圓形載流線圍的磁場與電廠

(1)

圓形載流線圍的磁場與電廠

徐國誠薑北市立成淵高級中學畫、前言圓形載流線國的磁效應是大家所熟知的問題，也是高中物理教材和普通物理教科書上必然講到的內容。不過通常所討論的，只是利用必歐﹒沙伐定律 (Biot-Savart law) 和簡單的對稱計算出圓形載流線圈中心軸上的磁場;或者是利用球坐標先算出向量勢

( vector potential)

，再利用向量勢的旋度求出追距離的磁場(Jackson 1998) 。本文所討

論的內容，是以直角坐標系和必歐﹒沙伐定律為出發點，利用數值積分(

numerical

integration) 的方式，計算出線圈中心軸上任一點的磁場，以及中心軸之外的磁場狀況，另外還討論了圓線圈之間的自廠應(

self

induction) 與互廠應 (mutual induction) 等問

題。

貳、圓形都流線圈附近的磁場

必歐﹒沙伐定律或是安培定律(Ampere' slaw) 都可以處理極為對稱之電流所產生的磁場，圓形載流線圈中心軸上的磁場便是其中之一，而圖1 就是利用必歐﹒沙伐定律和簡單的對稱所求出的磁場強度(

Halliday 2004) :

μoiR

2 a

B(z)=

U

=ζ巳﹒一一一-2(R 2

+

Z2

)312

2R

[I

+

(z

I

R)2 ]312

困線圈中心軸 (z) 上的磁場強度 Bz<些~)

• '2R

1.0

、 1/ •• A /'‘、

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

~ I I I I I

---,

z/

R

-3.0

-2.0

-1.0

0

1.0

2.0

3.0

圖卜圓形載流線圈中心軸土的磁場強度

(2)

科學教育月刊第 347 期中華民國 -0 一年四月如果我們要求出線圈附近任意點 P 內，只 z) 的磁場，其計算情形便複雜許多。我們將半徑為 R 、電流為 i 的圓線圈放置在 xy 平面上，線圈的中心為坐標的原點，如圖 2 所示。由必歐﹒沙伐定律我們知道，線圈上一小段長度

d£(R

cos

B

,

R

sinθ，0) 的電流，在 P 點所產生的磁場 dB 為

dB= μo id£

x

r

4

1l"

r

3

(2)

其中 r= 廿一 Reo闕， y-Rsinθ， z)

,

d£=(一Rsin θdθ， Rcos θdθ，0) ，因此我們可以計算 dB 為

dB= 主旦旦.

[zcosθ， zsinB， R 一 (xcosθ+ ysinθ)] 2dθ

(3)

4

1l"

[x 2

+ y2 +z2

+R

2

一

2R(xcosθ+ ysinθ)]3/

又因為團線圈對稱z 軸，因此可以在xy 平面上任取一直徑方向計算其磁場的變他，在此我們取 x 軸而令 y =

0

(這樣是方便的做法，也就是把圖 2 中的 P 點，其投影在 xy 平面上的位置正好落在 x 軸，事實上由於對稱的關條，取任何一軸所得的結果都是相同的)。由此假設得出磁場在三個軸上的分量分別為

B

μ改.

r

2

11" zcosθdθ 一 x

4

1l"

Jo

[X2 +z2+R2-2Rx cos θ]

3/2

B..

=

PO改.

r

2

11"

zs~nθdθ

一一 -y

4

1l"

Jo

[x2 +z2+R2

一

2Rx cosθ]

3/2

B

_μoiR.

r

2 11" (R-xcos θ)dθ 一一

-4

1l"

Jo

[x 2

+ z2

+ 昕一 2Rx cosθ]

3/2

Z

x

y

(4.1 )

(4.2 )

(4.3 )

國 2 、圓綠圍在必歐-沙伐定律中的坐標示意圖

(3)

圓形載流線圓的磁場與電"

(4.1

)式至 (4.3 )式就是計算圓形載流線圈周圍附近磁場的方程式，但是實際的積分並不容易做，因此我們藉助數值積分中的辛普森法則(

Simpson'

s rule '

