D8 6空间直线

(1)

第六节

一、空间直线方程

二、线面间的位置关系

空间直线及其方程

(2)

一、空间直线方程

x ^y

z

o

1 0

1 1

1x  B y  C z  D  A

2 0

2 2

2x  B y  C z  D  A

1

2

L

因此其一般式方程 1. 一般式方程

直线可视为两平面交线，

( 不唯一 )

(3)

) ,

,

( ₀ ₀ ₀

0 x y z

M

2. 对称式方程

故有

说明 : 某些分母为零时 , 其分子也理解为零 .

m x x  ₀



 

0

y0

y

x x

设直线上的动点为

则 M (x, y, z)

n y y  ₀

 p

z z  ₀



此式称为直线的对称式方程 ( 也称为点向式方程 )

直线方程为

s

已知直线上一点 M₀(x₀, y₀, z₀)

) , ,

(x y z M

例如 , 当

, 0

,

0  时



 n p

m

和它的方向向量 ,

) ,

,

(m n p s 

s M

M₀ //

(4)

3. 参数式方程

设

得参数式方程 :

p t z z

n y y

m x

x  

 

 ₀  ₀ ₀

t m x

x  ₀  t n y

y  ₀ 

t p z

z  ₀ 

(5)

例 1. 用对称式及参数式表示直线

解 : 先在直线上找一点 .



     0 4

3 2

0 1

z y

x

z y

x

6 3

2







 z y

z y

再求直线的方向向量

2 ,

0  

 z

令 x = 1, 解方程组 , 得 y

交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .

) 2 ,

0 , 1

( 

故

. s ,

) 1 , 1 , 1

1  (

n n₂  (2, 1,3)

2 1 , s n n

s  

  s  n¹  n²

(6)

故所给直线的对称式方程为

参数式方程为









 

 



t z

t y

t x

3 2

4 1

 t 4

1 x

1

 y

3 2



 z 

解题思路 : 先找直线上一点 ;

再找直线的方向向量 .

) 3 ,

1 ,

4

(  

2 

1 n n

s  

3 1 2

1 1

1





k j

i

(7)

L2

L1



二、线面间的位置关系

1. 两直线的夹角

则两直线夹角  满足

2 1

, L

设直线

L



两直线的夹角指其方向向量间的夹角 ( 通常取锐角 ) 的方向向量分别为

2 1 2

1 2

1m n n p p

m  

12 12

12 n p

m   m₂²  n₂²  p₂² )

, ,

( ,

) ,

,

( ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₂

1 m n p s m n p

s  

2 1

2

cos 1

s s

s s 

 

s1

s2

(8)

特别有 :

2

) 1

1

( L  L

2 1 //

) 2

( L L

2 0

1 2

1m  n n  p p  m

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  

2

1 s

s 

2 1 // s s

(9)

例 2. 求以下两直线的夹角

解 : 直线

直线

二直线夹角 的余弦为

1 3 4

1 : 1

1

 

 

 y z

L x













0 2

0 : 2

2 x z

y L x

cos 

2

 2

从而 4

  

的方向向量为 L1

的方向向量为

L2  (2,  2, 1)

) 1 ( 1 )

2 ( ) 4 ( 2

1       

2 2

2 ( 4) 1

1    2²  (2)²  (1)² )

1 , 4 ,

1

1  (  s

2 0

1

0 1

2 1

k j

i s 

(10)

当直线与平面垂直时 , 规定其夹角

线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 ;

L

 2. 直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时 ,

设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为

则直线与平面夹角  满足

2 .





2 2

2

2 n p A B C

m

p C n

B m

A



 

直线和它在平面上的投影直

) , ,

(m n p s 

) ,

,

(A B C n 

︿

, ) cos(

sin  s n n

s

n s 



n s

(11)

特别有 :



 L ) 1 (

 //

) 2

( L Am  B n  C p  0

p C n

B m

A   n

s //

n s 

解 : 取已知平面的法向量

4 2

1    

 y z

x

则直线的对称式方程为

0 4

3

2x  y  z   直的直线方程 .

为所求直线的方向向量 .

1 3

2 

垂

) 1 , 3 ,

2 ( 



n n

例 3. 求过点 (1, － 2 , 4) 且与平面

(12)

(1) 平面束方程

(1) 过直线













0 : 0

2 2

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

L A

的平面束

) (A₁x  B₁y  C₁z  D₁

0 )

( ₂  ₂  ₂  ₂ 

 A x B y C z D 方程



 ₁ ^, ₂ 不全为⁰



1

2

(13)

k j

i )

, ,

( ₀ ₀ ₀

0 x y z

M _到直线

的距离 p

z z

n y y

m x

L : x  ¹   ¹   ¹ 为

(2) 点

2 2

2

1

p n

m  

 x₁  x₀ y₁  y₀ z₁  z₀ p n

m d

 s

s M

d M 

 ⁰ ¹ s  (m,n, p)

) ,

,

( ₁ ₁ ₁

1 x y z M

) ,

,

( ₀ ₀ ₀

0 x y z

M L

(14)

例 4. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交 线

提示 : 所求直线的方向向量可取为

利用点向式可得方程

4

 3 x

) 1 ,

3 ,

4

(   4 

0

1 

5 1

2  

3

 2

 y

1

 5

 z

平行 , 且过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程 .

