在簡併雷射共振腔中產生Herriott-type模態之研究
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(2) 摘要 一個開放式的雷射共振腔和傳統固態雷射不同，它可以在各種元件上面操作 各種不同的變化，例如：改變腔長、離軸、面鏡、晶體等，達成不同的共振腔條 件來產生各式各樣的雷射橫向模態。本篇論文主要在探討特定的雷射橫向模態及 其特性。 我們使用了 Nd:YVO4 當作增益介質，並使用了球型雷射共振腔，藉由調整 離軸，並且調整雷射共振腔腔長，使之處於特殊簡併共振腔，離軸激發光源使得 HG 模態疊加而產生其對應的利薩茹圖形(Lissajous)，最後再繼續增加單一方向 的離軸程度，來產生其對應的橢圓類型雷射模態，我們稱之為 Herriott-type 模態。 在本實驗中，將透過不同的簡併雷射共振腔，來產生不同的 Herriott-type 模態， 並針對這類特殊的橫向雷射模態做近遠場觀察與計算光在腔內的等效長度，最後 再利用數值分析法，透過由 HG 波函數為基底所建構出的廣義同調態(Generalized Coherent States)進行波函數的疊加來對照實驗結果。在實驗的第二個部分，我們 將在簡併共振腔中，透過腔長的細微調整，來觀察其 Herriott-type 模態的橢圓率 和腔長之間的關係，並且和細微的離軸程度調整所產生的實驗結果作比對。 藉由本實驗的結果，我們透過特殊的 Herriott-type 模態，再次確立簡併共振 腔的疊加特性，以及魔梯現象(Devil’s Staircase)的存在。廣義同調態的使用與對 照，也大幅幫助了我們對此特殊橫向模態波函數結構上的了解，並由本篇論文的 工作與結果，我們可以將廣義同調態加以延伸，應用至其他橫向模態。. 關鍵字：雷射共振腔、簡併共振腔、橫向模態、Herriott-type 模態、廣義同調態. i.
(3) Abstract A laser cavity system is very different from a traditional solid-state laser. By changing the optical components and optical coatings on the laser cavity, various laser patterns can be generated. In this thesis, an experiment on laser cavity and a theoretical explanation are presented. In this experiment, we use a spherical laser cavity and an a-cut Nd:YVO4 laser gain medium with off-axis pump to generate Herriott-type modes by laser diode in degenerate cavities. The optical geometry, near-far field, equivalent length in cavities and characteristics of different order of this system are studied. As for the theoretical part, a set of Generalized Coherent States (GCS) was first constructed with Hermite-Gaussian function as the basic functions. Then the experimental patterns were reconstructed successfully with the GCS. In conclusion, we demonstrate that Herriot-type modes can be generated with off-axis pump, spherical laser cavity and an a-cut Nd:YVO4 gain medium within degenerated cavities. On the other hand, the Herriot type modes can be successfully reconstructed with GCS.. Key word: laser cavity, a-cut Nd:YVO4, off-axis pump, Herriott-type modes, Generalized Coherent States (GCS), spherical laser cavity.. ii.
(4) 誌謝 時光飛逝，過去的兩年間在實驗室的學習與成長，即將告一段落了。還記得 剛上研究所時，擔心許多的碩班課程會過於艱深，也擔心在實驗室的生活會遇到 瓶頸；如今回想起來，是滿心的感恩，在這兩年間，不但順利的完成學業，在實 驗室的學習中，也學習到了許多為人處事的道理，這都成為令人難忘的求學歷 程。. 感謝指導教授陸亭樺老師，早在大學時期，實驗物理課程的光學實驗操作就 被老師親自指導過，並且不吝嗇地給予我許多稱讚，加上經歷了老師的光電工程 導論課程，更是讓我對光學這個領域改觀，從原本的應付式學習，到產生興趣並 主動了解其中物理，這都要感謝老師細心的指導與啟蒙，這也是使得我在考上研 究所之時，優先考慮研究光學領域的主要原因。謝謝老師在我過去兩年就讀研究 所的期間，給我們充滿彈性的學習與選擇，除了讓我們能自動自發地完成研究之 外，也讓我們能見識豐富，更讓實驗室的產生難以形容的融洽無間氣氛。在這邊 也要特別感謝兩位外校口試委員的評審與肯定，透過口試的評審更能了解自己的 優缺點，使得來日在社會上缺點能加以改善，優點能加以持續。. 謝謝在過去兩年間陪伴我的實驗室好夥伴冠銘學長、易哲、政浩、晢剛、仁 璽、裕雯，在實驗室的生活中，大家不吝嗇的在學業上給予幫助，在實驗上與會 議上給予建議，在生活中彼此歡樂互動，這都成為我寶貴的經驗與回憶，最後也 要感謝我的家人，家人無顧忌的支持與體諒，讓我得以專心致志而心無旁顧的完 成研究生生涯。. iii.
(5) 目錄 摘要 ........................................................................................................................... i 誌謝 ......................................................................................................................... iii 圖目 .......................................................................................................................... v. 第一章. 緒論 ......................................................................................... 1. 1.1. 前言 ......................................................................................................................... 1. 1.2. 研究動機.................................................................................................................. 2. 第二章. 理論背景 ................................................................................. 4. 2.1. 雷射晶體 Nd:YVO4 之介紹 ..................................................................................... 4. 2.2. 雷射共振腔的穩定條件........................................................................................... 9. 2.3. 近軸近似下的球型共振腔之電場波函數 .............................................................. 12. 2.4. 簡併共振腔 ............................................................................................................ 19. 2.5. 波函數的疊加與 Herriott-type 模態 ....................................................................... 23. 第三章. 實驗結果與討論 .................................................................... 26. 3.1. 球型共振腔實驗裝置及架構 ................................................................................. 26. 3.2. 雷射模態 Herriott-type 模態之產生與近遠場結果 ................................................ 27. 3.3. 理論模擬之結果 .................................................................................................... 35. 3.4. 產生 Herriott-type 模態之腔長與橢圓率關係 ....................................................... 38. 第四章. 總結 ....................................................................................... 41. 第五章. 未來工作 ............................................................................... 42. 參考文獻 ............................................................................................... 44. iv.
(6) 圖目 圖 2-1. 單位 Nd:YVO4 晶體結構圖. 圖 2-2. Nd:YVO4 能帶示意圖. 圖 2-3. Nd:YVO4 晶體 a、b、c 三軸示意圖. 圖 2-4. 球面共振腔示意圖. 圖 2-5. 雷射共振腔的穩定區域. 圖 2-6. 常見穩定共振腔與不穩定共振腔範例. 圖 2-7. 數值模擬基本 HG 模態. 圖 2-8. 數值模擬基本 LG 模態. 圖 2-9. 給定不同相位因子 的數值模擬 Generalized Coherent States. 圖 2-10. 簡併共振腔中的魔梯現象. 圖 2-11. 模態係數及頻寬示意圖. 圖 2-12. 數值模擬疊加後的 HG 模態. 圖 2-13. 數值模擬 Herriott-type 模態， . 4. 圖 3-1. 實驗裝置圖. 圖 3-2. 產生 Herriott-type 模態. (a) . 1 利薩茹(-1,5)圖形 4. 圖 3-2. 產生 Herriott-type 模態. (b) . 1 Herriot-type 模態 4. 圖 3-3. 實驗中可觀察 Herriott-type 模態的簡併共振腔縱橫模頻率比 . 圖 3-4. 實驗中所有可觀察 至分子為 4 的 Herriott-type 模態. 圖 3-5. . 1 Herriott-type 模態之近遠場 5. 圖 3-6. . 2 Herriott-type 模態之近遠場 7. 圖 3-7. . 1 Herriott-type 模態之共振腔內幾何軌跡示意圖 5 v.
(7) 圖 3-8. . 1 Herriott-type 模態之近遠場與理論對照圖 5. 圖 3-9. . 2 Herriott-type 模態之近遠場與理論對照圖 7. 圖 3-10. . 1 Herriott-type 模態之腔長與離軸改變圖(部分) 5. 圖 3-11. . 2 Herriott-type 模態之腔長與離軸改變圖(部分) 7. vi.
