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97 學科能力測驗試題

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Academic year: 2021

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(1)

第一部分:選擇題(佔 60 分)

壹、單選題(佔 25 分)

說明:第 1 至 5 題,每題選出最適當的一個選項,劃記在答案卡之「解答欄」,每題答對得 5分,答錯不倒扣。 1. 對任意實數 x 而言, 2 2 ( ) 3 27x的最小值為 (A) 3,(B) 3 3,(C) 9,(D) 27,(E) 81 3。 Ans:(C) 【詳解】 2 2 ( ) 3 27x ≧ 2 2 3 27 3 =9。 2. 在職棒比賽中 ERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值。其計算方式 如下:若此投手共主投 n 局,其總責任失分為 E,則其 ERA 值為E n ×9。 有一位投手在之前的比賽中共主投了 90 局,且這 90 局中他的 ERA 值 為 3.2。在最新的一場比賽中此投手主投 6 局無責任失分,則打完這一場 比賽後,此投手的 ERA 值成為 (A) 2.9,(B) 3.0,(C) 3.1,(D) 3.2,(5) 3.3。 Ans:(B) 【詳解】 ERA=E n ×9=90 E ×9=3.2  E=32, 故 ERA(N)= 32 906×9=3。 3. 有一個圓形跑道分內、外兩圈,半徑分別為 30、50 公尺。今甲在內圈以 等速行走、乙在外圈以等速跑步,且知甲每走一圈,乙恰跑了兩圈。若 甲走了 45 公尺,則同時段乙跑了 (A) 90 公尺,(B) 120 公尺,(C) 135 公尺,(D) 150 公尺,(E) 180 公尺。 Ans:(D)

(2)

【詳解】 甲走了 30 公尺,則乙跑了 100 公尺, 故若甲走了 45 公尺,則同時段乙跑了 150 公尺。 4. 某地區的車牌號碼共六碼,其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母, 後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字,但規定不能連續出現三個 4。例如: AA1234,AB4434 為可出現的車牌號碼;而 AO1234,AB3444 為不可 出現的車牌號碼。則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 (A) 25×93,(B) 25×92×10,(C) 25×900,(D) 25×990,(E) 25×999。 Ans:(D) 【詳解】 第二碼有 O 以外的 25 種,後四碼為○444 有 10 種須扣除, 故有 25×(103-10)=25×990 種。 5. 廣場上插了一支紅旗與一支白旗,小明站在兩支旗子之間。利用手邊的 儀器,小明測出他與正東方紅旗間的距離為他與正西方白旗間距離的 6 倍;小明往正北方走了 10 公尺之後再測量一次,發現他與紅旗的距離變 成他與白旗距離的 4 倍。試問紅白兩旗之間的距離最接近下列哪個選項? (A) 60 公尺,(B) 65 公尺,(C) 70 公尺,(D) 75 公尺,(E) 80 公尺。 Ans:(A) 【詳解】 如下圖,t2-k2=(4t)2-(6k)2=100,  15t2=35k2,t2-k2=100,消去 t  3t2=7k2  7k2-3k2=300  k2=75  兩旗間的距離為 7k=7 7535 3≒60.62。

(3)

貳、多選題(佔 30 分)

說明:第 6 至 12 題,每題的五個選項各自獨立,其中至少有一個選項是正確的,選出正確選 項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣,五個選項全部答對者得 5 分,只錯一個 選項可得 2.5 分,錯兩個或兩個以上選項不給分。

6. 試問:在坐標平面上,下列哪些選項中的函數圖形完全落在 x 軸的上方?

(A) y=x+100,(B) y=x2+1,(C) y=2+sinx,(D) y=2x,(E) y=logx。

Ans:(B)(C)(D) 【詳解】 (B) y=x2+1≧1。 (C) 1≦sinx≦1  1≦y=2+sinx≦3。 (D) y=2x>0。 7. 某高中共有 20 個班級,每班各有 40 位學生,其中男生 25 人,女生 15 人。 若從全校 800 人中以簡單隨機抽樣抽出 80 人,試問下列哪些選項是正確的? (A) 每班至少會有一人被抽中。 (B) 抽出來的男生人數一定比女生人數多。 (C) 已知小文是男生,小美是女生, 則小文被抽中的機率大於小美被抽中的機率。 (D) 若學生甲和學生乙在同一班,學生丙在另外一班,則甲、乙兩人 同時被抽中的機率跟甲、丙兩人同時被抽中的機率一樣。 (E) 學生 A 和學生 B 是兄弟,他們同時被抽中的機率小於 1 100 Ans:(D)(E)

