特徵向量法在三維條件分配相容性問題上之研究 - 政大學術集成
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(2) 目. 次. 目次 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 乩. 中文摘要 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 乩乩乩. 乁乢乳乴乲乡乣乴 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 乩乶. 丱 緒論 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 丱. 丱丮丱. 研究動機與目的 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 丱. 丱丮串. 研究架構. 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 串. 串 特徵向量法 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 丳. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 二維特徵向量法 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 串丮串. 三維特徵向量法 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮. 串丮丳. 對稱型條件分配相容性之探討 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丱丸. 串丮临. 不對稱型條件分配相容性之探討 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丳串. ‧. 串丮丱. 丳. Nat. n. al. er. io. sit. y. 丶. Ch. i n U. v. 丳 求近似的聯合分配 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丳丹. engchi. 丳丮丱. 近似的聯合分配 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丳丹. 丳丮串. 實例說明. 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 临丱. 临 在賽局問題上的應用 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 临临 临丮丱. 標準型賽局與納許均衡策略 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 临临. 临丮串. 完全均衡策略與合適均衡策略 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 临丹. 临丮丳. 以特徵向量法求兩人非零和賽局解 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丵临. 临丮临. 以特徵向量法求三人賽局解 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丶丱. 丵 結論 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丷串 乩.
(3) 參考文獻 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丮 丷丳. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 乩乩. i n U. v.
(4) 中文摘要 給定一些隨機變數的條件分配，一般相容性問題的研究包含：丨一丩如何判 斷他們是否相容？若相容，則如何檢驗聯合分配的唯一性或找出所有的聯合分 配；丨二丩若不相容，則如何訂定評量近似聯合分配的標準並盡可能找出好的近似 聯合分配。 顧仲航丨串丰丱丱丩提出了二維特徵向量法解條件分配相容性問題並實際應用在兩 人零和賽局上。本文中，我們嘗試將二維特徵向量法擴展至三維上並應用到解三 人賽局的問題。. 治 政 特徵向量法在三維中較複雜，因此本文將給定的條件分配簡單分成對稱型及 大 立 不對稱型兩類。若條件分配為對稱型，則可以二維特徵向量法的技巧來處理相容 ‧ 國. 學. 性問題，對於處理的過程我們提供了詳細的步驟。若條件分配為不對稱型，則通 常無法獲得一般的處理流程，必須針對不同的狀況採取不同的方式來應對。在某. ‧. 些條件分配的組合下，我們用實例說明特徵向量法仍可用來處理相容性問題。當 給定的條件分配不相容時，我們也提出了三維中近似聯合分配的求法。. y. Nat. io. sit. 最後，將特徵向量法應用在三人賽局問題上。作業研究中的解法是假設三位. n. al. er. 參賽者的策略選擇為獨立，但我們認為三位參賽者可由償付值表所提供的資訊作. i n U. v. 為策略選擇的依據，在決策上彼此是不獨立的。從償付值表經常可獲得和三位參. Ch. engchi. 賽者決策有關的對稱型條件分配，賽局問題被轉換為相容性問題，進而可依處理 相容性問題的過程求賽局的解。我們也以實例說明，當賽局有多重均衡解時，三 維特徵向量法可從償付值表所提供的部分訊息進一步求得最適合的均衡策略。. 關鍵字：條件分配，相容性，特徵向量法，三人賽局，單純策略，混合策 略，納許均衡策略，完全均衡策略，合適均衡策略。. 乩乩乩.
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(6) 之乥乹乷乯乲乤乳：乣乯乮乤乩乴乩乯乮乡乬 乤乩乳乴乲乩乢乵乴乩乯乮乳丬 乣乯乭买乡乴乩乢乩乬乩乴乹丬 乥乩乧乥乮乶乥乣乴乯乲 乡买买乲乯乡乣乨丬 乴乨乲乥乥中 买乥乲乳乯乮 乧乡乭乥丬 买乵乲乥 乳乴乲乡乴乥乧乹丬 乭乩乸乥乤 乳乴乲乡乴乥乧乹丬 乎乡乳乨 乥乱乵乩乬乩乢乲乩乵乭丬 买乥乲书乥乣乴 乥乱乵乩乬乩乢乲乩乵乭丬 买乲乯买乥乲 乥乱乵乩乬乩乢乲乩乵乭丮. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 乶. i n U. v.
(7) 緒論. 1 1.1. 研究動機與目的. 給定一些隨機變數的條件分配，一般相容性問題的研究包含：丨一丩如何判 斷他們是否相容？若相容，則如何檢驗聯合分配的唯一性或找出所有的聯合分 配；丨二丩若不相容，則如何訂定評量近似聯合分配的標準並盡可能找出好的近似 聯合分配。. 政 治 大 人零和賽局上。本文中，我們嘗試將二維特徵向量法擴展至三維上並應用到解三 立. 顧仲航丨串丰丱丱丩提出了二維特徵向量法解條件分配相容性問題並實際應用在兩. ‧ 國. 學. 人賽局的問題。. 在三維中，我們先將給定的條件分配分成對稱型及不對稱型兩類。若條件分. ‧. 配為對稱型，則可以二維特徵向量法的技巧來處理相容性問題，對於處理的過程 我們提供了詳細的步驟。若條件分配為不對稱型，則通常無法獲得一般的處理流. y. Nat. sit. 程，必須針對不同的狀況採取不同的方式來應對。在某些條件分配的組合下，我. al. n. 時，我們也提出了三維中近似聯合分配的求法。. Ch. engchi. er. io. 們用實例說明特徵向量法仍可用來處理相容性問題。當給定的條件分配不相容. i n U. v. 在三人賽局中，作業研究的解法有以下幾種：丨一丩以全面檢查法找出賽局所 有的單純納許均衡策略；丨二丩若賽局有兩個以上的單純納許均衡策略時，則可依 完全均衡策略和合適均衡策略的概念找出適合的均衡策略；丨三丩若賽局沒有單純 的納許均衡策略時，則可以嘗試計算賽局的混合納許均衡策略。由於作業研究的 解法是假設三位參賽者的策略為獨立，求得三位參賽者策略的邊際分配即可得賽 局解，但我們認為三位參賽者可依據償付值表所提供的資訊作選擇。因此我們合 理假設三位參賽者的決策為不獨立，此時需直接求出三位參賽者策略的聯合分配 才能得到賽局的解。從償付值表獲得和三位參賽者決策有關的對稱型條件分配 後，賽局問題被轉換為相容性問題，進而可依處理相容性問題的過程求賽局的 解。最後以實例說明，當賽局有多重均衡解時，三維特徵向量法可從償付值表所 提供的部分訊息進一步求得最適合的均衡策略。. 丱.
(8) 1.2. 研究架構. 本文共分為五個章節。第一章包含研究動機、目的與研究架構的敘述。第二 章先介紹二維特徵向量法的理論，接著將特徵向量法擴展至三維度來處理各種相 容性的問題，包含對稱型及不對稱型條件分配相容性之探討，並以例子分別說明 求解的過程。第三章提出三維中近似聯合分配的求法，並以實際例子找出近似的 聯合分配。第四章先介紹標準型賽局與納許均衡策略並說明完全均衡策略和合適 均衡策略的概念，最後將特徵向量法應用到兩人非零和賽局和三人賽局的問題 上，以例子分別說明求解的過程並比較作業研究的解法和特徵向量法的優缺點。 第五章為結論。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 串. i n U. v.
(9) 特徵向量法. 2. 本章先介紹二維中處理相容性問題之特徵向量法，接著將特徵向量法擴展至 三維中，內容為：如何判斷條件分配是否相容？若相容，則如何檢驗聯合分配的 唯一性或找出所有的聯合分配，並以例子說明求解的過程。若條件分配不相容， 我們將會在第三章說明如何以特徵向量法找出近似的聯合分配。. 2.1. 二維特徵向量法. 政 治 大 本節將介紹二維特徵向量法，內容主要參考乛丷九。 立. ‧ 國. 學. 令X和Y 是兩個有限離散隨機變數，值域分別為丱, 串, · · · , I及丱, 串, · · · , J，X|Y 和Y |X為給定之條件分配，A 丽 丨aij 丩和B 丽 丨bij 丩分別為對應於X|Y 和Y |X的條件. ‧. 機率矩陣，其中. y. sit. I X. J X. er. io. 由以上可得. Nat. aij 丽 P 丨X 丽 i|Y 丽 j丩, bij 丽 P 丨Y 丽 j|X 丽 i丩. n. b 丽 丱, ∀j a l a 丽 丱, ∀i主 v i n Ch U i e h n c g 為了方便起見，我們說A和B相容即表示條件分配X|Y 和Y |X相容。 若A和B相 ij. ij. i=1. j=1. 容，則X和Y 的邊際分配τ 和η滿足 diag丨τ 丩 · B 丽 A · diag丨η丩. 丨串丮丱丩. ，其中diag丨τ 丩和diag丨η丩分別為以τ 和η的元素為對角線元素的對角矩陣，且聯合 分配P 丽 diag丨τ 丩 · B。因此在檢驗A和B是否相容時，即只要檢驗是否有邊際分 配τ, η滿足丨串丮丱丩式。若滿足丨串丮丱丩式的邊際分配是唯一，即可得唯一的聯合分配。 若條件機率矩陣A和B相容，τ 和η為滿足丨串.丱丩式的邊際分配，可得 Aη 丽 τ B0 τ 丽 η. 丳. 丨串丮串丩.
(10) 根據丨串丮串丩式，可得. AB 0 τ 丽 τ B 0 Aη 丽 η. 丨串丮丳丩. 定義 2.1 令 向量v 丽 丨vi 丩，則向量v的長度定義為||v|| 丽. P. |vi |。若∀i, vi > 丰，. i. 稱v為正向量。 由丨串丮丳丩式可得邊際分配τ 和η分別為AB 0 和B 0 A對應於特徵值丱且長度為丱的正. 政 治 大 值丱且長度為丱的正特徵向量即可。相較於檢驗所有長度為丱的正向量，確實縮小了 立. 特徵向量。因此檢驗條件機率矩陣的相容性時，僅需檢驗AB 0 和B 0 A對應於特徵. ‧ 國. 學. 檢驗的範圍。我們將這個重要結果寫成以下定理：. 定理 2.1 設A和B為條件機率矩陣，則A和B相容的充要條件為AB 0 和B 0 A存在對. ‧. 應於特徵值丱且長度為丱的正特徵向量τ 和η，且τ 和η滿足丨串.丱丩式。. y. Nat. sit. 由於在處理條件分配相容性問題時，經常遇到較龐大且複雜的矩陣，因此我. al. er. io. 們嘗試將條件機率矩陣A和B轉換為不可約化對角塊狀矩陣丨簡記為IBD矩陣丩丨參. n. 考自乛临九丩，以便簡化相容性檢驗。. Ch. engchi. i n U. v. 定義 2.2 若條件機率矩陣A經過列或行互換後，可轉換成： A 丰 1 丰 A2 其中對角塊狀矩陣Ai 丨i 丽 丱, 串丩以外的元素皆為丰，則稱條件機率矩陣A為可約化， 否則稱不可約化。條件機率矩陣B是否可約化也可以相同方法定義。 引理 2.1 條件機率矩陣A和B經過相同的列或行互換後，可同時轉換成如下的不 可約化對角塊狀矩陣： A1 丰 丰 A2 . T 丨A丩 丽 .. 丰 . . .. .. 丰 丰. ... 丰 ... .. . .... ... ... ... .. . 丰. 丰 丰 .. .. . . B1 丰 . T 丨B丩 丽 .. . .. 丰. , 丰 AM 临. 丰 ... B2 丰 . 丰 .. .. . . . . 丰 .... ... ... ... .. . 丰. 丰 丰 .. .. . 丰 BM.