(8) 第一章 1.1. 緒論. 前言 西元 1917 年，著名物理學家愛因斯坦(Albert Einstein)透過他發表的論文《關. 於輻射的量子理論》中提出了物質和輻射有激發吸收、自發放射、激發放射等作 用，並在西元 1930 年描述了原子的受激輻射，使得雷射從此揭開序章。其後隨 著人們的努力，陸續提出了多能階光泵、光共振腔理論，終於在西元 1960 年， 美國科學家梅曼製造出了史上第一台可見光雷射。直到現在，雷射的發展也終究 成為工業、科學、通訊、醫療及電子娛樂中的重要元件，是人類生活中不可或缺 的幫手之一。 在生活科技發展之餘，雷射對於物理理論的發展也有相當巨大的影響力。在 不同的雷射共振腔中，可產生不同的雷射橫向模態，而這些雷射模態，在數學上 也各具有不同的形式與意義。像是在一個球型雷射共振腔中並在近軸近似之下， 所求得的腔內波函數為 HG，在特定的腔長之下會產生具有簡併性質的共振腔， 使得腔內的 HG 波函數相互疊加成為疊加態，隨著條件的不同，我們可以得知雷 射共振腔具有複合偏振雷射[1]、魔梯現象[2]、鎖模現象[3]等性質。在實驗上， 我們則可以藉由雷射共振腔的調配去進一步了解雷射光的各種性質及其形成的 原因。在本論文中，所採用的雷射共振腔正是為上述球型雷射共振腔，隨著共振 腔條件不同，波函數的邊界條件也隨之不同，產生不同的雷射橫向模態，而所觀 察到的這些現象，相同地也可以逆向推論出是由何種條件下的雷射共振腔所產生。 由上述這些例子我們可以得知，雷射本身具有良好的觀察特性，這種特性也使得 雷射成為波動光學與量子力學之間的橋樑，透過現象與方程式，不但更多發展波 動光學的研究，也幫助我們更多了解量子力學的物理機制。. 1.
(9) 1.2. 研究動機 在現代，雷射已經是生活中重要的應用設備與裝置，然而在雷射中也有許多. 令人值得探討的其他物理性質，就光的特性而言，光可以看作是粒子，也可以看 作是波動，相對的，微觀下的物質也是一樣，假若我們若透過雷射觀察到一些物 理，同樣地也有可能在物質波當中發現或者應用。這樣一來，因為光波相較於物 質波好觀察的緣故，雷射成為了觀察粒子現象最好用的工具，透過雷射的實驗， 我們將更了解量子力學中所描述的波動及粒子現象。 西元 1965 年，物理學家 Donald R. Herriott 使用了一道離軸光束，透過一個 由球面鏡構成的干涉儀，產生了具有規律性的幾何光學路徑，而在路徑中取一截 面，可以得到環形點狀的光束圖形，就是上述文中所述的 Herriott-type 圖形。在 現代，此種干涉儀在科學上的應用主要為一儀器 Herriott cell，該儀器透過 Herriott-type 圖形的光學幾何特性，得以使得一長光程的光束，壓縮至一體積小 的腔體之中，藉由這種體積小卻長光程的特性之下，可以有更多的 Herriott-type 圖形研究[4]，除此之外，透過比爾-朗伯定律(Beer-Lambert law)，Herriott cell 也 可在不同環境下擁有環境監測、氣體分析、過程氣分析等功用[5]。 雷射實驗中，相較於一般傳統的雷射，一個擁有外部共振腔的雷射，是有更 多的變化和可能性，藉由調整共振腔不同的元件，可以產生出各種雷射橫向模態。 在過去的研究中，有許多實驗和理論展示出了不同雷射共振腔特別圖形，所形成 的條件也有所不同，像是基本的 TEM00 mode，到高階的 HG 模態。在特定簡併 共振腔之下我們也可以觀察到 M mode、N mode，或是許多由高階 HG 模態所疊 加而成的利薩茹圖形等[6]，而透過這些不同種類的模態研究，除了了解該模態 的特性之外，我們也可以再次印證簡併共振腔所擁有的物理特性[1][2][3]。. 2.
(10) 在一個較大離軸的條件下，可以透過簡併共振腔觀察橢圓輪廓的點狀圖形， 我們稱之為 Herriott-type 模態[7]，而這類圖形也是本篇論文主要探討的雷射模態。 在本篇論文中，我們將觀察並研究其模態的產生方式、圖形的幾何軌跡特性，並 且透過數值分析法的方式去相互印證，來確定我們所觀察到的圖形所擁有的特性。 因此，對於 Herriott-type 模態這類型的圖形的產生原因，加以研究和整理，並用 數值分析的方式去對照結果，確立圖形產生的物理機制，是本篇論文最主要的研 究動機。. 3.
(11) 第二章 2.1. 理論背景. 雷射晶體 Nd:YVO4 之介紹 雷射晶體 Nd:YVO4(Neodymium-doped Yttrium Orthovanadate)，中文名稱叫. 做 ： 摻 釹 釩 酸 釔 ， 顧 名 思 義 ， 是 一 個 摻 入 釹 元 素 (Nd) 的 釩 酸 釔 (Yttrium Orthovanadate)，其外觀為透明藍色晶體材料，具有正單軸(Positive Uniaxial)性質 的雙折射(Birefringence)晶體，其晶體結構如圖 2-1。此材料最大的應用就是作為 雷射增益介質，在固態雷射和一般的綠光雷射筆中，都有許多應用，故本論文也 將摻釹釩酸釔作為雷射增益介質(Gain Medium)。晶體中摻入的釹元素(Nd)，可 經由無水氨化釹經熔融後電解而取得，實際上作用於激發雷射的為釹離子(Nd3+)。 釹元素(Nd)原子序：60，為鑭系稀土元素，其最外層電子組態為 4d104f45s25p66s2， 若失去三的外層電子成為釹離子(Nd3+)時，其最外層電子組態將為 4d104f３5s25p6， 這樣的電子組態，令當中的 4f３三個電子參予躍遷，和對應的自由離子能階結構 相同，使得釹離子(Nd3+)的發射光譜很窄，所以適合作為產生雷射的增益介質[8]。 除了這項優點之外，此雷射晶體還有許多其他的優點，像是晶體易於加工；對於 可見光 808nm 有強的吸收力[9]；有較大的雷射輻射截面，使雷射效率較佳等。 一般而言，大部分的雷射為三階雷射或是四階雷射系統，此晶體的能階示意 圖如圖 2-2，由圖可得知，此晶體吸收 808nm 紅光，放出 1064nm 與 1342nm 兩 種波長的紅外雷射光，可將此晶體視為四階雷射系統。此外，如圖 2-3 所示， Nd:YVO4 晶體的 x、y、z 三軸，可以另外表示為 a、b、c 三軸，其中 a 軸與 b 軸 長度相等，c 軸較 a、b 兩軸長，光在 a 軸與 b 軸行進時折射率為 no(no = na = nb)， 在 c 軸行進時折射率則為 ne(ne = nc)。此晶體依照裁切的方向，可以分類為 a-cut 晶體與 c-cut 晶體，在使用 a-cut 的情況下，光沿著 a 軸行進，則行進間光的電場 會在 b、c 軸上，反之，在使用 c-cut 的情況下，光沿著 c 軸行進，則行進間光的 4.
(12) 電場會在 a、b 軸上。而由上述已知的光軸 a=b≠c 的特性，我們可以得知，在這 兩種不同的晶體下實驗，所得到的實驗結果也會不同。本論文所採用的是 a-cut Nd:YVO4 晶體，並且將晶體 b 軸放置在垂直方向，將晶體 c 軸方向放置在水平 方向。. 圖 2-1 單位 Nd:YVO4 晶體結構圖[10] 4. F5/2+2H9/2. 4. F3/2. 1342nm 808nm. 1064nm. 4. 4. 4. I11/2. I9/2 圖 2-2 Nd:YVO4 能帶示意圖 5. I13/2.
(13) c-axis (z-axis). b-axis (y-axis) a-axis (x-axis) 圖 2-3 Nd:YVO4 晶體 a、b、c 三軸示意圖. Nd:YVO4 主要光學性質如下表 2-1[8][9][10] (a) Physical Properties Atomic Density. ~1.37x1020stoms/cm2 Zircon Tetragonal, space group D4h. Crystal Structure a=b=7.12, c=6.29 Density. 4.22 g/cm2. Mohs Hardness. Glass-like, ~5. Thermal Expansion Coefficient. αa=4.43x10-6/K, αc=11.37x10-6/K. Thermal Conductivity Coefficient. C:5.23 W/m/K；⊥C:5.10 W/m/K. 6.
