Fermat 小定理
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*108.01.14
∼ 108.01.19
藉 Fermat 小定理的大名，欣賞幾個數論和群論的基本定理。
1.
初步介紹
如果我們看到符號 p，都表示是一個質數。 (1) Fermat 小定理：若 (a, p) = 1，則 ap−1 ≡ 1 mod p (1) 例如：24 = 16≡ 1 mod 5。 (2) Wilson 定理： (p− 1)! ≡ −1 mod p (2) 例如：(5− 1)! = 24 ≡ −1 mod 5。 (3) Euler 定理：若 (a, k) = 1，則 aϕ(k) ≡ 1 mod k (3) 例如：2ϕ(5) = 24 = 16≡ 1 mod 5，其中 ϕ(5) 表示小於 5 且和 5 互質的個數，因此 ϕ(5) = 4。 可見得 Fermat 小定理是 Euler 定理的特例 (不過，其道理應該是一樣的)。2.
互質的表現定理
我們先介紹一個關鍵定理： 【互質的表現定理】：若 (a, k) = 1，則可以找到一組整數 m, n 使得 ma + nk = 1 (4) 這也表示 ma≡ 1 mod k (5) 兩數互質是一個概念，但是沒有辦法拿來操作，而當我們有 ma + nk = 1 這一個表現式時， 就可以利用這一個式子做數學推導，因此我們稱其為表現式。 例如 (2, 5) = 1，我們有 2· 3 + (−1) · 5 = 1。3.
互質之表現定理的應用
設 a 是一個正整數介在 1∼ p − 1 之間，即 a = 1, 2, 3 · · · 或 p − 1，利用互質的表現定理，我們 可以找到一個正整數 m 也介在 1∼ p − 1 之間，使得 ma≡ 1 mod p (6) 這可以分成三種情形討論： (1) 設 a = 1，則取 m = 1，可得 1· 1 ≡ 1 mod p。 (2) 設 a = p− 1，則取 m = p − 1，可得 (p − 1)(p − 1) ≡ (−1)(−1) = 1 mod p。 (3) 設 a = 2, 3,· · · 或 p − 2。由表現定理可知存在一數 m 使得 ma ≡ 1 mod p，當然 1 ≤ m ≤ p − 1。再多看一點，m 不會是 1，當然也不會是 p − 1，同時，m 也不會是 a(因為 a2− 1 = (a − 1)(a + 1)，不會是 p 的倍數)。 由上面的討論，我們得到下的結論： (1) 1· 1 ≡ 1 mod p，(p − 1)(p − 1) ≡ 1 mod p。 (2) 若 a 介在 2 ∼ p − 2 之間，則可以找到另一個介在 2 ∼ p − 2 之間且異於 a 的整數 m，使得 ma≡ 1 mod p。4.
Wilson 定理
我們先研究 Wilson 定理： (p− 1)! ≡ −1 mod p (7) 這一個定理實在是很迷人，不僅因為式子的樣子很可愛，同時當 p 是一個大一點的數，(p− 1)! 會 變得很大且不容易計算，所以要驗證 (p− 1)! ≡ −1 mod p 並不是一個很簡單的事情。我們觀察 兩個例子。 (1) 計算可得 7|(6! + 1) = 721，因此 (7 − 1)! ≡ −1 mod 7。多一點觀察：(7− 1)! ≡ −1 mod 7 ⇐⇒ 6! ≡ 6 mod 7 ⇐⇒ 5! ≡ 1 mod 7
又 5! = 1· 2 · 3 · 4 · 5 = 1 · (2 · 4) · (3 · 5) ≡ 1 · 1 · 1 mod 7 (2) 觀察 10! = 1· 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 1 · 10 · (2 · 6)(3 · 4)(5 · 9)(7 · 8) ≡ 1 · (−1) · 1 · 1 · 1 · 1 mod 11 透過上面的觀察，可以了解為何 Wilson 定理是正確的嗎？ 【證明 Wilson 定理】： (p− 1)! = (p − 1) · 1 · (2 · m2)(3· m3)· · · 1 ≡ (−1) · 1 · 1 · · · 1 mod p (8) 其中 m2, m3, ma就是和 2, 3, a 配對的數，由表現定理的應用我們知道，m2 ̸= 2, m3 ̸= 3， 且 ma̸= a。(當然，mi ̸= mj 嗎？請自行驗證。)
5.