(11) 其 中A1 , · · · , AM 和B1 , · · · , BM 丨M ≥ 丱丩為 不 可 約 化 且 以 外 的 元 素 皆 為丰。 當M 丽 丱，則A和B為不可約化。 為了方便，T 丨A丩可記為乄乩乡乧丨A1 , · · · , AM 丩，T 丨B丩可記為乄乩乡乧丨B1 , · · · , BM 丩。 當條 件機率矩陣A和B為可約化時，我們可將其IBD矩陣拆解為數個不可約化的條件 機率矩陣Am 和Bm 。且A和B的相容性等價於每一對Am 和Bm 的相容性。 定理 2.2 設A和B為條件機率矩陣。令A和B的IBD矩陣分別為T 丨A丩 丽 Diag丨A1 , · · · , AM 丩，T 丨B丩 丽 Diag丨B1 , · · · , BM 丩，則A和B相容的充要條件為Am 和. 政 治 大. Bm 相容。. 立. 由上述定理得知檢驗相容性時，只需要討論條件機率矩陣不可約化的情形。. ‧. ‧ 國. 定理。. 學. 若條件機率矩陣A和B為不可約化，利用線性代數的乐乥乲乲乯乮定理可得到以下的重要. 定理 2.3 若A和B相容且為不可約化的條件機率矩陣，則AB 0 和B 0 A對應於特徵. Nat. sit. n. al. er. io. 長度為丱的向量。. y. 值丱且長度為丱的正特徵向量只有一組。因此這組正特徵向量是唯一滿足丨串.丳丩式且. Ch. i n U. v. 若 條 件 機 率 矩 陣A和B相 容 ， 則 邊 際 分 配τ 和η滿 足丨串丮丳丩式 。 由 定 理串丮丳，. engchi. 若A和B同 時 也 是 不 可 約 化 ， 則 滿 足丨串.丳丩式 且 長 度 為丱的 向 量 只 有 一 組 。 檢 驗 相容性時，僅需檢驗這組向量即可。利用此概念，我們提供了聯合分配唯一性充 要條件如下： 定理 2.4 設A和B為相容的條件機率矩陣，則下列敘述為等價： 丨i丩 A和B為不可約化。 丨ii丩 AB 0 和B 0 A對應於特徵值丱且長度為丱的正特徵向量τ 和η是唯一的。 丨iii丩 A和B有唯一的聯合分配。 根據定理串丮临，若不可約化條件機率矩陣A和B相容，則AB 0 和B 0 A對應於特 徵值丱且長度為丱的特徵向量τ 和η是唯一的，且A和B有唯一的聯合分配。然而， 若A和B為可約化，定理串丮临說明了τ 和η並非唯一的且可能的聯合分配多於一個。 丵.
(12) 2.2. 三維特徵向量法. 本節將介紹以三維特徵向量法處理條件分配的相容性問題。 令X、Y 和Z是三個有限離散隨機變數，值域分別為丱, 串, · · · , I、丱, 串, · · · , J和 丱, 串, · · · , K，以PX,Y,Z 表示X，Y 和Z的聯合分配；以PX|Y,Z 表示給定Y 和Z，X的 條件分配，其餘條件分配依此類推；以PX ，PY 和PZ 分別表示X，Y 和Z的的邊際 分配。 在三維中我們要處理的條件分配相容性問題較二維中複雜，因為給定的條件. 政 治 大. 分配類型較多。例如：. 立. 例 2.1 給定條件分配PX,Y |Z ,PX|Y,Z ,PZ|X,Y 和PX|Y ，如何判斷他們是否相容？. ‧ 國. 學. 例 2.2 給定條件分配PX|Y,Z ,PZ|X,Y ,PX|Y 和PY |Z ，如何分析他們的相容性？. ‧. 為了解決這個問題，我們把處理條件分配相容性問題的概念說明如下：. y. Nat. sit. 首先，將給定的條件分配分為第一類條件分配PX,Y |Z 丬PX,Z|Y 和PY,Z|X ；第二類. er. io. 條件分配PX|Y,Z 丬PY |X,Z 和PZ|X,Y ；及第三類條件分配PX|Y 丬PY |X 丬PX|Z 丬PZ|X 丬PY |Z 和. al. n. v i n Ch 亦可由給定的所有第一類條件分配直接求得第三類條件分配。再由給定或求得的 engchi U. PZ|Y 。接著，由給定的所有第二類條件分配以特徵向量法求得第三類條件分配， 第三類條件分配再以特徵向量法求得邊際分配。最後，由求得的邊際分配乘上第 三類條件分配和第二類條件分配可得出聯合分配並分析條件分配的相容性。 為了方便起見，我們先定義三維中條件分配的符號，參考自乛串九： (1). PX,Y |Z 表示成A1 丽 {ai,j|k ≥ 丰|. I X J X. (1). ai,j|k 丽 丱, ∀k 丽 丱, 串, · · · , K}. i=1 j=1. PX,Z|Y 表示成A2 丽. (2) {ai,k|j. ≥ 丰|. I X K X. (2). ai,k|j 丽 丱, ∀j 丽 丱, 串, · · · , J}. i=1 k=1 (3). PY,Z|X 表示成A3 丽 {aj,k|i ≥ 丰|. J X K X. (3). aj,k|i 丽 丱, ∀i 丽 丱, 串, · · · , I}. j=1 k=1. PX|Y,Z 表示成B1 丽. (1) {bi|j,k. ≥ 丰|. I X. (1). bi|j,k 丽 丱, ∀j 丽 丱, 串, · · · , J, ∀k 丽 丱, 串, · · · , K}. i=1. 丶.
(13) PY |X,Z 表示成B2 丽. (2) {bj|i,k. ≥ 丰|. J X. (2). bj|i,k 丽 丱, ∀i 丽 丱, 串, · · · , I, ∀k 丽 丱, 串, · · · , K}. j=1. PZ|X,Y 表示成B3 丽. (3) {bk|i,j. ≥ 丰|. K X. (3). bk|i,j 丽 丱, ∀i 丽 丱, 串, · · · , I, ∀j 丽 丱, 串, · · · , J}. k=1. PX|Y 表示成C1 丽. (1) {ci|j. I X. ≥ 丰|. (1). ci|j 丽 丱, ∀j 丽 丱, 串, · · · , J}. i=1 (2). PY |X 表示成C2 丽 {cj|i ≥ 丰|. J X. (2). cj|i 丽 丱, ∀i 丽 丱, 串, · · · , I}. j=1 I X. (3). PX|Z 表示成C3 丽 {ci|k ≥ 丰|. (3). ci|k 丽 丱, ∀k 丽 丱, 串, · · · , K}. 政 X治 大 c 丽 丱, ∀i 丽 丱, 串, · · · , I} 表示成C 丽 {c ≥ 丰| 立 i=1. K. PZ|X. (4) k|i. (4) k|i. 4. PY |Z 表示成C5 丽. (5) {cj|k. ≥ 丰|. J X. 學. ‧ 國. k=1. (5). cj|k 丽 丱, ∀k 丽 丱, 串, · · · , K}. j=1. ≥ 丰|. (6). ck|j 丽 丱, ∀j 丽 丱, 串, · · · , J}. k=1. y. Nat. io. sit. 丽 P 丨X 丽 i, Y 丽 j|Z 丽 k丩，其餘依此類推。. er. (1) 其中ai,j|k. K X. ‧. PY |Z 表示成C6 丽. (6) {ck|j. (1). 以例串丮丱來說，若存在聯合分配PX,Y,Z 滿足PX,Y |Z 丨i, j|k丩 丽 ai,j|k ，PX|Y,Z 丨i|j, k丩 丽. al. n. (1). (3). Ch. (1). i n U. v. bi|j,k ，PZ|X,Y 丨k|i, j丩 丽 bk|i,j ，PX|Y 丨i|j丩 丽 ci|j ，則稱A1 , B1 , B3 和C1 相容，也就是條. engchi. 件分配PX,Y |Z , PX|Y,Z , PZ|X,Y ,和PX|Y 相容。. 下面我們大致說明如何以三維特徵向量法處理條件分配的相容性問題。 步驟丱： 首先，將給定的條件分配分為第一類條件分配PX,Y |Z 丬PX,Z|Y 和PY,Z|X ；第二類 條件分配PX|Y,Z 丬PY |X,Z 和PZ|X,Y ；及第三類條件分配PX|Y 丬PY |X 丬PX|Z 丬PZ|X 丬PY |Z 和PZ|Y 。 步驟串： 將條件分配分類以後，為了由給定的第二類條件分配以特徵向量法求得第三 類條件分配，我們必須用到下面幾個重要的等式： P 丨X 丽 i|Y 丽 j丩 丽. X. P 丨X 丽 i|Y 丽 j, Z 丽 k丩P 丨Z 丽 k|Y 丽 j丩. k. 丷. 丨串丮临丩.
(14) X. P 丨Z 丽 k|Y 丽 j丩 丽. P 丨Z 丽 k|X 丽 i, Y 丽 j丩P 丨X 丽 i|Y 丽 j丩. 丨串丮丵丩. P 丨X 丽 i|Y 丽 j, Z 丽 k丩P 丨Y 丽 j|Z 丽 k丩. 丨串丮丶丩. P 丨Y 丽 j|X 丽 i, Z 丽 k丩P 丨X 丽 i|Z 丽 k丩. 丨串丮丷丩. P 丨Y 丽 j|X 丽 i, Z 丽 k丩P 丨Z 丽 k|X 丽 i丩. 丨串丮丸丩. i. P 丨X 丽 i|Z 丽 k丩 丽. X j. P 丨Y 丽 j|Z 丽 k丩 丽. X i. P 丨Y 丽 j|X 丽 i丩 丽. X k. P 丨Z 丽 k|X 丽 i丩 丽. X. 政 治 大. P 丨Z 丽 k|X 丽 i, Y 丽 j丩P 丨Y 丽 j|X 丽 i丩. j. 立. 丨串丮丹丩. . n. 其中. al. (1). 丁21 丰 丮丮 , 丁 丽 丮 2 丮 丮丮 丰 丁1J IJ×KJ 丰. Ch (1). e n g c hi. 丁2j 丽 . (3) b1|1,j (3) b2|1,j. (3) b1|2,j (3) b2|2,j. 丮丮 丮. 丮丮 丮. (3). (3). i n U. v. ... ... 丮丮 丮 丮丮 丮 丰. (3) b1|I,j (3) b2|I,j. ... ... 丮丮 丮. bK|1,j bK|2,j . . .. 丮丮 丮 (3). bK|I,j. . , j 丽 丱, 串, ..., J. I×K. . , j 丽 丱, 串, ..., J. K×I. 丁1 為PX|Y,Z 所決定的矩陣，丁2 為PZ|X,Y 所決定的矩陣。 丸. 丰 丰 丮丮 丮. . 丰 丁2J KJ×IJ. (1). b b . . . b1|j,K 1|j,1 1|j,2 (1) (1) b2|j,1 b(1) b2|j,K 2|j,2 . . . 丁1j 丽 丮 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮丮 丮 丮 (1) (1) (1) bI|j,1 bI|j,2 . . . bI|j,K. . 丰 ... 丁22 丰 丮 丰 丮丮 丮丮 丮 丮 丮 丮 丰 .... y. . . 丰 丰 丮丮 丮. sit. io. ... ... 丮丮 丮 丮丮 丮 丰. er. ... 丰 丮丮 丮 丮丮 丮 .... Nat. 根據丨串.临丩式和丨串.丵丩式 丁11 丰 丰 丁12 丮 令 丁1 丽 丮丮 丰 丮 丮丮 丮丮 丮 丰 丰. ‧. ‧ 國. 明如下：. 學. 由給定的第二類條件分配以特徵向量法求得第三類條件分配的過程，我們說.
