CHAPTER 3 電磁波的傳輸線模擬和網路模擬
2
本章大綱
•
3.1 電磁波的傳輸線模擬•
3.2 電磁波的網路模擬•
3.3 阻抗變換器的網路理論3.1 電磁波的傳輸線模擬
4
3.1 電磁波的傳輸線模擬
5
3.1 電磁波的傳輸線模擬
•
3.1.1 電報方程及其解•
3.1.2 無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗•
3.1.3 傳輸線圓圖•
3.1.4 電磁波系統的等效傳輸線6
電報方程及其解(1/7)
•
描寫傳輸線電磁狀態的變數是線間電壓和線上電 流。它們都是時間及傳輸方向（設為z）的函數，設其時間關係是簡諧的，即
7
電報方程及其解(2/7)
8
電報方程及其解(3/7)
•
將傳輸線的一個微分段的等效電路及其上的電壓、電流畫在圖3-3上，應用克希霍夫定律可列出 其節點方程及迴路方程。
9
電報方程及其解(4/7)
•
將電壓差及電流差寫成增量形式•
代入（3-3）和（3-4），略去高級無窮小量即dz的 平方項，並設10
電報方程及其解(5/7)
•
得到•
將方程（3-9）、（3-10）再對求導一次，可以得到•
這兩個方程稱為電報方程，它們與方程（2-5）和（2-6）完 全相同，因此它們就是一維純量赫姆霍玆方程。11
電報方程及其解(6/7)
•
它們的解必然與式（2-9）和（2-10）具有相同的 形式，即•
式中12
電報方程及其解(7/7)
•
將式（3-13）代入方程（3-9）整理後得到•
式中13
電報方程及其解--一般情況
•
傳播係數和特性阻抗都是複數，相當於導電介質 或有損介質中的衰減行進波。14
電報方程及其解--低頻，大損耗情況
•
於是•
這時傳輸線只有一定的衰減，沒有波的傳播過 程，這就是低頻導線。15
電報方程及其解--高頻，小損耗情況
•
這就是無損耗傳輸線的近似。其電壓與電流的運 算式（3-13）和（3-16）化為16
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗(1/3)
17
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗(2/3)
•
在負載處，即z=0，電壓及電流滿足歐姆定律•
於是有18
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗(3/3)
•
式中 是負載上的電壓反射係數（voltagereflection coefficient），或稱負載反射係數。它是 一複數
19
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--電壓反 射係數
•
無損傳輸線上任意點z的電壓反射係數為•
因此•
設20
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--電壓駐 波比(1/7)
•
將式（3-30）代入式（3-28），得到電壓沿傳輸 線的分佈•
電壓振幅沿線分佈為•
由式（3-29）可得電流及電流振幅的沿線分佈21
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--電壓駐
波比(2/7)
22
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--電壓駐
波比(3/7)
23
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--電壓駐 波比(4/7)
•
由式（3-36）可知，當 時，駐波電壓的振 幅達極大值，電流振幅為極小值，此時的z稱為 Zmax
，即駐波電壓極大點。這時的電壓振幅為•
當 時，z=zmin
，這時駐波電壓振幅為極 小值，稱為駐波電壓極小點，24
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--電壓駐 波比(5/7)
•
定義Umax
與Umin
之比為電壓駐波比，或稱駐波 率，簡記做VSWR或ρ•
由式（3-39）和（3-40）有•
或25
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--電壓駐
波比(6/7)
26
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--電壓駐 波比(7/7)
•
為了確定負載反射係數及線上任意點反射係數的 絕對值和角，除了需要知道駐波係數ρ外，還需 知道駐波極小點位置Zmin
。•
駐波比ρ及駐波極小點位置Zmin
便於量測，因此 是傳輸線也是波動過程研究中的有用參數。27
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(1/9)
•
傳輸線上任意點z的電壓複數振幅與電流複數振幅 之比稱為該點的輸入阻抗，或簡稱該點的阻抗。記做Z(z)。由式（3-28）和（3-29）可得
•
將式（3-27）代入上式，整理後得到28
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(2/9)
•
它與2.3.4節中的式（2-211）具有相同的形式。若 採用導納•
則有29
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(3/9)
•
若傳輸線上有兩點z1
