臺北市九十三學年度高級中學數學及自然科
能力競賽數學科複賽試題及參考解答
國立臺灣師範大學數學系
《試題部分》
一、筆試（一）
【問題一】: 給定一矩形ABCD 以及分別在邊BC上、邊CD上的各一點E、F。 設△ABE、△AEF與△AFD的面積分別為α、β與γ。 (1)令BE=a、EC= b、CF = c、FD= d，試以a、b、c與d表示△AEF的面積 β。 (5分) (2)試以α、β與γ表示矩形ABCD的面積(不能含a、b、c、d )。(8分) 【問題二】：試求出滿足兩方程式
y
x
y
y
y
x
y
y
sin
4
sin
4
1
sin
cos
4
cos
4
1
cos
的所有數對(x, y)， 其中x >0 而0 ≤ y <2π。(12分) 【問題三】： (1)試證：存在兩個正整數 a 與 b ，滿足a2 b2 101 。(4分) (2)試求滿足下述條件的正整數 n 之最小值：在任意 n 個(n ≥2 ) 相異的正整數中， 必存在兩相異數 a 與 b 使得a2 b2是101 的倍數。(8分) 【問題四】：設△ABC的內部有一點D滿足∠ACB =∠CAD，過點D作一直線與 AB平行，過頂點B 作一直線與AC平行，設所作二直線相交於點E。在BC上 選取一點F 使得∠ACB =∠DFE且點F與點E在直線AD的異側。 試證：△ABC 的外接圓與△DEF 的外接圓相切。(12分)二、筆試（二）
1. 在實驗室做球的反彈試驗，當乒乓球從60公分高的地方自然落下，第一次反 彈的高度為48公分，接下來都是以相同的比例反彈。試問在第 (1) 次反彈後 其高度會低於6公分。( log2 = 0.3010，log3 = 0.4771。) 2.已知 5 4 ) 4 sin( ，其中 2 3 4 5 ，則 2 ) 4 cos( = (2) 3.試寫出滿足方程組
79
7
6
6
5
5
4
93
c
b
a
c
b
a
的所有正整數組(a , b , c)= (3) 4. 在△ABC與△DEF中，AB DE、AC2、DF 5、∠B +∠E=180∘ 且∠C +∠F=120∘，則BC EF= (4) 。5. 設∠BAC=45∘，而X為其內部一點且AX 6，在射線AB與射線AC上分別 取異於角頂A的一點Y與Z，並使X、Y、Z 三點不共線，則△XYZ的周長之最小 值為 (5) 。 6. 滿足1≤ a ≤ b < c ≤ d ≤15的整數組( a , b , c , d)共有 (6) 組。 7. 若二拋物線
3
4
2 2x
x
y
a
x
y
的兩交點的連線通過原點，則兩交點坐標 為 (7) 。《參考解答》
一、筆試（一）
【問題一】解：(1)因為矩形ABCD 的面積為(a + b)(c + d)，△ABE、△CEF 與△AFD 的面積分別 為 2 ) (c d a 、 2 bc 與 2 ) (a b d ，所以可得 2 ) ( 2 2 ) ( ) )( (a b c d a c d bc d a b 由此可得 ( ) 2 1 )] ( ) ( ) )( ( 2 [ 2 1 bd bc ac b a d bc d c a d c b a (2)令x表示矩形ABCD 的面積。因為
2
)
(
2
2
)
(
b
a
d
bd
bc
ac
d
c
a
，所以可得x = (a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd =2β+ad=
x b a d c 2 2 2 4 2 移項、化簡、解方程式，即得x 24 。 因為 x>0 ，所以，x 24 。∥ 【問題二】解：
將第一式乘siny、第二式乘cosy、相減，即得sinycos4y + sin4ycosy = 0，sin5y=0。 由此得 5 k y ， k = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。 當 k是奇數2 n +1 ( n = 0,1,2,3,4 )，4 y + y = (2n+1) π。 因此，得cos4y = -cosy，sin4y = siny，
4 3 x 。 因此，在此情形中，所求數對為 ), 5 9 , 4 3 ( ), 5 7 , 4 3 ( ), 5 5 , 4 3 ( ), 5 3 , 4 3 ( ), 5 , 4 3 ( ) , (x y 當 k是偶數2 n ( n = 0,1,2,3,4 )，4 y + y = 2n π。
因此，得cos4y = cosy，sin4y = -siny， 4 5 x 。 因此，所求數對為 ) 5 8 , 4 5 ( ), 5 6 , 4 5 ( ), 5 4 , 4 5 ( ), 5 2 , 4 5 ( ), 0 , 4 5 ( ) , (x y 。∥ 【問題三】證：
(1) 因為101是質數，所以由(a + b)(a-b) =101，可得a + b =101且a-b =1。 解得： a= 51，b =50。
(2) 因為101是質數，所以由101整除(a + b)(a-b)，可知101整除(a-b)或 101整除(a + b)。101整除(a-b)表示將 a與 b分別除以101，所得的餘數相等； 101整除(a + b)表示將 a與 b分別除以101，所得的餘數之和等於101。 因為由51至101的五十一個正整數中，任何兩相異數的和與差都不是101的倍數， 所以滿足本題所述條件的正整數n 必大於51。我們將證明滿足本題所述條件的正 整數 n之最小值為52。 設a1,a2,,a52是任意52 個相異正整數，對每個i =1,2,……52，令ri 表示ai 除 以101的餘數，又令
100
51
若
101
50
0
若
i i i ir
r
r
r
則S1,S2,,S52等52個整數都屬於集合{0,1,2, ……,50 }。因為此集合只有51個 元素，所以依鴿籠原理知：必存在一對 i與 j (1 ≤ i < j≤52) ，使得Si Sj。 由此進一步得ri rj 或ri rj 101。不論是哪一種情形，都可得101∣ ) )( (ri rj ri rj ，101∣(ai aj)(ai aj)，亦即： 2 2 j i a a 是101的倍數。∥ 【問題四】證：設直線AD與BE相交於點G。因為AC與BG平行，所以∠AGB =∠CAD。
再依∠CAD =∠ACB 的假設，可得∠AGB =∠CAD =∠ACB。
於是，A、B、G 與C 四點共圓。另一方面，依∠DFE =∠ACB的假設，可得 ∠DFE =∠ACB =∠AGB =∠DGE 。於是D、E、G 與F四點共圓。
由此可知：△ABC 的外接圓與△DEF 的外接圓相交於點G。
設直線GT是△ABC的外接圓過點G的切線，其中點T與點B、點E在直線AD的同側
依弦切角定理，可知∠GAB =∠BGT。另一方面，因為DE與AB平行，
所以∠GAB =∠GDE。於是可得∠GDE =∠GAB =∠BGT =∠EGT 。 依弦切角定理，可知直線GT 與△DEF 的外接圓相切於點G。 因此△ABC 的外接圓與△DEF 的外接圓相切於點G。∥
二、筆試（二）
(1) 11。 (2) 2 25 31 。 (3) ( 5 , 18 , 70 ) 或 (10 , 6 , 77) 。 (4) 19 (5) 6 2 (6) 2380。 (7) (-1 , -2) 與 ( 3 , 6)。
