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105學科能力測驗試題

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Academic year: 2021

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(1)

1. 設 f(x)為二次實係數多項式,已知 f(x)在 x=2 時有最小值 1 且 f(3)=3, 請問 f(1)之值為下列哪一選項? (1) 5,(2) 2,(3) 3,(4) 4, (5) 條件不足,無法確定。 Ans:(3) 【詳解】 f(x)=k(x-2)2+1 f(3)=k(3-2)2+1=3  k=2 f(1)=2.(1-2)2+1=3. 2. 請問 sin73、sin146、sin219、sin292、sin365這五個數值的中位數是哪一個? (1) sin73,(2) sin146,(3) sin219,(4) sin292,(5) sin365

Ans:(5) 【詳解】 由上知中位數為sin365∘ 3. 座標平面上兩圖形1,2的方程式分別為1:(x+1)2+y2=1,2:(x+y)2=1, 請問1與2共有幾個交點? (1) 1 個,(2) 2 個,(3) 3 個,(4) 4 個,(5) 0 個 2 -2 -5 yE = 0.09 yD = -0.93 yC = -0.63 yB = 0.56 yA = 0.96 E D C B A

(2)

Ans:(2) 【詳解】 4. 放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T,該物質的質量會衰退成原來的一半。 鉛製容器中有兩種放射性物質 A、B,開始紀錄時容器物質 A 的質量為物質 B 的 兩倍,而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時,請問 物質 B 的半衰期為幾小時? (1) 8 小時,(2) 10 小時,(3) 12 小時,(4) 15 小時,(5) 20 小時 Ans:(1) 【詳解】 設原A 質量為 2k,B 質量為 k。 120=7.516, 即A 經過 16 個半衰期後,質量為 2k. 1 16 ( ) 2 。 設B 的半衰期為 t,則 120 16 1 1 ( ) 2 ( ) 2 2 t k  k  120 15 t   t=8. 5. 座標空間中一質點自點 P(1,1,1)沿著方向 a =(1,2,2)等速直線前進,經過 5 秒後剛好到達平面 E:x-y+3z=28 上,立即轉向沿著方向 b =(2,2,1) 依同樣的速率直線前進。請問在經過幾秒,此質點會剛好到達平面 x=2 上? (1) 1 秒,(2) 2 秒,(3) 3 秒,(4) 4 秒,(5) 永遠不會到達 Ans:(2) 【詳解】 設Q(1+t,1+2t,1+2t) 代入平面 x-y+3z=28  (1+t)-(1+2t)+3(1+2t)=28 2

(x+y)

2

=1

(x+1)

2

+y

2

=1

(3)

 t=5  Q(6,11,11). 因∣a∣=∣ b ∣=3, ax 分量增加 1 時, b 的 x 分量少 2, 故從 Q(6,11,11)到 R(2,y,z)須 2 秒。 6. 設an為一等比數列。已知前十項的和為 10 1 80 k k a  

,前五個奇數項的和為 a1+a3+a5+a7+a9=120,請選出首項 a1的正確範圍。

(1) a1<80,(2) 80≦a1<90,(3) 90≦a1<100,(4) 100≦a1<110,(5) 110≦a1 Ans:(4) 【詳解】 2 4 6 8 2 4 6 8 1 1 1 1 1 1(1 ) 120 aa ra ra ra ra    r r r r  3 5 7 9 2 4 6 8 1 1 1 1 1 1 (1 ) 40 a ra ra ra ra ra r    r r r r   相除得 1 3 r  ,故 2 3 4 1 1 1 1 1 (1 ( ) ( ) ( ) ) 120 9 9 9 9 a      1 120 106.67 1.12 a . 7. 下列各方程式中,請選出有實數解的選項。 (1) x   x 5 1 (2) x   x 5 6 (3) x   x 5 1 (4) x   x 5 6 (5) x    x 5 1 Ans:(2)(3)(5) 【詳解】

(4)

(1) ∣x∣+∣x-5∣≧5 (2) ∣x∣+∣x-5∣=6  1 11 2 2 x  or x (3) ∣x∣-∣x-5∣=1  x=3 (4) ∣x∣-∣x-5∣5 (5) ∣x∣-∣x-5∣=1  x=2 8. 下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表,例如:甲商場奇異果 價格「35 元/一袋 2 顆」表示每一袋有 2 顆奇異果,價格 35 元。 依據上述數據,請選出正確的選項。 (1) 在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需金額低於買三袋 1 顆裝的蘋果 (2) 乙商場的奇異果售價,一袋裝越多顆者,其每顆單價越低 (3) 若只想買奇異果,則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果 (4) 如果要買 12 顆奇異果和 4 顆蘋果,在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額 (5) 無論要買多少蘋果,在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額 Ans:(1)(2)(4) 【詳解】 甲奇 20.00 17.50 16.00 16.67 甲蘋 50.00 43.33 43.33 42.50 乙奇 18.00 16.67 16.25 15.83 乙蘋 50.00 47.50 46.67 42.00 (1) 顯然對了。 (2) 每顆分別為 18,16.67,16.25,15.83。 (3) 設分別買 x,y,z,u 袋,則 20x+35y+80z+100u=500,即 4x+7y+16z+20u=100 取 x=0,y=0,z=5,u=1 得 x+2y+5z+6u=31。 (4) 甲商場(802+35)+(130+45)=195+175=370, 乙商場(952)+190=190+190=380。 (5) 若數量多,則乙商場 10 顆裝的蘋果較便宜。 5 Show Axis y B A