和z2
， z1
-z2
=l，兩點的輸入 阻抗和輸入導納分別是Z1
、Y1
和Z2
、Y2
，則有30
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(4/9)
•
這就是傳輸線上的阻抗變換或導納變換關係，所 以傳輸線可以作為阻抗變換器。式（3-45）可以 化為31
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(5/9)
•
由式（3-31）可知，就是傳輸線上點的反射係 數。因此有•
及32
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(6/9)
•
傳輸線上任意點的反射係數 與導納Y(z)的關係 是•
為了得到通用化的計算公式，定義傳輸線上的實 際阻抗與傳輸線特性阻抗之比為歸一化（normalize）阻抗，記做z=r+jx。即
33
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(7/9)
•
於是傳輸線上的阻抗變換關係式（3-48）成為•
將式（3-55）代入式（3-51）和（3-52），得到歸 一化阻抗z與反射係數 的關係34
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(8/9)
•
同樣可定義歸一化導納y=g+jb•
於是式（3-49）、（3-53）和（3-54）成為35
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--輸入阻抗與輸入導 納，歸一化阻抗和歸一化導納(9/9)
•
描寫傳輸線上某一點狀態的參數有四組，每組參 數都是由兩個實數構成，它們是
反射係數的絕對值和角。
駐波比和駐波極小點位置。
阻抗的實部和虛部或阻抗的絕對值和角。
導納的實部和虛部或導納的絕對值和角。36
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(1/11)
•
匹配狀態，ZL
=Zc
•
當傳輸線終端所接負載阻抗等於傳輸線特性阻抗 時，ZL
=Zc
，由式（3-27）有•
於是， ，傳輸線上只有入射波，呈行進波狀態，這種狀態稱為匹配。
37
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(2/11)
•
終端短路，ZL
=0•
由式（3-27）， ZL
=0時， ，代入式（3-28）和（3-29），得
38
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(3/11)
•
在式（3-46）中使ZL
=0 ，或將式（3-63）與（3- 64）相除，得到39
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(4/11)
40
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(5/11)
•
終端開路，ZL=∞•
由式（3-27）有 ，代入式（3-28）和（3- 29），並設 ，得到•
由式（3-46）或將以上兩式相除，得到41
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(6/11)
42
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(7/11)
•
終端接純電抗，ZL
=jXL
•
由式（3-27）有•
式中 為歸一化終端電抗。43
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(8/11)
•
由式（3-28）、（3-29）和（3-46），可得44
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(9/11)
45
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(10/11)
•
終端接純電阻，ZL
=RL
•
由式（3-27）有•
為終端歸一化負載電阻。可見，反射係數為 純實數。 RL
< Zc
時， 為負，即 時， 為 正，即 。電壓、電流沿線呈行駐波。46
無損傳輸線上的反射、駐波及阻抗--傳輸線的幾種主要狀 態(11/11)
•
終端接任意負載阻抗，這是最一般的情況。線上 是行駐波，在終端處既非駐波極小點，也非駐波 極大點。47
傳輸線圓圖
•
由於反射係數為•
，180°≤≤180°，故平面上涉及的區域為單位 圓的內域。而歸一化阻抗及歸一化導納為48
傳輸線圓圖--史密斯（Smith）圓圖(1/4)
•
在式（3-57）中，令z=r+jx， ，將實部及虛部 分開，整理後得到下列二方程：49
傳輸線圓圖--史密斯（Smith）圓圖(2/4)
50
傳輸線圓圖--史密斯（Smith）圓圖(3/4)
•
由式（3-57）及（3-42），當時，，此時，於是•
與 的關係為51
傳輸線圓圖--史密斯（Smith）圓圖(4/4)
52
傳輸線圓圖--施米特（Schimdt）圓圖
•
由式（3-57）或（3-61）即可得到施米特阻抗圖 或導納圖的曲線方程，例如施米特阻抗圓圖中 和 所滿足的方程是53
傳輸線圓圖--施米特（Schimdt）圓圖
54
傳輸線圓圖--卡特（Carter）圓圖
•