(14) (b) Optical Properties Lasing Wavelengths. 914 nm,. 1064 nm,. Positive uniaxial,. 1342 nm. n0=na=nb,. ne=nc. n0=1.9573,. ne=2.1652, @ 1064 nm. n0=1.9721,. ne=2.1858, @ 808 nm. n0=2.0210,. ne=2.2560, @ 532 nm. Crystal class. Sellmeier Equation. n02=3.77834+0.069736/(λ2-0.04724)-0.0108133.λ2. (for pure YVO4 crystals). n02=4.59905+0.110534/(λ2-0.04813)-0.0122676.λ2. Thermal Optical Coefficient. dna/dt=8.5x10-6/K,. Stimulated Emission. dnc/dt=3.0x10-6/K. 25.0x10-19 cm2, @ 1064 nm. Cross-Section 90 μs Fluorescent Lifetime (about 50 μs for 2 atm% Nd doped) @ 808nm Absorption Coefficient. 31.4 cm-1 @ 808nm. Absorption Length. 0.32 mm @ 808nm. Intrinsic Loss. Less 0.1% cm-1, @ 1064nm. Gain Bandwidth. 0.96 nm(257GHz) @ 1064nm. Polarized Laser Emisson. π polarization；parallel to optic axis (c-axis). Diode Pumped Optical >60% to Optical Efficiency. 7.
(15) (c)Nd:YVO4 與 Nd:YAG、Nd:GdVO4 比較 Crystal. Nd:YVO4. Nd:doped σ. T. Lα. ρth. ηs. (atm%). (x10-19cm2) (cm-1). (μs). (mm). (mw). (%). 1.1. 25. 31.2. 90. 0.32. 78. 48.6%. 72.4. 50. 0.14 231. 45.5%. 2.0 Nd:YVO4. α. 1.1. 7. 9.2. 90. 0.85. 6. 7.1. 230. 1.41. 115. 38.6%. 7.6. 78. 95. 0.18. 70. 50%. (c-cut) Nd:YAG. Nd:GdVO4 1.2. 註：表 2-1(c)中各種不同晶體雷射性質的數值，會隨著 Nd 濃度不同有所改變 σ：Stimulated emission cross section α：Absorption Coefficient T：Fluorescent lifetime Lα：Absorption length ρth：Threshold power ηs：Conversion efficiency. 8.
(16) 2.2. 雷射共振腔的穩定條件 光學共振腔是構成雷射的三要素之一，通常由兩個具有反射率的面鏡所組成，. 如圖 2-4，其最主要的功用，是將光在共振腔中保留而造成光線不斷反射產生共 振，使得增益介質獲得足夠的能量得以激發出雷射光。一般我們可以將光線在共 振腔中的發散或收斂，來分類為不穩定或穩定共振腔，而共振腔的穩定與否，將 由兩面鏡來決定，其穩定條件將在下段文字中做介紹。本論文所用的是穩定共振 腔。 一般而言，共振腔的鏡子有很多不同的選擇，例如有：平面鏡、凹面鏡、凸 面鏡、柱面鏡等，進而來達成各種不同的共振腔穩定條件。常見的穩定共振腔有： 雙平面共振腔、球面共振腔、半球面共振腔、共焦共振腔、半共焦共振腔等。而 共振腔的穩定條件，可由數學矩陣的形式來推導，首先我們可以想像一束光在共 振腔的兩鏡之間往返，如圖 2-4，光束若從左鏡出發，至右鏡反射後又回到左鏡， 再經由左鏡反射後到右鏡(尚未發生反射)，我們稱此為一次行程(a round trip)，若 以數學表示，可以表示為 ABCD 矩陣(matrix)：. 1 A B C D = 2 R 1. 0 1 1 L 2 1 0 1 R2. 2L 1 0 R2 1 L = 1 0 1 4L 2 2 R1 R2 R1 R2. 2 L2 R2. 2 2 L 4L 4L 1 R2 R1 R1 R2 2L . (2.2.1). 圖 2-4 球面共振腔示意圖 9.
(17) 由式(2.2.1)的結果，我們可以推論出在一個穩定共振腔情況下，必須要有下列等 式. AD BC 1. (2.2.2). 而為了之後的計算方便，我們可以利用此特性得出. 1 cos ( A D) 2. (2.2.3). 若光束在兩鏡之間不斷往返，形成 N 次行程(N round trip)，則可以將 ABCD 矩 陣整理為 N. A B 1 A sin N sin( N 1) C D sin C sin N . B sin N . D sin N sin( N 1) . (2.2.4). 由式(2.2.4)可以觀察出，若是光束在共振腔內往返而不溢出共振腔外，則式(2.2.4) 必須是個有限的實數，所以必須要求 cos 1 ，再代入式(2.2.1)及式(2.2.3)數學 特性，我們可以得到. 1 . A D 1 2. 2 L 2 L 2 L2 L L L2 1 1 1 0 1 1 R2 R2 R1 R2 R2 R2 R1R2. (2.2.5) (2.2.6). 最終將可以得到穩定共振腔條件 0 g1 g 2 1. (2.2.7). 我們稱之為共振腔的 g 參數(g parameters). g1 1 . L L 、 g2 1 R1 R2. 10. (2.2.8).
(18) 從式(2.2.7)及式(2.2.8)中我們可以知道，一個共振腔的穩定與否，和形成共 振腔的兩面鏡子有絕對的關係，反之，若是兩鏡子所形成的共振腔使得 g1 g 2 0 或 g1 g 2 1，則該共振腔為不穩定共振腔。下圖 2-5 為雷射共振腔的穩定區域圖， 以及在圖 2-6 舉出一些常見共振腔例子。. g2 unstable (1,1) Plane-parallel. Hemispherical(0,1). stable Confocal(0,0) (1,0). stable. g1. Hemispherical. (-1,-1) Concentric. unstable. 圖 2-5 雷射共振腔的穩定區域[14]. 圖 2-6 常見穩定共振腔與不穩定共振腔範例[15]. 11.
(19) 2.3. 近軸近似下的球型共振腔之電場波函數 光是電磁波的一種，在雷射共振腔中，也遵守著波函數的形式行進，而共振. 腔的兩鏡面，就形成了該共振腔的邊界條件，經過邊界條件後，雷射光所形成空 間中不同的幾何軌跡分佈狀態，我們稱為雷射模態 (mode) ，依據空間中的方向 可分為縱向模態 (Longitudinal mode) 及橫向模態 (Transverse mode) ，在這一節 中，將用理論的方式模擬這些模態的產生，而我們的實驗系統屬於近軸光系統， 故可以由馬克斯威近軸近似方程式 (Paraxial Approximation of Maxwell’s) 出 發。. E H t H E t E 0 H 0. (2.3.1). 將式(2.3.1)改寫成. 2 E . 2 E0 t 2. (2.3.2). 假設電場為單一頻率電磁波 E E ( x, y, z ) eit ，並帶回 (2.3.2) ( 2 k 2 ) E ( x, y , z ) = 0. (2.3.3). k 為 wave vector，沿著 z 方向傳播，因此 E ( x, y, z ) = u (x,y,z) e ik z z. 12. (2.3.4).
(20) 將 (2.3.4) 帶入 (2.3.3) 可得. 2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2 2ik z z (k k z ) u ( x, y, z ) = 0 . 在近軸近似下，. (2.3.5). 2 u ( x, y , z ) = 0 相對比較小，可忽略不計，故將式子近似為 z 2 2 2 (2.3.6) t 2ik z z kt u ( x, y, z ) = 0 . 2 2 上式中 2 2 ，且 kt2 k 2 k z2 。 x y 2 t. 接下來假設. u( x, y, z ) ( x, y )G( x, y, z ) 0. (2.3.7). 其中 ( x, y, z ) 代表光束變化的橫向波函數， G( x, y, z ) 代表高斯球面波波函數， 此高斯球面波波函數可以寫成. G ( x, y, z ) . 其中 ( z ) 0 1 (. zR z 2 zR2. e. x2 y 2 ikz 2 2 2( z zR ) . ik 0 e ( z). ( x2 y 2 ) 2R( z ). (2.3.8). z 2 ) ， ( z) 是光在 z 方向上任意一點的光束大小(半徑)，當 zR. z z 0 時，光束為最小 0 ，或稱光腰； R ( z ) z 1 ( R ) 2 ， R( z ) 是曲率半徑， z zR 0 (Rayleigh range)。 . 因此，可將式 (2.3.6) 寫成 2 2 t 2ik z z kt ( x, y )G ( x, y , z ) = 0 13. (2.3.9).