Hughes-Hallett 2008

)的方式，加以適當的誤差控制，利用電腦作大量且重複性的計算。圖 3 是假設線圈半徑R

=

1 公足，電流 i

=

1 安堵， xy 平面上在 x 軸的磁場變化，其絕對

誤差取至 10-

10

_{[1]以下，其中 Bx 、 By 皆為零(因為 z}

₌

_{0 的關條)。圈中在線圈範圍內}

之磁場的最小值剛好在線國的中心處，其值大約為 6.28 x

10 -

7 T' 這個值也可以由第(1) 式中令 z

=

0 得之;另外在靠近導線衰面位置(大約在 x=± 1m 處)時的磁場會達到最大，而線圈內與線圈外的磁場是反向的。事實上，圖 3 的磁場與 x 關你曲線的形狀，與兩條相距 2R' 且具等量且相反方向電流 i 的平行無限長直導線，所產生的磁場情況相類似。圖 4 是兩條電流為 i 的平行長直導線，位置坐標在 xz 平面上分別為 (

-R

,

0) 與 (R ，

0)

，在 x 軸上任一點 p

(x

,

0) 的磁場為

μ。iμ。i

μ。iR

B= 一一一一一一-+一一一一---一--一一一

2π(R

+

x)

2π(R-x)

π(R

2

_x

2)

(5)

\、

山/

、\

_f

1.5

3.0

0.0 -1.5

B

_r(

1O-

6

T)

4.5 -3.0

-4.5

-2.0

-1.0

o

1.0 x(m)

2.0

圖 3 、綠圈半徑 R

=

1m' 電流 i= lA ，砂平面土在 x 軸的磁場變化，其絕對誤差取至 10-10 以下

z

E

x

(R,

0)

國 4 、兩條相距 2R' 具等量且相反方向電流i 的平行無限長直導線，導線的位置坐標在 xz 平面土分別為 (-R， O) 與 (R，

0)

(4)

科學教育月刊第 347 期中華民國一。一年四月從第 (5) 式我們可以得到兩條平行長直導線之磁場的一般式，假設電流 i

=

1 安培， R=l 公足，則其磁場與 x 的關係曲線如圖 5 。圖 5 中的虛線是兩條平行長直導線的磁場，實線是圓形線圈的磁場，其中 2R 在平行直導線為兩導線間的距離，在圓線圈則是線圈的直徑。

、

_---

J'

~--、

f1--1.5

B

_z(

1O-

6

T)

4.5

0.0

1.5

3.0 -3.0

-4.5I I

.

I I I I I

.

I I

x(m)

-2.0

-1.0

0

1.0

2.0

圖 5 、 i

=

1A '

R

=

1m 之兩條平行長直導緣與國線圈所產生的磁場。圍中虛線是兩條平行長直導線的磁場，實線是圓形線圈的磁場，其中 2R 在平行直導線為兩導線間的距離，在國線圈則是線團的直徑圖 5 中的曲線雖然有些類似，不過其中仍然存在著基本上的差異。首先是在 -R ~

R

的範圍內(例子中是 -1m ~ 1m 之間) ，圓線圈所產生的磁場始終大於兩條平行直導線的磁場，這意味著一條無限長的直導線在磁場上的影響力，還不如用一條長度為 ;rR 的導線彎成半圓形的情況。另外在 x

<

-R 或 x>R 的範圍時，兩條平行直導線所產生的磁場大小就會大於圓線圈的磁場大小'這就是說，當距離比較壇的時候，無限長的直導線在磁場上的影響力才會大於圓線圈。前面所計算圓線圈磁場的例子是在 xy 平面上，所以 B

_x

、 By 皆為零，不過我們可能對於不在 xy 平面上的某一點的磁場風興趣。圖 6 是計算圓線圈當 z :;t: O 的時候，其磁場在 x 軸的變化情形。其中圖( A)是 z= O.lm 時在 x 軸上的磁場與 x 坐標的關條曲線:

Bx-x

圖、 B

_z

-x 圖，圖 (B) 和圖 (C) 為 z= 0.5m 、 z = 1. 0m 時的磁場與 x 坐標的關條曲線，其中 R 和 i 仍為 1 公足與 1 安培，絕對誤差取至 10 一 II 以下。由圖 6 我們不難發現，當鎖定的 P 點離 xy 平面愈擅時 (z 愈大) ，其磁場的曲線會愈平滑，而 B

_z

在 x = 0 處的變他，也由原先凹下去的情形，轉變為曲線的最高峰。另外圍 6 中並沒有出現丸，是因為

(4.2

)式的積分始終為零的關像。

(5)

A

111~

R

\

./

_,I'

!，~

'

，、

'

...

