100學年度高二上第三次定期考

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定期考優良試題推介

─ 100

學年度高二上第三次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫:國立高師大附中歐志昌老師 指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師

前言

本次段考命題範圍以平面向量為主,對於99 課綱而言,是最接近 95 暫綱 與88 課綱的一個單元,也因此在命題概念及考題類型上較為老師所熟悉。平面 向量新穎考題的設計誠屬不易,但在基本概念題的選取上各校皆有較大的共識。 由於向量單元的學習已經具有整合平面幾何及三角函數的特性,因此在命題的 深度、廣度及變化性上皆有較大的空間,不過在命題的核心概念上仍建議著眼於 向量性質的熟悉與應用,以協助學生藉由考試了解並檢核自己在向量概念的學 習成效。

A. 基礎重要試題

1. (是非題)有一邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF,試判斷以下敘述之正確與否: (1) AB BC CD DE EF

     

AF (2) AB BC

 

 2 (3) AD DE CF  0 

  

(2)

(4) AB DE   AD BE 0 

   

   參考答案:○╳○○ 出處:新店高中 修題建議:建議將「以下敘述之正確與否」修改為「以下敘述是否正確」 2. 已知A

 

3,0 , B

2,5 ,

C

 

4,3 為坐標平面上三點,若集合

| , -1 2, 1 3

SP AP x AB y AC

  

   x  y , 則集合 S 所表示區域的面積為 ______. 參考答案:48 出處:新店高中 3. 已知∆ABC 中 A 90, ABAC=3:2,且 P、Q 為BC上的三等分點,若 PAQ    , 則 cosθ=____________. 參考答案:13 10 50 出處:新店高中 4. (單選題)已知平面上一向量OP

 

1,a

在直線y x  上之正射影向量為2 (2,2),則 a=? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E)7 參考答案:C 出處:建國中學 修題建議:建議將「a」修改為「a為下列哪一個選項?」 5. 在坐標平面上﹐設 A 為直線 3xy 0 上一點﹐B 為 x 軸上一點﹒若線段AB的 中點坐標為( ,6)7 2 ﹐則 (1) 點 A 的坐標為_____. (2) 點 B 的坐標為_______. 參考答案:(1) (4,12) (2) (3,0)

(3)

出處:中壢高中 6. 已知

 

u , v 為平面上兩非零且不平行的向量,若

 

u , v 兩向量所張出之平 行四邊形面積為6,則2

 

u 3 v4

 

u 5 v 所張出之平行四邊形面積為 (1) 9 (2) 12 (3) 18 (4) 20 (5) 24 參考答案:(2) 出處:新竹高中 修題建議:建議題目最後敘述增加「下列哪一個選項?」或「為何?」 7. 在直角ABC中,若 =90°,C AC=4,則AB AC

 

________. 參考答案:16 出處:臺南一中 8. 在坐標平面上,已知A

2,4

B

3,6

,若 P 在直線 AB 上,且 : 3 : 2 PA PB, 則 P 點坐標為 .(兩解) 參考答案:

1, 2

13, 26

出處:新豐高中 9. 已知坐標平面上三點A

  

1, 2 ,B 4,6 ,

  

C 3,3 ,試求: (1) AB

AC

上的正射影。 (2) B 點在直線 AC 上的投影點 D 的坐標。 參考答案:(1)

4, 2

(2)

5, 4

出處:南科國際實驗高中 10. 設

a

b 是兩個單位向量,其夾角為 60,試求2 a

 

b 2

 

b 3 a 的夾 角為何? 參考答案: 120 出處:鳳新高中

(4)

修題建議:建議修改「設

a

b 是兩個單位向量」為「已知

a

b 為兩個 長度等於 1 的向量」 11. 圖中的網格由兩兩平行的直線所組成,且每一小格均為菱形。若 PQ x AB y CD

  

  , 則數對

x y,

____________. 參考答案: 3, 1 2       出處:高雄市立三民高中 修題建議:建議修改「每一小格均為菱形」為「每一小格均為大小相同的菱 形」 12. 若將

c

4,7

分解成兩個不平行向量

a

 

2,1

b

1, 2

的線性組合,即 cr as b

  

, 則數對

 

r s, ____________. 參考答案:

3,2

出處:屏東女中 13. 已知兩非零向量

a

b 的長度相等,且

   

ab  2 ab 。設

a

b 的夾角為 ,則 cos = . 參考答案: 1 3  出處:建國中學 14. 已知直線L1: 7x24y  , 點5 0 A

 