(15) 根據丨串.丶丩式和丨串.丷丩式 丁31 丰 . . . 丰 丁32 丰 丮 丮 令 丁3 丽 丮丮 丰 丮丮 丮 丮丮 丮 丮 丮丮 丮 丮 丰 丰 .... ... 丰 丁41 丰 ... 丰 丮 丮丮 , 丁4 丽 丮丮丮 丮 丮丮 丮 丮丮 丮丮 丮 丰 丰 丁3K IK×JK 丰. 丰 ... 丁42 丰 丮 丰 丮丮 丮丮 丮 丮 丮 丮 丰 .... ... 丰 ... 丰 丮 丮丮 丮 丮丮 丮丮 丮 丰 丰 丁4K JK×IK. 其中 (1). (1) (1) b2|1,k b(1) b2|J,k 2|2,k . . . 丽 丮 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮丮 丮 丮 (1) (1) (1) bI|1,k bI|2,k . . . bI|J,k. (2). b1|1,k b1|2,k . . .. (2). b1|I,k. io. . , k 丽 丱, 串, ..., K. J×I. n. al. . er. Nat. (2) (2) b2|1,k b(2) b2|I,k 2|2,k . . . 丽 丮 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮丮 丮 丮 (2) (2) (2) bJ|1,k bJ|2,k . . . bJ|I,k. I×J. ‧. ‧ 國. (2). . 學. . . , k 丽 丱, 串, ..., K 治 政 大. 立. 丁4k. (1). b1|J,k. y. 丁3k. (1). b1|1,k b1|2,k . . .. sit. . v. 丁3 為PX|Y,Z 所決定的矩陣，丁4 為PY |X,Z 所決定的矩陣。 根據丨串.丸丩式和丨串.丹丩式 丁51 丰 丰 丁52 令 丁5 丽 丮丮丮 丰 丮 丮丮 丮丮 丮 丰 丰 其中. . ... 丰 丮丮 丮 丮丮 丮 .... ... ... 丮丮 丮 丮丮 丮 丰. (2). Ch 丰 丰 丮丮 丮. engchi. i n U. . . 丁61 丰 , 丁6 丽 丮丮丮 丮 丮丮 丰 丁5I JI×KI 丰. (2). b1|i,1 b1|i,2 . . .. (2). b1|i,K. (2) (2) b2|i,1 b(2) b2|i,K 2|i,2 . . . 丁5i 丽 丮 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮丮 丮 丮 (2) (2) (2) bJ|i,1 bJ|i,2 . . . bJ|i,K. 丹. 丰 ... 丁62 丰 丮 丰 丮丮 丮丮 丮 丮 丮 丮 丰 .... ... ... 丮丮 丮 丮丮 丮 丰. . , i 丽 丱, 串, ..., I. J×K. 丰 丰 丮丮 丮. . 丰 丁6I KI×JI.
(16) 丁6i 丽 . (3) b1|i,1 (3) b2|i,1. (3) b1|i,2 (3) b2|i,2. 丮丮 丮. 丮丮 丮. (3). (3). ... ... 丮丮丮. bK|i,1 bK|i,2 . . .. (3) b1|i,J (3) b2|i,J. 丮丮 丮 (3). bK|i,J. . , i 丽 丱, 串, ..., I. K×J. 丁5 為PY |X,Z 所決定的矩陣，丁6 為PZ|X,Y 所決定的矩陣。 由給定的第二類條件分配可得到丁1 , . . . , 丁6 ，我們將丨串丮临丩丬. . . 丬丨串丮丹丩式寫成以下. PX|Z PY |Z. PY |X. 立丁. Nat. . (1). io. c 1|1 丮丮 丮 (1) cI|1 (1) c1|2 丮丮 丮 丽 (1) cI|2 丮丮 丮 (1) c1|J 丮丮 丮 . n. al. 其中PX|Y. (1). 2. 1. X|Y. Z|Y 丰 丰 丰 丁3 丰 丰 PX|Z 丰 丰 丁4 丰 丰 丰 PY |Z 丰 丰 丰 丰 丰 丁5 PY |X 丰 丰 丰 丰 丁6 丰 PZ|X (6) (3) c1|1 c 1|1 丮丮 丮丮 丮 丮 (6) (3) cK|1 cI|1 (6) (3) c1|2 c1|2 丮丮 丮丮 丮 丮 , PZ|Y 丽 , PX|Z 丽 (6) (3) cK|2 cI|2 丮丮 丮丮 丮 丮 (6) (3) c1|J c1|K 丮丮 丮丮 丮 丮 . ‧. PZ|X. 丰. . y. PZ|Y. 丽 . 治 丁 丰 丰 丰 丰 P 政 大 丰 丰 丰 丰 丰 P. sit. PX|Y. . 學. . . er. . ‧ 國. 形式：. Ch. engchi. (6). cI|J. cK|J. 丱丰. i n U. v. (3). cI|K. , .
(17) (5) (2) (4) c1|1 c1|1 c1|1 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮 丮 (2) (4) (5) cJ|1 cK|1 cJ|1 (2) (4) (5) c1|2 c1|2 c1|2 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮 丮 PY |Z 丽 (5) , PY |X 丽 (2) , PZ|X 丽 (4) cJ|2 cK|2 cJ|2 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮 丮 (2) (4) (5) c1|I c1|I c1|K 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮 丮 (5) (2) (4) cJ|K cJ|I cK|I (1) PX|Y (2) PX|Y 為了方便起見，我們將PX|Y 簡記為 丮丮 ，其餘也以相同方式表示。 丮 (J) PX|Y . 政 治 大. 立. n. al. . PX|Y PZ|Y PX|Z PY |Z PY |X PZ|X. . . 丽 . 丁1 丁2. 丁1. 丰. 丰. 丰. 丁2. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. sit. 丰. C h丰 丰 丁 丰 U 丰n i engchi. 丰. 丰. 丰. 丰. 丁3. 丰. 4. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丁6. 丰. 丰. . 丰 丰 可得到 丰 丁5 丰. er. io. 對上式等式兩邊左乘矩陣 . y. ‧. ‧ 國. 學. Nat. . 丰. v. 丰. 丰. 丁2 丁1. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丁3 丁4. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丁4 丁3. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丁5 丁6. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丰. 丁6 丁5. 丱丱. . PX|Y PZ|Y PX|Z PY |Z PY |X PZ|X. .
(18) 我們可以得到以下結果： PX|Y 丽 丁1 丁2 PX|Y , PZ|Y 丽 丁2 丁1 PZ|Y PX|Z 丽 丁3 丁4 PX|Z , PY |Z 丽 丁4 丁3 PY |Z PY |X 丽 丁5 丁6 PY |X , PZ|X 丽 丁6 丁5 PZ|X (j). (j). 由 PX|Y 丽 丁1 丁2 PX|Y 可得到 PX|Y 丽 丁1j 丁2j PX|Y , j 丽 丱, 串, ..., J，其餘依此類推。 (j). (j). (j). 由PX|Y 丽 丁1j 丁2j PX|Y 可得PX|Y 為丁1j 丁2j 對應於特徵值丱且長度為丱的正特徵 向量，其餘依此類推。為了方便起見，在後面的內容我們所指的特徵向量均為對. 政 治 大. 應於特徵值丱且長度為丱的正特徵向量。. 立. 由上面的推導過程，我們可以觀察出來，由給定的第二類條件分配PX|Y,Z 和. ‧ 國. 學. PZ|X,Y 可分別求得PX|Y 和PZ|Y ；由PX|Y,Z 和PY |X,Z 可分別求得PX|Z 和PY |Z ；由PY |X,Z 和PZ|X,Y 可分別求得PY |X 和PZ|X 。. ‧. X. P 丨X 丽 i, Z 丽 k|Y 丽 j丩. k. n. al. P 丨Y 丽 j|X 丽 i丩 丽. Ch. P 丨X 丽 i|Z 丽 k丩 丽. X. i n U. v. P 丨Y 丽 j, Z 丽 k|X 丽 i丩. engchi k. X. 丨串丮丱丰丩. er. io. sit. Nat. P 丨X 丽 i|Y 丽 j丩 丽. y. 此外，第三類條件分配亦可由給定的第一類條件分配由下列等式求得：. 丨串丮丱丱丩. P 丨X 丽 i, Y 丽 j|Z 丽 k丩. 丨串丮丱串丩. P 丨Y 丽 j, Z 丽 k|X 丽 i丩. 丨串丮丱丳丩. P 丨X 丽 i, Y 丽 j|Z 丽 k丩. 丨串丮丱临丩. P 丨X 丽 i, Z 丽 k|Y 丽 j丩. 丨串丮丱丵丩. j. P 丨Z 丽 k|X 丽 i丩 丽. X j. P 丨Y 丽 j|Z 丽 k丩 丽. X i. P 丨Z 丽 k|Y 丽 j丩 丽. X i. 丱串.
