定期考優良試題推介
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學年度高二上第三次定期考
教育部高中數學學科中心試題研發小組
報告撰寫：國立高師大附中歐志昌老師 指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師前言
本次段考命題範圍以平面向量為主，對於99 課綱而言，是最接近 95 暫綱 與88 課綱的一個單元，也因此在命題概念及考題類型上較為老師所熟悉。平面 向量新穎考題的設計誠屬不易，但在基本概念題的選取上各校皆有較大的共識。 由於向量單元的學習已經具有整合平面幾何及三角函數的特性，因此在命題的 深度、廣度及變化性上皆有較大的空間，不過在命題的核心概念上仍建議著眼於 向量性質的熟悉與應用，以協助學生藉由考試了解並檢核自己在向量概念的學 習成效。A. 基礎重要試題
1. (是非題)有一邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF，試判斷以下敘述之正確與否: (1) AB BC CD DE EF
AF (2) AB BC
2 (3) AD DE CF 0
(4) AB DE AD BE 0
參考答案：○╳○○ 出處：新店高中 修題建議：建議將「以下敘述之正確與否」修改為「以下敘述是否正確」 2. 已知A
3,0 , B
2,5 ,
C
4,3 為坐標平面上三點，若集合
| , -1 2, 1 3
S P AP x AB y AC
x y , 則集合 S 所表示區域的面積為 ______. 參考答案：48 出處：新店高中 3. 已知∆ABC 中 A 90, AB：AC=3：2，且 P、Q 為BC上的三等分點，若 PAQ , 則 cosθ=____________. 參考答案：13 10 50 出處：新店高中 4. (單選題)已知平面上一向量OP
1,a
在直線y x 上之正射影向量為2 (2,2)，則 a=？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E)7 參考答案：C 出處：建國中學 修題建議：建議將「a」修改為「a為下列哪一個選項？」 5. 在坐標平面上﹐設 A 為直線 3xy 0 上一點﹐B 為 x 軸上一點﹒若線段AB的 中點坐標為( ,6)7 2 ﹐則 (1) 點 A 的坐標為_____. (2) 點 B 的坐標為_______. 參考答案：(1) (4,12) (2) (3,0)出處：中壢高中 6. 已知
u , v 為平面上兩非零且不平行的向量，若
u , v 兩向量所張出之平 行四邊形面積為6，則2
u 3 v 與4
u 5 v 所張出之平行四邊形面積為 (1) 9 (2) 12 (3) 18 (4) 20 (5) 24 參考答案：(2) 出處：新竹高中 修題建議：建議題目最後敘述增加「下列哪一個選項？」或「為何？」 7. 在直角ABC中，若 =90°，C AC=4，則AB AC
＝________. 參考答案：16 出處：臺南一中 8. 在坐標平面上，已知A
2,4
，B
3,6
，若 P 在直線 AB 上，且 : 3 : 2 PA PB , 則 P 點坐標為 .(兩解) 參考答案：
1, 2
或
13, 26
出處：新豐高中 9. 已知坐標平面上三點A
1, 2 ,B 4,6 ,
C 3,3 ，試求： (1) AB
在AC
上的正射影。 (2) B 點在直線 AC 上的投影點 D 的坐標。 參考答案：（1）
4, 2
（2）
5, 4
出處：南科國際實驗高中 10. 設
a 與
b 是兩個單位向量，其夾角為 60，試求2 a
b 與2
b 3 a 的夾 角為何？ 參考答案： 120 出處：鳳新高中修題建議：建議修改「設
a 與
b 是兩個單位向量」為「已知
a 與
b 為兩個 長度等於 1 的向量」 11. 圖中的網格由兩兩平行的直線所組成，且每一小格均為菱形。若 PQ x AB y CD
, 則數對
x y,
____________. 參考答案： 3, 1 2 出處：高雄市立三民高中 修題建議：建議修改「每一小格均為菱形」為「每一小格均為大小相同的菱 形」 12. 若將
c
4,7
分解成兩個不平行向量
a
2,1 和
