中學生通訊解題第二十三期題目參考解答與評析

(1)

中學生通訊解題第二十三期題目

參考解答與評析

臺北市立建國高級中學數學科

問題編號

912301

L",

ABM-

L",

AFN

正方形 ABCD 的 BC' CD 邊上各有一點

AN

AM

三今

AF+FN

-AB +BM

M'N' 若 ζMAN=45°

,

AM

AB+BM

....~ 斗三至更進 . 區工1，，，旦 .~~

.AM

AN

AB+BM

AD+DN

三今品一 AF+

FN

·

.ζ5=ζ6= 45。參考解答一:

·

.孔1£

= CE =>AE

+此1£

= AE + CE = AC

·

.ζ7=ζ8= 45。如下圖，從 M 做一垂直線和 AC 相交於 E'

.".FN

=

CF 三~

AF

+

FN

=

AF

+ CF = AC

從 N 做一垂直線和 AC 相交於 F'

.

.ζ1+ζ2

= 45°

ζ2+ζ3

= 45°

4三 3+ζ4

=

45。

AM

AE+ME

AC

_@

AN

AD + DN

AM

AB+BM

.

.ζ1=ζ3 ζ2=ζ4 三二一=三二--二一=一一三三一一一

...®

AN

AF+ FN

AC

.·.L",

AME-

L",

AND

AM

AN

三~

AE + ME

= AD + DN

AM

AC x (AB

+、BM)

由CIlx®得知于士τ= 一

一

AN

AC

x (

AD + DN )

..。

AM

AN

AB+BM

AD+DN

AM

三今函J

AE+ME

AD+DN

(2)

CE

AC

AM

AC

故?士一=三于=

AN

CF

D

A

N

@

←白一

-M

-M一一則

。

-M一一叮

-M一一則

由

AM

AC

CE

CDx Cll得 f:=T ×竺于

AN

CF

AC

7

5

6 C

扎f

B

CD+DF

BC+ BE

在 =JE=

參考解答二:

如右圖，連AC

_'貝U

L I+L3=

45。

AB+BM

正 2+ζ5=45°

,

F D

N

AD+DN

.

.乙 1+ 乙 2=45°

...

L2= 乙 3

'

L

1= ζ5

，連 AE ， ζ3= 乙 4' ，故乙 2=ζ4 ，使 DF

= DN

，連 AF ，使 EB

= BM

貝 UDAEB 三 DAMB(SAS) 且 AE

= AM

延長 BM 延長 DN C 解題重點: 能洞察出輔助線的作法，並利用三角形扎f

B

E

貝UDAFD 三 DAND(SAS) ..乙 5= 乙 6 ， '故 L 1= ζ6 且 AF

= AN

在 DCEA 和 DCAF 中的全等或相似求得最後結果;或亦可以坐標乙 AEC=90"- 乙~4=90"-ζ3 法透過代數運算求解。 =乙 1+ 乙 2+ 乙 5=ζ6+ζ2+ζ5= 乙 CAF 評析:

LAFC=90°

- 乙 6=90°- 乙 5 本題徵答人數共有 7 人，其中全對者共 =ζ2+ζ1+ζ3= 乙 4+ 乙 1+ 乙 3= 乙 CAE 6 人，平均得分為 6.71 分。其中答題優良或解法富參考價值者有江翠國中區建藍同學、江翠國中且主主主同學、新莊國中星星 fli同學。

-

53 一

...

DCEA-DCAF(AA 相似)

AE

AC

CE

AF

CF

AC

(3)

問題編號

912302

LiABC 中 'E'F 分別為AC' AB上的點，且

AF=mAB ' AE=nAC

'若過 F 垂直AB的直線

交過 E 垂直AC的直線於 P 點，過 pi'乍BC的垂線，垂足為 D' 若 BD= rBC' 試以 m 、 n 、

a

、 b 、 c 表示 r 。 (其中 BC=

a ' AC= b ' AB= c)

參考解答: 如下圖，設 PD=x

'

PE弓，

PF=z

PB 2=x2

+r

2a2=z2+c2

(1

_m)2...CD

PC 2=x2+a2

(1

_r)2=y2+b2

(1

_n)2...@

PA 2=y2+ n2b2=z2+ m 2c2... ®

由。 -®f專 x2_{_y}2_+r2_a2

_{_n2b2=c2(m2_2m+ 1)_m2c 2}

x 2_y2=n2b 2_r

2a2_2mc2+c2... ®

由 @f尋 X2_{_}

_y

_2=b2_(n2_{_2n+}

_{1)-a2(r2-2r+ 1)}

=b2n2_2b2n+b2_a2r2+2a2r_a2...