荒、

/

...

~

_/

1BHS

,

v

目， II'

(A)

B

(1O-

6

T)

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 -0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-3.0

-2.0

-1.0

O

圓形載流線圓的磁場與電-.i\

x(m)

1.0

2.0

3.0

/

_『、

/

、

B

_z

I

_,',

_'‘‘,

_、

、

'

、

_、

'

/

',

BY

l\

又

、--/

_'

_、‘

---'

、

_、

_''

、

_、

_,'

~，

(B)

B

(1O-

7

_T)

5.0

4.0

3.0 2.。

1.0

0.0 -1.0

-2.0

-3.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

O

1.0

2.0 x(m)

3.0 / "

h

、

/

\

M

\

“.

BzJ

_'

_{\ \}

'

/

"

Bx

_\

、 .、

---.‘

_、

,'

自

'

、

_、

_'

'',

'

、‘

...

.

'

(C)

B

(1O -

7

T)

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 -0.5

-1.0

-1.5

-3.0

-2.0

-1.0

o

1.0 1.82.0

x(m)

圖 ₆ _、_(A)

_z

=

O.lm ; (B)

z

=

0.5m ; (C)

z

= 1.0m 時團綠圍的磁場與 x 坐標的關條曲線:

B

_x

-x

圖、

B

_z

-x

圈，其中

R

和

i 仍為

1m

與

lA

，絕對誤差取豆

10 -

11

_以下

(6)

科學教育月刊第 347 期中華民國一。一年四月

參、單一團線國的自嵐應

線圈中的電流若發生改變，由法拉第厲應定律(

Faraday's law of

induction) 可以知

道，在同一線圈中會產生國應電動勢，這個現象稱為自國應;而國應電動勢的大小與線圈磁通量仇(

magnetic

flux) 的時變率成正比，此磁通量之值在國應現象中是極為重要的特性量。假如一線圈附近沒有磁性物質，則磁通量就與線圈中的電流成正比，即

N¢B

=Li

(6)

上式中的 N 為線圈的區數，比例常數L 即稱為該線圈的電廠(inductance) 。因為線圈面上的磁場只有z 方向(第 (4.3 )式)不為零，且團總圈呈現z 軸對稱，因此可以在圓線圈面上取一極小的面積單元dS= 訪站，在這個面積單元裡的磁通量

d¢B

=B

_z ·21t 站，而磁通量對 x 的積分上限為 R

-

a

' 此處的 a 為導線的截面半徑(導線內部也有磁過量，不過我們可以假設導線的截面半徑 a 遺小於線圈的半徑 R· 因此導線內部的磁過量對整體的磁通量影響並不大)。若線圈的區數 N= I· 由第 (4.3 )式與第 (6) 式可以得到單一圓線國的電廠為 N

•

f.J

oR

r

R- a

r

21T _{x(R-x ∞sθ)} L=:...:..:!:..立=斗一 I I 呵呵勻，司 dθ dx

(7)

i

2 扣扣 [x'"

+R'"

-2 Rx ∞sθ] 叫

/

/ '

/

凶，而上式的積分裡顯示線園的電廠與電流的大小 i 並沒有關條，只跟線園的幾何形狀 (半徑)有關。要計算第 (7) 式中的電廠值，我們仍然應用數值積分中的辛普森法則。圖 7 是假設導線的截面半徑 a

=

Imm' 所得到電廠 L 與總闡半徑 R 的關條曲線，其中數值計算的絕對誤差取至 10

-

8 以下。圖中曲線很接近一條直線，也就是說單一團線圈的電國與線圈半徑之間，幾乎是一次方正比的關像。

L(

10

-5

H)

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5 L...-行

I

_R(m)

。 1.0

2.0

3.0

圖 7 、單一圓綠圓的電居民 L 與線圈半徑 R 之關條曲線，其中導線的截面半徑為 Imm' 絕對誤差取至 10

-

8 以下

(7)

圓形載流線圓的磁場與電~

肆、兩組團線圍之間的互 a.