(21) 經過代數運算可得. G( x, y, z )(t2 kt2 ) ( x, y) ( x, y)(t2 2ikz. )G ( x, y, z )= 0 z. (k z )2 ( x 2 y 2 ) G ( x, y, z ) t2 kt2 z R 2 ( x, y )= 0 ( z zR2 )2 . (2.3.10). (2.3.11). 若只取橫向波方程，則得此下列式子. 2 4( x 2 y 2 ) 2 k ( x, y )= 0 t t ( z )4 . (2.3.12). 將波函數分成兩部分 ( x, y ) f ( x) g ( y) ，則可將式 (2.3.12) 改寫成. d2 d2 4x2 4 y2 2 2 k f ( x )= 0 ； k g ( y )= 0；kt2 k x2 k y2 x y dx 2 dy 2 4 4 ( z ) ( z ) . . 假設 f ( x ) ( x )e. x2 ( z )2. ， . (2.3.12). 2x ，則微分方程可以表示為 ( z). d 2 d k x2 ( z )2 2 1 0 d 2 d 2 . (2.3.13). 而此式與 Hermite polynomial 形式相同： y '' 2 xy ' 2my 0 ，因此將可以得解 2x 2x m, n ( x, y ) Hm Hn e 2 m n 1 m !n ! ( z) ( z) 1. 且該本徵值 (Eigenvalues) 為. k x2 . 2 2 (2m 1) ； k y2 2 (2n 1) ， m, n 0,1, 2,...... ( z) ( z) 2. 而 Hm . 表示 m 階的. Hermite polynomial。 14. ( x2 y 2 ). ( z )2. (2.3.14).
(22) 由 k 2 k x2 k y2 k z2 以及近軸近似，可得 2. 2 x. 2 y. kz k k k k . 再利用積分的方式 . k x2 k y2 2k. k. 2 (m n 1) k 2 ( z ). (2.3.15). x 1 x tan 1 ，將上式積分，可得相位的部分為 2 x a a a 2. z k z z kz (m n 1) tan 1 zR . z 後段部分的 (m n 1) tan 1 zR. (2.3.16). ，稱為 Gouy phase shift。 . 最終，我們將可解出在直角坐標系下的電場波函數 (HG) ( x2 y2 ). . i kz ( m n 1) tan ik z z 2 2 E ( x, y , z ) m, n ( x, y ) 0 e 2( z zR ) e (z). 2x 2x 其中， m ,n ( x, y ) Hm Hn e 2m n 1 m !n ! ( z) ( z) 1. z z R . 1 . (2.3.17). ( x2 y 2 ). ( z )2. 若我們對上式 (2.3.17)作絕對值後取平方，將可以得到該電場方程式的正比強度， 若對正比的強度作圖，更可以進一步得到實驗中所觀察到的橫向模態。該方程式 所呈現出來的圖形，我們稱為基本 HG 模態，呈下圖 2-7。. (m,n). 圖 2-7. 數值模擬基本 HG 模態[16]. 15.
(23) 若我們進一步分析，可以看出式 (2.3.17) 各部分所代表的物理意義 2. 2. (x y ) ik z z E ( x, y, z ) 0 2( z 2 zR2 ) e E0 ( z) . e. z i kz ( m n 1) tan 1 zR . ik z z. e. ……振幅. . ……縱向相位. ( x2 y2 ) 2( z 2 zR2 ). ……橫向相位. 接下來，將要利用上段篇幅中所求得的 HG 波函數，稍做修改，使得我們可 以產生出 Herriott-type 模態的波函數形式，由於 Herriott-type 模態圖形不屬於 HG 模態，也不屬於 Laguerre-Gaussian(LG)模態，而是屬於 HG 和 LG 之間的過 渡態，故將由 HG 的本徵態出發，利用 HG 的本徵態來組成新的波函數，使得我 們可以得到介於 HG 和 LG 之間的過渡狀態，我們將此可以產生過渡狀態的波函 數稱為廣義同調態 Generalized Coherent States(GCSs)。在得到 GCSs 之前，我們 必須要先得到一個由 HG 為基底的 LG。. 將參數 2 p l k , k 代入式(2.3.17)的參數 m, n 中，將式子改寫成 ) (2HG p l k , k ( x, y, z ) . . e. 1 H 2 p l k 2 2 p l 1 (2 p l k )!k ! ( z ). ( x2 y2 ) ( z )2. 1. e. z i (2 p l 1) tan 1 zR . e. 2x Hk ( z ) . 2x ( z ) (2.3.18). ( x2 y 2 ) z i l (2 p l 1) 1 2 2 L 2( z zR ) . 接著，加入轉換係數以及相位因子，使上式轉化成 LG 波函數 2 p l ) (pLG ,l ( r , , z ) . e. ik. 2. ) B( p, l , k ) (2HG p l k ,k ( x, y, z ). (2.3.19). k 0. 其中 B ( p, l , k ) . (1) k 22 p l. (1) s ( p l )! p !(2 p l k )!k ! s s !(k s)!( p l s)!( p k s)! 16. (2.3.20).
(24) 我們稱上式為轉換係數，其功用在於轉換坐標系所必須運算的係數 [17]。 而在式(2.3.19)當中，加入了一個相位因子 (Phase factor). ，用來搭配轉換成 2. LG 的形式。若對式(2.3.19)作絕對值平方，取得它的正比強度並作圖，更可以進 一步得到實驗中所觀察到的橫向模態，該方程式所呈現出來的圖形，我們稱為基 本 LG 模態，呈下圖 2-8。. 圖 2-8. 數值模擬基本 LG 模態[16]. 換句話說，若我們給定相位因子 為 0，波函數呈現 HG，若給定相位因子 為. ，波函數則呈現 LG。 2. 若將相位因子假設為 ，且 為一個 0 . 的實數時，則可以得到一組新的 2. 近軸近似光波函數家族－Generalized Coherent States (CGSs)，在中文我們稱為廣 義同調態。 2 p l. (CS) p ,l ( x , y , z , ) . e. ik. ) B( p, l , k ) (2HG p l k ,k ( x , y , z ). (2.3.21). k 0. 同樣地，若我們對式(2.3.21)作絕對值平方，取得它的正比強度並作圖，並 且設相位因子 為一個 0 . 的實數，可以觀察出 Generalized Coherent States 的 2. 圖形，為介於 HG 模態與 LG 模態之間的過渡態，呈下頁圖 2-9。. 17.
(25) . 1. 0. 5. 圖 2-9. 16. 16. 2. 6. 16. 16. 3. 7. 16. 16. 4. 8. 16. 16. 給定不同相位因子 的數值模擬 Generalized Coherent States. 討論至此，我們已從直角坐標系(HG)下的電場波函數，進而改寫成可以產 生介於 HG 與 LG 之間過度狀態的 Generalized Coherent States，我們在本實驗中 所觀察到的 Herriott-type 模態，也都可以藉由本節所介紹的波函數加以疊加、干 涉，來得出我們所需要的波函數型式，同樣的，也可藉由所得出的波函數來得到 雷射共振腔的資訊。. 18.
(26) 2.4. 簡併共振腔 在上節提到了實驗上可以藉由給定特殊的腔長、離軸來觀察到許多不同的模. 態，是由於許多光束互相疊加、干涉後的巨觀結果，這是因為在一個特定的腔長 中，隨著不同共振腔的特性影響，可能含有多種狀態不一樣能量卻一樣的波函數， 產生出波函數在同一腔長裡疊加、干涉的結果，進而產生出不同以往的橫向模態， 我們稱該特定腔為簡併共振腔。故在此節中，我們將先介紹波函數在簡併共振腔 中的影響。. 若共振腔兩球面鏡距離 L，其共振頻率可表示為 f (m, n, l ) f L l (m n 1) ( f T / f L ). 上式中 f L . (2.4.1). c 表示縱向模態的頻寬， fT 表示橫向模態的頻寬， l 表示縱向 2L. 模態係數， m , n 表示橫向模態係數，並且對於腔長為 L 的兩球面鏡，橫向模 態與縱向模態的頻率之間的比率，可表示為 . fT P 1 cos 1 g1 g 2 f L Q . (2.4.2). 上式中 g1 、 g 2 為穩定共振腔 g 參數 g1 1 . L L 、 g2 1 R1 R2. (2.4.3). 若以本實驗的系統為例，前鏡為一平凹面鏡，焦距為 25mm，出光鏡為增益介質 晶體一面鍍膜，故為平面鏡，將其光學元件焦距 R 帶入上式(2.4.3)，我們可得條 件 g1 1 . L 、 g2 1 25 19. (2.4.4).
