10- 平面向量
【84-1】坐標平面上兩直線之斜率分別為 3 及 3 1 ，則下列何者為其一交角？(A) 30 (B) 36 (C) 45 (D) 60 (E) 90 【解答】(A) 【詳解】 其一交角，則 | tan | 3 1 3 1 3 1 3 3 1 30或 150 【84-3】在四邊形 ABCD 中，A 120， AB1， AD 2，且 \ _____ AC 3 \ _____ AB 2 \ _____ AD ，則 AC 的長度為 。 【解答】 13 【詳解】 \ _____ AB ． \ _____ AD 1 2 cos 1201 | \ _____ AC | 2 \ _____ AC ． \ _____ AC (3 \ _____ AB 2 \ _____ AD )．(3 \ _____ AB 2 \ _____ AD ) 9 | \ _____ AB | 2 12 \ _____ AB ． \ _____ AD 4 | \ _____ AD | 2 9 12 16 13 | \ _____ AC | 13 【87】如下圖，ABCDEF 為一正六邊形。那麼下列向量內積中，何者最大？(A) \ _____ AB ． \ _____ AB (B) \ _____ AB ． \ _____ AC (C) \ _____ AB ． \ _____ AD (D) \ _____ AB ． \ _____ AE (E) \ _____ AB ． \ _____ AF 【解答】(B) 【詳解】 作圖如上： \ _____ AB ． \ _____ AB ABAB \ _____ AB ． \ _____ AC ABAG ， \ _____ AB ． \ _____ AD ABAB \ _____ AB ． \ _____ AE 0， \ _____ AB ． \ _____ AF ( ABAH ) 由上知 \ _____ AB ． \ _____ AC 最大，而 \ _____ AB ． \ _____ AF 最小，且 \ _____ AB ． \ _____ AB \ _____ AB ． \ _____ AD【89-1】如下圖所示，有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處，直朝位於港口的 東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛去，到達航標後即修正航向以便直線駛入港口。 試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度？（整數以下，四捨五入） 答： 。 【解答】45 【詳解】 \ _____ AB ( 25， 5)， \ _____ BO ( 2， 3) 利用內積 cos | | | | \ _____ \ _____ \ _____ \ _____ BO AB BO AB． 13 26 5 65 ． 2 65 65 2 1 ∴ 45 【89-2】在某海防觀測站的東方 12 海浬處有 A、B 兩艘船相會之後，A 船以每小時 12 海浬的 速度往南航行，B 船以每小時 3 海浬的速度向北航行。問幾小時後，觀測站及 A、B 兩船恰成一直角三角形？答： 小時。 【解答】2 【詳解】 如上圖，t 小時後， AD 12t， BD 3t ∵ AC2BC2AB 2 [(12t )2 122 ] [(3t ) 2 122] (12t 3t) 2 153t2 288 225t2 72t2 288 t2 4 t 2 【90】在坐標平面上，A(150，200)，B(146，203)，C( 4，3)，O(0，0)，則 下列選項何者為
真？(A)四邊形 ABCO 是一個平行四邊形 (B)四邊形 ABCO 是一個長方形
(C)四邊形 ABCO 的兩對角線互相垂直 (D)四邊形 ABCO 的對角線 AC 長度大於 251 (E)四邊形 ABCO 的面積為 1250 【解答】(A)(B)(E) 【詳解】 (A)AC 的中點為(73， 2 203 )， OB 的中點為(73， 2 203 )
∴ 四邊形 ABCO 對角線互相平分 ∴ ABCO 為平行四邊形 ∴ (A)真 (B) \ _____ OA ． \ _____ OC (150，200)．( 4，3) 0 ∴ \ _____ OA \ _____ OC ∴ ABCO 為矩形 ∴ (B)真 (C) \ _____ OC ． \ _____ AB ( 4，3)．( 4，3) 25 0 ∴ (C)不真
(D) AC OA2OC2 2502 52 251 ∴ (D)不真 (E) OA． OC 250．5 1250 ∴ (E)真