b
1, 2
的線性組合，即 c r a s b
, 則數對
r s, ____________. 參考答案：
3,2
出處：屏東女中 13. 已知兩非零向量
a 與
b 的長度相等，且
a b 2 a b 。設
a 與
b 的夾角為 ，則 cos = . 參考答案： 1 3 出處：建國中學 14. 已知直線L1: 7x24y , 點5 0 A
2,1 ，且 L2為過 A 點且平行 L1的直線，求 直線 L1與直線 L2之距離。E D C B A 參考答案：3 5 出處：鳳新高中 15. 關於方程組 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c ，下列哪些敘述正確？ (A) 若 1 1 2 2 0 a b a b ，則方程組必有解。 (B) 若 1 1 2 2 0 a b a b ，則方程組無解。 (C) 若 c1＝c2＝0，則方程組必有解。 (D) 若 1 1 2 2 0 a b a b ，c1＝c2＝0，則方程組有唯一解( 0 , 0 )。 (E) 若 1 1 2 2 0 a b a b ，c1＝c2＝0，則方程組必有無限多組解。 參考答案：ACDE 出處：高雄市立三民高中 16. (多選)如圖，AB AC，ADDC且DEEC，下列哪些敘述正確？ (1) AD DE
0 (2) DE AB
0 (3) BC CA
0 (4) AB DC
0 (5) AB AD
AD AC 參考答案：35 出處：高雄市立中正高中 17. 在ABC中， A 75 , B 45, AB 3, 若 O 為三角形之外心，則OA OB OC
=？ 參考答案： 2 3 （或 6 2 2 ） 出處：弘文高中 修題建議：建議修改「 OA OB OC
=？」為「 OA OB OC
之長為何？」 18. 如圖，設 P 為ABC內一點， 1 1 3 4 AP
AB AC， 2 3 BM
BA，則PMB的面 積：ABC的面積=___________。 參考答案：1：6 出處：明道中學 19. ABC中，已知 B 45 , C 75，AB 6 2，AC2 2，且 D 為 AB 之中點，則DA AC
=？ 參考答案：
3 1
出處：鳳新高中 20. 設直線 L 的參數式為 2266 3 , 741 x t t y t , 則此直線與 x 軸的銳夾角為何？ 參考答案： 30 出處：鳳新高中 21. 如圖，在坐標平面上的ABC中，P，Q 分別為BC AC, 邊上一點，且, 已知PB
2,1 , PQ
3, 2
, 則PA
= 。 參考答案：
1,10
出處：高雄市立三民高中 22. 如圖，半圓內部有一內接矩形，矩形一邊在直徑上，已知圓的半徑為 7 , 則 矩形周長的最大值為 . 參考答案： 2 35 出處：高雄市立中正高中 23. 若
a 4, b 5, c 6且
a b c 0 , 則
b 在
c 方向上的正射影長 度＝ 。 參考答案：15 4 . 出處：高雄市立中正高中 修題建議：建議修改「試求
b 在
c 方向上…」為「則
b 在
c 方向上…」 24. 設A
2, 2 ,
B 3,0 ,
C
4,3 ,
D
2,1
,且 O 為原點，若OP AB
2CD﹐則 P 點 坐標為 . 參考答案：
9, 2
出處：花蓮高中25. (多選)設
a 、
b 、
c 為平面上三個非零向量，下列敘述哪些正確？ （A）若
a b a c ，則
b c （B）若
a b a c ，則
b c （C） a b a b a b a b
（D） b c a c a b
必與
c 垂直 （E）
a 在
b 上的正射影向量與
a 在
b 上的正射影向量大小相同，方向相 反 參考答案：AD 出處：建國中學 26. (多選)下列哪些選項正確？ （A） a b b a c d d c （B） a kc b kd b ka a c d d kc c （C） a kc b kd e ka f kb a b c d a b c e d f （D） ka kb kc a b kc kd c d （E）已知平面上三相異點O
0, 0 ，A a b
,
，B c d
,