~

由@、 ~f尋 n2_b2

_{_r2a2_2mc2+c2}

=b 2n2_2b 2n+b 2_a2r2+ 2a2r_a2

2a2r=a2_b2+c2_2mc2+2b2n

a2_b2+c2_2mc2+2b2n

r =

2a

2

A

B

C

P

解題重點: 利用畢氏定理解等式，且知道 P點可能在三角形內部也有可能在外部。評析: 本題徵答人數共有的人，其中全對者共 1

_{人，平均得分為}

5.54 分。其中答題優良或解法富參考價值者有永和國中是堡矗同學。問題編號

912303

(1 )a 、 b 、 C 、 d 、巴皆為實數，若 a+b<c+d'

b+c<

d+巴，

c+d<e+a'

d+e<a+b' 貝 IJ

a

、 b 、

c

、 d 、 e 的大小順序有幾種? (2)a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 、 g 皆為實數，若 a+b

<c+d'

b+c<d+巴，

c+d<e+f' d+e<f+g'

巴+f<g+a'

f+g<a+b

'貝U

a

、 b 、 c 、 d 、 e 、

f 、 g 的大小順序有幾種? 參考解答:

(1)":

a+b < c+d ' c+d

<巴+a

=> a+b

<巴+a

=> b

<巴 ...CD

b+c <

d+巴， d+巴<

a+b

=> b+c < a+b => c < a ... @

a+b < c+d '

d+巴<

a+b

=> d+e < c+d

=>巴 <c

...®

由。@®得要o

a>c>e>b ...®

e+a > c+d > a+b >

d+巴>

b+c

=> a> d > b

...~

序

間間(

大

的

e

AU C LU a 鬥U4芹，

G

種

cd

@三

!K

〈

由列的

GG

以下 dee

所有若若若

b<d< 巴 <c<a b< 巴 <d<c<a b< 巴 <c<d<a

(4)

品

-2-a

…的心

-w

考立 t

參

JW

(2)"." a+b < c+d ' b+c < d+e ' c+d < e+f '

d+e < f+g

,

e+f < g+a ' f+g < a+b

.. g+a> e+f > c+d > a+b > f+g

> d+e > b+c

三三〉

b 2(X2

_c

2

)=的2-2acX'信守+代山2)

三三〉二~g>b'a>f'f>d'e>g'c>e' bγ_b2_/C2

_{_a2x2}

_{_C}

2

_X

_2+b2

_/C

_{2=_}

_2acx信可2 三三〉

d>b

x\b

2_個

_a

2

_-c

2

_{)=-2acX'信守}

三三〉二今 a>

f> d > b···

CD '

x

4

_{(b2_a2_c2)2=4a2c2x2(x2 _b2)}

二:>

三今 X手。

句 L piv 句 L qU A 『司F 但

c

弓-qu 弓 KU

--、‘./ piv

a

可申勻但 piv 勻，“ 到U 勻色 LU J' ，‘‘、、‘，/ piv qu 可缸

+

勻，“ piv 勻 h

a

勻 h hu J' ，‘‘、 x2_[(b2_{_a}2_團_C2₎₂

_X

₂

_{_4a2c2x2+4a2b2c2]=0}

.

.叫玄宗+ c信可主=缸， .. x坪。三今 [(b2

_{_a2}

_{_C}

_{2)2_4a2c2]x2+4a2b2c2=0}

三三〉

三今 a 最大 'b 最小

所以由。、@知 a 、 b 、 C 、 d 、 e 、 f 、 g 的大小順序有下列數種: 若 g>d 若 e>d>g 若 c>d>e 若 d>c

a>c>e>g>b···

(l) f 的排列位置有 4 種， f 的排列位置有 3 種， f 的排列位置有 2 種， f 的排列位置有 l 種，

= [b2_(a_c)2][ b2_(a+c)2]

=血+a-c) 血主且i 血士虹且且主主i

>0

4+3+2+ 1=

1O=>

a

、 b 、 c 、 d' e 、 f 、 g 的

x2

4a

2 b

2 c

2

一 _(a+

_{b-c)(-a+b+c)(a+b+c)(a-b+c)}

大小順序共有 10 種。解題重點:

2abc

x=± 叫(a+b-c)(

-a+b+c )(a+b+c)(a-b+c)

運用不等式及簡易的排列觀念O 評析: 三三〉本題徵答人數共有的人，其中兩小題全 (負不合)。利用平方解含根號的等式。解題重點: 對者共 10 人。第(

1

)題平均得分為 5.73 分，第 (2) 題平均得分為 6.13 分。答題優良或解法富參考價值者有江翠國中區建藍同學、益主畫同學、重堡矗同學，海山國中江堡壘評析: 本題徵答人數共有 7 人，其中全對者共同學，銘傳國中盪巴基同學、主E藍還同學、 2 人，平均得分為 6.14 分。其中答題優良或陸草里同學，興雅圖中挂且至同學，新竹光解法富參考價值者有海山國中注盤盤同學、華國中草藍盤同學，景興國中盟主信同學。江翠國中奎孟鹽同學。問題編號

912305

問題編號

912304

(I)在下列幾個由小方格組合而成的圖形若 a三b>c>O

' a<b+c

'試解方程式中，分別有一些圓圈，試用下列的規則，將這些圓圈連在一起。

-

55 一

刊玄宗 +c手可2

=

ax 。

(5)