(27) 其穩定共振腔允許的腔長條件為 0 1. L 1 0 L 25( mm ) 25. (2.4.5). 再將式(2.4.4)的條件，帶入式(2.4.2)，則橫模與縱模比率為 . f T P 1 L cos 1 1 f L Q 25. (2.4.6). 將式(2.4.5)的結果代入式(2.4.6)，我們可以計算出，此雷射共振腔可允許的橫模 與縱模比範圍將會介於 0. 1 2. (2.4.7). 由上述的計算與討論，我們可以知道，不同的腔長 L ，可以對應到一個不同 1 的橫縱模比 ，以 = 為例，若將腔長 L 調整至 12.5mm，將 L 帶入式(2.4.6)， 4 1 1 我們可以得出 = ，故在 L 為 12.5mm 時，我們可以觀察四分之一腔長( = ) 4 4. 的圖形。 然而，我們先前已經知道，光波在雷射共振腔中會產生共振，原因是在相近 的地方，頻率也相近，以巨觀的角度來看，我們可以視為相同的頻率進而產生了 鎖頻現象(Frequency locking)或是鎖模現象(mode locking)，在先前的研究中，將 這種現象按著最簡有理分數比作圖，可以發現一特殊且規則性的梯狀分布，稱之 為魔梯現象(Devil’s staircase)[2]，呈下圖 2-10。由圖中及式子我們可以得知，一 般球型雷射共振腔的簡併共振腔最大可以到 = ( =. 1 ，而第一層的簡併共振腔 2. 1 )，相較於其他簡併共振腔將會有比較大的區段，故在實驗中也較易觀察。 n 20.
(28) Devil’s staircase. 1 2. 0.5. 2 5. WW W. HL. 0.4. 0.3. 1 5. 0.2. 2 9. 2 7. 1 4. 1 3. 0.1. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. ΩW. 圖 2-10. 簡併共振腔中的魔梯現象[2]. 除此之外，光波的能量正比於頻率，可以寫出下式 E f (m, n, q ) l f L fT (m n 1). (2.4.8). 根據簡併共振腔的效應，我們知道在附近腔長之下的能量，可以視為相同， 也就是說，不管式(2.4.8)中 m, n, q 如何變化，其總合必須為一樣。以簡併共振腔 1 = 為例，由於 f T :f L =1:2 ，則可以假設 f T =1，f L =2 ，接著令 n 0 ，可以 2. 將式(2.4.8)改寫為. E f (m, n, l ) l 2 1(m 0 1). 按著上式，我們可以透過下面圖例來說明. 21. (2.4.8).
(29) I ΔfT ΔfL. (10,0, l ) (11,0, l ) (10,0, l 1) (12,0, l 1) (13,0, l 1) (12,0, l ) (14,0, l 2) (15,0, l 2) (14,0, l 1) 圖 2-11. . f. . 模態係數及頻寬示意圖. 上圖 2-11 中，縱座標為強度，橫坐標為頻率，下方為 (m, n, l ) 係數，且我們 已知 f T =1，f L =2 ，所以當 m 係數每增加 2， l 係數就必須減少 1，使得式(2.4.8) 所加總出來的能量為固定，例如： (10,0, l ) 、 (12,0, l 1) 與 (14,0, l 2) ，他們能 量總和式相同的，進一步延伸，若我們所給定的狀態為 (11,0, l ) ，則一樣可以找 到同樣為簡併態的 (13,0, l 1) 與 (15,0, l 2)；當很多組像圖 2-11 下列能量相同的 1 模態互相疊加時，就會形成 = 的簡併態。 2. 22.
(30) 2.5. 波函數的疊加與 Herriott-type 模態 在先前的篇幅中有提到，在實驗上，因為簡併共振腔的影響，使得許多實驗. 中所得的圖形，為許多光束在簡併共振腔中互相疊加、干涉後的巨觀結果。而在 這節篇幅中，我們將利用上節所敘述簡併共振腔性質的結果，套用至先前章節我 們已經知道的 HG，並加以疊加。. 首先，我們已經知道，在近軸近似下，球型共振腔的波函數的直角座標下為 HG 2x 2x E ( x, y , z ) Hm Hn e 2 m n 1 m !n ! ( z) ( z) 1 2. e. ik z z. 2. (x y ) 2( z 2 zR2 ). e. ( x2 y 2 ). ( z )2. . 0 ( z). (2.5.1). z i kz ( m n 1) tan 1 z R . 其中 1/2. z 0 = 0 . zR . 1/2. z f 0 c. 1/2. ，為當 z 0 時的光腰；. 0 ，為 Rayleigh range。 . 本實驗所採用的共振腔為平凹球型共振腔，故可以把式 (2.4.2) 改寫為 . fT P 1 L cos 1 1 f L Q R. (2.5.2). 將式 (2.5.1) 改寫成 . ( HG ) m ,n ,l. 2x 2x 1 ( x, y , z ) H H e m n ( z ) ( z ) 2 m n 1 m ! n ! ( z ) 1. e. z i ( m n 1) tan 1 zR . e. ( x2 y 2 ) z i l ( m n 1) 1 2 2 L 2( z zR ) . 23. ( x2 y 2 ) ( z )2. (2.5.3).
(31) 從上節知道，當 . P ) 為有理數時， k 0,1, 2,3... 的 (mHG ( x, y , z ) 可 0 pk , n0 qk , l0 sk Q. P 以組成一簡併共振態，並且符合方程式 s ( p q) 0 ，係數皆為整數。因此 Q 可 推 出 ( p q) 為 Q 的 整 數 倍 ， ( p q) KQ ， K 0,1,2,3... ， 由 ) (mHG ( x, y , z ) 所組成的波函數，經過疊加之後可表示成一波函數 0 pk , n0 qk , l0 sk. M. ) mp ,0q,n, s0 ,l0 ( x, y, z;0 ) k 0 eik0 (mHG ( x, y , z ) 0 pk , n0 qk , l0 sk. (2.5.4). 其中， 0 表示當 z 0 時，HG 模態的相位。 可將式 (2.5.4) 繼續整理成. . p ,q m0 ,n0 ,l0. M. ( x, y , z; 0 ) k 0 e. ik ( z ). . ( HG ) m0 pk ,n0 qk. ( x, y , z ) e. ( x2 y 2 ) z i l ( m n 1) 1 2 2 L 2( z zR ) . (2.5.5). z 其中， ( z ) ( p q ) tan 1 0 。 zR 同樣地，若對式(2.5.5)作絕對值平方，取得該式的正比強度並作圖，將可以 得到具有疊加性質的 HG 模態，像是利薩茹圖形，呈下圖 2-12，而這些圖形，在 實驗中也正是可以從簡併共振腔中取得。. (6,-1). (5,0) 圖 2-12. (4,1). 數值模擬疊加後的 HG 模態. 24. (3,2).
(32) 上述的結果就是球型雷射共振腔的波函數在特殊簡併共振腔的情況，然而， 在先前的篇幅中有提到，若要求得 Herriott-type 模態，必須先將 HG 波函數改寫 為 HG 與 LG 之間的過渡狀態，也就是以 HG 為基底的廣義同調態(GCSs)，而在 先前的篇幅中也已將之推導出來。 從式(2.3.21)開始，並且將之用上述同樣的原理疊加，則可得 M. . p0 ,l0. ) ( x, y, z, ; 0 ) eik0 (pCS ( x, y , z , ) 0 , l0 ( K ). (2.5.6). K 0. 其中 2 p l. (pCS,l ) ( x, y , z , ) . e. ik. ) B ( p, l , k ) (2HG p l k , k ( x, y , z ). (2.5.7). k 0. 按照同樣的原理，當 0 時，強度分佈圖形會呈現直角坐標系 HG 的疊加 圖形，當 . 時，強度分佈圖形會呈現柱坐標系的 LG 疊加圖形；換句話說， 2. 當 介於 0 . 時，強度分佈圖形則會呈現出介於 HG 至 LG 之間疊加圖形的過 2. 渡狀態，因此，從座標的轉換之間我們可以發現，中間一連串的變化，可以產生 出 Herriott-type 模態的幾何輪廓，再加以干涉之後，可以得到 Herriott-type 模態， 如下圖 2-13。. =. 1 5. =. 圖 2-13. 2 9. =. 1 4. 數值模擬 Herriott-type 模態， . 25. =. 4. 3 11.