2,1 ,且 L2為過 A 點且平行 L1的直線,求 直線 L1與直線 L2之距離。

(5)

E D C B A 參考答案:3 5 出處:鳳新高中 15. 關於方程組 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      ,下列哪些敘述正確? (A) 若 1 1 2 2 0 a b a b  ,則方程組必有解。 (B) 若 1 1 2 2 0 a b a b  ,則方程組無解。 (C) 若 c1=c2=0,則方程組必有解。 (D) 若 1 1 2 2 0 a b a b  ,c1=c2=0,則方程組有唯一解( 0 , 0 )。 (E) 若 1 1 2 2 0 a b a b  ,c1=c2=0,則方程組必有無限多組解。 參考答案:ACDE 出處:高雄市立三民高中 16. (多選)如圖,ABACADDCDEEC,下列哪些敘述正確? (1) AD DE

 

0 (2) DE AB

 

0 (3) BC CA

 

0 (4) AB DC

 

0 (5) AB AD

   

AD AC 參考答案:35 出處:高雄市立中正高中 17. 在ABC中, A 75 ,   B 45, AB 3, 若 O 為三角形之外心,則

(6)

OA OB OC

  

  =? 參考答案: 2 3 (或 6 2 2  出處:弘文高中 修題建議:建議修改「 OA OB OC

  

  =?」為「 OA OB OC

  

  之長為何?」 18. 如圖,設 P 為ABC內一點, 1 1 3 4 AP

  

ABAC, 2 3 BM

 

BA,則PMB的面 積:ABC的面積=___________。 參考答案:1:6 出處:明道中學 19.ABC中,已知 B 45 ,  C 75AB 6 2AC2 2,且 D 為 AB 之中點,則DA AC

 

=? 參考答案:

3 1

出處:鳳新高中 20. 設直線 L 的參數式為 2266 3 , 741 x t t y t          , 則此直線與 x 軸的銳夾角為何? 參考答案: 30 出處:鳳新高中 21. 如圖,在坐標平面上的ABC中,P,Q 分別為BC AC, 邊上一點,且

(7)

, 已知PB

 

2,1 , PQ

 

3, 2

, 則PA

= 。 參考答案:

1,10

出處:高雄市立三民高中 22. 如圖,半圓內部有一內接矩形,矩形一邊在直徑上,已知圓的半徑為 7 , 則 矩形周長的最大值為    . 參考答案: 2 35 出處:高雄市立中正高中 23. 若

  

a 4, b 5, c 6且

   

a b c 0 , 則

b

c 方向上的正射影長 度= 。 參考答案:15 4 . 出處:高雄市立中正高中 修題建議:建議修改「試求

b

c 方向上…」為「則

b

c 方向上…」 24. 設A

2, 2 ,

 

B 3,0 ,

C

4,3 ,

D

2,1

,且 O 為原點,若OP AB

  

2CD﹐則 P 點 坐標為 . 參考答案:

9, 2

出處:花蓮高中

(8)

25. (多選)設

a

b

c 為平面上三個非零向量,下列敘述哪些正確? (A)若

   

a b a c ,則

 

b c (B)若

   

a b a c ,則

 

b c (C) ab abab    ab      

       

(D) b c a  c a b

     

     必與

c 垂直 (E)

a

b 上的正射影向量與

a

b 上的正射影向量大小相同,方向相 反 參考答案:AD 出處:建國中學 26. (多選)下列哪些選項正確? (A) a b b a c dd c (B) a kc b kd b ka a c d d kc c       (C) a kc b kd e ka f kb a b c d a b c e d f          (D) ka kb kc a b kc kdc d (E)已知平面上三相異點O

 

0, 0 ,A a b

,

B c d

,

。若 a b 0 c d  ,則此三點 必共線 參考答案:BCE 出處:建國中學 27. (多選)已知ABC之三中線長AD6,BE9,CF 12。若 G 為ABC 之重心,則下列哪些選項正確?