(19) 步驟丳： 由給定的第二類條件分配以特徵向量法求得第三類條件分配後，必須執行第 一階段的相容性檢驗，即檢驗下列等式是否成立，若檢驗不成立，則條件分配不 相容。 PX|Y,Z · PY |Z 丽 PY |X,Z · PX|Z PX|Y,Z · PZ|Y. 丽 PZ|X,Y · PX|Y. PY |X,Z · PZ|X 丽 PZ|X,Y · PY |X. 政 治 大. 步驟临：. 立. 若第一階段的相容性檢驗成立，我們繼續以特徵向量法求得邊際分配。為了. ‧ 國. 學. 由第三類條件分配以特徵向量法求得邊際分配，必須用到下面幾個重要的等式：. 丽. X. P 丨X 丽 i|Y 丽 j丩P 丨Y 丽 j丩. j. Nat. P 丨X 丽 i|Z 丽 k丩P 丨Z 丽 k丩. X. 丨串丮丱丷丩. P 丨Y 丽 j|X 丽 i丩P 丨X 丽 i丩. 丨串丮丱丸丩. X C hPe丨Yn丽gj|Zc h丽 ik丩PU丨Z 丽 k丩. 丨串丮丱丹丩. X. P 丨Z 丽 k|X 丽 i丩P 丨X 丽 i丩. 丨串丮串丰丩. P 丨Z 丽 k|Y 丽 j丩P 丨Y 丽 j丩. 丨串丮串丱丩. n. 丽. er. io. al. P 丨Y 丽 j丩 丽. 丨串丮丱丶丩. sit. k. y. X. ‧. P 丨X 丽 i丩 丽. v ni. i. k. P 丨Z 丽 k丩 丽. i. 丽. X j. 由給定或求得的第三類條件分配以特徵向量法求得邊際分配的過程，我們說 明如下： 首先，我們將第三類條件分配分成下列三組分別以特徵向量法求出對應的邊 際分配： 丨i丩PX|Y 丬PY |X ；丨ii丩PX|Z 丬PZ|X ；丨iii丩PY |Z 丬PZ|Y. 丱丳.
(20) 根據丨串.丱丶丩式和丨串.丱丸丩式 (1) (1) (1) c c . . . c1|J 1|1 1|2 (1) (1) c2|1 c2|2 . . . c(1) 2|J 令 丁7 丽 丮丮 丮丮 丮丮 丮丮 丮 丮 丮 丮 (1) (1) (1) cI|1 cI|2 . . . cI|J. . . . , 丁8 丽 I×J. (2) c1|1 (2) c2|1. (2) c1|2 (2) c2|2. 丮丮 丮. 丮丮 丮. (2). (2). ... ... 丮丮 丮. cJ|1 cJ|2 . . .. . (2) c1|I (2) c2|I. . 丮丮 丮 (2). cJ|I. J×I. 丁7 為PX|Y 所決定的矩陣，丁8 為PY |X 所決定的矩陣。. (3) c1|K (3) c2|K. ... ... 丮丮 丮. 丮丮 丮. 立. ‧ 國. .... (3). cI|K. . . (4) c1|1 (4) c2|1. (4) c1|2 (4) c2|2. 政 ,治 丁 大丮丮丮 . 10. 丽 . 丮丮 丮. (4). ... ... 丮丮 丮. (4). cK|1 cK|2 . . .. 學. 根據丨串.丱丷丩式和丨串.串丰丩式 (3) (3) c c 1|1 1|2 (3) (3) c2|1 c2|2 令 丁9 丽 丮丮 丮丮 丮 丮 (3) (3) cI|1 cI|2. I×K. (4) c1|I (4) c2|I. 丮丮 丮 (4). cK|I. K×I. 丁9 為PX|Z 所決定的矩陣，丁10 為PZ|X 所決定的矩陣。. ‧. io. ... 丮丮 丮. n. al. 丮丮 丮. .... . . 丽 . Ch (5). cJ|K. , 丁12. engchi J×K. (6) c1|1 (6) c2|1. 丮丮 丮. (6) c1|2 (6) c2|2. y. .... . sit. (5) c1|K (5) c2|K. 丮丮 丮. er. Nat. 根據丨串.丱丹丩式和丨串.串丱丩式 (5) (5) c c 1|1 1|2 (5) (5) c2|1 c2|2 令 丁11 丽 丮丮 丮丮 丮 丮 (5) (5) cJ|1 cJ|2. i n U (6). v. ... ... 丮丮 丮. (6). cK|1 cK|2 . . .. (2) c1|J (2) c2|J. 丮丮 丮 (2). cK|J. K×J. 丁11 為PY |Z 所決定的矩陣，丁12 為PZ|Y 所決定的矩陣。 丨i丩對PX|Y 和PY |X 以特徵向量法可求得邊際分配PX 和PY 。 由PX|Y 和PY |X 可得到丁7 和丁8 ，我們將丨串丮丱丶丩式和丨串丮丱丸丩式寫成以下形式： P 丰 丁7 P X 丽 X PY 丁8 丰 PY 對上式等式兩邊左乘矩陣 . PX PY. . 丰. 丁7. 丁8. 丰. . 丽. 丁7 丁8 丰. 可得到. 丰 丁8 丁7. 丱临. . PX PY. .
(21) 我們可以得到以下結果： PX 丽 丁7 丁8 PX , PY 丽 丁8 丁7 PY 由上式可得 PX 和PY 分別為丁7 丁8 和丁8 丁7 的特徵向量。 丨ii丩對PX|Z 和PZ|X 以特徵向量法可求得邊際分配PX 和PZ 。 由PX|Z 和PZ|X 可得到丁9 和丁10 ，我們將丨串丮丱丷丩式和丨串丮串丰丩式寫成以下形式： PX 丁9 丁10 丰 PX 丽 PZ 丰 丁10 丁9 PZ. 立. 政 治 大. 同理，我們可以得到以下結果：. ‧ 國. 學. PX 丽 丁9 丁10 PX , PZ 丽 丁10 丁9 PZ. ‧. 由上式可得 PY 和PZ 分別為丁9 丁10 和丁10 丁9 的特徵向量。. sit. y. Nat. n. al. er. io. 丨iii丩對PY |Z 和PZ|Y 以特徵向量法可求得邊際分配PY 和PZ 。. i n U. v. 由PY |Z 和PZ|Y 可得到丁11 和丁12 ，我們將丨串丮丱丹丩式和丨串丮串丱丩式寫成以下形式： P 丁 丁 丰 P Y 丽 11 12 Y PZ 丰 丁12 丁11 PZ. Ch. engchi. 同理，我們可以得到以下結果 PY 丽 丁11 丁12 PY , PZ 丽 丁12 丁11 PZ 由上式可得PY 和PZ 分別為丁11 丁12 和丁12 丁11 的特徵向量。 為 了 區 別 各 組 求 得 的 邊 際 分 配 ， 我 們 將 第丨i丩組 求 得 的X和Y 的 邊 際 分 配 分別表示成PX1 和PY1 ；第丨ii丩組求得的X和Z的邊際分配分別表示成PX2 和PZ1 ； 第丨iii丩組求得的Y 和Z的邊際分配分別表示成PY2 和PZ2 。. 丱丵.
(22) 步驟丵： 由給定或求得的第三類條件分配以特徵向量法求得邊際分配後，必須執行第 二階段的相容性檢驗，若檢驗不成立，則條件分配不相容。檢驗內容包含兩個部 分： 丱丮檢驗各組求得的邊際分配是否有共同的解，若有共同的解則檢驗第二個部分， 若無共同的解則條件分配不相容。 串丮檢驗下列等式是否成立，若檢驗不成立，則條件分配不相容。 Y |X. X. PX|Z. Z|X. X. 立P. Y |Z. Z. · PZ 丽 PZ|Y · PY. ‧. ‧ 國. 學. 步驟丶：. 丽 P 治 ·P 政 ·P 丽 P · P大. PX|Y · PY. 若第二階段的相容性檢驗成立，我們將求得的邊際分配分別乘上第三類條件. y. sit. io. PX,Y,Z 丽 PX|Y,Z · PY |Z · PZ. n. al. 丽 PY |X,Z · PX|Z · PZ. C h丽 P · P engchi X|Y,Z. Z|Y. er. Nat. 分配和第二類條件分配可得出聯合分配。. i n ·P U. v. Y. 丽 PZ|X,Y · PX|Y · PY 丽 PY |X,Z · PZ|X · PX 丽 PZ|X,Y · PY |X · PX. 根據前面的推導過程，我們觀察出以特徵向量法處理條件分配的相容性問 題前，給定的第二類條件分配必須至少兩個以上。若只給定一個第二類條件分 配，例如PX|Y,Z ，則特徵向量有太多可能的解；若給定兩個第二類條件分配，例 如PX|Y,Z 和PY |X,Z ，可以特徵向量法求得PX|Z 和PY |Z ，因此在後面的章節中我們所 舉的例子均給定兩個以上的第二類條件分配。. 丱丶.
(23) 總結本節的結果，我們將三維特徵向量法處理條件分配相容性問題的步驟說 明如下： 步驟丱：將給定的條件分配分為第一類條件分配PX,Y |Z 丬PX,Z|Y 和PY,Z|X ；第二類條 件分配PX|Y,Z 丬PY |X,Z 和PZ|X,Y ；及第三類條件分配PX|Y 丬PY |X 丬PX|Z 丬PZ|X 丬 PY |Z 和PZ|Y 。 步驟串：由給定的第一類條件分配根據丨串丮丱丰丩丬. . . 丬丨串丮丱丵丩式或由給定的第二類條件分 配根據丨串丮临丩丬. . . 丬丨串丮丹丩式以特徵向量法求得第三類條件分配。 步驟丳：執行第一階段的相容性檢驗。 步驟临：由給定或求得的第三類條件分配以特徵向量法求得特徵向量丨可能的邊際 分配丩。. 政 治 大. 步驟丵：執行第二階段的相容性檢驗。. 立. 步驟丶：由求得的邊際分配乘上第三類條件分配和第二類條件分配得出聯合分配。. ‧ 國. 學. 我們已經介紹了三維中特徵向量法的處理方法，為了方便做更深入的討論， 下面兩節將分別介紹並處理對稱型和不對稱型條件分配的相容性問題。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 丱丷. i n U. v.
(24) 2.3. 對稱型條件分配相容性之探討. 本節將定義對稱型條件分配並介紹如何以特徵向量法處理對稱型條件分配的 相容性問題。我們先定義什麼是對稱型條件分配。. 定義 2.3 令X、Y 和Z是三個有限離散隨機變數，當給定一組條件分配後，若任 意交換隨機變數X、Y 和Z，給定的條件分配型式仍不變，則稱此組條件分配為對 稱型條件分配。. 政 治 大. 本節要討論的對稱型條件分配有以下三類： 丨i丩PX,Y |Z 、PY,Z|X 、PX,Z|Y. 立. 丨ii丩PX|Y,Z 、PY |X,Z 、PZ|X,Y. ‧ 國. 學. 丨iii丩PX|Y 、PY |X 、PX|Z 、PZ|X 、PY |Z 、PZ|Y. 我們將分別介紹如何以特徵向量法處理這三類對稱型條件分配。. ‧. 首先我們說明如何處理對稱型條件分配丨i丩的相容性問題。. y. Nat. io. sit. 根據串丮串節一般條件分配相容性問題的處理過程，我們將處理對稱型條件分. n. al. er. 配丨i丩相容性問題的步驟說明如下：. i n U. v. 步驟丱：由給定的PX,Y |Z 、PY,Z|X 、PX,Z|Y 根據丨串丮丱丰丩丬. . . 丬丨串丮丱丵丩式求得第三類條件分. Ch. engchi. 配PX|Y 、PY |X 、PX|Z 、PZ|X 、PY |Z 、PZ|Y 。. 步驟串：由求得的第三類條件分配以特徵向量法求得邊際分配。 步驟丳：執行第二階段的相容性檢驗。 步驟临：由求得的邊際分配分別乘上PX,Y |Z 、PY,Z|X 、PX,Z|Y 得出聯合分配。 下面我們以例子說明特徵向量法如何處理對稱型條件分配丨i丩的相容性問題。. 丱丸.