(33) 第三章 3.1. 實驗結果與討論. 球型共振腔實驗裝置及架構 本實驗是雷射實驗，所以必定有雷射三要素：幫浦源 (pump source)、增益. 介質 (gain medium)、共振腔 (resonance cavity)，所用的裝置包含了雷射二極體 (Laser diode)、聚焦透鏡組、共振腔前鏡 (平凹面鏡)、鍍膜增益介質摻釹釩酸釔 (a-cut Nd:YVO4)、相機 (CMOS)、屏幕、光學平台等。在幫浦源方面採用了功率 可達 3.00W 的雷射二極體，搭配聚焦透鏡組，使雷射通過之後擁有光點更小、 能量更集中的光點；增益介質方面，是使用先前篇幅已經介紹過的 a-cut 摻釹釩 酸釔 (a-cut Nd:YVO4)，其詳細的規格為 2%Nd:YVO4、 8 8 2mm ，並在出光面 鍍上對 1064 nm 光有 99% 反射率的膜，使得增益介質的出光面成為雷射共振腔 的一部分；共振腔方面，使用曲率半徑為 25mm 的球面平凹面鏡，作為共振腔的 前鏡，實驗裝置圖 3-1 如下. Laser diode driver. Fiber coupled laser diode. Focusing lens. Computer. Gain medium 2% Nd:YVO4 a-cut. Plano-concave mirror(R=25mm). Objective lens. Camera Screen. 圖 3-1 實驗裝置圖 26.
(34) 3.2. 雷射模態 Herriott-type 模態之產生與近遠場結果 實驗的過程中，利用雷射共振腔裝置先激發出雷射光，對準屏幕且確認. CMOS 可觀察到成像之後，將腔長調整至要觀察之 Herriott-type 模態的簡併共振 腔區段，並且使聚焦透鏡的對焦再次校準，接著，試著微調腔長並離軸至圖 3-1(a) 利薩茹之後，我們便可以容易地繼續用增加單一方向離軸(off-axis)的方式，找出 該簡併共振腔區段相對應點數的 Herriott-type 模態，如圖 3-2(b)。. (a). (b). off-axis. 圖 3-2 (a) . 產生 Herriott-type 模態. 1 1 利薩茹(-1,5)圖形 (b) Herriot-type 模態 4 4. 透過理論的計算，我們可以計算出該共振腔最簡整數比所在的腔長位置，然 而，實際上所觀察到的 Herriott-type 模態，並非與理論所計算的腔長完全吻合， 這是由於 Herriott-type 模態在透過離軸變化之前，是利薩茹(-1,n)的圖形，而該利 薩茹圖形，並非在簡併共振腔區段的正中心，故有所偏差。不過我們皆可以透過 這個特殊的利薩茹圖形，來更快速的找到我們要的 Herriott-type 模態。. 27.
(35) 在本實驗的架構之下，由於儀器上的尺度以及雷射穩定度，使得我們僅可觀 察介於 . 1 1 ，並包含所有至分子為 3、少數為 4 簡單整數比的簡併共振腔， 6 3. 下圖 3-2 中，將列出我們可觀察的簡併共振腔範圍(方框部分)。. 圖 3-3. 實驗中可觀察 Herriott-type 模態的簡併共振腔縱橫模頻率比 . 呈上圖，在實際的理論計算下，在該系統應該可以找到 . 1 的所有簡併共 2. 振腔，但由於實際上光學元件的限制，例如前鏡架和晶體都有厚度，或是幫浦源 1 輸入有限…等，使得實際上，無法取得 < 的簡併共振腔，而在大腔長方面， 6. 由於共振腔的不穩定因素(例如：大腔長之下雷射較不穩定)，所以我們只能做 . 1 1 的研究，並且因著幫浦源輸入有限，故只能觀察到第四層( 分子為 4) 6 3. 的 Herriott-type 模態。. 28.
(36) 在接下來的篇幅中，我們將演示出我們所觀察到的呈上圖 3-3 的所有結果， 有趣的是，從結果中可以看觀察出該簡併共振腔的橫綜模比之分母數字，恰巧會 對應著該 Herriott-type 模態的最小點數。. (a). . 1 6. (d). . 2 11. (g). . 3 17. (b). (e). (h). . 1 5. . . 29. 2 9. 3 16. (c). . 1 4. (f). . 2 7. (i). . 3 14.
(37) (j). . 3 13. (k). (m) 圖 3-4. . . 4 17. 3 11. (l). (n). . . 3 10. 4 15. 實驗中所有可觀察 至分子為 4 的 Herriott-type 模態. 在實驗中我們觀察到，並不是每一次的觀察，都可以立即地得到最小點數之 Herriott-type 模態，需經過細部的微調透鏡組前後對焦、離軸幅度，腔長的微調， 以及屏幕的前後距離，才可以得出最小點數之 Herriott-type 模態。這是因為 Herriott-type 模態在縱向方向上具有一連續且週期性的幾何變化，我們稱近遠場 變化，這種幾何軌跡的變化，是由於在簡併共振腔波函數疊加所帶來的結果之一。 在下頁中，我們將試著觀察其中幾個 Herriott-type 模態的近遠場變化，我們以 . 1 2 與 為例子，其中近場 (z=0) 的模態圖形是利用物鏡觀察的結果。 5 7. 30.
(38) z=0cm. z=0.4cm. z=1.0cm. z=1.8cm. z=3.5cm. 遠場. 圖 3-5. . 1 Herriott-type 模態之近遠場 5. z=0cm. z=0.35cm. z=0.7cm. z=1.0cm. z=1.45cm. z=2.5cm. z=4.4cm. 遠場. 圖 3-6. . 2 Herriott-type 模態之近遠場 7. 31.
(39) 經過觀察上面所演示的兩組 Herriott-type 模態之近遠場圖，我們可以得知， 近遠場的幾何圖形變化是連續的且具有週期性。在圖形上光點數量的變化及其變 1 化次數也很有規律，如上頁圖 3-5 與圖 3-6 所演示， 的 Herriott-type 模態， 5. 其光點數量的變化為 5 或 10，而 . 2 的 Herriott-type 模態，其光點數量的變化 7. 為 7 或 14；而若我們定義近遠場幾何圖形變化 4 次為一變化週期 2 ，則可以觀 察出 . 1 2 的 Herriott-type 模態由起始點到遠場變化為 5 次的 ， 的 5 2 7. Herriott-type 模態由起始點到遠場變化為 7 次的. ，因此我們可以找到一個通式 2. 1 n 來說明 Herriott-type 模態近遠場的變化，其中， n 為變化的總次數，也等 2. 於該簡併共振腔橫縱模比的分母數值。 透過觀察了 Herriott-type 模態的近遠場變化，可以發現該類型模態的近遠場 古典幾何軌跡，和西元 1965 年，物理學家 Donald R. Herriott 所使用的方式，所 產生出的古典幾何軌跡一致，因此可以透過 Herriott-type 模態的近遠場分佈，來 計 算 該 Herriott-type 模 態 在 雷 射 共 振 腔 中 的 等 效 光 程 長 度 。 以 . 1 的 5. Herriott-type 模態為例，根據近遠場觀察的結果圖 3-5，可以推斷出， . 1 的 5. Herriott-type 模態在雷射共振腔中，具有下頁圖 3-7 的幾何軌跡分佈。如圖所示， 我們可以得知在雷射共振腔中的出光面(晶體)及入射面(前鏡)上，Herriott-type 模 態所呈現的點數都為 5 點，並且相位不同。此種現象所代表的結果是，在腔內必 1 有近遠場點數的變化，而透過我們模擬推論的結果， 的 Herriott-type 模態 5. 在雷射共振腔中的近遠場變化為兩次、 中的近遠場變化為四次。. 32. 2 的 Herriott-type 模態在雷射共振腔 7.
(40) pumping source. b a. 10. c. 1 9. Nd:YVO4. 2. 8. 3 7. 4 6. 5. Plano-concave mirror.