(4)

【詳解】 從 800 個人中任取 80 人,即每個人被取的機會均等。 (A) 與班級無關,所以可能同一班級中,都沒有任何人被抽中。 (B) 男生人數較多,表示被抽中的機會較大,並不代表被抽出的人數會較多。 (C) 每個人被抽中的機會是均等的,所以小文被抽中的機會與小美是相等的。 (D) 每個人被抽中的機會相等,故甲、乙同時被抽中的機率為 C 2 2 ×C 798 78 C80080 與甲、丙同時被抽中的機率為 C 2 2 ×C 798 78 C80080 ,所以兩者的機率是相等的。 (E) 學生 A 與學生 B 同時被抽中的機率為 C 2 2 ×C 798 78 C80080 = 80 ×79 800 ×799 < 1 100 。 故選(D)(E) 8. 已知 a1,a2,a3為一等差數列,而 b1,b2,b3為一等比數列,且此 六數皆為實數。試問下列哪些選項是正確的?

(A) a1<a2與 a2>a3可能同時成立。

(B) b1<b2與 b2>b3可能同時成立。 (C) 若 a1+a2<0,則 a2+a3<0。 (D) 若 b1b2<0,則 b2b3<0。 (E) 若 b1,b2,b3皆為正整數且 b1<b2,則 b1整除 b2。 Ans:(B)(D) 【詳解】 (A) 不可能成立。 (B) 公比小於 0。 (C) 例如 a1=5,a2=1,a3=3。 (D) b1b2<0  公比小於 0  b2b3<0。 (E) 例如 b1=4,b2=6,b3=9。 9. 已知在一容器中有 A,B 兩種菌,且在任何時刻 A,B 兩種菌的個數 乘積為定值 1010。為了簡單起見,科學家用 P A=log(nA)來記錄 A 菌 個數的資料,其中 nA為 A 菌的個數。試問下列哪些選項是正確的? (A) 1≦PA≦10。 (B) 當 PA=5 時,B 菌的個數與 A 菌的個數相同。 (C) 如果上週一測得 PA值為 4,而上週五測得 PA值為 8,

(5)

表示上週五 A 菌的個數是上週一 A 菌個數的 2 倍。

(D) 若今天的 PA值比昨天增加 1,則今天的 A 菌比昨天多了 10 個。

(E) 假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個,則此時 5<PA<5.5。

Ans:(B)(E) 【詳解】

(A) nA.nB=1010  log(nA.nB)=log1010

 log(nA)+log(nB)=10  PA+PB=10  0≦PA≦10。 (B) 若 PA=5  PB=5  PA=PB  log(nA)=log(nB)  nA=nB。 (C) 設 nA表上週一 A 菌個數,nA表上週五 A 菌個數, 8 2 4 A A P P     log( ) 2 log( ) A A n n

  log(nA)=2.log(nA)=log(nA)2

 nA=(nA)2。 (D) PA+1=log(nA)+log10=log(10.nA),故多 10 倍。 (E) nB=50000  PB=log(nB)=4+log5=4.6990  PA=10-PB=10-4.6990=5.3010,  5<PA<5.5。 10. 已知實係數多項式 f(x)與 g(x)=x3+x2-2 有次數大於 0 的公因式。 試問下列哪些選項是正確的? (A) g(x)=0 恰有一實根。 (B) f(x)=0 必有實根。 (C) 若 f(x)=0 與 g(x)=0 有共同實根,則此實根必為 1。 (D) 若 f(x)=0 與 g(x)=0 有共同實根,則 f(x)與 g(x)的最高公因式為一次式。 (E) 若 f(x)=0 與 g(x)=0 沒有共同實根,則 f(x)與 g(x)的最高公因式為二次式。 Ans:(A)(C)(E) 【詳解】 (A) g(x)=x3+x2-2=(x-1)(x2+2x+2)=0,恰有一實根 x=1。 (B) 若公因式為 x2+2x+2,則 f(x)=0 可能沒有實根。 (C) g(x)=0 只有一實根 x=1,故若 f(x)=0 與 g(x)=0 有共同實根,則此實根必為 1。 (D) 若 f(x)=(x-1)(x2+2x+2)=g(x), 則 f(x)=0 與 g(x)=0 有一共同實根 x=1, 但 f(x)與 g(x)的最高公因式為三次多項式。