【91】如圖，下面哪一選項中的向量與另兩個向量 \ _____ PO 、 \ _____ QO 之和等於零向量？ (1) \ _____ AO (2) \ _____ BO (3) \ _____ CO (4) \ _____ DO (5) \ _____ EO 【解答】(3) 【詳解】 \ _____ PO (2，3)， \ _____ QO ( 5，2) PO_____\ \ _____ QO ( 3，5) 又 \ _____ AO (3， 2)， \ _____ BO (2， 3)， \ _____ CO (3， 5)， \ _____ DO (2， 6)， \ _____ EO (0， 5) 故選(3) 【92】設 ABC 為坐標平面上一三角形，P 為平面上一點且 \ _____ AP \ _____ 5 1 AB \ _____ 5 2 AC ， 面積 △ 面積 △ ABC ABP 等於(1) 5 1 (2) 4 1 (3) 5 2 (4) 2 1 (5) 3 2 【解答】(3) 【詳解】 \ _____ AP \ _____ 5 1 AB \ _____ 5 2 AC 5 1 ( \ _____ PB \ _____ PA ) 5 2 ( \ _____ PC \ _____ PA ) _____\ 5 2 PA \ _____ 5 1 PB \ _____ 5 2 PC 0 2 \ _____ PA \ _____ PB 2 \ _____ PC 0 ∴ △PBC：△PAC：△PAB 2：1：2 ABC ABP △ △ 5 2
【93】設△ABC 為平面上的一個三角形，P 為平面上一點且 \ _____ AP \ _____ 3 1 AB t \ _____ AC ，其中 t 為 一實數。試問下列哪一選項為 t 的最大範圍，使得 P 落在△ABC 的內部？ (1) 0 t 4 1 (2) 0 t 3 1 (3) 0 t 2 1 (4) 0 t 3 2 (5) 0 t 4 3 【解答】(4) 【詳解】 設點 G 為 AB 之三等分點，則 \ _____ AG \ _____ 3 1 AB 。 又過 G 作 GK // AC 交 BC 於點 K，則 \ _____ GP t \ _____ AC ∴ \ _____ AP \ _____ 3 1 AB t \ _____ AC \ _____ AG \ _____ GP (1)當點 P 在 AB 上時，t 0 (2)當點 P 在 BC 上時，t 3 1 1 t 3 2 ∵ 點 P 落在△ABC 中 ∴ P 在圖中 GK 上（不含 G 及 K），故 0 t 3 2 ，故選(4) 【94-1】如右圖所示，兩射線 OA 與 OB 交於 O 點，試問下列選項中 哪些向量的終點會 落在陰影區域內？ (1) +2 (2)3 4 + 1 3 (3) 3 4 － 1 3 (4) 3 4 + 1 5 (5) 3 4 － 1 5 【解答】(1)(2) 【詳解】 + 落在 AB 外陰影區域內 0 , 0 , 故選(1)(2) 1 【94-2】設 O 為坐標平面上的原點，P 點坐標為(2, 1)；若 A、B 分別是正 x-軸及正 y-軸上的 點，使得 ，則△OAB 面積的最大可能值為 。(化成最簡分數) 【解答】25 16
【詳解】 令A a( , 0) , (0, )B b (a 2, 1) , ( 2,b1) (a 2, 1) ( 2,b 1) 0 2a b 5 2 2 5 2 25 2 2 8 a b a b ab ab 1 25 25 2 2 8 16 ab OAB
【96-1】在坐標平面上的ABC 中，P 為BC¯¯¯¯¯¯ 邊之中點，Q 在AC¯¯¯¯¯¯ 邊上且AQ¯¯¯¯¯¯ =2QC¯¯¯¯¯¯ 。已知 PA ＝(4, 3)， PQ ＝(1, 5)，則 BC ＝( , )。 【解答】( 1, 12) 【詳解】 AQ = PQPA = (1, 5)(4, 3)=( 3, 2) AC = 2 3 AQ =( 2 9 , 3) 又 P 為BC邊之中點，AP = 2 1 ( AB + AC ) AB =2 APAC =( 8, 6)( 2 9 , 3)=( 2 7 , 9)， 故 BC = ACAB =( 1, 12) 【96-2】坐標平面上有相異兩點P、Q，其中 P 點坐標為 (s, t )。已知線段 PQ 的中垂線 L 的方程式為 3x4y=0，試問下列哪些選項是正確的？(1)向量 PQ 與向量(3,4)平行 (2) 線段PQ的長度等於 5 | 8 6 | s t (3) Q 點坐標為(t, s) (4) 過 Q 點與直線 L 平行 之直線必過點(s, t) (5) 以 O 表示原點，則向量 OP + OQ 與向量 PQ 的內積必為 0 【解答】(1)(2)(4)(5) 【詳解】 (1) n =(3,4)是直線 L：3x4y =0 的法向量 又向量 PQ 也是直線 L 的法向量 故向量 PQ 與向量 (3,4) 平行 (2) 線段PQ的長度 =2 d (P,L) =2 2 2 ) 4 ( 3 | 4 3 | t s = 5 | 8 6 | s t (3) 錯。P 與 Q 對稱於直線 L：3x4y=0 而點(t,s)與 P(s,t) 對稱於直線 y=x (4) P(s,t)與 R(s,t)對稱於原點 OPOQORPQR=90 故過 Q 點與直線 L 平行之直線必過點(s,t) (5) 設PQ與 L 相交於 M，則 OP +OQ=2OM 與 PQ 垂直，故內積=0