Wilson 定理的延伸
我們想知道，Wilson 定理帶給我們什麼其他的收穫。結論是：我們得到乘法群 (Zp∗,·) (簡單記為 Zp∗)。 所謂的 Zp∗指的是集合{1, 2, 3, · · · , p − 1}，有同餘 p 的乘法運算，怎知道同餘 p 的運算在 Zp∗ 上，會使得 Zp∗是一個群呢？關於群要檢查四件事： (1) 封閉性：正確。 (2) 結合律：正確。 (3) 單位元素：就是 1。 (4) 反元素：由表現定理的應用可知：1, 2,· · · , p − 1 都有反元素。且除了 1 和 p − 1 的反元素是 自己之外，其他元素都有反元素，且與其反元素均不相同。 由此可知：Wilson 定理就是在表現 Zp∗中反元素的性質。
6.
Lagrange 定理
在群論中有一個基本的定理： 【Lagrange 定理】：設 G 是一個有限群，H 是 G 的一個子群，g 是 G 中的一個元素，則 (1)◦(H)| ◦ (G)。 (2) g◦(G) = 1。 上面的◦(G), ◦(H) 表示 G, H 中的元素個數。 這一個定理看起來非常自然：子群的元素個數整除母群的元素個數，隱隱含含的說明，有限群 的結構和整數的因數分解之間有很密切的關係。 現在我們來證明 Lagrange 定理是正確的。 【證明】：設 H 是 G 的子群，考慮所有的集合 gH，其中 g ∈ G。若 g1, g2 ̸∈ H，可以得到： (1) g1H = g2H或 g1H∩ g2H =∅。 (2)◦(g1H) = ◦(g2H) =◦(H)。 有上面的結果，我們就把 G 分割成元素個數和 H 一樣的子集合的一組【分割】，也因此 ◦(H)| ◦ (G)。如下圖所示： 於是我們可以考慮元素個數為 k 的【循環子群】(g) = {g, g2,· · · , gk = 1}，由前面的結果可 知：k| ◦ (G)，並可得 g◦(G) = (gk)◦(G)k = 1 (9) 上面的證明顯然有一些細節待補充，我們留給讀者自行完成。7.
兩個關於 Fermat 小定理的例子
利用二項式定理，我們了解 Fermat 小定理為： ap−1 ≡ 1 mod p ⇐⇒ rp−1 ≡ 1 mod p (10) 其中 r 是 a 除以 p 的餘數。底下我們取 p = 7 和 p = 11 來觀察一下 Fermat 小定理。 (I) p = 7： 研究 Fermat 小定理只要討論 a = 1, 2, 3, 4, 5, 6 六種情形即可： (1) S1 ={11, 12, 13, 14, 15, 16} mod 7 ={1}。 (2) S2 ={21, 22, 23, 24, 25, 26} mod 7 ={2, 4, 8, 16, 32, 64} mod 7 ={2, 4, 1, 2, 4, 1} = {2, 4, 1}。 (3) S3 ={31, 32, 33, 34, 35, 36} mod 7 ={3, 2, 6, 4, 5, 1}。 (4) S4 ={41, 42, 43, 44, 45, 46} mod 7 ={4, 2, 1, 4, 2, 1} = {4, 2, 1}。 (5) S5 ={51, 52, 53, 54, 55, 56} mod 7 ={5, 4, 6, 2, 3, 1}。 (6) S6 ={61, 62, 63, 64, 65, 66} mod 7 ={6, 1, 6, 1, 6, 1} = {6, 1}。 Fermat 小定理說的是每一個集合【最後一個元素都是 1】，只要碰到 1，就進入循環的狀態，六種 情形中，循環節的長度有 1,2,3,6 四種情形，都是 6 的因數。 將上面的情形用群 Z7∗ 來觀察： {1} ≺ {1, 6} ≺ {3, 2, 6, 4, 2, 1} = {5, 4, 6, 2, 3, 1} {1} ≺ {4, 2, 1} = {2, 4, 1} ≺ {3, 2, 6, 4, 2, 1} = {5, 4, 6, 2, 3, 1} 即有 lattice： S1 ≺ S6 ≺ S3 = S5 S1 ≺ S2 = S4 ≺ S3 = S5 (II) p = 11：需討論 a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 十種情形，即： (1) S1 ={11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 110} mod 11 ={1}。 (2) S2 ={21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210} mod 11 ={2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1}。 (3) S3 ={31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 310} mod 11 ={3, 9, 5, 4, 1}。 (4) S4 ={41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 410} mod 11 ={4, 5, 9, 3, 1}。 (5) S5 ={51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 510} mod 11 ={5, 3, 4, 9, 1}。 (6) S6 ={61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 610} mod 11 ={6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1}。 (7) S7 ={7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1}。 (8) S8 ={8, 9, 5, 7, 1}。 (9) S9 ={9, 7, 8, 5, 1}。 (10) S10={10, 1}。用群 Z11∗ 來觀察： {1} ≺ {1, 10} ≺ {2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1} = {6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1} = {7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1} {1} ≺ {3, 9, 5, 4, 1} = {4, 5, 9, 3, 1} = {5, 3, 4, 9, 1} = {8, 9, 5, 7, 1} = {9, 7, 8, 5, 1} ≺ {2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1} = {6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1} = {7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1} 即有 lattice： S1 ≺ S10≺ S2 = S6 = S7 S1 ≺ S3 = S4 = S5 = S8 = S9 ≺ S2 = S6 = S7 從上面這兩個例子，我們看到： (1) 乘法群：G = Zp∗ ={1, 2, 3, · · · , p − 1} 。 (2) Lagrange 定理：若 H 是 Zp∗ 的子群，則◦(H) 整除 p − 1。
(3) Lagrange 定理：r◦(G)是單位元素，即 ap−1 ≡ rp−1 ≡ 1 mod p，這也就是 Fermat 小定理。 因此，當我們證明了 Lagrange 定理，就等於已經證明了費馬小定理。
8.
常見的 Fermat 小定理的證明
【Fermat 小定理】：設 p 是質數，且 (a, p) = 1，則 ap−1 ≡ 1 mod p (11) 證明：觀察兩個集合： S = {1, 2, 3, · · · , p − 1} 與 aS = {a · 1, a · 2, · · · , a(p − 1)} 把集合 aS 內的元素作 mod p 的動作，會將 aS 變成 S。即 aS mod p = S (為什麼？) 於是可得 a· (a · 2) · (a · 3) · · · (a(p − 1)) ≡ 1 · 2 · 3 · · · (p − 1) mod p (12) 即 ap−1(p− 1)! ≡ (p − 1)! mod p然後兩邊約去 (p− 1)!，即可得到 ap−1 ≡ 1 mod p (13) 想一下：這一個證明方法和 Lagrange 定理有何關係呢？
9.
Euler 定理
Euler 把 Fermat 小定理推廣如下： 【Euler 定理】：若 (a, k) = 1，則 aϕ(k) ≡ 1 mod k (14) 其中 ϕ(k) 是 Euler 函數，其值為所有小於 k，且與 k 互質的正整數的個數。 例如：ϕ(5) = 4，2ϕ(5)= 24 = 16≡ 1 mod 5。 例如：ϕ(6) = 2，5ϕ(6)= 52 = 25≡ 1 mod 6。 顯然 Fermat 小定理是 Euler 定理的一種特殊情形。 【證明】：同樣的，討論 r 是介在 1 ∼ k − 1 之間和 k 互質的數即可。 由互質的表現定理可知：{r1 , r2,· · · , rϕ(k)−1} 形成一個乘法群。於是，由 Lagrange 定理可知： rϕ(k)−1 ≡ 1 mod k。 如果你仔細完成證明，會發現有一些細節得補上去，請讀者自行補足。10.
討論
Fermat 小定理、Wilson 定理、Euler 定理都是數論裡的重要定理，從上面的討論，我們發現它們 和群論的基本定理是等價的。 互質的表現定理，讓我們了解群 Zp∗ 中之反元素的性質，進而看到 Wilson 定理，同時 Fermat 小定理 (Euler 定理) 就是 Lagrange 定理，能將這些內容串起來是一件令人開心的事情。 證明 Fermat 小定理還有其他有趣的看法，讀者可以上網搜尋。