兩組緊密纏繞團線圈之間的互國應比較複雜，不過為了方便計算，在此假設兩組圓線圈共同一條中心軸且線圈平面互相平行的對稱情況，如圖 8 所示，其中兩組線圈之間的臣離為 Zo 。如果流過第一組線圈的電流為 ii' 而在第二組線圈上所產生的磁通量為tP21' 假如這二組線圈附近沒有磁性物質，則磁適量與電流之間的關係為

N

2

tP2

1=

M

21

i

l

(8)

Z

_O

y

圖 8 、共同一條中心軸且線圈平面互相平行的兩組團線圈之相對位置圈，其中兩組線圈之間的距離為 Z 0 第 (8) 式中 N

₂

為第二組線圈的總臣數，而比例常數 M

₂₁

即稱為該二組線圈間的互

國 (

mutual

inductance) 。與電廠相同，互國M

₂₁

的大小，與第一組線圈的電流i I 無關，

只與 R

₁

、 R

₂

、 Zo 和兩組線圈的匣數等幾何狀態有關。當然若是因為第二組線園的電流i

₂

在第一組線圈(線圈總匣數為N

₁

) 上所產生的互國 M

₁₂

也可以寫成以下形式

N

_l

tA

2=

M

₁₂

i

2

( 9)

而 M

_I2

的大小，亦與i

₂

無關，只與N

_I

、 N

₂

、 R

_I

、 R

₂

和 z。有關而已。事實上， M

₂₁

與

M

_I2

是相同的，也就是M

₂₁

=

M

12

=

M' 我們從以下的數值計算便可以發現這項事實。由於第二組線圈面的法向量為 z 軸的方向，因此在計算也 l 時，只需考慮第一組線圈的電流在第二組線圈面上所產生磁場的 z 分量 Biz 即可。由 (4.3 )式可以知道 Biz 為

r

21r

_(R

I-x∞sθ)

B

,_

= 一一一2. 1

_'..1_··----'

dθ IZ

4 ",

Jo

[x2+z02+RI2_2RIX ∞sθ]3/2 、‘， J AM --且，，目、

(8)

科學教育月刊第 347 期中華民園一。一年四月我們從第 (8) 式和第( 10) 式可以得到兩組線圈的互國 M

₂₁

為

N

2 J.

N

₂

f.J

O

R

I

r

R2

r

2Jf

x(R

_I-x∞啞的 21

=斗 421= 」于斗 I

- I

勻

,

可

,-,:;

dB

dx

(

11 )

i_l . -- 2 晶晶 [x'"+ZO'" +Rt 一 2R

_l

x ∞sθ] ~I'" 上式的積分中顯然與電流的大小i I 無關，同時這裡也在對x 的積分上限中，忽略了導線的截面半徑。例如N

₂

=

1 '

R

I =

0.5m '

R

2 =

1. 0m

'所得到互國 M

21

與兩線圈之間距

離

Zo 的關條曲線如圖 9 '其中數值計算的絕對誤差取至 10-

13

_以下。圖

₉

_{中的曲線顯示兩} 組線圈的互鷗隨著距離的增加而減少，不過這種現象應該很容易讓我們理解，因為距離愈大，二者的相互影響力本來就會愈來愈小。另外我們也可以固定兩線圈之間的距離旬，而改變第二組線園的半徑屯，視其互風 M

₂₁

_與

R

₂

之間的關像。圖 _{10 是假設 N}

₂

=

1 '

R

_I =

1. 0m '

Zo =

1. 0m

'所得到互國 M

21 與第

二組線圈半徑

R

₂

的關條曲線，其中數值計算的絕對誤差取至

10 日以下。

圖 10 中的曲線有兩個特殊點必須要做個說明。其中之一是前面有提到 M

₂₁

_與

M

_I2

的值是相等的，這一點從圖 ₉ 和圖 10 可以看得出來。圖 9 中有一特殊點被標示出來，就

是 R

_I

=

0.5m '