(5)

9. 下列各直線中,請選出和 z 軸互為歪斜線的選項。 (1) 1 0 0 x L z      : (2) 2 0 1 y L x z       : (3) 3 0 1 z L x y       : (4) 4 1 1 x L y      : (5) 5 1 1 y L z      : Ans:(3)(5) 【詳解】 z 軸的方向向量為v(0,0,1)。 (1) 與 z 軸交於(0,0,0) (2) v2 (0,1, 0) (1, 0,1) (1, 0, 1) ,但與z 軸交於(0,0,1)。 (3) v3 (0, 0,1) (1,1, 0)  ( 1,1, 0),與z 軸不平行,亦不相交,故為歪斜。 (4) v4 (1, 0, 0) (0,1, 0) (0, 0,1),與z 軸平行。 (5) v5 (0,1, 0) (0, 0,1) (1, 0, 0),與z 軸不平行,亦不相交,故為歪斜。 10. 設 a、b、c 皆為正整數,考慮多項式 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+2

請選出正確的選項。 (1) f(x)=0 無正根 (2) f(x)=0 一定有實根 (3) f(x)=0 一定有虛根 (4) f(1)+f(1)的值是偶數 (5) 若 a+c>b+3,則 f(x)=0 有一根介於1 與 0 之間 Ans:(1)(4)(5) 【詳解】 (1) 係數全為正的方程式沒有正根。 (2) 可能為四個虛根或二實根二虛根。 (3) 可能為四個實根。 (4) f(1)+f(1) =(1+a+b+c+2)+(1-a+b-c+2) =6+2b 必為偶數。 (5) f(1).f(0)=(1-a+b-c+2).2<0  3+b-a-c<0  a+c>b+3

(6)

即 a+c>b+3 時,f(1).f(0)<0, 故在(1,0)中有實根。 11. 一個 41 人的班級某次數學考試,每個人的成績都未超過 59 分。老師決定以下列 方式調整成績:原始成績為 x 分的學生,新成績調整為 10 1 40 log ( ) 60 10 x   (四捨五入到整數)。請選出正確選項。 (1) 若某人原始成績是 9 分,則新成績為 60 分 (2) 若某人原始成績超過 20 分,則新成績超過 70 分 (3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大 (4) 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數, 則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數 (5) 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均, 則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均(四捨五入到整數) Ans:(1)(2)(4) 【詳解】 f(x)=60+40log 1 10 x (1) f(9)=60+40log1=60 (2) f(20)=60+40log2.1>60+400.3010=72 (3) f(0)=60+40.log0.1=20 f(9)=60+40log1=60 f(59)=60+40.log6=60+40.0.7781=91.124 原始成績若最低為 9 分,則全距為 31,縮小。 原始成績若最低為 0 分,則全距為 71,增大。 (4) f(x)為增函數,故中位數不變。 (5) 平均數會改變。 12. 在△ABC 中,已知∠A=20, AB =5, BC =4。請選出正確選項。 (1) 可以確定∠B 的餘弦值 (2) 可以確定∠C 的正弦值 (3) 可以確定△ABC 的面積 (4) 可以確定△ABC 的內切圓半徑 (5) 可以確定△ABC 的外接圓半徑 Ans:(2)(5) 【詳解】

(7)

(1) 2 2 2 2 2 2 ' ' cos cos ' 2 2 ' BA BC AC BA BC AC ABC ABC BA BC BA BC              (2) ∠AC’B+∠BC’C=∠AC’B+∠ACB=180  sin∠AC’B=sin∠ACB (3) a△ABC≠a△ABC’ (4) △ABC 與△ABC 的內切圓半徑顯然不同 (5) 2 ' 2 ' sin sin BC BC R R A A    . 13. 甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 A、B、C、D 四位女生一起出遊, 他們約定讓四位女生依照 A、B、C、D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。 其中除了 B 認得甲的機車鑰匙,並且絕對不會選取之外,每個女生選取這些鑰匙 的機會都均等。請選出正確選項。 (1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 (2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 (3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 (4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 (5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率 Ans:(4)(5) 【詳解】 A B C D A B C D A B C D A B C D 1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 4 1 2 3 1 2 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 3 2 1 3 2 4 2 3 1 4 3 2 1 4 4 2 1 3 1 3 4 2 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1 1 4 2 3 2 4 1 3 3 4 1 2 4 3 1 2 1 4 3 2 2 4 3 1 3 4 2 1 4 3 2 1 (1) P(A,甲)= 6 18,P(C,甲)= 6 18, (2) P(C,甲)= 6 18,P(D,甲)= 6 18, (3) P(A,乙)= 4 18,P(B,乙)= 6 18, (4) P(B,丙)= 6 18,P(C,丙)= 4 18, 2 5 C C' B A