卡特阻抗圓圖中 及 滿足的方程是55
傳輸線圓圖--傳輸線圓圖的基本應用
•
給定阻抗或導納求駐波比和駐波最小點位置，或 反之。•
給定阻抗或導納求反射係數，或反之。•
求沿線的阻抗或導納變換關係。•
給定阻抗求導納，或反之。•
阻抗求和、差或導納求和、差。56
電磁波系統的等效傳輸線(1/6)
•
任何電磁波傳輸系統中攜帶功率沿縱向傳輸的是 電場及磁場的橫向分量，即•
式中下標T代表橫向分量。而在電路理論或傳輸線 理論中57
電磁波系統的等效傳輸線(2/6)
•
因此，我們可以用U來模擬ET
，用I來模擬，HT
使 電磁場的複數振幅與電壓、電流的複數振幅有如 下關係：•
由（3-82）和（3-83）可使58
電磁波系統的等效傳輸線(3/6)
•
如前所述，傳輸線上任意截面的輸入阻抗可進行 歸一化，得到歸一化阻抗•
因此，可定義歸一化電壓u和歸一化電流i59
電磁波系統的等效傳輸線(4/6)
•
則•
歸一化特性阻抗為1。•
磁場複數振幅與歸一化電壓u，歸一化電流i的關 係是60
電磁波系統的等效傳輸線(5/6)
•
由式（3-89）可知，式（3-86）的關係不變。eT
、 HT
稱為基準向量。•
歸一化阻抗的倒數就是歸一化導納，它是導納與 特性導納之比，即61
電磁波系統的等效傳輸線(6/6)
•
導波系統的特性阻抗定義如下：3.2 電磁波的網路模擬
63
3.2 電磁波的網路模擬
64
3.2 電磁波的網路模擬
•
3.2.1 線性多埠網路的網路矩陣和網路參數•
3.2.2 網路矩陣的性質•
3.2.3 雙埠網路•
3.2.4 基本電路元件的網路參數65
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--阻抗矩陣和阻抗參 數(1/6)
•
設有N埠網路，各埠電流為I1
、I2
…IN
；各埠電壓 為U1
、U2
…UN
。它們之間可以用下列線性方程組 聯繫起來：66
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--阻抗矩陣和阻抗參 數(2/6)
•
將以上方程組寫成矩陣形式•
它可簡寫為67
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--阻抗矩陣和阻抗參 數(3/6)
•
Zij
是j埠注入電流Ij
，其餘各埠開路時，i埠電壓Ui
與Ii
的比 值，即•
Zij
稱為i埠的自阻抗，或稱輸入阻抗。•
Zij
是j埠注入電流Ij
，其餘各埠開路時，i埠電壓Ui
與Ii
的比 值，即•
Zij
稱為埠與埠之間的互阻抗。68
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--阻抗矩陣和阻抗參 數(4/6)
•
根據式（3-87）和（3-88）定義i埠的歸一化電流 ii
，歸一化電壓ui
分別為•
則，歸一化自阻抗Zij
及歸一化互阻抗Zij
分別成為69
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--阻抗矩陣和阻抗參 數(5/6)
•
於是歸一化阻抗矩陣方程成為•
或•
式中(z)是N埠網路的歸一化阻抗矩陣，或稱z矩陣。70
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--阻抗矩陣和阻抗參 數(6/6)
•
多個N埠網路各埠串聯連接稱為網路的串聯，設 單個網路的阻抗矩陣為(z)i
，則n個網路串聯以後 所得複合網路的阻抗矩陣為各單個網路阻抗矩陣 之和，即71
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--導納 矩陣和導納參數(1/5)
•
若將N埠網路各埠電流、電壓的關係寫成電流的 顯函數形式，則網路的矩陣方程成為•
或•
(Y)為導納矩陣，又稱Y矩陣。其元素即為網路的導納參 數，簡稱Y參數。72
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--導納 矩陣和導納參數(2/5)
•
Yu
是i埠的自導納，即埠加電壓，其餘各埠短路 時，埠電流與的比值，即•
Yu
是i埠與j埠的互導納，即j埠加電壓Uj
，其餘各 埠短路時，i埠電流Ii
與Ui
的比值，即73
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--導納 矩陣和導納參數(3/5)
•
利用歸一化電流和歸一化電壓可得到歸一化導納•
於是得到歸一化的導納矩陣方程•
上式兩邊條乘以導納矩陣的逆矩陣74
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--導納 矩陣和導納參數(4/5)
•
與式（3-96‘）比較，且（i）、（u）為列矩陣，可知
•
（I）為單位矩陣。因此，z矩陣與y矩陣互為逆矩 陣。75
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--導納 矩陣和導納參數(5/5)
•
多個N埠網路各埠並聯連接稱為網路的並聯。網 路並連時，複合網路的導納矩陣為各單元網路導 納矩陣之和76
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射 矩陣和散射參數(1/5)
•
設第i埠入波與出波歸一化電壓的複數振幅分別是 ai
和bi
，i=1-N，見圖3-12。則ai
與bi