(9)

(1) AG之長為 5 (2) GA GB GC     0 (3) GA GB  6 (4) sin 13 4 AGB   (5) ABC面積為 9 15 . 參考答案:235 出處:新竹高中

(10)

B. 新穎創意試題

28. 已知AB是圓 O 的一條直徑,P 是圓 O 上的一點,且AP2,則AB AP

 

. 參考答案:4 出處:明道中學 29. 大雄 想將一條長 40 公分的繩子剪成兩段,其中一段圍成正方形,另一段圍 成邊長比為 3:4:5 的三角形。若兩者所能圍成最小的面積和為 a 平方公分, 且此時的正方形面積為 b 平方公分,則數對(a, b)= ____________. 參考答案:(40,16) 出處:新店高中 修題建議:建議將「若兩者所能圍成最小的面積和」修改為「若兩者所圍成的 面積和最小值」

30. 如圖(2),ABC中, B 90, AB4, BC3, 又 ACFG, ABDE 和 BCHI

均為正方形,試求: (1) AD AH

 

= ___________. (2) cos GBE = ___________. 參考答案:(1) 16 (2) 3 130 出處:北一女中 修題建議:建議修改「均為正方形」為「均為正方形且與ABC在同一平面 上」 31. 如圖(3),ABC中,D、E 為BC的三等分點,F 為AC上一點且

(11)

. 設直線 AD 與直線 EF 交於P,若AP x AB y AC

  

  , 則數對(x,y) = ___________. 參考答案: 8 4, 9 9       出處:北一女中 32. 設 A 在第一象限內,B

5,0 ,

C

3,6

OCAB, 則OA

OC

上的正射影 為何? 參考答案:(-1,2) 出處:弘文高中 33. 在 ABC中,P 為中線 AM 上的一個動點。若 AM =10,則12PB PC PA  

  

 的 最小值為何? 參考答案:25 出處:弘文高中 34. 設點 M 是線段 BC 的中點,點 A 在直線 BC 外。若 2 |BC

| 16,   AB AC

   

 AB AC,則AM

________. 參考答案:2 出處:臺南一中 35. 如圖,在 ΔABC 中, D 在BC上,AD

 

ABBC 3BD。若 |AD

| 1 = AC AD

 

________.

(12)

參考答案: 3 出處:臺南一中 36. 下圖是由 8 層邊長各為 1 的小正三角形堆砌而成,則 ΔBAC 面積________. 參考答案: 6 3 出處:臺南一中 37. 如圖,直角ABC三邊長為 3, 4, 5﹐PAC邊上一個動點,設P到 AB , BC兩邊之距離分別是x, y, 求x2y2之最小值為____________。 參考答案:72 17 出處:高雄市立三民高中 修題建議:建議修改「求x2y2之最小值為…」為「則x2y2之最小值為…」 3 4 B y C P 5 A

x

(13)

38. 如圖(1),由

 

a b, 所展開的平行四邊形面積我們以 f a b, 

 

表示。 已知

u

a b1, 1

,

v

a b2, 2

,

w

a b3, 3

, 則下列哪些敘述正確? (1) 1 1 1 2 2 1 2 2 , a b f u v a b a b a b    

 

(2) 若 k 為實數,則 f k u k v , k2 f u v , 

 

 

 

 (3) f uv w,  f u w ,  f v w, 

      

     (4) 若 f u v ,   4 

 

 , 則 f 3 u 2 v u, 2 v 32    

   

 (5) 若

  

u v w, , 兩兩不平行,則 1 2 3 1 2 3 a x a y a b x b y b      必恰有一解。 參考答案: (2)(4)(5) 出處:北一女中 修題建議:建議修改「由

 

a b, 所展開的平行四邊形面積我們以 f a b, 

 

 表示」為「我們以 f  a b,  

 

表示由

 

a b, 所展開的平行四邊形面積」 39. 已知坐標平面上直線 L 通過點A

2,0

。若直線 L 被兩條平行直線 3x y   和33 0 x y   所截的截線段長為 6,則直線 L 的方程式為 3 0 .(有二解)參考答案:y  

3 10

x2

(14)

出處:明道中學 40. 若 a, b, c, d 皆為實數且滿足 a2b2 1, c2d2 1, 1 2 ac bd  , 則 2 2 2 2 a b c d =? 參考答案: 2 3 出處:鳳新高中

C. 建議避免出現或可待討論改善之試題

假設

a

b 的夾角為135, 且 2 18 b

,

a  

2,0

,

b

log ,2c d

則 ? c d  參考答案:11 或 5 不宜出現之原因或修題建議:有關對數的概念並非本單元之學習重點,不建 議於題目中混合使用,避免無法檢測學生在本單元的學習成效。

數據

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參考文獻

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