(25) 例 2.3 丨相容的例子丩考慮對稱型條件分配： X. 丱. 丱. 丱. 丱. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. PX,Y |Z. 3 7. 1 3. 3 14. 1 6. 2 7. 1 3. 1 14. 1 6. PX,Z|Y. 3 7. 1 7. 3 6. 1 6. 2 7. 1 7. 1 6. 1 6. PY,Z|X. 1 2. 1 6. 1 4. 1 12. 1 2. 1 4. 1 8. 1 8. 步驟丱：根據丨串.丱丰丩, . . . , 丨串.丱丵丩式求得第三類條件分配。 根據丨串.丱丰丩式，可由PX,Y |Z 得到PX|Y (1). (2). (2). 3 7. 丫. 立. 1 7. 政 治 大 丽 , c 丽a 丫a 丽. (1). (2). (2). 2 7. 丫. 1 7. 丽 73 , c2|2 丽 a2,1|2 丫 a2,2|2 丽. c1|1 丽 a1,1|1 丫 a1,2|1 丽. . PX|Y 丽 . 4 7. 2 3. 3 7. 1 3. (2) 1,1|2. (2) 1,2|2. 3 6. 丫. 1 6. 丽 23 ,. (1). (2). (2). 1 6. 丫. 1 6. 丽. . ‧. ‧ 國. 因此. (1) 1|2. 學. c2|1 丽 a2,1|1 丫 a2,2|1 丽. 4 7. . y. Nat. PY |Z. 丽. 1 3. 1 4. 5 7. 2 3. 2 7. 1 3. . . al. , PX|Z 丽 . . , PZ|Y 丽 . 1 2. 9 14. . . , PZ|X 丽 . 3 4. Ch engchi U 5 14. 1 2. 5 7. 2 3. 2 7. 1 3. 1 4. 5 8. . er. 3 4. n. PY |X 丽 . 2 3. io. . sit. 同理，根據丨串.丱丱丩, . . . , 丨串.丱丵丩式，分別可得到. v, i n 3 8. . 步驟串：以特徵向量法求得邊際分配。 由PX|Y 和PY |X 可得丁7 和丁8 丁7 丽 . 4 7. 2 3. 3 7. 1 3. . . , 丁8 丽 . 丁7 丁8 和丁8 丁7 的特徵向量分別為 P X1 丽 . 3 5 2 5. . , PY1 丽 . 丱丹. 2 3. 3 4. 1 3. 1 4. 7 10 3 10. . . 1 3.
(26) 由PX|Z 和PZ|X 可得丁9 和丁10 丁9 丽 . 9 14. 1 2. 5 14. 1 2. . . , 丁10 丽 . 丁9 丁10 和丁10 丁9 的特徵向量分別為 3 5. PX2 丽 . 由PY |Z 和PZ|Y 可得丁11 和丁12 丁11 丽 . 立. 5 7 2 7. . 3 8. 3 10. . . 12. 1 3. 7 10. . 5 7. 2 3. 2 7. 1 3. . . 7 10. , PZ2 丽 . . . 3 10. y. Nat. 先檢驗各組求得的邊際分配是否有共同的解。 . n. al. P X 丽 P X1 丽 P X2 丽 . 2 5. Ch. er. io. sit. 步驟丳：執行第二階段相容性檢驗。. 3 5. ‧. 3 10. . . 學. ‧ 國. 1 4. 政 , 丁治丽 大 2 3. 丁11 丁12 和丁12 丁11 的特徵向量分別為 P Y2 丽 . 5 8. 7 10. , PZ1 丽 . 2 5. 3 4. i n U. 7 10. engchi. , PY 丽 PY1 丽 PY2 丽 . v. . , PZ 丽 PZ1 丽 PZ2 丽 . 3 10. 接著檢驗下列等式： PX|Y · PY. 丽 PY |X · PX. PX|Z · PZ 丽 PZ|X · PX PY |Z · PZ 丽 PZ|Y · PY 我們將結果列表如下： X. 丱. 丱. 串. 串. Y. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y · PY. 4 7. ·. 7 10. 丽. 2 5. 2 3. ·. 3 10. 丽. 1 5. 3 7. ·. 7 10. 丽. 3 10. 1 3. ·. 3 10. 丽. 1 10. PY |X · PX. 2 3. ·. 3 5. 丽. 2 5. 1 3. ·. 3 5. 丽. 1 5. 3 4. ·. 2 5. 丽. 3 10. 1 4. ·. 2 5. 丽. 1 10. 串丰. 7 10 3 10. .
(27) X. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX|Z · PZ. 9 14. ·. 7 10. PZ|X · PX. 3 4. ·. 3 5. 9 20. 丽 丽. 1 2. ·. 3 10. 丽. 3 20. 5 14. ·. 7 10. 1 4. ·. 3 5. 丽. 3 20. 5 8. ·. 2 5. 9 20. 1 4. 丽 1 4. 丽. 1 2. ·. 3 10. 丽. 3 20. 3 8. ·. 2 5. 丽. 3 20. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PY |Z · PZ. 5 7. ·. 7 10. 丽. 1 2. 2 3. ·. 3 10. 丽. 1 5. 2 7. ·. 7 10. 丽. 1 5. 1 3. ·. 3 10. 丽. 1 10. PZ|Y · PY. 5 7. ·. 7 10. 丽. 1 2. 2 7. ·. 7 10. 丽. 1 5. 2 3. ·. 3 10. 丽. 1 5. 1 3. ·. 3 10. 丽. 1 10. 政 治 大. 由上面表格可知檢驗第二階段相容性成立。. 立. 步驟临：求聯合分配。. ‧ 國. 學. 丱. Y. 丱. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 3 7. ·. PX,Z|Y · PY. 3 7. ·. n. PY,Z|X · PX. 1 2. io. PX,Y |Z · PZ. 7 10. 3 10. 1 3. ·. 3 10. 丽. 1 10. 3 14. ·. 7 10. 7 10. 3 10. 1 7. ·. 7 10. 丽. 1 10. 1 2. ·. 3 10. 3 5. 3 10. 丽. al 丽 · 丽C h. 丽. 串. 3 20. er. Z. 丱. sit. 丱. ‧. 丱. Nat. X. y. 由求得的PX , PY , PZ 分別乘上第一類條件分配列表如下：. v ni. 1 6. ·. 3 10. 丽. 1 20. ·. 3 10. 丽. 1 20. 3 5. 丽. 1 20. 丽. 3 20. 1 6. e ·n g丽 c h i ·U 丽. 3 20. 1 12. 1 6. 3 5. 1 10. 1 4. 3 5. 串. ·. X. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX,Y |Z · PZ. 2 7. ·. 7 10. 丽. 1 5. 1 3. ·. 3 10. 丽. 1 10. 1 14. ·. 7 10. 丽. 1 20. 1 6. ·. 3 10. 丽. 1 20. PX,Z|Y · PY. 2 7. ·. 7 10. 丽. 1 5. 1 7. ·. 7 10. 丽. 1 10. 1 6. ·. 3 10. 丽. 1 20. 1 6. ·. 3 10. 丽. 1 20. PY,Z|X · PX. 1 2. ·. 2 5. 丽. 1 5. 1 4. ·. 2 5. 丽. 1 10. 1 8. ·. 2 5. 丽. 1 20. 1 8. ·. 2 5. 丽. 1 20. 由上面表格可知條件分配PX|Y,Z , PY |X,Z , PZ|X,Y 相容且聯合分配為：. 串丱.
(28) X. 丱. 丱. 丱. 丱. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. PX,Y,Z. 3 10. 1 10. 3 20. 1 20. 1 5. 1 10. 1 20. 1 20. 接著我們說明如何處理對稱型條件分配丨ii丩的相容性問題。 根據串丮串節一般條件分配相容性問題的處理過程，我們將處理對稱型條件分 配丨ii丩相容性問題的步驟說明如下：. 政 治 大. 步驟丱：由給定的PX|Y,Z 、PY |X,Z 、PZ|X,Y 以特徵向量法求得第三類條件分配PX|Y 、 PY |X 、PX|Z 、PZ|X 、PY |Z 、PZ|Y 。. 立. 步驟串：執行第一階段的相容性檢驗。. ‧ 國. 學. 步驟丳：由求得的第三類條件分配以特徵向量法求得邊際分配。 步驟临：執行第二階段的相容性檢驗。. 配。. ‧. 步驟丵：由求得的邊際分配分別乘上第三類條件分配和第二類條件分配得出聯合分. y. Nat. er. io. sit. 下面我們以例子說明特徵向量法如何處理對稱型條件分配丨ii丩的相容性問題。. n. al. Ch. engchi. 例 2.4 丨相容的例子丩考慮對稱型條件分配：. i n U. v. X. 丱. 丱. 丱. 丱. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y,Z. 3 5. 1 2. 3 4. 1 2. 2 5. 1 2. 1 4. 1 2. PY |X,Z. 2 3. 2 3. 1 3. 1 3. 4 5. 2 3. 1 5. 1 3. PZ|X,Y. 3 4. 1 4. 3 4. 1 4. 2 3. 1 3. 1 2. 1 2. 步驟丱：以特徵向量法求得第三類條件分配。 由PX|Y,Z 可得丁11 和丁12 ，由PZ|X,Y 可得丁21 和丁22 丁11 丽 . 3 5. 1 2. 2 5. 1 2. , 丁12 丽 . 3 4. 1 2. 1 4. 1 2. , 丁21 丽 串串. 3 4. 2 3. 1 4. 1 3. . . , 丁22 丽 . 3 4. 1 2. 1 4. 1 2. .
(29) 丁11 丁21 , 丁12 丁22 , 丁21 丁11 , 丁22 丁12 的特徵向量分別為 . 1 3. . . ,則PX|Y 丽 . 4 7. 2 3. 3 7. 1 3. . . ,PZ|Y 丽 . 5 7. 2 3. 2 7. 1 3. 丁31 丽 . 3 4. 2 5. 1 4. , 丁32 丽 . 1 2. 1 2. 1 2. 1 2. , 丁41 丽 . 2 3. 4 5. 1 3. 1 5. 政 治 大 . ,則PX|Z 丽 . 9 14. 立 1 2. ,PY |Z 丽 . 1 2. 5 14. 5 7. 2 3. 2 7. 1 3. 由PY |X,Z 可得丁51 和丁52 ，由PZ|X,Y 可得丁61 和丁62 1 3. 1 3. , 丁52 丽 . io. 2 3. 1 5. 1 3. , 丁61 丽 . 3 4. 3 4. 1 4. 1 4. . n. al. 4 5. i n U. 丁51 丁61 , 丁52 丁62 , 丁61 丁51 , 丁62 丁52 的特徵向量分別為 . 5 8 3 8. . . ,則PY |X 丽 . 2 3. 3 4. 1 3. 1 4. . . Ch. e n g c hi. ,PZ|X 丽 . 3 4. 5 8. 1 4. 3 8. . 步驟串：執行第一階段相容性檢驗。 檢驗下列等式： PX|Y,Z · PY |Z 丽 PY |X,Z · PX|Z PX|Y,Z · PZ|Y. 丽 PZ|X,Y · PX|Y. PY |X,Z · PZ|X 丽 PZ|X,Y · PY |X. 串丳. . ,. . 1 2 1 2. . 2 7. 2 3. 2 3. 1 3. 1 3. . ,. . , 丁62 丽 . . er. 2 3. Nat. 丁51 丽 . 2 3. , 丁42 丽 . 5 14. . . ‧. ‧ 國. 1 3. . , . 5 7. ,. 5 7 2 7. . ,. 學. . . . 9 14. 丁31 丁41 , 丁32 丁42 , 丁41 丁31 , 丁42 丁32 的特徵向量分別為 2 3. . . . . 1 3. . . 由PX|Y,Z 可得丁31 和丁32 ，由PY |X,Z 可得丁41 和丁42 3 5. , . 3 7. 2 3. y. . 2 3. . sit. . . 4 7. 2 3. . v, 1 3. 3 4 1 4. . 2 3. 1 2. 1 3. 1 2. . , . 3 4 1 4. . ,.