。若 a b 0 c d ，則此三點 必共線 參考答案：BCE 出處：建國中學 27. (多選)已知ABC之三中線長AD6，BE9，CF 12。若 G 為ABC 之重心，則下列哪些選項正確？(1) AG之長為 5 (2) GA GB GC 0 (3) GA GB 6 (4) sin 13 4 AGB (5) ABC面積為 9 15 . 參考答案：235 出處：新竹高中
B. 新穎創意試題
28. 已知AB是圓 O 的一條直徑，P 是圓 O 上的一點，且AP2，則AB AP
. 參考答案：4 出處：明道中學 29. 大雄 想將一條長 40 公分的繩子剪成兩段，其中一段圍成正方形，另一段圍 成邊長比為 3：4：5 的三角形。若兩者所能圍成最小的面積和為 a 平方公分， 且此時的正方形面積為 b 平方公分，則數對(a, b)= ____________. 參考答案：(40,16) 出處：新店高中 修題建議：建議將「若兩者所能圍成最小的面積和」修改為「若兩者所圍成的 面積和最小值」30. 如圖（2），ABC中， B 90, AB4, BC3, 又 ACFG, ABDE 和 BCHI
均為正方形，試求: (1) AD AH
= ___________. (2) cos GBE = ___________. 參考答案：(1) 16 (2) 3 130 出處：北一女中 修題建議：建議修改「均為正方形」為「均為正方形且與ABC在同一平面 上」 31. 如圖（3），ABC中，D、E 為BC的三等分點，F 為AC上一點且. 設直線 AD 與直線 EF 交於P，若AP x AB y AC
, 則數對(x,y) = ___________. 參考答案： 8 4, 9 9 出處：北一女中 32. 設 A 在第一象限內，B
5,0 ,
C
3,6
且OCAB, 則OA
在OC
上的正射影 為何？ 參考答案：(-1,2) 出處：弘文高中 33. 在 ABC 中，P 為中線 AM 上的一個動點。若 AM =10，則12PB PC PA
的 最小值為何？ 參考答案：25 出處：弘文高中 34. 設點 M 是線段 BC 的中點，點 A 在直線 BC 外。若 2 |BC
| 16, AB AC
AB AC,則AM
________. 參考答案：2 出處：臺南一中 35. 如圖，在 ΔABC 中， D 在BC上，AD
AB且BC 3BD。若 |AD
| 1 則 = AC AD
________.參考答案： 3 出處：臺南一中 36. 下圖是由 8 層邊長各為 1 的小正三角形堆砌而成，則 ΔBAC 面積________. 參考答案： 6 3 出處：臺南一中 37. 如圖，直角ABC三邊長為 3, 4, 5﹐P為AC邊上一個動點，設P到 AB , BC兩邊之距離分別是x, y, 求x2y2之最小值為____________。 參考答案：72 17 出處：高雄市立三民高中 修題建議：建議修改「求x2y2之最小值為…」為「則x2y2之最小值為…」 3 4 B y C P 5 A
x
38. 如圖（1），由
a b, 所展開的平行四邊形面積我們以 f a b,
表示。 已知
u
a b1, 1
,
v
a b2, 2
,
w
a b3, 3
, 則下列哪些敘述正確？ (1) 1 1 1 2 2 1 2 2 , a b f u v a b a b a b
(2) 若 k 為實數，則 f k u k v , k2 f u v ,
(3) f u v w, f u w , f v w,
(4) 若 f u v , 4
, 則 f 3 u 2 v u, 2 v 32
(5) 若
u v w, , 兩兩不平行，則 1 2 3 1 2 3 a x a y a b x b y b 必恰有一解。 參考答案： (2)(4)(5) 出處：北一女中 修題建議：建議修改「由
a b, 所展開的平行四邊形面積我們以 f a b,
表示」為「我們以 f a b,
表示由
a b, 所展開的平行四邊形面積」 39. 已知坐標平面上直線 L 通過點A
2,0
。若直線 L 被兩條平行直線 3x y 和33 0 x y 所截的截線段長為 6，則直線 L 的方程式為 3 0 .(有二解)參考答案：y
3 10
x2
出處：明道中學 40. 若 a, b, c, d 皆為實數且滿足 a2b2 1, c2d2 1, 1 2 ac bd , 則 2 2 2 2 a b c d =? 參考答案： 2 3 出處：鳳新高中