之間可由下列 線性方程組相連繫：77
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射
矩陣和散射參數(2/5)
78
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射 矩陣和散射參數(3/5)
•
或簡化為•
式中，（b）為出波歸一化電壓複數振幅的列矩 陣；（a）是入波歸一化電壓複數振幅組成的列矩 陣；(S)稱為散射矩陣；Sij
稱為散射參數79
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射 矩陣和散射參數(4/5)
•
是i埠入波振幅為ai
，其餘各埠入波振幅皆為 零，即接匹配負載時，i埠出波振幅bi與入波振幅 ai
的比值，即•
因此， 的物理意義是其餘各埠匹配時i埠的電壓 反射係數，是複數。80
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射 矩陣和散射參數(5/5)
•
是j埠接電源，其入波振幅為aj
，其餘各埠接匹 配負載時，i埠出波振幅bi
與j埠入波振幅aj
的比值，即
81
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射矩陣與阻抗矩 陣及導納矩陣的關係(1/6)
•
寫成列矩陣就是82
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射矩陣與阻抗矩 陣及導納矩陣的關係(2/6)
•
將式（3-106‘）代入以上二式，得到•
將以上二式代入式（3-96‘），得到83
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射矩陣與阻抗矩 陣及導納矩陣的關係(3/6)
•
兩邊乘以 的逆矩陣 ，得到•
由於•
上式兩端都左乘及右乘 ，得84
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射矩陣與阻抗矩 陣及導納矩陣的關係(4/6)
•
因此，（z）與（s）的關係，即式（3-113‘）成為•
同理，(y)與(s)的關係為85
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射矩陣與阻抗矩 陣及導納矩陣的關係(5/6)
•
反之，散射矩陣（S）與阻抗矩（z）或導納矩陣（y）的關係是
86
線性多埠網路的網路矩陣和網路參數--散射矩陣與阻抗矩 陣及導納矩陣的關係(6/6)
87
網路矩陣的性質--線性網路和非線性網路
•
若網路全部由線性元件組成，也就是說它所等效 的電磁場或電磁波系統中全部充填的是線性介 質，則該網路是線性網路。線性網路的網路參數 都是常數，不隨場的振幅或電壓電流振幅而變，因此網路方程是線性方程組。
•
非線性網路的網路參數隨場的振幅而變，其方程 是非線性方程組。88
網路矩陣的性質--互易網路和非互易網路（1/8）
•
設所研究的網路是一個被閉合曲面S包圍的區域，在區域內充填的是互易介質，區域內無源，則區 域邊界上的場滿足羅侖玆互易定理中的式（1- 349）
89
網路矩陣的性質--互易網路和非互易網路（2/8）
•
在以上條件下，式（1-349）的面積分中只在埠及 埠的面和上有值，且這個面積分中只有S面的切向 電場磁場，即埠上的橫向電場磁場是有貢獻的。於是式（1-349）成為
90
網路矩陣的性質--互易網路和非互易網路（3/8）
•
於是式（3-117）成為91
網路矩陣的性質--互易網路和非互易網路（4/8）
•
根據基準向量的歸一化條件（3-86），有•
於是有92
網路矩陣的性質--互易網路和非互易網路（5/8）
•
由歸一化阻抗矩陣方程（3-96）有•
將以上各式代入式（3-118），得到93
網路矩陣的性質--互易網路和非互易網路
（6/8）
•
化簡得到•
由於第一種狀態和第二種狀態下的場是任意的，所以上式第一個括號中的因子不為零，必須有
•
（z）T
為（z）的轉置矩陣。因此互易網路的阻抗 矩陣為對稱矩陣。94
網路矩陣的性質--互易網路和非互易網路
（7/8）
•
導納矩陣是阻抗矩陣的逆矩陣。而對稱矩陣的逆 矩陣亦為對稱矩陣，因此有•
互易網路的導納矩陣亦為對稱矩陣。•
由式（3-115）•
應用（A8-27），上式的轉置矩陣為95
網路矩陣的性質--互易網路和非互易網路
（8/8）
•
單位矩陣是對稱陣， ，同時應用式（3- 121）及（3-115）有•
因此互易網路的散射矩陣也是對稱矩陣，並有•
若系統中充填有非互易異向性介質，則互易定理 不成立，等效網路成為非互易網路。其網路矩陣 成為非對稱矩陣。96
網路矩陣的性質--無損網路和有損網路，無源網路 和有源網路
（1/7）
•
無源、無損網路的散射矩陣是U矩陣，即無源，無損網路的散射矩陣滿足U條件
•
是(S)的共軛轉置矩陣。•
由於歸一化特性阻抗為1，因此埠的入波電壓及入 波電流都是，出波電壓為，出波電流為。因此進 入網路的總功率是97
網路矩陣的性質--無損網路和有損網路，無源網路 和有源網路
（2/7）
•
從網路輸出的總功率是•
網路無源、無損，Pa
=Pb
，因此有•
將式（3-106'）兩邊取共軛98
網路矩陣的性質--無損網路和有損網路，無源網路 和有源網路
（3/7）
•
再進行轉置•
代入式（3-127），並應用式（3-106‘），得到•
於是99
網路矩陣的性質--無損網路和有損網路，無源網路 和有源網路