(41) 光路. 近遠場路徑長. 發散角. 腔內路徑長. 腔內等效路徑. (cm). o. ( ). (cm). (cm). 1. 10.37. 15.38. 1.011. 9.963. 2. 10.26. 13.02. 1.001. 3. 10.11. 8.37. 0.985. 約為腔長. 4. 10.10. 7.97. 0.985. 10.22 倍. 5. 10.26. 13.00. 1.001. 6. 10.33. 14.58. 1.007. 7. 10.27. 13.27. 1.002. 8. 10.10. 8.15. 0.985. 9. 10.10. 8.14. 0.985. 10. 10.27. 13.18. 1.001. 表 3-1 . 光路. 1 Herriott-type 模態之腔內等效長度計算 5. 近遠場路徑長. 發散角. 腔內路徑長. 腔內等效路徑. (cm). ( o). (cm). (cm). 1. 10.35. 14.91. 1.638. 22.638. 2. 10.23. 12.14. 1.619. 3. 10.11. 8.27. 1.600. 約為腔長. 4. 10.07. 6.84. 1.594. 14.30 倍. 5. 10.12. 8.98. 1.603. 6. 10.25. 12.66. 1.622. 7. 10.35. 14.91. 1.638. 8. 10.35. 14.91. 1.638. 9. 10.24. 12.37. 1.621. 10. 10.15. 9.83. 1.607. 11. 10.08. 7.43. 1.596. 12. 10.12. 8.67. 1.601. 13. 10.25. 12.67. 1.622. 14. 10.35. 14.91. 1.638. 表 3-2 . 2 Herriott-type 模態之腔內等效長度計算 7. 34.
(42) 3.3. 理論模擬之結果 在上一章的最後有介紹了如何從 Generalized Coherent States 出發，疊加出需. 要的 Herriott-type 模態，而在這節當中，將運用式(2.5.6)，透過程式幫助我們運 算波函數，並且對該波函數的強度作圖，得以呈現出，相似於在實驗屏幕上所觀 察到的圖形。依據圖形的類別，我們可以觀察出 Herriott-type 模態相似於 LG0,n0 的 圖形 (一環狀)，故在程式中，我們將會設定 m0 0 ，並將在兩坐標系之間轉換的 相位因子 設定角度為 0 . 之間，使得圖形呈現橢圓形狀，並隨著 Herriott-type 2. 模態的點狀數目不同，設定不同的簡併係數與該圖形應有的腔長，使得圖形貼近 真實，舉例而言，若要求得一 5 個點的 Herriott-type 模態，我們可以知道，5 個 1 點的 Herriott-type 模態只會出現在橫模與縱模頻寬比 的對應腔長附近，故 5. 我們可以先將腔長、簡併係數先設定好，並且將相位因子 設定角度為 0 . 之 2. 間，最後，再將整體圖形做 45 度角的直角座標轉換，則會呈現模態的近場，若 光點的起始位置與實驗不同時，還可以再加入一相位參數，使之產生相位差而讓 起始光點回歸正確位置，最後，若覺得光點大小與實際相差甚遠時，可以慢慢增 加離軸程度以、疊加的次數及作圖精細度等，使圖形貼近於真實實驗。在下頁篇 幅中，將附上由 Mathematca 模擬繪圖程式所分析的 HG 模態近遠場理論圖及與 實驗對照。. 35.
(43) z=0cm. z=0.4cm. z=1.0cm. z=1.8cm. z=3.5cm. 遠場. 圖 3-8. . 1 Herriott-type 模態之近遠場與理論對照圖 5 36.
(44) z=0cm. z=0.35cm. z=0.7cm. z=1.0cm. z=1.45cm. z=2.5cm. z=4.4cm. 遠場. 圖 3-9. . 2 Herriott-type 模態之近遠場與理論對照圖 7. 37.
(45) 3.4. 產生 Herriott-type 模態之腔長與橢圓率關係 在先前 的實 驗中 ，我 們已 經利 用雷 射共 振 腔裝置 ，並 藉由 離軸 來得到. Herriott-type 模態，但隨著不同的條件，可以使得 Herriott-type 模態擁有不同橢 圓率。故在本章節中，將透過實驗的結果，來探討橢圓率與共振腔條件的關係。 呈上篇幅中所介紹的實驗配置，透過微調腔長以及離軸的幅度，在下面記錄當簡. 1 2 併共振腔為 與 之下實驗的部分結果。 5 7. L=9.71mm. L=9.73mm. L=9.75mm. L=9.77mm. L=9.79mm. ∆x=0.1mm ∆y=2.39mm. ∆y=2.47mm. ∆y=2.59mm. ∆y=2.71mm. ∆y=2.82mm. ∆y=2.11mm. ∆y=2.46mm. ∆y=2.58mm. ∆y=2.69mm. ∆y=2.83mm. ∆y=2.08mm. ∆y=2.35mm. ∆y=2.56mm. ∆y=2.65mm. ∆y=2.80mm. ∆y=1.76mm. ∆y=2.29mm. ∆y=2.46mm. ∆y=2.64mm. ∆y=2.76mm. ∆x=0.2mm. ∆x=0.3mm. ∆x=0.4mm. 圖 3-10. . 1 Herriott-type 模態之腔長與離軸改變圖(部分) 5. 38.
(46) L=15.88mm. L=15.855mm. L=15.83mm. L=15.805mm. L=15.78mm. ∆x=0.2mm ∆y=2.59mm. ∆y=2.46mm. ∆y=2.36mm. ∆y=2.11mm. ∆y=1.76mm. ∆y=2.40mm. ∆y=2.29mm. ∆y=2.09mm. ∆y=1.37mm. ∆y=2.37mm. ∆y=2.22mm. ∆y=1.97mm. ∆y=1.06mm. ∆y=2.29mm. ∆y=2.14mm. ∆y=1.81mm. ∆x=0.3mm. ∆x=0.4mm. ∆x=0.5mm. 圖 3-11. . 2 Herriott-type 模態之腔長與離軸改變圖(部分) 7. 由上兩圖的實驗結果可以知道，在特殊簡併共振腔之下，可允許 Herriott-type 模 態 的 圖 形 不 是 只 有 在 一 特 定 腔 長 而 是 存 在 於 一 段 區 域 ( 約 0.1mm) ， 而 Herriott-type 模態的圖形橢圓率，與腔長有絕對的關係，有趣的是，隨著 x 方向 離軸的增加，可允許的腔長區段會變小。另外從細微的調整腔長就可以看出每個 腔長所對應的橢圓率是不同的，且是有規律的變化，從實驗結果可以歸納出細微 調整腔長越大，橢圓率越大。而在每一個腔長下，若固定 x 方向離軸，可允許的 y 方向離軸也不盡然相同，腔長大的橢圓圖形，所需要的 y 方向離軸也越大，在 適當的橢圓率之下，所允許的 x 方向離軸範圍也越大，在下兩頁的篇幅中附上完 整的實驗圖。. 39.
(47) 若對每一個所觀察到的圖形作橢圓率的計算，可以發現。在同一個腔長之下， 橢圓率幾乎是固定不變的，換句話說，不同離軸程度帶給圖形的橢圓率變化幾乎 沒有影響，不同離軸程度只在於圖形相位差的部分有比較多的變化，在下表將列 出 . 1 Herriott-type 模態的橢圓率數據。 5. 9.71. 9.73. 9.75. 9.77. 9.79. 9.81. 9.83. 9.85. 9.87. 0.1. 0.98. 0.93. 0.89. 0.86. 0.84. 0.80. 0.78. 0.75. 0.73. 0.2. 0.99. 0.94. 0.90. 0.86. 0.83. 0.79. 0.77. 0.74. 0.74. 0.3. 0.98. 0.95. 0.89. 0.86. 0.86. 0.81. 0.77. 0.74. 0.4. 0.98. 0.94. 0.89. 0.86. 0.82. 0.80. 0.78. 0.75. 0.5. 0.98. 0.94. 0.89. 0.87. 0.83. 0.80. 0.76. 0.6. 0.97. 0.93. 0.88. 0.85. 0.82. 0.78. 0.7. 0.98. 0.93. 0.89. 0.85. 0.82. 0.77. 0.8. 0.94. 0.89. 0.85. 0.82. 0.9. 0.92. 0.88. 0.85. 0.83. 1.0. 0.92. 0.88. 0.84. 0.83. 1.1. 0.90. 0.88. 0.85. 0.81. 1.2. 0.88. 0.85. 0.80. 1.3. 0.88. 0.83. 0.81. 1.4. 0.85. 0.82. 1.5. 0.85. 0.82. L(mm) ∆x(mm). 1.6. 0.82. 1.7. 0.81. 平均. 0.98. 0.93. 表 3-3 . 0.89. 0.85. 0.82. 0.79. 0.77. 1 Herriott-type 模態之腔長與離軸改變圖 5 40. 0.75. 0.73.
