4-3-1機率與統計(I)-機率

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(1)第四冊 3-1 機率與統計(I)-機率【定義】 1. 隨機試驗：可重複的隨機現象，簡稱試驗。 2. 樣本點：在一試驗中，每個可能的結果稱為一個樣本點。 3. 樣本空間(sample space)：樣本點的全體構成一個樣本空間，以 U 表示。 4. 事件(event)：試驗中，符合某個條件的所有可能結果形成此試驗的一事件，當樣本空間以集合表示時，任一事件都是它的部分集合，一般以大寫英文字母 A, B, E 等表示。不含任何元素的事件稱為空事件。 5. 事件發生：若事件 A 以集合表示時，當試驗的結果是集合 A 的一元素時，稱事件 A 發生；否則稱事件 A 不發生。 6. 設 A, B 為事件，則 (1) 全事件：樣本空間 U 本身也是事件，稱為全事件。 (2) 空事件(empty set)：空集合 φ 也是事件，稱為空事件。 (3) 差事件：事件 A 扣除事件 B 的差事件以 A − B 表示。 (4) 餘事件： A' = U − A 為 A 的餘事件。 (5) 積事件：由事件 A 與事件 B 的所共有的樣本點所構成的事件稱為事件 A 與事件 B 的積事件，記為 A ∩ B 。 (6) 和事件：由事件 A 與事件 B 的所有樣本點所構成的事件稱為事件 A 與事件 B 的和事件，記為 A ∪ B 。 (7) 互斥(disjoint)事件： A ∩ B = φ 時， A 與 B 為互斥事件。 7. 機率：試驗中，某一事件發生的可能性大小，即此事件發生的強度，其值在 0 與 1之間，就是此事件發生的機率，可利用重複試驗估計其值。【性質】 1. 機率的基本性質：設一試驗的樣本空間為 S ，對任一事件 A ，給定一個實數 P ( A) 為事件 A 發生的機率，它有三個基本性質： (1) 非負數： P ( A) ≥ 0 。 (2) 標準化： P ( S ) = 1 。 (3) 加法性：若 A, B 為互斥事件，則 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) 。 2. 機率的性質：設 U 為試驗的樣本空間， A, B 為兩事件，則 (1) 若 A ⊂ B ，則 P ( A) ⊂ P ( B ) 。 (2) P ( A' ) = 1 − P ( A) 。 (3) P ( A − B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) 。 (4) 機率排容原理： P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) 。 (5) P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) + P ( B ∩ C ) + P(C ∩ A) + P( A ∩ B ∩ C ) 。 (6) P (φ ) = 0 。第四冊第三章. 機率與統計(I) — P1.

(2) 【問題】 1. 樣本空間一定有限個？ 2. 試列出擲一硬幣直到出現正面為止的樣本空間？ 3. 試列出擲兩硬幣，出現正反面的樣本空間？ 4. 試列出擲一硬幣兩次，出現正反面的樣本空間？ 5. 試列出擲兩骰子，點數的樣本空間？ 6. 試列出擲一骰子兩次，點數的樣本空間？ 7. 樣本空間內的元素，機率是否相同？何種樣本空間較佳？ 8. 丟一硬幣 3 次的實驗裡，共有多少個不同的事件？ 9. 一個袋中有編號 1,2,3,4,5 的 5 個球，小明從袋中抽球 2 次，每次抽出一球，且每次取球後放回，寫出此實驗的樣本空間。 10. 一個袋中有編號 1,2,3,4,5 的 5 個球，小明從袋中抽球 2 次，每次抽出一球，且每次取球後不放回，寫出此實驗的樣本空間。 11. 一個袋中有編號 1,2,3,4,5 的 5 個球，小明從袋中同時抽出兩球，寫出此實驗的樣本空間。 12. P ( A) = 1 ⇒ A = U ？ 13. P ( A) = 0 ⇒ A = φ ？ 14. 袋中有 n 張籤條，其中 r 張有獎 (1 ≤ r ≤ n) ，今自袋中一次抽一張，求下列事件機率？(分放回及不放回討論) (1)取一次，第一球中籤的機率？ (2)取兩次，第二球中籤的機率？ (3)取 k 次，第 k 球中籤的機率？. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P2.

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