(6)

(E) f(x)與 g(x)的最高公因式為二次式 x2+2x+2。 11. 設坐標空間中三條直線 L1,L2,L3的方程式分別為 L1: 3 4 1 6 8 x y z,L2: 3 4 1 3 4 x y z,L3: 1 3 4 x y z 試問下列哪些選項是正確的? (A) L1與 L2相交。 (B) L2與 L3平行。 (C) 點 P(0,3,4)與 Q(0,0,0)的距離即為點 P 到 L3的最短距離。 (D) 直線 L: 0 3 4 4 3 x y z       與直線 L1,L2皆垂直。 (E) 三直線 L1,L2,L3共平面。 Ans:(A)(B)(D)(E) 【詳解】 (A) L1的方向向量v =(1,6,8),L1 2的方向向量v =(1,3,4), 2 不平行,且相交於(0,3,4)。 (B) L2的方向向量v =(1,3,4),L2 3的方向向量v =(1,3,4), 3 故 L2∥L3。 (C) QP=(0,3,4)與 L3的方向向量v =(1,3,4)不垂直, 3 因QP. v =0-9-16≠0。 (D) E1:x=0  法向量 m =(1,0,0), E2:3y+4z+25=0 法向量 n =(0,3,4), L 的方向向量v =m×n=(0,4,3), 1 v . v =(1,6,8).(0,4,3)=0,故 L1⊥L, 2 v . v =(1,3,4).(0,4,3)=0,故 L2∥L。 (E) L1:x=t,y=6t-3,z=8t-4,代入: 6 3 8 4 1 3 4 t tt   ,解得 t=1,故 L1,L3交於(1,3,4),

(7)

又由(A)知 L1,L2相交,由(B)知 L2∥L3, 故 L1,L2,L3共平面。 12. 設Γ:x2+y2-10x+9=0 為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的? (A) Γ的圓心坐標為(5,0)。 (B) Γ上的點與直線 L:3x+4y-15=0 的最遠距離等於 4。 (C) 直線 L1:3x+4y+15=0 與Γ相切。 (D) Γ上恰有兩個點與直線 L2:3x+4y=0 的距離等於 2。 (E) Γ上恰有四個點與直線 L3:3x+4y-5=0 的距離等於 2。 Ans:(A)(B)(D) 【詳解】

(A) x2+y2-10x+9=0 (x-5)2+y2=16,圓心 Q(5,0),半徑 r=4。

(B) d(Q,L)= 2 2 3 5 4 0 15 3 4      =0, 故Γ上的點與直線 L:3x+4y-15=0 的最遠距離等於 r=4。 (C) (Q,L1)= 2 2 3 5 4 0 15 30 5 3 4       =6≠4,故 L1與Γ不相切。

(8)

(D) d(Q,L2)= 2 2 3 5 4 0 0 15 5 3 4       =3<4,故有兩點 P,Q。 (E) d(Q,L3)= 2 2 3 5 4 0 5 10 5 3 4       =2,故有兩點 P,Q,R。

第二部分:選填題(佔 45 分)

說明: 1.第 A 至 H 題,將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12–41)。 2.每題完全答對給 5 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。 A. 令 A(−1,6,0),B(3,−1,−2),C(4,4,5)為坐標空間中三點。 若 D 為空間中的一點且滿足 3DA4DB2DC0,則點 D 的 坐標為____________。 Ans:(7,30,18) 【詳解】 3DA4DB2DC0,設 O 為原點  3(OA OD )4(OB OD )2(OCOD)0

(9)