2 1 n n

s  

k j

i



(15)

2 4 1

3 1

2    

 y z

例 5. 求直线 x 与平面

0 6

2x  y  z   的交点 .

提示 : 化直线方程为参数方程

代入平面方程得 t  1

从而确定交点为（ 1 ， 2 ， 2 ） .



















t z

t y

t x

2 4

3 2

 t

(16)

例 6. 求过点 ( 2 , 1 , 3 ) 且与直线

1 2

1 3

1

 

 y z

x 垂直相交的直线方程 .

提示 : 先求二直线交点 P.

0 )

3 (

) 1 (

2 )

2 (

3 x   y   z  

化已知直线方程为参数方程 , 代入 ①式 , 可得交点

P (

₇²

,

¹³₇

,

^₇³

)

最后利用两点式得所求直线方程 4

3 1

1 2

2  



 

 y z

x

的平面的法向量为故其方程为

①

) , , (2 1 3

) , , (1)1 0 ,

,

(3 2 1

过已知点且垂直于已知直线 ,

) 1 ,

2 , 3

( 

P

(17)

例 7. 求直

线 





   



0 1

z y

x

z y

x _在平面

上的投影直线方程 .

提示：过已知直线的平面束方程

从中选择

0 1

) 1

( 1

) 1

( 1

) 1

(              得



    0 0 1

z y

x

z

y _{这是投影平面}

0 )

1 ( )

1

(   x    y     z      0

) 1 (

1    



 y z x y z

x 

即

 0



 y z x

使其与已知平面垂直：



从而得投影直线方程 ,

1

 

(18)

例 8. 设一平面平行于已知直线







  

0 50

2

z y

x x z

且垂直于已知平面7x  y  4z  3  0,_{求该平面法线的} 的方向余弦 .

提示 : 已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量

50 , cos



 3

50 cos 4

50 ,

cos   5    n1

s n  

) 4 , 1 ,

7

1  (  n

) 2 , 1 , 1

 ( s

4 1 7

2 1

1





k j

i

) 4 ,

5 , 3 (

2 



所求为

(19)

1. 空间直线方程一般式

对称式

参数式













0 0

2 2

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

A









 



t p z

z

t n y

y

t m x

x

0 0 0

p z z

n y y

m x

x ₀ ₀  ₀

 

) 0 (m²  n²  p² 

内容小结

(20)

,

1 1 1

1 1

p z z

n y y

m x

L x      直线：

2 0

1 2

1m  n n  p p  m

,

2 2 2

2 2

p z z

n y y

m x

L x     

：

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  

2. 线与线的关系

直线

夹角公式 :

) ,

,

( ₁ ₁ ₁

1 m n p

s 

) ,

,

( ₂ ₂ ₂

2 m n p

s 

2 0

1  s 

2 s

1 L

L 

2 1 // L

L s₁  s₂  0

2 1

2

cos 1

s s

s s 

 

(21)

,

 0



 B y C z D x

A

C p B

n A

m   平面 

:

L⊥

L // 

夹角公式：

 0



 n B pC A

m

 sin

p , z z

n y y

m x

x      3. 面与线间的关系

直线 L :

) ,

,

(A B C n 

) , ,

(m n p s 

 0

 n s

 0

 n s

n s

n s 

 L





(22)

) 1 , 2 , 1 (

A ,

1 1 2

3 : 1

1

 

  y z L x

Li

设直线解：

2 上, 在

因原点O L

1 : 2

2   z

x y

L 相交 , 求此直线方程 .

的方向向量为 过 A 点及 L₂ 的平面的法向量为则所求直线的方向向量

方法 1 利用叉积 .

), 2 , 1 (i  s_i

,

n s  s₁  n,

所以 OA

s n  ₂ 

1 2

1

1 1

2 



k j

i

k j

i 3 3

3  



一直线过点且垂直于直线又和直线

Ex1:

n

O

A

L2

s2

(23)

设所求直线与的交点为

5 1 2

2 3

1



 



 

 y z

x

1 2

0 0

0   z x y

0 0

0

0 2y , z y

x   

待求直线的方向向量

方法 2 利用所求直线与 L₂ 的交点 .

即

故所求直线方程为

L2 B(x₀, y₀, z₀),

则有 L²

) 1 , 2 , 1 ( A n

s s  ₁ 

3 3 3

1 2

3





k j

i

) 5 2

3 (

3 i  j  k



) ,

,

(x₀ y₀ z₀ B

(24)

0 )

1 (

) 2 (

2 )

1 (

3 ₀   ₀   ₀  

 x y z

7 , 8

7 , 16

7 8

0 0

0  x  z  

y

5 1 2

2 3

1



 



 

 y z

x

0 0

0

0 2y , z y

x   

将代入上式 , 得

由对称式得所求直线方程

而 AB  (x₀ 1, y₀  2, z₀ 1)

) 5 ,

2 ,

3 7 (

3  



L1



7 ) , 15 7

, 6 7

( 9  



 AB

L2

) 1 , 2 , 1 ( A

) ,

,

(x₀ y₀ z₀ B