（4/7）
•
此式對任意入波都成立，即(a)任意，因此•
無源、無損網路的散射矩陣滿足U條件得證。•
如果是互易的無源、無損網路，則100
網路矩陣的性質--無損網路和有損網路，無源網路 和有源網路
（5/7）
•
無源、無損網路的歸一化阻抗矩陣及歸一化導納 矩陣是反埃爾米特矩陣（Hermite matrix），即滿 足•
證明：將式（3-115）進行共軛轉置，考慮到複矩 陣的共軛轉置與求逆可以交換次序，得到101
網路矩陣的性質--無損網路和有損網路，無源網路 和有源網路
（6/7）
•
由式（3-126），相乘等於單位矩陣的兩矩陣其乘 法次序可以對調，即得到對於無源、無損網路•
將式（3-132）及式（3-115）代入上式，得到•
將上式兩邊都左乘 ，右乘 ，得到•
將上式展開後得到102
網路矩陣的性質--無損網路和有損網路，無源網路 和有源網路
（7/7）
•
如果是互易的無源、無損網路，則•
同理有103
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（1/10）
•
阻抗矩陣。雙埠網路的歸一化阻抗矩陣方程為•
導納矩陣。雙埠網路的歸一化導納矩陣方程為104
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（2/10）
•
散射矩陣。雙埠網路的歸一化散射矩陣方程為•
轉移矩陣。對於雙埠網路，可以把網路方程寫成1 埠的電壓U1
、電流，與2埠的電壓U2
、電流-I2
，它 們之間的關係如下：105
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（3/10）
•
這個網路矩陣記做（A），稱為轉移矩陣，或稱 ABCD矩陣，簡稱A矩陣。其中A、D無單位，具 有B阻抗單位，C具有導納單位。它們稱為轉移參 數或A參數。106
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（4/10）
•
A、B、C、D的定義依次為107
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（5/10）
•
若採用歸一化電壓及歸一化電流，將式（3-87）和（3-88）代入式（3-141），得到
•
上式可化為108
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（6/10）
•
它可寫成109
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（7/10）
110
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（8/10）
•
故有111
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（9/10）
•
傳輸矩陣。對於雙埠網路也可將網路方程寫成1埠的入 波、出波振幅與2埠的入波、出波振幅之間的關係，其結 果如下：•
當多個網路串接時•
即串接網路的傳輸矩陣等於各單元網路矩陣的乘積。112
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣和網路參數
（10/10）
113
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（1/13）
•
互易、無源、無損雙埠網路的轉移矩陣•
轉移矩陣與阻抗矩陣的關係有•
由於互易的無源、無損網路的阻抗矩陣滿足114
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（2/13）
•
因此有115
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（3/13）
•
互易、無源、無損雙埠網路的傳輸矩陣•
由傳輸矩陣與轉移矩陣的關係•
可以看出，T參數都是複數，且有116
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（4/13）
•
互易、無源、無損雙埠網路的散射矩陣•
已知互易、無源、無損多埠網路的散射矩滿足式（3-125）和（3-129），即
•
對於雙埠網路，有117
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（5/13）
•
由式（3-153）和（3-154）有•
由式（3-152）有118
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（6/13）
•
由式（3-155）和（3-156）有•
對稱雙埠網路•
若雙埠網路2埠匹配時1埠的反射係數等於1埠匹配時2埠的 反射係數，則該雙埠網路成為對稱網路，即•
同時滿足S11
=S22
和S12
=S21
的雙埠網路稱為對稱雙埠網路。119
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（7/13）
•
由各網路矩陣之間的關係可以得到對稱網路的其 他網路參數的下列關係：
對稱雙埠網路的阻抗參數及導納參數有如下的關係：
對稱雙埠網路的轉移參數的關係如下：
對稱雙埠網路的傳輸參數有如下關係：120
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（8/13）