(8)

(5) P(C,甲)= 6 18,P(C,乙)= 4 18. A. 考慮每個元(或稱元素)只能是 0 或 1 的 23 階矩陣,且它的第一列與第二列不相同 且各列的元素不能全為零,這樣的矩陣共有__________個。 Ans:42 【詳解】 6 2   2 7 42. 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B. 座標平面上 O 為原點,設 u =(1,2), v =(3,4)。令為滿足 OP   x u y v 所有點 P 所形成的區域,其中1 2≦x≦1,3≦y≦ 1 2,則的面積為__________ 平方單位(化成最簡分數) Ans:7 2 【詳解】 A= 1 2 (1 1 1)( ( 3)) 2 1 7 7 3 4  2 2     2 2 2

(9)

【備註】 設u(1, 2), v(3, 4) 的夾角為,則 1 3 2 4 11 cos 5 5 5 5 u v u v           sin 125 121 2 5 5 5 5      sin 5 5 2 2 5 5 u v  u v      . C. 從橢圓的兩焦點分別作垂直於長軸的直線,交橢圓於四點。已知連此四點得一個 邊長為 2 的正方形,則的長軸長為__________。 Ans:1 5 【詳解】 由下圖,設:x22 y22 1 ab  , a2=b2+1, P(1,1)在橢圓上,故 12 12 1 ab   12 21 1 1 aa    a2-1+a2=a2(a2-1)  a4-3a2+1=0  a2 2 3 5 6 2 5 ( 5 1)2 2 4 4 a        1 5 2 a   長軸長 2a 1 5 6 4 2 B A D

(10)

D. 線性方程組 2 3 0 2 3 6 6 2 8 x y z x y z x y x y z                經高斯消去法計算後,其增廣矩陣可化簡為 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d               ,則 a=________,b=________,c=________,d=________。 Ans:a=1,b=4,c=1,d=2 【詳解】 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 0 1 4 2 1 3 6 0 -3 -3 6 0 1 1 -2 0 1 1 -2 1 -1 0 6 0 -3 -3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 -1 8 0 -4 -4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E. 設 a 為一實數,已知在第一象限滿足聯立不等式 3 2 14 x y a x y        的所有點所形成的 區域面積為213 5 平方單位,則 a=__________。 Ans:6 【詳解】

(11)

解得兩直線的交點 (2 28 14, ) 5 5 a a B   ,而D(a,0), 14 7 1 14 213 (14 ) 2 2 5 5 a a    985-(14-a)2=2132  (a-14)2=64  a=6 或 a=22 (不合) F. 投擲一公正骰子三次,所得的點數依序為 a,b,c,在 b 為奇數的條件下, 行列式 a b b c >0 的機率為__________。(化為最簡分數) Ans:19 36 【詳解】

a b c ac-b^2 a b c ac-b^2 a b c ac-b^2

1 1 1 0 0 1 3 1 -8 0 1 5 1 -24 0 1 1 2 1 1 1 3 2 -7 0 1 5 2 -23 0 1 1 3 2 1 1 3 3 -6 0 1 5 3 -22 0 1 1 4 3 1 1 3 4 -5 0 1 5 4 -21 0 1 1 5 4 1 1 3 5 -4 0 1 5 5 -20 0 1 1 6 5 1 1 3 6 -3 0 1 5 6 -19 0 2 1 1 1 1 2 3 1 -7 0 2 5 1 -23 0 2 1 2 3 1 2 3 2 -5 0 2 5 2 -21 0 2 1 3 5 1 2 3 3 -3 0 2 5 3 -19 0 p=35 19 3 57 19 108 108 36   G. 如下圖所示,ABCD-EFGH 為一長方體。若平面 BDG 上一點 P 滿足 1 2 3 APABADa AE,則實數 a=__________。(化成最簡分數)

(12)

Ans:4 3 【詳解】 設上圖為邊長1 的正立方體,A(0,0,0),則 B(1,0,0),D(0,1,0),G(1,1,1),P(1 3,2,a), ( 1, 1, 0) BG=(0, 1, 1) BD  , , BG=(1, 1, 1) BDG BD  為平面 的法向量 , 故平面BDG 的方程式為 x+y-z=1, P 代入得 1 3+2-a=1  a=4 3。

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