(30) 我們將結果列表如下： X. 丱. 丱. 丱. 丱. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y,Z · PY |Z. 3 5. ·. 5 7. 丽. 3 7. 1 2. ·. 2 3. 丽. 1 3. 3 4. ·. 2 7. 丽. 3 14. 1 2. ·. 1 3. 丽. 1 6. PY |X,Z · PX|Z. 2 3. ·. 9 14. 丽. 3 7. 2 3. ·. 1 2. 丽. 1 3. 1 3. ·. 9 14. 丽. 3 14. 1 3. ·. 1 2. 丽. 1 6. PX|Y,Z · PZ|Y. 3 5. ·. 5 7. 丽. 3 7. 1 2. ·. 2 7. 丽. 1 7. 3 4. ·. 2 3. 丽. 1 2. 1 2. ·. 1 3. 丽. 1 6. PZ|X,Y · PX|Y. 3 4. ·. 4 7. 丽. 3 7. 1 4. ·. 4 7. 丽. 1 7. 3 4. ·. 2 3. 丽. 1 2. 1 4. ·. 2 3. 丽. 1 6. PZ|X,Y · PY |X. 3 4. ·. 2 3. 丽. 1 2. 1 4. ·. 2 3. 丽. 1 6. 3 4. ·. 1 3. 丽. 1 4. 1 4. ·. 1 3. 丽. 1 12. PY |X,Z · PZ|X. 2 3. ·. 3 4. 丽. 1 2. 2 3. 1 6. 1 3. 1 4. 1 3. ·. 1 4. 丽. 1 12. 立. 1 4. 3 4. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. 學. 串. PX|Y,Z · PY |Z. 2 5. ·. 5 7. 丽. 2 7. 1 2. ·. 2 3. 丽. 1 3. 1 4. ·. 2 7. 丽. 1 14. PY |X,Z · PX|Z. 4 5. ·. 5 14. 丽. 2 7. 2 3. ·. 1 2. 丽. 1 3. 1 5. ·. 5 14. 丽. 1 14. PX|Y,Z · PZ|Y. 2 5. ·. 5 7. 丽. 2 7. 1 2. ·. 2 7. 丽. 1 7. 1 4. ·. 2 3. 丽. 1 6. 1 2. 2 3. ·. 3 7. 丽. 2 7. 1 3. ·. 3 7. 丽. 1 7. 1 2. ·. 1 3. 丽. 1 6. 3 4. 丽. 1 2. 1 3. ·. 3 4. 丽. 1 4. 1 2. 5 8. 丽. 1 2. 2 3. 1 4. 1 5. PY |X,Z · PZ|X. 4 5. 2 3. ·. Ch. e n·g c丽 h i 3 8. 丽i n U ·. 1 4. ·. 5 8. ·. 1 3. 丽. 1 6. 1 3. ·. 1 2. 丽. 1 6. ·. 1 3. 丽. 1 6. 1 2. ·. 1 3. 丽. 1 6. 1 8. 1 2. ·. 1 4. 丽. 1 8. 1 8. 1 3. ·. 3 8. 丽. 1 8. 丽. v. 由上面表格可知檢驗第一階段相容性成立。 步驟丳：以特徵向量法求得邊際分配。 由PX|Y 和PY |X 可得丁7 和丁8 丁7 丽 . 4 7. 2 3. 3 7. 1 3. . . , 丁8 丽 . 丁7 丁8 和丁8 丁7 的特徵向量分別為 P X1 丽 . 3 5 2 5. . , PY1 丽 串临. 2 3. 3 4. 1 3. 1 4. 7 10 3 10. y. 1 2. sit. al ·. n. PZ|X,Y · PY |X. 串. er. io. PZ|X,Y · PX|Y. 串. ‧. Nat. ‧ 國. X. 丽 · 丽 政· 治 大. . .
(31) 由PX|Z 和PZ|X 可得丁9 和丁10 丁9 丽 . 9 14. 1 2. 5 14. 1 2. . . , 丁10 丽 . 丁9 丁10 和丁10 丁9 的特徵向量分別為 PX2 丽 . 由PY |Z 和PZ|Y 可得丁11 和丁12 丁11 丽 . 立. 5 7 2 7. 3 5. . 3 8. 3 10. . . 12. 1 3. 7 10. . . 5 7. 2 3. 2 7. 1 3. . . . 7 10. , PZ2 丽 . ‧. 3 10. . 學. ‧ 國. 1 4. 政 , 丁治丽 大 2 3. 丁11 丁12 和丁12 丁11 的特徵向量分別為 P Y2 丽 . 5 8. 7 10. , PZ1 丽 . 2 5. 3 4. . 3 10. al. v , P C丽 P 丽 P 丽 n,iP hengchi U. n. P X 丽 P X1 丽 P X2 丽 . 3 5 2 5. er. io. 先檢驗各組求得的邊際分配是否有共同的解。 . sit. y. Nat. 步驟临：執行第二階段相容性檢驗。. 7 10. Y. Y1. Y2. Z. 3 10. . 丽 PZ1 丽 PZ2 丽 . 接著檢驗下列等式： PX|Y · PY. 丽 PY |X · PX. PX|Z · PZ 丽 PZ|X · PX PY |Z · PZ 丽 PZ|Y · PY 我們將結果列表如下： X. 丱. 丱. 串. 串. Y. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y · PY. 4 7. ·. 7 10. 丽. 2 5. 2 3. ·. 3 10. 丽. 1 5. 3 7. ·. 7 10. 丽. 3 10. 1 3. ·. 3 10. 丽. 1 10. PY |X · PX. 2 3. ·. 3 5. 丽. 2 5. 1 3. ·. 3 5. 丽. 1 5. 3 4. ·. 2 5. 丽. 3 10. 1 4. ·. 2 5. 丽. 1 10. 串丵. 7 10 3 10. .
(32) X. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX|Z · PZ. 9 14. ·. 7 10. PZ|X · PX. 3 4. ·. 3 5. 9 20. 丽. 9 20. 丽. 1 2. ·. 3 10. 丽. 3 20. 5 14. ·. 7 10. 1 4. ·. 3 5. 丽. 3 20. 5 8. ·. 2 5. 1 4. 丽 丽. 1 4. 1 2. ·. 3 10. 丽. 3 20. 3 8. ·. 2 5. 丽. 3 20. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PY |Z · PZ. 5 7. ·. 7 10. 丽. 1 2. 2 3. ·. 3 10. 丽. 1 5. 2 7. ·. 7 10. 丽. 1 5. 1 3. ·. 3 10. 丽. 1 10. PZ|Y · PY. 5 7. ·. 7 10. 丽. 1 2. 2 7. ·. 7 10. 丽. 1 5. 2 3. ·. 3 10. 丽. 1 5. 1 3. ·. 3 10. 丽. 1 10. 政 治 大. 由上面表格可知檢驗第二階段相容性成立。 步驟丵：求聯合分配。. 立. 丱. 丱. 丱. 丱. 丱. 串. 串. 丱. 串. 丱. 7 10. 丽. 3 10. 1 2. · 32 ·. 3 10. 丽. 1 10. 3 4. · 72 ·. 2 3. ·. 9 14. ·. 7 10. 丽. 3 10. 2 3. · 21 ·. 3 10. 丽. 1 10. 1 3. ·. 3 5. · 57 ·. 7 10. n. 丽. 3 10. 1 2. · 72 ·. 7 10. 丽. 1 10. 3 4. · 32 ·. PZ|X,Y · PX|Y · PY. 3 4. · 47 ·. 7 10. 丽. 3 10. 1 4. · 74 ·. 7 10. 丽. 1 10. 3 4. PZ|X,Y · PY |X · PX. 3 4. · 23 ·. 3 5. 丽. 3 10. 1 4. 2 3. 3 5. PY |X,Z · PZ|X · PX. 2 3. · 34 ·. 3 5. 丽. 3 10. 2 3. · 14 ·. 3 5. io. PX|Y,Z · PZ|Y · PY. al. Ch. e n· g· c丽h i. 1 10. 丽. 9 14. 7 10. 1 2. · 13 ·. 3 10. 丽. 1 20. 丽. 3 20. 1 3. · 12 ·. 3 10. 丽. 1 20. 3 10. 丽. 3 20. 1 2. · 13 ·. 3 10. 丽. 1 20. 2 3. 3 10. 丽. 3 20. 1 4. · 23 ·. 3 10. 丽. 1 20. 3 4. · 31 ·. 3 5. 丽. 3 20. 1 4. · 13 ·. 3 5. 丽. 1 20. 1 3. · 43 ·. 3 5. 丽. 3 20. 1 3. · 14 ·. 3 5. 丽. 1 20. ·. v · i· n U. 1 10. 3 20. 丽. 串. er. PY |X,Z · PX|Z · PZ. 7 10. sit. · 57 ·. Nat. 3 5. PX|Y,Z · PY |Z · PZ. ‧. Z. 丱. y. Y. ‧ 國. X. 學. 由求得的PX , PY , PZ 乘上第三類條件分配和第一類條件分配列表如下：. X. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y,Z · PY |Z · PZ. 2 5. · 57 ·. 7 10. 丽. 1 5. 1 2. · 23 ·. 3 10. 丽. 1 10. 1 4. · 27 ·. 7 10. 丽. 1 20. 1 2. · 31 ·. 3 10. 丽. 1 20. PY |X,Z · PX|Z · PZ. 4 5. ·. 5 14. ·. 7 10. 丽. 1 5. 2 3. · 12 ·. 3 10. 丽. 1 10. 1 5. ·. 5 14. ·. 7 10. 丽. 1 20. 1 3. · 21 ·. 3 10. 丽. 1 20. PX|Y,Z · PZ|Y · PY. 2 5. · 57 ·. 7 10. 丽. 1 5. 1 2. · 27 ·. 7 10. 丽. 1 10. 1 4. · 23 ·. 3 10. 丽. 1 20. 1 2. · 31 ·. 3 10. 丽. 1 20. PZ|X,Y · PX|Y · PY. 2 3. · 37 ·. 7 10. 丽. 1 5. 1 3. · 37 ·. 7 10. 丽. 1 10. 1 2. · 13 ·. 3 10. 丽. 1 20. 1 2. · 31 ·. 3 10. 丽. 1 20. PZ|X,Y · PY |X · PX. 2 3. · 34 ·. 2 5. 丽. 1 5. 1 3. · 43 ·. 2 5. 丽. 1 10. 1 2. · 41 ·. 2 5. 丽. 1 20. 1 2. · 14 ·. 2 5. 丽. 1 20. PY |X,Z · PZ|X · PX. 4 5. · 58 ·. 2 5. 丽. 1 5. 2 3. · 83 ·. 2 5. 丽. 1 10. 1 5. · 85 ·. 2 5. 丽. 1 20. 1 3. · 38 ·. 2 5. 丽. 1 20. 串丶.