【96-3】坐標平面上有一質點沿方向 u =(1, 2)前進。現欲在此平面上置一直線L，使得此質點 碰到L 時依光學原理(入射角等於反射角)反射，之後沿方向 v =( 2, 1) 前進，則直線 L 的方向向量應為 w =( 1, ___)。 【解答】 w (1,3) 【詳解】 令直線L之方向向量 w (1, )k ，由圖可知，因入射角反射角， 所以 v ， w 的夾角 u ， w 的夾角，cos | || | | || | v w u w v w u w 2 1 2 5 | | 5 | | k k w w k 3，故 w (1,3)。 【98】坐標平面上有四點O(0, 0)，A( 3, 5) ，B(6, 0)，C x y( , )。今有一質點在O點沿 AO 方向 前進 AO 距離後停在P，再沿 BP 方向前進 2BP 距離後停在 Q 。假設此質點繼續沿 CQ 方向前進3CQ距離後回到原點O，則 ( , )x y ____________。 【解答】C( 4, 20) 【詳解】 (3,5) OP AO 得P(3,5)， 2 2( 3,5) ( 6,10) PQ BP 得Q( 3,15) ， 3 QO CQ，知 (3, 15) 3CQ ，CQ(1, 5) 得C( 4, 20) 。 【99-1】坐標平面上給定兩點A(1,0)與 B(0,1) ，又考慮另外三點 P(,1), Q( 3,6)與 R(2,log 32 )。令△PAB 的面積為 p，△QAB 的面積為 q，△RAB 的面積為 r。 4 請問下列哪一個選項是正確的？ (1) p < q < r (2) p < r < q (3) q < p < r (4) q < r < p (5) r < q < p。 【解答】(1) 【詳解】 ( 1,1) AB ，AP( 1,1)，AQ ( 3 1, 6) ， (1, )5 2 AR 1| 1 1| 1.57 1 1 2 2 p ， 1 1 1 5 3 | | 1.634 2 3 1 6 2 q
1 1 1 7 | 5 | 1.75 2 1 4 2 r ∴p q r 【99-2】坐標平面上有一個平行四邊形ABCD，其中點 A 的坐標為(2,1) ，點 B 的坐標為(8,2)， 點C 在第一象限且知其 x 坐標為 12 。若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位， 則點D 的坐標為________。 【解答】 (6,8)D 【詳解】 ∵AB(6,1) ∴DC(6,1)，又 C 之 x 坐標為 12 ∴D 之 x 坐標為 6 ∴令 (12, )C y ，D(6,y1)，則AC(10,y1) ∵1| 6 1 | 19 9 10 1 2 y y 或 11 3 （不合） ∴D(6,8) 【100】坐標平面中，向量 w 與向量 v (2, 5)互相垂直且等長。請問下列哪些選項是正 確的？(1)向量 w 必為(5,2)或( 5, 2) (2)向量 v w 與 v w等長 (3)向量 v w 與 w 的夾角可能為 135° (4)若向量 u a v b w，其中a, b 為實數，則向量 u 的長度為 a2b2 (5)若向量 (1, 0) c v d w ，其中c, d 為實數，則c0。 【解答】(1)(2)(5) 【詳解】 (1) ○， w v 0且| w || v |。 (2) ○，如圖，正方形對角線等長。 (3) ╳，同(2)，夾角是 45°。 (4) ╳，| u |2|a v b w|2|a v |2 |b w |2a2| v |2 b2| w |29(a2b2) u 的長度3 a2b2 。 (5) ○，(1, 0) 2 5 1 5 2 0 c d c v d w c d ，得 2 9 c ，或 2 5 1 5 2 0 c d c d ，得 2 9 c 。
【101-1】設點A(2, 2)、B(4, 8)為坐標平面上兩點，且點 C 在二次函數 1 2 2 y x 的圖形上變動。 當C 點的 x 坐標為 時，內積 AB AC． 有最小值 。 【解答】1、3 【詳解】 C 點在 1 2 2 y x 上，故令 1 2 ( , ) ( , ) 2 C x y t t 。 已知 A(2, 2)，B(4, 8)，代入內積， 2 2 2 2 1 (6, 6) ( 2, 2) 6 12 3 12 3( 2 ) 3( 1) 3 2 AB AC． ．t t t t t t t ， 故當x t 1時， AB AC． 有最小值3。 【101-2】小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來 尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天樞與北極星的距 離為天樞與天璇距離的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面，其中天璇 的坐標為(9, 8)及天樞的坐標為(7, 11)。依上述資訊可以推得北極星的坐標 為 。 【解答】(3, 26) 【詳解】 如圖所示， 設 A 點：天璇，B 點：天樞，C 點：北極星， 則 A(9, 8)，B(7, 11)。 已知 A，B，C 三點共線，且BC 5AB， 依題意列式 5 (7, 11) 5(7 9, 11 8) ( 3, 26) C B AB 。 【102】坐標平面中A a( ,3), (16, ), (19,12)B b C 三點共線。已知C不在A B, 之間，且AC BC: 3:1， 則a b 。 【解答】19 【詳解】∵C 不在 A﹐B 之間且AC BC: 3:1﹐∴AB BC: 2 :1﹐ 由分點公式得(16, ) (1 2 19 1 3 2 12, ) 3 3 a b 38 (16, ) ( , 9) 3 a b a10﹐b9﹐∴a b 19﹒
