二次曲線
精選例題 拋物線 例題1 空間中一直線 L : x = 0 y = t z = t , t ∈ R 繞 z 軸旋轉, 形成一直圓錐面, 則下列哪 一平面可使與此直圓錐面截交痕跡為橢圓? (1) z = 0 (2) z = 1 (3) y + z = 3 (4) y + 2z = 3 (5) 2y + z = 3 [Ans:4] 例題2 試判別下列方程式所表示的圖形: (a) x2 + 6xy + y2 − 10x − 14y + 9 = 0 (b) x2 − xy + y2 + x − y − 7 = 0 (c) x2 − 4xy + 5y2 + 2x − 8y + 5 = 0 (d) 2x2 + xy − y2 + 3x − 3y − 2 = 0 [Ans:a. 雙曲線 b. 橢圓 c. 一點 d. 兩相交直線] 例題3 一拋物線的頂點為 V (2, 3), 焦點 F (2, 4) 試求此拋物線方程式? [Ans:(x − 2)2 = 4(y − 3)] 例題4 拋物線 x2 + 2x − 4y + 5 − 0 上點 P 到直線 L : 3x + y + 12 = 0 的最短距離 為? 並求此點 P 坐標? [Ans: d = √10 10 , P(−7, 10)] 例題5 求拋物線 y2 = −16x 的頂點, 焦點, 準線與正焦弦長? [Ans: V (0, 0), F (−4, 0), L : x = 4, 4|c| = 16] 例題6 求焦點 F (1, 1) , 準線 L : x = 5 的拋物線方程式? [Ans: (y − 1)2 = −8(x − 3)] 橢圓 例題1 求焦點為 (4, 0), (−4, 0) , 長軸長為10的橢圓方程式? [Ans:x 2 25 + y2 9 = 1] 例題2 求橢圓 x 2 9 + y2 25 = 1的頂點, 焦點坐標與正焦弦長? [Ans: 長軸頂點 (0, 5), (0, −5) , 短軸頂點 (3, 0), (−3, 0), 焦點 (0, 4), (0, −4), 正焦弦長 185 ] 1https://sites.google.com/site/hysh4math · 例題3 求橢圓 x 2 25 + y 2 9 = 1 上一點 P 與兩焦點 F, F′所形成的 △P F F′ 的最大面積? [Ans:12] 例題4 求直線 x − 4y + 1 = 0 被橢圓 x 2 16 + y 2 9 = 1 所截出的線段長? [Ans: 9√17 5 ] 例題5 求橢圓 x 2 9 + y 2 4 = 1 上一點 P 與直線 L : x + 2y + 15 = 0 的最短距離? [Ans:2√5] 例題6 已知坐標平面上一動點 P 到點 (1, 0) 的距離等於它到直線 L : x − 4 = 0 之距 離的 1 2, 求動點 P 所形成的軌跡方程式? [Ans: x2 4 + y2 3 = 1] 雙曲線 例題1 求雙曲線 Γ : p (x − 2)2 + y2 −p(x + 2)2 + y2 = 2 的 (A) 焦點 (B) 中 心 (C) 貫軸長與共軛軸長 (D) 漸近線方程式 Ans:(A) (2, 0), (−2, 0) (B)(0, 0) (C) 2a = 2, 2b = 2√3 (D) √3x + y = 0,√3x − y = 0 例題2 求雙曲線 (x − 1) 2 9 − (y − 2) 2 4 = −1 的頂點, 焦點, 漸近線方程式, 共軛軸長? [Ans: 頂點 (1, 4), (1, 0), 焦點 (1, 2 +√13), (1, 2 −√13), 漸近線 2x − 3y + 4 = 0, 2x + 3y − 8 = 0, 共軛軸長6] 例題3 已知點 P 在以 F1(8, 0) 與 F2(2, 0) 為焦點的雙曲線上, 且 P F1 = 10, P F2 = 6 , 則下列有關此雙曲線的敘述哪些是正確的?(1) 中心為 (5, 0) (2) 貫軸長為 4 (3) 共軛軸長為 2√5 (4) 點 P 在雙曲線的左支 (5) 兩頂點的距離為 4 [Ans:1,2,3,4,5] 例題4 若雙曲線與 x 2 25 − y 2 16 = 1 有相同漸近線, 且通過點 (5, 8) , 求其方程式? Ans: x 2 75 − y 2 48 = −1 例題5 求漸近線為 y = 2x, y = −2x , 且通過點 (3, 8) 的雙曲線方程式? [Ans:y 2 28 − x2 7 = 1 ] 例題6 一動點 P 到點 (1, 0) 的距離等於它到直線 L : x − 4 = 0 的距離的2倍, 求動點 P 所成圖形的方程式? Ans: (x − 5) 2 4 − y2 12 = 1 例題7 已知一雙曲線的兩焦點為 (−4, 2), (2, 2), 貫軸長為4, 求此雙曲線的方程式? [Ans:(x + 1) 2 4 − (y − 2)2 5 = 1] · 2 · ∼順伯的窩 ∼
https://sites.google.com/site/hysh4math · 例題8 討論雙曲線 2x2 − y2 = 2 與直線 L : y = x + 1 的相交情形? [Ans: 交兩點 (−1, 0), (3, 4)] · 3 · ∼順伯的窩 ∼