(33) 由表格可知條件分配PX|Y,Z , PY |X,Z , PZ|X,Y 相容且聯合分配為：. X. 丱. 丱. 丱. 丱. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. PX,Y,Z. 3 10. 1 10. 3 20. 1 20. 1 5. 1 10. 1 20. 1 20. 串. 串. 串. 串. 串. 串. 丱. 串. 1 4. 1 2. 例 2.5 丨不相容的例子丩考慮對稱型條件分配： 丱. 丱. Y. 丱. 丱. Z. 丱. PX|Y,Z. 2 5. 立串. 丱. 丱. 串 串 治丱 丱 政 丱 串 丱 大 串. 1 2. 3 4. 1 2. 3 5. 1 2. PY |X,Z. 2 3. 2 3. 1 3. 1 3. 1 5. 2 3. PZ|X,Y. 3 4. 1 4. 3 4. 1 4. 1 3. 2 3. 學. ‧ 國. X. , 丁12 丽 . al. 1 4. 1 2. Ch. , 丁21 丽 . 3 4 1 4. n U engchi. 丁11 丁21 , 丁12 丁22 , 丁21 丁11 , 丁22 丁12 的特徵向量分別為 ,. 2 3 1 3. . . ,則PX|Y 丽 . 56 125. 2 3. 69 125. 1 3. . . ,PZ|Y 丽 . 13 25. 2 3. 12 25. 1 3. 丁31 丽 . 3 4. 3 5. 1 4. , 丁32 丽 . 1 2. 1 2. 1 2. 1 2. ,. 1 3. . . ,則PX|Z 丽 . 204 349. 1 2. 145 349. 1 2. . , 丁41 丽 . . ,PY |Z 丽 串丷. 165 349. 2 3. 184 349. 1 3. , 丁22 丽 . iv. 2 3. . 56 125. . ,. 69 125. 2 3. 1 5. 1 3. 4 5. 丁31 丁41 , 丁32 丁42 , 丁41 丁31 , 丁42 丁32 的特徵向量分別為 2 3. . 2 3 1 3. 3 4. 1 2. 1 4. 1 2. . . . 13 25. ,. 12 25. . . . . . . 由PX|Y,Z 可得丁31 和丁32 ，由PY |X,Z 可得丁41 和丁42 2 5. 1 3. sit. 1 2. 1 2. er. 1 2. n. 3 5. io. 丁11 丽 . 3 4. 1 2. y. Nat. 由PX|Y,Z 可得丁11 和丁12 ，由PZ|X,Y 可得丁21 和丁22 1 2. 1 3. ‧. 步驟丱：以特徵向量法求得第三類條件分配。. 2 5. 4 5. . . . , 丁42 丽 . 204 349 145 349. ,. 1 2 1 2. 2 3. 2 3. 1 3. 1 3. ,. . 165 349 184 349. .
(34) 由PY |X,Z 可得丁51 和丁52 ，由PZ|X,Y 可得丁61 和丁62 丁51 丽 . 2 3. 2 3. 1 3. 1 3. , 丁52 丽 . 1 5. 2 3. 4 5. 1 3. , 丁61 丽 . 3 4. 3 4. 1 4. 1 4. . . 35 83 48 83. . . ,則PY |X 丽 . 2 3. 39 83. 1 3. 44 83. . . ,PZ|X 丽 . 3 4. 35 83. 1 4. 48 83. . , 丁62 丽 . . 2 3. 丁51 丁61 , 丁52 丁62 , 丁61 丁51 , 丁62 丁52 的特徵向量分別為 . . . 39 83. ,. 1 3. 44 83. . . 政 治 大. 立. ‧ 國. PX|Y,Z · PZ|Y. 丽 PZ|X,Y · PX|Y. 學. PX|Y,Z · PY |Z 丽 PY |X,Z · PX|Z. ‧. PY |X,Z · PZ|X 丽 PZ|X,Y · PY |X. y. Nat. al. n. Y Z. 丱. 丱. 丱. 丱. 丱. 串i n U. Ch 丱. 丱. er. io. X. sit. 我們將結果列表如下：. e n g串c h i. v. 串. 丱. 串. PX|Y,Z · PY |Z. 2 5. ·. 165 349. 丽. 66 349. 1 2. ·. 2 3. 丽. 1 3. 3 4. ·. 184 349. 丽. 138 349. 1 2. ·. 1 3. 丽. 1 6. PY |X,Z · PX|Z. 2 3. ·. 204 349. 丽. 136 349. 2 3. ·. 1 2. 丽. 1 3. 1 3. ·. 204 349. 丽. 68 349. 1 3. ·. 1 2. 丽. 1 6. X. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y,Z · PY |Z. 3 5. ·. 165 349. 丽. 99 349. 1 2. ·. 2 3. 丽. 1 3. 1 4. ·. 184 349. 丽. 46 349. 1 2. ·. 1 3. 丽. 1 6. PY |X,Z · PX|Z. 1 5. ·. 145 349. 丽. 29 349. 2 3. ·. 1 2. 丽. 1 3. 4 5. ·. 145 349. 丽. 116 349. 1 3. ·. 1 2. 丽. 1 6. 由上面表格可知檢驗第一階段相容性不成立。 因此條件分配PX|Y,Z , PY |X,Z , PZ|X,Y 不相容。 串丸. 1 2. 2 3. 1 2. . ,. 步驟串：執行第一階段相容性檢驗。 檢驗下列等式：. 1 3. 3 4 1 4. . ,.
(35) 觀察例串丮临我們發現處理對稱型條件分配丨ii丩相容性問題的步驟丳和步驟临即 為處理對稱型條件分配丨iii丩的相容性問題。由於缺少第一類和第二類的條件分 配，我們無法得到X、Y 和Z的聯合分配PX,Y,Z ，但是我們可得到部分的聯合分 配PX,Y 、PX,Z 和PY,Z 。 最後，我們介紹一種特殊的情形。 考慮給定條件分配PX|Y 、PY |Z 和PZ|X 。我們將此相容性問題的處理方式說明 如下： 由PX|Y 、PY |Z 和PZ|X 分 別 可 得 到丁7 、丁11 和丁10 ， 我 們 將丨串丮丱丶丩式 、丨串丮丱丹丩式. 治 政 大 . 丰 丁7 丰 丽 丰 丰 丁11 丁10 丰 丰. 丁7. io. P X PY PZ. 丁11. 丰. 丰. al. . . 7. 11. 丁10 丁7. 丰. PY PZ. . . 丽 . 丁7 丁11 丁10. Y. PZ. . . 丰. 丰. 丁11. 丰. 丰. 丰. . X. 丰. 丁7. 再對上式等式兩邊左乘矩陣 丰 丁10 PX. 11. 10. 丰. . . 可得到 . 丰 丰 丁 丁 iv P n C U 丽 丁 h丁e P 丰 hi 丰 n gc . n. . 丰. . er. Nat. 對上式等式兩邊左乘矩陣 丰 丁10. 丰. . y. 丰. P X PY PZ. sit. . . ‧. ‧ 國. 立 . 學. 和丨串丮串丰丩式寫成以下形式： P X PY PZ. 可得到 . 丰. 丰. 丁11 丁10 丁7. 丰. 丰. 丰. 丁10 丁7 丁11. . PX. PY PZ. . 我們可以得到以下結果： PX 丽 丁7 丁11 丁10 PX , PY 丽 丁11 丁10 丁7 PY , PZ 丽 丁10 丁7 丁11 PZ 串丹.
(36) 由上式可得 PX 、PY 和PZ 分別為丁7 丁11 丁10 、丁11 丁10 丁7 和丁10 丁7 丁11 的特徵向 量。 最後由求得的邊際分配PX 、PY 和PZ 分別乘上PZ|X 、PX|Y 和PY |Z 可得到聯合 分配PX,Z 、PX,Y 和PY,Z ，但似乎無法由特徵向量法得到PX,Y,Z ，在這種情況下，給 定的條件分配是否相容需要進一步的探討。 我們以實際的例子說明。. 例 2.6 考慮條件分配PX|Y 、PZ|X 和PY |Z 如下：. 政 丱 丱 治串 串 大 丱 串 丱 串. X. 2 3. 3 7. 1 3. X. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PZ|X. 3 4. 1 4. 5 8. 3 8. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. Y |Z. 5 7. 2 3. 2 7. n. Ch. engchi. er. io. aP l. sit. y. ‧. 4 7. Nat. PX|Y. 學. ‧ 國. 立Y. i n U 1 3. v. 首先，以特徵向量法求得邊際分配PX 、PY 和PZ ： 由PX|Y 、PZ|X 和PY |Z 可得丁7 、丁10 和丁11 丁7 丽 . 4 7. 2 3. 3 7. 1 3. . . , 丁10 丽 . 3 4. 5 8. 1 4. 3 8. . , 丁11 丽 . 丁7 丁11 丁10 、丁11 丁10 丁7 和丁10 丁7 丁11 的特徵向量分別為 PX 丽 . 3 5 2 5. , PY 丽 . 丳丰. 7 10 3 10. . , PZ 丽 . 7 10 3 10. 5 7. 2 3. 2 7. 1 3. . .
(37) 由邊際分配分別乘上條件分配求得聯合分配PX,Y 、PX,Z 和PY,Z ：. X. 丱. 丱. 串. 串. Y. 丱. 串. 丱. 串. 4 7. PX|Y · PY 丽 PX,Y. ·. 7 10. 2 5. 丽. 2 3. ·. 3 10. 丽. 1 5. 3 7. ·. 7 10. 丽. 3 10. 1 3. ·. 3 10. X. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. 3 4. PZ|X · PX 丽 PX,Z Y. 立. Z. ·. 丽. 9 20. 1 4. ·. 3 5. 丽. 3 20. 5 8. ·. 2 5. 丱. 政 治 丱 大串. 丱. 串. 7 10. 丽. 1 2. 2 3. ·. 3 10. 丽. 1 4. 3 8. 2 5. ·. 丱 丽. 1 5. 2 7. ·. 7 10. 丽. 1 5. 1 3. ·. y. sit. n. er. io. Ch. engchi. 丳丱. 3 20. 串. Nat. al. 丽. 1 10. 串. 3 10. ‧. ‧ 國. 5 7. 3 5. 學. PY |Z · PZ 丽 PY,Z. ·. 丽. i n U. v. 丽. 1 10.