R

₂ =

1. 0m '

Zo =

1. 0m 的互鷗 M

21 為

1.62x lO一7H ;而圖 10 也有一個特殊點

被標示出來，就是 R

_I

=

1. 0m '

R

2 =

0.5m '

Zo =

1. 0m 的互國 M

21 也是

1.62x lO-

7

H 。也就是

說，不管是第一線圈廠應第二線圈，或是第二線圈鷗應第一線圈，其互鼠的值是相等的，不需寫成 M

₂₁

或 _M

_I2

_{'只要寫成 M 作為互國即可。}

zo(m)

2.0

1.0 \

\

k

\

.--(1.0 O. 1.62

、

_反

可h、』恥恥嘻嘻『

1.0 。。

2.0 M

21

(1 。一 7

H)

6.0

3.0

4.0

5.0

圖 9 、假設 N2 =

1 '

R

I =

0.5m '

R

2 =

1.0m

'所得到互成 M

21

與兩線圍之間距離 Zo 的關

仿、曲線，其中絕對誤差取至 10

-

13 以下

(9)

/

\

、、

、‘

/

\

『氣

_、、

J

\

司、

....

/

1.80 ,

7.09 J

r~

0.50 1.62)

J

/

M

₂₁

(10

-7

H)

8.0

7.0

6.0 5.。

4.0

3.0

2.0

1.0 。

o

1.0

2.0

3.0

圓形載流線圓的磁場與電~

R

2

(m)

4.0

圖 10 、假設 N2

=

1 '

R

1

=

LOrn' z

0

=

LOrn

'所得到互~ M

21

與第二組線圈半徑 R

2

的關條、曲線，其中絕對棋差取至 10- 13 以下圖 10 中另外一個特殊點被標示出來，就是當 R 1

= LOrn'

Zo

=

LOrn 的互國最大值大約發生在 R

₂

= 1. 80rn 時，這一點可以從圖 6 中的 (C) 看出來。該圖是半徑 LOrn '電流 LOA 的圓線圈在 z

=

LOrn 的磁場狀況，與磁通量有關的磁場分量是丸，而該圖顯示 B

_z

_在

x

_大約

1.80rn 時方向由正轉負，因而在大於1. 80rn 之後的磁通量便會出現負值，所以圖 10 中的互厲的最大值才會出現在 R

₂

約為 1.80rn 的位置上。伍、結論 1.圓形載流線圈在圈面處產生的磁場，愈靠近導線處磁場愈大，且線圈內以圓心處磁場最小。 2. 圓形載流線圈在圈面處產生的磁場，與兩條相距妞，且具等量且相反方向電流的平行無限長直導線，所產生的磁場類似。 3. 圓形載流線圈在圈面處以外產生的磁場，以靠近圈面處的磁場較大，且變他愈劇烈; 連離圈面處的磁場較小，且磁場曲線愈平滑。 4. 單一圓線園的電廠與線圈半徑之間的關條，呈現幾乎一次方正比。 5. 由數值積分的運算結果得知，兩組圓線圈之間的互鳳 M

₂₁

=

M

₁₂

。 6. 共同中心軸 (z 軸)的兩組圓線圈之間的互國最大值，發生在其中一組線圈產生的磁場 z 軸分量方向改變時。

(10)

科學教育月刊第 347 期中華民國 -0 一年回月備註註一:一般用電腦計算數值積分時，所花的時間都不短，但若為了節省計算時間，可能所得的積分值誤差又過大。本文利用辛普森法則時，其誤差的控制是在程式中安排一個指令，當積分區間中 n+2 等分和 n 等分計算結果的差值小於某個值 M 時，就結束程式運算。例如，取 M= 10-6_{的數值積分值為} _{II ， M=10-}7_{的計算值為} _h' II 和 1

₂

的曲線重疊之後若相差無幾'則絕對誤差即為小於 10-7 _{;若兩曲線有明顯} 不同時，再男取 M= 10-8

_{計算一次，直到相鄰兩個數量級之間沒有圖形上的差異}

為止。這樣的好處是既可以避免不必要的計算，又可以節省電腦的運算時間。