•
一個互易的、無源、無損的雙埠網路，總能通過 改變連接埠參考面位置，使之成為對稱網路•
如3.2.2小節式（3-125）及（3-129）所示，互易 的無源無損網路的散射矩陣有如下性質：•
由此可得•
於是有121
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（9/13）
122
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（10/13）
•
設在圖3-14中參考面1和參考面2之間是一個互易 無源無損網路，但非對稱網路，其散射矩陣為123
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（11/13）
•
若將2埠參考面移至3，它與參考面2的距離為I，設βl=θ。則有
•
於是有124
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（12/13）
•
可得•
因此， 的條件是125
雙埠網路--雙埠網路的網路矩陣的性質
（13/13）
126
雙埠網路--雙埠網路的工作特性（1/6）
•
插入反射係數或插入駐波比
當雙埠網路某一埠匹配時另一埠的反射係數就是該雙 埠網路的插入反射係數，記做Γ1
和Γ2
。根據散射參數 的定義有
1埠反射係數：
2埠反射係數：
與插入反射係數對應的是插入駐波比，1埠的插入駐波 比為127
雙埠網路--雙埠網路的工作特性（2/6）
2埠的插入駐波比為•
插入衰減、反射衰減與吸收衰減
雙埠網路的輸出埠匹配時，網路入埠輸入功率與網路 出埠輸出功率之比稱為插入衰減。記做L。根據上述定 義，L可寫成128
雙埠網路--雙埠網路的工作特性（3/6）
•
雙埠網路的衰減由兩部分組成，一部分是由於網 路內有損耗，吸收功率所造成的，稱為吸收衰 減，記做LA
；另一部分是由於網路的反射所造成 的，稱為反射衰減，記做LR
，並有129
雙埠網路--雙埠網路的工作特性（4/6）
•
吸收衰減是實際進入網路的功率與輸出功率之比，即輸入埠的入射功率減去反射功率與2埠的出 射功率之比，即
130
雙埠網路--雙埠網路的工作特性（5/6）
•
對無源、無損雙埠網路有131
雙埠網路--雙埠網路的工作特性（6/6）
•
插入相移
雙埠網路的插入相移定義為輸出埠匹配時輸入埠入波 與輸出埠出波之間的相位差。根據散射參數的定義，插入相移Φ就是S
21
的角，即132
基本電路元件的網路參數--串聯阻抗（1/5）
133
基本電路元件的網路參數--串聯阻抗（2/5）
•
由導納參數的定義式（3-99）和（3-100）可以得 到•
和134
基本電路元件的網路參數--串聯阻抗（3/5）
•
或由轉移參數的定義式（3-142）∼（3-142）可得•
和135
基本電路元件的網路參數--串聯阻抗（4/5）
136
基本電路元件的網路參數--串聯阻抗（5/5）
137
基本電路元件的網路參數--並聯導納（1/3）
138
基本電路元件的網路參數--並聯導納（2/3）
•
可由阻抗參數定義或（3-93）和（3-94）得到•
和139
基本電路元件的網路參數--並聯導納（3/3）
•
其歸一化轉移矩陣為•
它的導納參數都是∞。參數及參數見表3-4。140
基本電路元件的網路參數--理想變壓器
（1/3）
141
基本電路元件的網路參數--理想變壓器
（2/3）
•
理想變壓器兩連接埠的電壓關係及電流關係為•
式中，n為理想變壓器的變比。由此可得理想變壓 器的轉移矩陣為142
基本電路元件的網路參數--理想變壓器
（3/3）
•
由表3-2所示（S）與（a）的關係可得•
理想變壓器是微波網路中的重要元件。143
基本電路元件的網路參數--兩條特性阻抗不
同的傳輸線直接連接（1/3）
144
基本電路元件的網路參數--兩條特性阻抗不 同的傳輸線直接連接（2/3）
•
若略去傳輸線截面變化引起的不連續電抗，則在 兩傳輸線連接處有•
於是其轉移矩陣為•
由式（3-143）和（3-144）可得到歸一化轉移矩 陣145
基本電路元件的網路參數--兩條特性阻抗不 同的傳輸線直接連接（3/3）
•
將上式與理想變壓器的歸一化轉移矩陣對比，可 知不同傳輸線直接連接相當於歸一化特性阻抗都 為1的傳輸線之間接一個變比為n的理想變壓器，即
•
如圖3-18（b）所示146
基本電路元件的網路參數--一段無損傳輸線
（1/6）
147
基本電路元件的網路參數--一段無損傳輸線
（2/6）
•
由散射參數的定義式（3-107）、式（3-108）可 以得到一段傳輸線作為雙埠網路的散射參數為•
因此，一段長度為的傳輸線的散射矩陣為148
基本電路元件的網路參數--一段無損傳輸線
（3/6）
•
由（S）與（a）的變換式可以求出轉移矩陣。也 可由A、B、C、D的定義式（3-142）∼（3-142），並應用終端短路及終端開路傳輸線上電 壓、電流分佈式（3-63）、（3-64）、（3-66）和 式（3-67）直接求出其轉移參數。
149
基本電路元件的網路參數--一段無損傳輸線
（4/6）
•
以上-I2
即z=0時式（3-64）中的I(z)，因為它們都 是從傳輸線流出的方向。於是一段特性阻抗為Zc，長度為I的傳輸線作為雙埠網路的轉移矩陣為
150
基本電路元件的網路參數--一段無損傳輸線
（5/6）
•
若兩端所接傳輸線特性阻抗也都是，則其歸一化 轉移矩陣可由式（3-143）和式（3-144）求出151
基本電路元件的網路參數--一段無損傳輸線