(48) 第四章. 總結. 由先前的理論推導與實驗的比對結果我們可以發現，第一部分的實驗與理論 的結果大致上都符合，故我們可以視 Herriott-type 模態為 LG 家族中圖形的變化， 這也說明了，我們可以在 a-cut 的 Nd:YVO4 中靠著操作離軸 (off-axis) 的方式找 到類似 LG 圖形的 Herriott-type 模態，而不像傳統中，在 a-cut 中需要用到兩柱透 鏡來將 HG 圖形轉成 LG 圖形。透過實驗我們也可以曉得，在一穩定雷射共振腔 中，我們可以找到多個簡併共振腔區段，且只要我們可以找到該簡併共振腔區段 的利薩茹圖形 (-1,n)，我們就有機會可以藉著離軸的方式找到 Herriott-type模態， Herriott-type 模態的點數越多，能量個需求越大，越不容易觀察得到；在近遠場 的觀察方面，我們也得出 Herriott-type 模態具有空間上的模態幾何變化，且總變 1 化的週期為該 Herriott-type 模態的點數乘上 。 2. 在第二部分的實驗中，腔長與橢圓率的變化，有著直接的關係，這原因也是 因為在變化成 Herriott-type 模態圖形之前，該簡併共振腔區段的利薩茹圖形 (-1,n)，也是一個具有連續性的模態，隨著利薩茹圖形 (-1,n) 在附近不同腔長下 的變化，Herriott-type 模態的橢圓率也跟著變化，在變化的規律上，我們也經由 實驗來得知，在一區段的連續變化中，較大的腔長可以產生較大的橢圓率，但若 我們以穩定度為前提，適當的腔長以及離軸才是穩定 Herriott-type 模態圖形的關 鍵。 總而言之，在這個實驗中，我們使用了一外部雷射共振腔系統，並使用了離 軸的操作，得到了特殊簡併共振腔中的 Herriott-type 模態，並且我們改寫了 HG 的本徵態成為所謂的廣義同調態(GCSs)，對他它作疊加和轉換係數調整，順利地 得出我們想要的 Herriott-type 模態，使得理論求得與實驗所得的相符合。. 41.
(49) 第五章. 未來工作. 在本實驗的操作中，仍然有許多我們無法克服的因素在其中，像是光學元件、 模擬程式等，在未來若隨著科技進步，我們可在更多的簡併共振腔中觀察到更多 的 Herriott-type 模態，就可以從中得到更多 Herriott-type 模態、簡併共振腔，與 魔梯現象的相關資訊。. 在本篇實驗中，並沒有實際探討出實驗上產生 Herriott-type 模態的物理成因， 根 據 以 往 的 研 究 ， 在 產 生 Herriott-type 模 態 時 ， 亦 會 同 時 產 生 出 依 循 著 Herriott-type 模態的擺線模態[18]。除了該擺線模態與 Herriott-type 模態的線性偏 振方向呈現垂直之外，透過研究的整理，我們可以得知該擺線模態，恰巧為透過 增加離軸變化成 Herriott-type 模態之前的利薩茹圖形之 LG 轉換，若可以將這些 模態之間的變化進一步分析，除了能了解從利薩茹圖形轉變成 Herriott-type 模態 的過程，將更了解 Herriott-type 模態得以在 a-cut 晶體產生的原因。. 除了了解模態成因之外，Herriott-type 模態本身的幾何軌跡結構，可以說是 儀器 Herriott cell 的雷射版本，若透過雷射的優點加以改良現今的 Herriott cell， 或許將可以發展出更優於以往的儀器得以使用，例如：共振腔條件的緣故可以使 體積在更小，雷射強度也較一般光源強且較穩定，並透過不同增益介質，有多種 不同光束可以選擇，包含了不可見光。. 42.
(50) 在實驗的第二部份，我們所探討的主題為產生 Herriott-type 模態的腔長與橢 圓率的關係，在這部份中，我們只作了相當有限的觀察。在一個腔長的範圍中， 若有好的條件，是可以詳細的在每一個腔長下紀錄資訊，來理解橢圓率的變化， 再者，橢圓率變化的計算也或許有更好的方式可以表達。. 透過本實驗我們知道 Herriott-type 模態本身介於 HG 與 LG，則我們可以可 以知道 Herriott-type 模態是具有角動量的光場結構，若談起角動量的特性及應用， 或許資訊會來得比一般 LG 好，且隨著結構簡單而易操控。在科技應用方面，具 有角動量的光場操控微粒子的功用也是相當熱門的探討問題，例如：在光學鑷子 實驗中可以利用每道光束做定量的實驗。. 談起未來應用，我們知道，結構性的光場的產生與應用，一直都是近年來光 學領域中重要的研究之一，而本實驗，也是一個可以將原本波動特性的光場，轉 變成古典幾何軌跡去解釋和研究的實驗方式，進而利用古典與量子之間的對應關 係，對量子力學有更深層的認識。. 43.
(51) 參考文獻 [1] G. M. Lerman, L. Stern, and U. Levy, “Generation and tight focusing of hybridly polarized vector beams,” Opt. Express 18(26), 27650-27657 (2010).. [2] Y. F. Chen, T. H. Lu, K. W. Su, and K. F. Huang, “Devil’s staircase in three-dimensional coherent waves localized on Lissajous parametric surfaces,” Phys. Rev. Lett. 96(21), 213902 (2006).. [3] C. H. Chen, P. T. Tai, W. H. Chiu, and W. F. Hsieh, “Transverse excess noise factor and transverse mode locking in a gain-guided laser,” Opt. Commun., 245(1-6), 301-308, (2005).. [4] J. B. McManus, P. L. Kebabian, and M. S. Zahniser, “Astigmatic mirror multipass absorption cells for long-path-length spectroscopy,” Appl Opt 34(18), 3336-3348 (1995).. [5] Port City Instruments. LLC., “Meter Herriott Cell,” 2014. http://portcityinstruments.com/products-hcells.php (15 June 2014).. [6] T. H. Lu, Y. C. Lin, Y. F. Chen, K. F. Huang, “Generation of multi-axis Laguerre－ Gaussian beams from geometric modes of a hemiconfocal cavity,” Opt. Express 17, 3007 (2009).. 44.
(52) [7] T. H. Lu, Y. C. Lin, H. C. Liang, Y. J. Huang, Y. F. Chen, and K. F. Huang, “Observation of lasing modes with exotic localized wave patterns from astigmatic large-Fresnel-number cavities,” Opt. Lett. 35, 345-347 (2010).. [8] 丁勝懋, 雷射工程導論(4th ed.) (2001).. [9] Eksma optics, coating specifications (2005).. [10] The Sol-Gel Gateway, “YVO4:Ln (Ln=Eu, Nd) luminescent nanoparticles),” http://www.solgel.com/articles/Sept00/Huignard.htm (15 June 2014).. [11] U-Oplaz Technologies, Inc. “Neodymium doped yttrium orthvanadate (Nd:YVO4) crystal,” http://www.u-oplaz.com/crystals/crystals20-1.htm (15 June 2014).. [12] Foctek Photonics, Inc. “Nd:GdVO4 Crystal,” http://www.foctek.com/products/Nd_GdVO4.htm (15 June 2014).. [13] Coherent, “Nd:YVO4 Data Sheet,” http://lasers.coherent.com/search?w=nd%20yvo4 (15 June 2014).. [14] Norman Hodgson and Horst Weber, Optical Resonators (Springer 1997).. [15] P. W. Milonni, and J. H. Eberly, Laser Physics (2010).. 45.
(53) [16] Sasada Lab. Department of Physics, Keio University, “Light possessing orbital angular momenta,” http://www.phys.keio.ac.jp/guidance/labs/sasada/research/ orbangmom-en.html (15 June 2014).. [17] T. H. Lu, Y. F. Chen, and K. F. Huang, “Generation of polarization-entangled optical coherent waves and manifestation of vector singularity patterns” Phys. Rev. E 75, 026614 (2007).. [18] T. H. Lu, Y. C. Lin, Y. F. Chen, and K. F. Huang, “Three-dimensional coherent optical waves localized on trochoidal parametric surfaces” Phys. Lett. 101, 233901 (2008).. 46.
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