OD3OA4OB2OC=3(1,6,0)-4(3,1,2)+2(4,4,5) =(3,18,0)-(12,4,8)+(8,8,10)=(7,30,18)。 B. 在坐標平面上,設 A 為直線 3x-y=0 上一點,B 為 x 軸上一點。 若線段AB的中點坐標為(7 2,6),則 (1) 點 A 的坐標為_________, (2) 點 B 的坐標為_________。 Ans:(1) (4,12),(2) (3,0) 【詳解】 設 A(x1,3x1),B(x2,0),則 x1+x2=6,3x1+0=12,  x1=4,x2=3, 故 A(4,12),B(3,0)。 C. 坐標平面上,以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A(1,0),B,C, 且AB= BC 。已知銳角三角形 OAB 的面積為 3 10,,則ΔOAC 的面積 為______________。(化為最簡分數) Ans:12 25 【詳解】 如右圖, a△OAB=1 2×1×1×sinθ= 3 10 sinθ= 3 5。 a△OAC=1 2×1×1×sin2θ =1 2×2sinθcosθ= 3 5× 4 5= 12 25。 D. 設 F1與 F2為坐標平面上雙曲線Γ: 2 8 x -y2=1 的兩個焦點, 且 P(4,1)為Γ上一點。若∠F1PF2的角平分線與 x 軸交於點 D, 則 D 的 x 坐標為____________。 Ans:2

(10)

【詳解】 由雙取線的光學性質知, PD 為∠F1PF2的分角線時, PD 必為過 P 且與雙取線相切的直線。 P(4,1) Γ,則切線 PD :(4)x-8.1.y=8,即 x+2y+2=0, y=0 代入得 x=2,故 D 的 x 坐標為2。 E. 設 O(0,0,0)為坐標空間中某長方體的一個頂點,且知(2,2,1), (2,1,2),(3,6,6)為此長方體中與 O 相鄰的三頂點。若平面 E:x+by+cz=d 將此長方體截成兩部分,其中包含頂點 O 的那一部分 是個正立方體,則(b,c,d)=____________。 Ans:(2,2,9) 【詳解】 如右圖, 2 2 2 2 2 1 3 OA    , 2 2 2 2 ( 1) ( 2) 3 OB      , 2 2 2 3 ( 6) 6 9 OC     , 1 3 ODOC=1 3×3=3,故 D(1,2,2), 平面 E 的法向量= OD =(1,2,2),且過 D(1,2,2), 故 E:x-2y+2z=1+4+4=9, 即 b=2,c=2,d=9。

(11)

F. 設 a,b 為正整數。若 b2=9a,且 a+2b>280,則 a 的最小可能值為____________。 Ans:225 【詳解】 a,b  N,b2=9a  b=3 aN  aN。 a+2b>280  a+6 a>280  ( a)2+6 a+9>280+9=289  ( a+3)2>289 a+3>17  a≧15  a≧225。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 b 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 a+2b 7 16 27 40 55 72 91 112 135 160 187 216 247 280 315 352 G. 坐標平面上有一質點沿方向u =(1,2)前進。現欲在此平面上置一直線 L, 使得此質點碰到 L 時依光學原理(入射角等於反射角)反射),之後沿方向 v =(2,1)前進,則直線 L 的方向向量應為w =(1,_____)。 Ans:3 【詳解】 如右圖,設 w =(1,t)。 u= 5,v= 5, cosθ1=cosθ2,  u w v w u w v w  

(12)

 u . w = v . w  (1,2).(1,t)=(2,1).(1,t)  1+2t=2+t  t=3。 H. 已知坐標平面上圓 O1:(x-7)2+(y-1)2=144 與 O2:(x+2)2+(y-13)2=9 相切,且此兩圓均與直線 L:x=5 相切。若Γ為以 L 為準線的拋物線, 且同時通過 O1與 O2的圓心,則Γ的焦點坐標為____________。 (化為最簡分數) Ans:( 1 53, ) 5 5  【詳解】 如上圖,O1的圓心 P(7,1),半徑 12,O2的圓心 Q(2,13),半徑 5, PA=12,QB=5,故交點 F 在連心線PQ上, 且 4 5 PFPQ=4 5(9,12), 故 F=(7-36 5 ,1+ 48 5 )=( 1 5, 53 5 )。

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