（6/6）
•
若傳輸線段的兩連接埠接有不同特性阻抗和的傳 輸線，則在歸一化轉移矩陣兩端須分別乘以式（3-185）。成為
152
基本電路元件的網路參數--互易的無源、無 損雙埠網路可等效為理想變壓器（1/7）
•
由式（3-183）可知，作為理想變壓器，其散射參 數應滿足153
基本電路元件的網路參數--互易的無源、無
損雙埠網路可等效為理想變壓器（2/7）
154
基本電路元件的網路參數--互易的無源、無 損雙埠網路可等效為理想變壓器（3/7）
•
在雙埠網路兩連接埠之間有•
在兩段傳輸線的兩連接埠之間（虛線框內，散射 矩陣為（S））分別有155
基本電路元件的網路參數--互易的無源、無 損雙埠網路可等效為理想變壓器（4/7）
•
代入式（3-193），得到•
與以上式（3-183）的條件對比。若原網路為互 易、無源、無損網路，則由式（3-152）、（3- 157）有156
基本電路元件的網路參數--互易的無源、無 損雙埠網路可等效為理想變壓器（5/7）
•
由於 ，於是有 ，設•
若使S11
、S22
都為實數且滿足第一個條件式（3- 191）即S11
=-S22
，則必須157
基本電路元件的網路參數--互易的無源、無 損雙埠網路可等效為理想變壓器（6/7）
•
若使n與S11
=-S22
有如下關係：•
ρ為網路輸入端及輸出端的插入駐波係數，則式（3-191）得到滿足。
•
將式（3-191）代入式（3-153）可得158
基本電路元件的網路參數--互易的無源、無 損雙埠網路可等效為理想變壓器（7/7）
•
由式（3-160），考慮到（3-198）和（3-199），有
•
因此，必為實數且滿足式（3-192）。3.3 阻抗變換器的網路理論
160
3.3 阻抗變換器的網路理論
•
3.3.1 單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器•
3.3.2 雙介質層，二節阻抗變換器•
3.3.3 多層介質及多節阻抗變換器的設計問題•
3.3.4 小反射理論161
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（1/10）
162
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（2/10）
•
式（3-190）現重寫如下•
網路的插入反射係數可按式（3-168）及表3-2中（S）與（a）的關係計算如下：
163
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（3/10）
•
作為減反射塗層或阻抗變換器，要求反射係數為 零，即上式分子等於零，即•
實部及虛部必須分別等於零。由於，實部第一個 因子不可能等於零，必須164
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（4/10）
•
在這一條件下sinβ0
l，故式（3-471）中虛部為零 的條件是•
即165
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（5/10）
•
將式（3-204）和式（3-205）的條件代入式（3- 203），並應用 ，就得到插入反射係數的 絕對值 與波長或頻率的關係，即四分之一波 長阻抗變換器的幅頻特性如下：166
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（6/10）
167
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（7/10）
•
由式（3-172）及表3-2中（T）與（a）的關係可 得插入衰減的運算式168
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（8/10）
•
令•
則上式成為•
式中169
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（9/10）
•
網路達到匹配的條件是•
在匹配點θ= θ0
，以上方程成為•
這是cos2
θ0
的一次方程，只有一個根，故只有一個匹配 點，即•
cos2
θ0
在實數域有解的條件是A0
<1。170
單介質層的兩個界面，單節阻抗變換器
（10/10）
•
由式（3-210）可知，當P=√R時，A0
為極小值且 等於1。因此方程（3-212）中cosθ0
在實數域的解 是•
在以上條件下式（3-209）成為171
雙介質層，二節阻抗變換器（1/6）
172
雙介質層，二節阻抗變換器（2/6）
•
設輸入段及輸出段傳輸線的特性阻抗分別為Zc1
和 Zc2
，中間兩段傳輸線的特性阻抗分別為Z1
和Z2
， 長度為l1
和l2
。設173
雙介質層，二節阻抗變換器（3/6）
•
二節阻抗變換器是由五個雙埠網路串接而成，包 括三個傳輸線連接點及兩段傳輸線如圖3-23（b）、（c）所示。它們的網路矩陣依次是
174
雙介質層，二節阻抗變換器（4/6）
•
串接後網路的（a）矩陣為以上五個單元矩陣的乘 積。•
由上式求出a、b、c、d，即可求出網路的插入衰 減。175
雙介質層，二節阻抗變換器（5/6）
•
式中176
雙介質層，二節阻抗變換器（6/6）
•
網路達到匹配的條件是， ，即滿足下列方 程：177
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--多 節阻抗變換器的網路方程的形式（1/4）
