圆周角—巩固练习（提高）

(1)

圆周角—巩固练习（提高）

【巩固练习】一、选择题

1. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与∠BCE 相等的角有（） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个

2．已知，如图, AB 为⊙O 的直径，AB＝AC，BC 交⊙O 于点 D，AC 交⊙O 于点 E，∠BAC＝45°。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧



AE

是劣弧

DE



的 2 倍；⑤AE＝BC。其中正确的有( )个

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

第 1 题图第 2 题图第 3 题图

3．如图，在⊙O 中，弦 AB 的长是半径 OA 的

3

倍，C 为



AB

中点，AB、OC 交于点 P，则四边形 OACB 是( )

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4.如图，AB 为⊙O 直径，点 C 为圆上一点，将劣弧



AC

沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连接 CD，若点 D 与圆心 O 不重合，∠BAC=20°，则∠DCA 的度数是（） A．30° B.40° C.50° D.60° 5．（_{2015•威海）如图，已知 AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（} ） A．68° B．88° C．90° D．112°

(2)

A．

3

2

cm B．3cm C．

2 3

cm D．9cm 二、填空题 7．（2015•青岛）如图，圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ． 8．半径为 2a 的⊙O 中，弦 AB 的长为，则弦 AB 所对的圆周角的度数是________. 9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,

CD 

4 2

,则∠AED= °.

10．如图，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，则弦 CE=________.

11.如图所示，在半径为 3 的⊙O 中，点 B 是劣弧



AC

的中点，连接 AB 并延长到 D，使 BD＝AB，连接 AC、 BC、CD，如果 AB＝2，那么 CD＝________．

（第 10 题图）（第 11 题图）

12．如图，MN 是⊙O 的直径，MN＝2，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，点 B 为AN︵中点，P 直径 MN 上的一个动点，则 PA＋PB 的最小值是 . N P M _O A B （第 12 题图）

(3)

三、解答题

14.（2015•宁波模拟）如图，等腰△ABC 中，AC=BC，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为上一点，CE⊥AD 于_{E，求证：AE=BD+DE．}

15．如图所示，以



ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交 AD，BC 于 E，F，延长 BA 交⊙O 于 G，求证：

GE EF

 



．

16．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为



AE

的中点，CD⊥AB 于 D，交 AE 于 F，连接 AC，求证：AF＝CF．

17.如图所示，⊙O 的直径 AB 长为 6，弦 AC 长为 2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求四边形 ADBC 的面积．

(4)

一、选择题 1．【答案】D．【解析】与∠BCE 相等的角有 5 个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE. 2．【答案】C．【解析】①②④正确. 3.【答案】C．【解析】由弦 AB 的长是半径 OA 的

3

倍，C 为



AB

中点，得∠AOC=60°，△AOC 为等边三角形，所以 AO=AC，进而得到 OA=OB=BC=AC，故则四边形 OACB 是菱形.

4.【答案】C；【解析】如图，连接 BC，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣ 20°=70°．根据翻折的性质，



AC

所对的圆周角为∠B，



A C

D

所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠B=∠CDB=70°，∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=70°﹣20°=50°． 5．【答案】B．【解析】如图，∵AB=AC=AD， ∴点 B、C、D 在以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC， ∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°，故选 B． 6．【答案】B．【解析】∵ ∠CDB＝30°， ∴ ∠COB＝2∠CDB＝60°，又 AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB， ∴ ∠OCD＝30°，

1

2 CE



CD

，在 Rt△OEC 中，∵

OC 

3

cm，∴

3

2 OE 

cm． 2

(5)

∴

3

2 CE 

cm，∴ CD＝3cm．二、填空题 7．【答案】_40°；【解析】∵∠_{A=55°，∠E=30°，} ∴∠_{EBF=∠A+∠E=85°，} ∵∠A+∠BCD=180°， ∴∠_{BCD=180°﹣55°=125°，} ∵∠_{BCD=∠F+∠CBF，} ∴∠_{F=125°﹣85°=40°．} 8．【答案】120°或 60°； 9．【答案】30°； 10．【答案】3； 11．【答案】

4

3

；【解析】连结 OA、OB，交 AC 于 E，因为点 B 是劣弧



AC

的中点，所以 OB⊥AC，设 BE=x,则 OE=3-x，由 AB2

-BE2 =OA2 -OE2 得 22 -x2 =32 -（3-x）2 ,解得

2

3 x 

，

2

4

3 CD



BE



. 或连接 OA、OB，△OAB∽△BCD，

AB CD

OA BC



，

2

3

2 CD



，

4

3 CD 

． 12．【答案】；【解析】作点 B 关于 MN 的对称点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则 P 点就是所求作的点．（如图）此时 PA+PB 最小，且等于 AC 的长．连接 OA，OC，根据题意得弧 AN 的度数是 60°，则弧 BN 的度数是 30°，根据垂径定理得弧 CN 的度数是 30°，则∠AOC=90°，又 OA=OC=1，则 AC= ．

(6)

【解析】方程 x2 -（2

2

+2

3

）x+4

6

=0 的解为 x1=2

2

，x2=2

3

，不妨设：AB=2

2

，AC=2

3

．（1）如图，OM⊥AB 于 M，ON⊥AC 于 N． ∵AB=2

2

，AC=2

3

， ∴AM=

2

，

∵OA=2，在 Rt△MAO 中，∠MAO=45°，AC=2

3

， ∴AN=

3

，在 Rt△NAO 中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°；（2）如图，∠BAC=75°．三、解答题 14.【答案与解析】证明：如图，在_{AE 上截取 AF=BD，连接 CF，CD；} 在△ACF 和△BCD 中 ∴△_{ACF≌△BCD，}

(7)

15.【答案与解析】连接 AF，则 AB=AF，所以∠ABF=∠AFB．因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD∥BC，所以∠DAF=∠AFB，∠GAE=∠ABF，所以∠GAE=∠EAF，所以

GE EF

 



． 16.【答案与解析】证法一：连接 BC，如图所示． ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB＝90°，即∠ACF+∠BCD＝90°．又∵ CD⊥AB， ∴ ∠B+∠BCD＝90°， ∴ ∠ACF＝∠B． ∵ 点 C 是



AE

的中点， ∴

 

AC CE



， ∴ ∠B＝∠CAE， ∴ ∠ACF＝∠CAE，∴ AF＝CF．证法二：如图所示，连接 BC，并延长 CD 交⊙O 于点 H． ∵ AB 是直径，CD⊥AB， ∴

 

AC AH



． ∴ 点 C 是



AE

的中点， ∴

 

AC CE



， ∴

 

AH CE



． ∵ ∠ACF＝∠CAF， ∴ AF＝CF． 17.【答案与解析】 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB＝∠ADB＝∠90°．在 Rt△ABC 中，AB＝6，AC＝2， ∴

BC



AB

2



AC

2



6 2

2



2



4 2

．

(8)

∴

 

AD DB



，∴ AD＝BD． ∴ 在 Rt△ABD 中，AD2 +BD2 ＝AB2 ＝62 ，∴ AD＝BD＝