sec −1 x. ( −∞,−1] ∪ [1, ∞ ). y = csc −1 x. ( −∞,−1] ∪ [1, ∞ ). π π. , ] 2 2 [0, π ]. (−. π π. , ) 2 2 (0, π ). [0, π ] − { y | y = [−. π π. π 2. }. , ] − { y | y = 0} 2 2. 2. 相關性質反三角函數 −1. 性質. 性質 −1. y = sin x. x ∈ A ⇔ sin(sin x) = x. y ∈ B ⇔ sin −1 (sin y ) = y. y = cos −1 x. x ∈ A ⇔ cos(cos −1 x) = x. y ∈ B ⇔ cos −1 (cos y ) = y. y = tan −1 x. x ∈ A ⇔ tan(tan −1 x) = x. y ∈ B ⇔ tan −1 (tan y ) = y. y = cot −1 x. x ∈ A ⇔ cot(cot −1 x) = x. y ∈ B ⇔ cot −1 (cot y ) = y. y = sec −1 x. x ∈ A ⇔ sec(sec −1 x) = x. y ∈ B ⇔ sec −1 (sec y ) = y. y = csc −1 x. x ∈ A ⇔ csc(csc −1 x) = x. y ∈ B ⇔ csc −1 (csc y ) = y. 37.

(2) 【圖形】 1.正弦函數 y = sin θ. 2.反正弦函數 y = sin −1 θ. 3.餘弦函數 y = cos θ. 4.餘弦函數 y = cos −1 θ. 5.正切函數 y = tan θ. 6.反正切函數 y = tan −1 θ. 【性質】 1. 三角函數的圖形與反三角函數的圖形對 y = x 對稱。【注意】 1. 畫出三角函數的反函數之時，定義域與值域的範圍要小心。 2. 可利用對稱性質畫出反三角函數的圖形。 38.

(3) 【性質】 1. 正弦函數 y = sin x 與反正弦函數 y = sin −1 x 的圖形對 y = x 對稱。 π π (證明)設 a ∈ [− , ], b ∈ [−1,1] 2 2 若 ( a, b) ∈ y = sin x ⇔ b = sin a ⇔ a = sin −1 b ⇔ (b, a ) ∈ y = sin −1 x 2. 餘弦函數 y = cos x 與反餘弦函數 y = cos −1 x 的圖形對 y = x 對稱。 (證明)設 a ∈ [0, π ], b ∈ [ −1,1] 若 ( a, b) ∈ y = cos x ⇔ b = cos a ⇔ a = cos −1 b ⇔ (b, a) ∈ y = cos −1 x 3. 正切函數 y = tan x 與反正切函數 y = tan −1 x 的圖形對 y = x 對稱。 π π (證明)設 a ∈ (− , ), b ∈ R 2 2 若 ( a, b) ∈ y = tan x ⇔ b = tan a ⇔ a = tan −1 b ⇔ (b, a) ∈ y = tan −1 x 【問題】試回答下列各問題： 2. sin −1 1 =？ 1. sin −1 0 =？ 3 =？ 2 3 5. sin(sin −1 ) =？ 2. 3 ) =？ 2 3 6. sin(sin −1 (− )) =？ 2. 3. sin −1. 4. sin −1 (−. π 7. sin −1 (sin ) =？ 3 3π 9. sin −1 (sin ) =？ 4 5π 11. sin −1 (sin ) =？ 3 3 13. sin −1 =？ 2. π 8. sin −1 (sin( − )) =？ 3 3π 10. sin −1 (sin( − )) =？ 4 5π 12. sin −1 (sin( − )) =？ 3 3 14. sin −1 (− ) =？ 2. 39.

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