(38) 不對稱型條件分配相容性之探討. 2.4. 當給定的條件分配為不對稱時，通常無法使用特徵向量法探討相容性，但是 對於某一些條件分配的組合，我們也能夠以特徵向量法來處理相容性問題。對於 不對稱型的條件分配，我們必須採取不同的方式來處理不同的狀況。 下面我們以例子說明特徵向量法如何處理不對稱型條件分配相容性問題。 例 2.7 丨相容的例子丩考慮不對稱型條件分配PX|Y,Z 、PY |X,Z 、PZ|X 和PZ|Y 如下： 丱. Y. 丱. 丱. Z. 丱. 立串. PX|Y,Z. 1 2. PY |X,Z. 丱 丱 治串 串 政 串 串 丱 大 丱. 串. 串. 串. 串. 丱. 串. 丱. 串. 1 2. 3 4. 1 4. 1 2. 1 2. 1 4. 3 4. 4 7. 2 3. 3 7. 1 3. 4 5. 2 5. 1 5. 3 5. 丱. 丱. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PZ|X. 7 10. 3 10. 1 2. 1 2. PZ|Y. 2 3. 1 2. 1 2. io. n. al. y. sit. X. 1 3. er. ‧ 國. 串. 學. 丱. ‧. 丱. Nat. X. i n U. v. 首先，以特徵向量法由PX|Y,Z 和PY |X,Z 求得PX|Z 和PY |Z 。. Ch. engchi. 由PX|Y,Z 可得丁31 和丁32 ，由PY |X,Z 可得丁41 和丁42 丁31 丽 . 1 2. 3 4. 1 2. 1 4. , 丁32 丽 . 1 2. 1 4. 1 2. 3 4. , 丁41 丽 . 4 7. 4 5. 3 7. 1 5. 丁31 丁41 , 丁32 丁42 , 丁41 丁31 , 丁42 丁32 的特徵向量分別為 . 1 2 1 2. . . ,則PX|Z 丽 . 7 12. 3 8. 5 12. 5 8. . . ,PY |Z 丽 . 2 3. 1 2. 1 3. 1 2. . 執行第一階段相容性檢驗： 即檢驗等式. PX|Y,Z · PY |Z 丽 PY |X,Z · PX|Z. 丳串. . . , 丁42 丽 . 7 12 5 12. . . ,. 3 8 5 8. . 2 3. 2 5. 1 3. 3 5. . ,. 2 3 1 3. ,.
(39) 我們將結果列表如下： X. 丱. 丱. 丱. 丱. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y,Z · PY |Z. 1 2. ·. 2 3. 丽. 1 3. 1 2. ·. 1 2. 丽. 1 4. 3 4. ·. 1 3. 丽. 1 4. 1 4. ·. 1 2. 丽. 1 8. PY |X,Z · PX|Z. 4 7. ·. 7 12. 丽. 1 3. 2 3. ·. 3 8. 丽. 1 4. 3 7. ·. 7 12. 丽. 1 4. 1 3. ·. 3 8. 丽. 1 8. X. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. PX|Y,Z · PY |Z. ·. 立· 4 5. 2 3 5 12. 丽. 1 3. 1 2. 1 3. 2 5. 1 2. ·. 5 8. 丽. 1 4. 1 4. 1 4. 1 5. 串. 1 3. ·. 5 12. 1 12. 3 4. ·. 1 2. 丽. 3 8. 1 12. 3 5. ·. 5 8. 丽. 3 8. 丽. 學. ‧ 國. PY |X,Z · PX|Z. 1 2. 串 治 丱 政 丽 · 丽 ·大 丽. 由上面表格可知檢驗第一階段相容性成立。. ‧. 接著由求得的PX|Z ,PY |Z 分別和給定的PZ|X ,PZ|Y 以特徵向量法求邊際分配。. io. y. sit. 兩個PZ 。. Nat. 由於給定和求得的第三類條件分配並不完整，本例子只可得到一個PX ，一個PY 和. 7 10. v i n. 3 10. 1 2. n. al. er. 由PX|Z 和PZ|X 可得丁9 和丁10 丁9 丽 . Ch 7 12. 3 8. 5 12. 5 8. . . engchi U , 丁10 丽 . 丁9 丁10 和丁10 丁9 的特徵向量分別為 PX 丽 . 由PY |Z 和PZ|Y 可得丁11 和丁12 丁11 丽 . 1 2 1 2. 2 3. 1 2. 1 3. 1 2. . , PZ1 丽 . . . , 丁12 丽 . 丁11 丁12 和丁12 丁11 的特徵向量分別為 PY 丽 . 3 5 2 5. . , PZ2 丽 丳丳. 3 5 2 5. 1 2. . 2 3. 1 2. 1 3. 1 2. 3 5 2 5. . . .
(40) 執行第二階段相容性檢驗： 先 檢 驗 兩 組 求 得 的 邊 際 分 配PZ 是 否 有 共 同 的 解 。丨若 兩 組 求 得 的 邊 際 分 配PZ 沒有共同的解，則條件分配不相容。丩 . . 3 5. PZ 丽 PZ1 丽 PZ2 丽 . . 2 5. 接著檢驗下列等式： PX|Z · PZ 丽 PZ|X · PX PY |Z · PZ 丽 PZ|Y · PY. 政 治 大. 我們將結果列表如下：. 立. Z. 丱. 丱. 串. 丱. 串. 丱. 串. 學. PX|Z · PZ. 7 12. ·. 3 5. 丽. 7 20. 3 8. ·. 2 5. 丽. 3 20. 5 12. ·. 3 5. 丽. 1 4. PZ|X · PX. 7 10. ·. 1 2. 丽. 7 20. 3 10. ·. 1 2. 丽. 3 20. 1 2. ·. 1 2. 丽. 1 4. 串. 5 8. ·. 1 2. ·. 2 5. 丽. 1 2. 丽. 丱. 串. y. Z. 丱. 串. 丱. a l·. n. 2 3. PZ|Y · PY. 2 3. ·. 3 5. 2 5. 丽. C丽h. 3 5. 2 5. 1 2. ·. 1 3. ·. 2 5. 丽. 3 5. 丽. 1 5. 1 3. ·. 1 5. 1 2. ·. 3 5. 1 4. 串 串. 丽. er. io. 丱. sit. Nat Y. PY |Z · PZ. 1 4. ‧. ‧ 國. X. 1 5. 1 2. ·. 2 5. 丽. 1 5. 1 5. 1 2. ·. 2 5. 丽. 1 5. 丽n U engchi 2 5. iv. 由上面表格可知檢驗第二階段相容性成立。 最後，求聯合分配：. 由求得的PX , PY , PZ 乘上第三類條件分配和第一類條件分配列表如下： X. 丱. 丱. 丱. 丱. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y,Z · PY |Z · PZ. 1 2. · 23 ·. 3 5. 丽. 1 5. 1 2. · 12 ·. 2 5. 丽. 1 10. 3 4. · 13 ·. 3 5. 丽. 3 20. 1 4. · 21 ·. 2 5. 丽. 1 20. PY |X,Z · PX|Z · PZ. 4 7. ·. 7 12. ·. 3 5. 丽. 1 5. 2 3. · 38 ·. 2 5. 丽. 1 10. 3 7. ·. 7 12. ·. 3 5. 丽. 3 20. 1 3. · 83 ·. 2 5. 丽. 1 20. PY |X,Z · PZ|X · PX. 4 7. ·. 7 10. ·. 1 2. 丽. 1 5. 2 3. ·. 3 10. ·. 1 2. 丽. 1 10. 3 7. ·. 7 10. ·. 1 2. 丽. 3 20. 1 3. ·. 3 10. ·. 1 2. 丽. 1 20. PX|Y,Z · PZ|Y · PY. 1 2. · 23 ·. 3 5. 丽. 1 5. 1 2. · 13 ·. 3 5. 丽. 1 10. 3 4. · 12 ·. 2 5. 丽. 3 20. 1 4. · 21 ·. 2 5. 丽. 1 20. 丳临.
(41) X. 串. 串. 串. 串. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PX|Y,Z · PY |Z · PZ. 1 2. · 23 ·. 3 5. 丽. 1 5. 1 2. · 12 ·. 2 5. 丽. 1 10. 1 4. · 13 ·. 3 5. 丽. 1 20. 3 4. · 12 ·. 2 5. 丽. 3 20. PY |X,Z · PX|Z · PZ. 4 5. ·. 5 12. ·. 3 5. 丽. 1 5. 2 5. · 58 ·. 2 5. 丽. 1 10. 1 5. ·. 5 12. ·. 3 5. 丽. 1 20. 3 5. · 58 ·. 2 5. 丽. 3 20. PY |X,Z · PZ|X · PX. 4 5. · 12 ·. 1 2. 丽. 1 5. 2 5. · 12 ·. 1 2. 丽. 1 10. 1 5. · 12 ·. 1 2. 丽. 1 20. 3 5. · 12 ·. 1 2. 丽. 3 20. PX|Y,Z · PZ|Y · PY. 1 2. · 23 ·. 3 5. 丽. 1 5. 1 2. · 13 ·. 3 5. 丽. 1 10. 1 4. · 12 ·. 2 5. 丽. 1 20. 3 4. · 12 ·. 2 5. 丽. 3 20. 政 治 大. 由上面表格可知條件分配PX|Y,Z 、PY |X,Z 、PZ|X 和PZ|Y 相容且聯合分配為：. X. 立. 丱. 丱. 丱. 串. 串. 丱. 丱. 串. 串. 丱. 丱. Z. 丱. 串. 丱. 串. 丱. PX,Y,Z. 1 5. 1 10. 3 20. 1 20. 1 5. 串. 串. 串. 串. 丱. 串. 1 10. ‧. Y. 串. 學. ‧ 國. 丱. 1 20. 3 20. y. Nat. al丱. 丱. n. 丱. 丱. 串. 串. er. io. X. sit. 例 2.8 丨不相容的例子丩考慮不對稱型條件分配PX|Y,Z 、PZ|X,Y 和PZ|Y 如下： 串. 串. 串. 串. 丱. 串. v n丱 i. Y. 丱. Z. 丱. C h串 串 丱 U e n g串 c h丱i 串 串 丱. PX|Y,Z. 3 5. 1 2. 3 4. 1 2. 2 5. 1 2. 1 4. 1 2. PZ|X,Y. 3 4. 1 4. 3 4. 1 4. 2 3. 1 3. 1 2. 1 2. 丱. Y. 丱. 丱. 串. 串. Z. 丱. 串. 丱. 串. PZ|Y. 3 4. 1 4. 2 3. 1 3. 首先，以特徵向量法由PX|Y,Z 和PZ|X,Y 求得PX|Y 和PZ|Y 。 由PX|Y,Z 可得丁11 和丁12 ，由PZ|X,Y 可得丁21 和丁22 丁11 丽 . 3 5. 1 2. 2 5. 1 2. , 丁12 丽 . 3 4. 1 2. 1 4. 1 2. , 丁21 丽 丳丵. 3 4. 2 3. 1 4. 1 3. . . , 丁22 丽 . 3 4. 1 2. 1 4. 1 2. .
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