【規則】 1.可以從任何一個圓圈開始。 2. 只能往水平方向或垂直方向走，不可往斜角方向走 O 3. 在任何圓圈皆可垂直轉彎但不可在空白處轉彎。 4. 不可以在剛走過的路逕就馬上又回頭走【第 1 題】

O O

O

O O O O O O O

O

O O

【第 2 題】

O

O O

O O O

O O O O

O O O O O O O O

O O O O O O

O O O O

O O

(2)依此規則，在一個 2xN 的方格中，圓圈應如何排列則一定可以走完?試討論之。 (N 為正整數) 參考解答:

(1)

第 1 題

10

9

8

7

20

19

12

2

11

21

17

6

18

13

14

3

4

5

15

16

第 2 題

2

3

4 36 35

11 5110

38 37 34

12 6 19

13 28 29 32 33

7 18

14 25 26 27 30 31

40 15 24 23 22 39

16 17 20 21

18 19

(2) 討論在一個 2xN 的方格中，圓圈應如何排列則一定可以走完: 我們先訂定一些名稱再進行分類討論。

《名稱〉

1

，表示此格為開頭或結尾之格子，記為“...。 2.在任意一行中，若此行上下兩邊都有格子

時稱為“橋"，誦“x ..。參考圖 Ao

小

山L些

圖 A 3 在某範闇裡'格子分布情形是重複或不需去辨認分布情形而確定是可以走完的，記為“..。參考圖 B 。

問~師1

圖 B 《判別〉先判別是否有孤立情形再進行下列分類。孤立:若從其中一個格子開始永遠走不到另一個格子，則此情形稱為“孤立"。如圖 C ， CD 永遠走不到@。

|.

I

CD

I

101 .|

1 1 1

8

1 I 1 圖 C

(6)

無孤立情形後，以﹒的數目來分類:

1..

= 0

→則此 2xn 之圓形兩邊必為橋，可表示如圖 D' 可以圖 D-1 方式走完 O |命令| 介小| |ψψ| 心 ψ| 圖 D

e

圖 D-1

2.. =

1 →則此 2xn 之圖形另一邊必為橋，表示如圖 E' 可以圖 E-1 方式走完。

們一間

圖 E

e

圖 E-1

3..

=2 →則此 2xn 之圖形會有三種情形，表示如圖 F 、圖 G 、圖 H' 分別於(a) 、 (b) 、 (c)討論之。

間可~阱

圖 F

件j ~ ~

圖 G

冉升~出可

圖 H 4.. 全 3 →則此 2xn 之圓形不可完成，表示如圖卜

l

.

I

101 I

. |

I I

.

101

.

I I

圖 I 〈﹒ =2 的討論〉 (a) 圖 F: 顯然有一側為橋，可以圖 F-1 方式走完。

科可~明

e

圖 F-1 (b) 圖 G: 以橋的數日來做分類，可分為 2 類討論之。第一類:橋=1 →因為會產生 3 個頭，所以不可走完。參考圖 G-1 0

|﹒ 101 小 101 ﹒|

I

I 叫

H

第 3 個頭

圖 G-1 第二類:橋全 2→必可走完。取出最外側的兩座橋，可以圖 G-3 方式走完。

• O

小小

O

• ~

~

可b 圖 G-2

/有F

、

叫阿 I ~Jl t~~井"I

I I

I~

I 叫 I

I

圖 G-3 (c) 圖 H: 以橋的數目來做分類，可分為 3 類討論之。第一類:橋 =1 →必可走完 O 可以圖 H-2 方式走完。 (下轉第 50 頁)

-

57 一

(7)

中華民國九十二年三月第 256 期科學教育月刊投影點。考慮一正方形的四個頂點，在一條直線上的投影點個數，如圖四，共有 4， 3 ，2 圖二點等三種情形，

P

圖四

A

L

圖三「一→弓，一→弓，一→弓， _可「可

。

L 」 L 」

•••••

....

。

(1)請考慮正五邊形、正六邊形的情形，它們的頂點在直線上的投影點個數，可能有那幾種情形。 (2)考慮一般的正 n 邊形，它們的頂點在直線上的投影點個數，可能有那幾種情問題編號

912505

形。平面上一點 A 對一直線 L 作垂線，此垂線與直線 L 的交點 p ，點 P 稱為點 A 對直線 L 的 (上承第 57 頁) 圖 H-4 圖 H-1 圖 H-2 第二類:橋=2→不可走完。因為兩座橋會造解題重點: 洞察出通行要點(即解中的橋)以試誤實驗方式作討論。評析: 成一上一下的走向，而無法連通至另一端不圖 H-3 本題徵答人數共有 21 人。平均得分為 2.10 分。第三類:橋三3→必可走完。取出最外側的兩座橋與中間任一座橋，可以圖 H-5 方式走完。