•
從式（3-215）∼（3-218）已經看到，二節阻抗變 換器的插入衰減運算式已經相當繁冗。可見更多 節的阻抗變換器的插入衰減運算式必然更加繁 冗。•
但我們從N=1的式（3-209）和N=2的式（3-215）可以推斷出N更大時插入衰減的運算式應當是 cos
2
θ的N次多項式，其形式如下：178
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--多 節阻抗變換器的網路方程的形式（2/4）
•
由此可推論179
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--多 節阻抗變換器的網路方程的形式（3/4）
•
設輸入及輸出特性阻抗仍為Zc1
和Zc2
，中間N段的 特性阻抗依次為Z1
、 Z2
、 Z3
、… ZN
，。則式（3-221）中的係數A
n
是下列比值的函數：•
N節阻抗變換器達到匹配的條件仍為L=1即滿足下 列方程：180
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--多
節阻抗變換器的網路方程的形式（4/4）
181
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫多項式（1/7）
•
契比雪夫（Chebyshev或Tchebyscheff）函數或多 項式是以下微分方程的解•
方程的兩個獨立解稱為n階第一類和第二類契比雪 夫函數依次記做Tn(x)和Un(x)。在網路設計中常 用的是第一類契比雪夫函數Tn(x)182
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫多項式（2/7）
•
設•
則有183
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫多項式（3/7）
•
將函數cosnu和coshnu展開成多項式184
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫多項式（4/7）
•
於是第一類契比雪夫函數可展開為下列多項式：•
式中185
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契
比雪夫多項式（5/7）
186
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫多項式（6/7）
•
常用的低階第一類契比雪夫多項式如下：•
契比雪夫多項式的循環公式為187
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫多項式（7/7）
•
由式（3-229）及圖3-25可以看出，契比雪夫多項 式具有以下性質：
n為奇數時，Tn
(x)為奇函數，n為偶數時， Tn
(x)為偶函 數，當然， Tn 2
(x)永遠是偶函數。
∣x ∣≦1時， Tn
(x)在+1和-1之間等幅往複振盪，n次 穿過零點。
∣x ∣>1時， ∣Tn
(x )∣單調而陡峭地上升，n越大上升 越快。由以上性質可知，契比雪夫多項式正是良好的 等波紋濾波器所需要的最佳逼近函數形式。188
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫阻抗變換器的設計方法（1/5）
•
重寫多節阻抗變換器的插入衰減，式（3-221）有•
若將契比雪夫多項式Tn
(x)作為逼近函數，可令•
於是 可以寫成189
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫阻抗變換器的設計方法（2/5）
•
（1）x=±1時， Tn 2
(x) ，對應於工作頻帶的邊頻，這時
190
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫阻抗變換器的設計方法（3/5）
•
設頻寬比 ，則有•
因此給定頻寬比就可確定待定常數。191
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫阻抗變換器的設計方法（4/5）
•
（2） 時變換器插入衰減達到頻帶內的極大 值，這時•
由無損雙埠網路插入衰減與駐波比的關係式（3- 176）有192
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--契 比雪夫阻抗變換器的設計方法（5/5）
•
令式（3-221）與式（3-231）相等，即•
變換器各段長度可由式（3-232）或（3-233）求 出，即193
多層介質及多節阻抗變換器的設計問題--二 節阻抗變換器設計舉例
•
二節阻抗變換器的逼近函數（3-231）成為•
令上式與二節阻抗變換器的插入衰減公式（3- 215）相等，比較係數，得到194
小反射理論（1/7）
195
小反射理論（2/7）
•
總反射係數可以寫成196
小反射理論（3/7）
•
將以上反射係數、透射係數運算式代入上式得到•
當 ，時，即小反射條件下，可略去上式 中反射係數的乘積項 和 ，得到下列近似式：
197
小反射理論（4/7）
198
小反射理論（5/7）
•
其中第n個反射點的反射係數為199
小反射理論（6/7）
•
若各點反射係數對應於變換器的中點對稱，即 ，則式（3-245）成為
200
