數不盡的質數

許介彥

大葉大學 電信工程學系

質數與合數

12 可 以 寫 成 兩 個 小 於 12 的 正 整 數 相 乘，如3⋅4或2⋅6等，而 7 卻無法寫成兩個 小於 7 的正整數相乘。當一個正整數不能寫 成比本身還小的兩個正整數相乘，我們稱此 數為「質數」（prime number）；反之，如果 某個正整數可以寫成兩個比本身還小的正整 數相乘，也就是說，如果它除了 1 及本身之 外還有其他的正因數，我們稱它為「合成數」 或「合數」（composite number）；因此 7 是質 數，而 12 是合數。 由於 1 的情況較特殊，數學上通常不將 1 歸類為質數，但是 1 當然也不是合數，因 此最小的質數是 2，它是所有的質數中唯一 的偶數，也是所有偶數中唯一的質數；由 2 開始的質數由小而大依序為 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …。 任何一個大於 1 的整數若本身不是質數 的話一定可以經由持續的因數分解而寫成一 些質數的乘積，例如6 =2⋅3而 2 與 3 都是 質數，30=5⋅6=5⋅2⋅3而 5、2、3 都是質數 等；同樣地，24=3⋅8=3⋅2⋅4 =3⋅2⋅2⋅2，因 此 24 可以拆成四個質數相乘，其中有一個 3 及三個 2。 對加法而言，構成正整數最基本的單 位只有一個，就是數字 1，因為任何正 整數都可以由一些 1 相加而得，而 1 不能寫 成另外兩個正整數相加。對乘法而言，構成 正整數最基本的單位為質數，因為任何大於 1 的正整數都可以由一些質數相乘而得，而 每個質數都不能寫成另外兩個正整數相乘。 相較於加法時的基本單位只有一個，乘法時 的基本單位（也就是質數）有幾個呢？

質數的個數

正整數的個數有 無窮多個，其中除了 1 以外，每個正整數若非質數即是合數，我們 由此可以推斷在質數與合數這兩大類中至少 會有一類包含了無窮多個數。合數的個數很 顯然有無窮多個（例如所有 4 的倍數都是合 數），於是我們很自然地要問：質數的個數也 有無窮多個嗎？或者是有限的？也就是說， 是否存在著一個「最大的質數」，所有比此數 大的整數都是合數？早在西元前三世紀，希 臘大數學家 歐幾里得 （Euclid ）在他的名著 《幾何原本》（Elements）中對這個問題就提 出了解答，他証明了質數的個數是無限的； 他的証明方式堪稱數學論證的經典之作，雖 已歷經兩千多年仍不減其光芒。

歐幾里得的証明

基於對數字的了解，我們知道如果將 3 的任何一個倍數加 1，結果一定不會是 3 的 倍數，例如7=3⋅2+1與16=3⋅5+1都不是 3

的倍數。同樣地，我們也可以肯定如果將 5 的任何一個倍數加 1，結果一定不會是 5 的 倍數；由此又可推知如果將 15（=3⋅5）的 任何一個倍數加 1，結果一定既不是 3 的倍 數也不是 5 的倍數。有了以上概念後，我們 接著看下面幾個式子： 30031 1 13 11 7 5 3 2 2311 1 11 7 5 3 2 211 1 7 5 3 2 31 1 5 3 2 7 1 3 2 = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = + ⋅ 這些式子都是計算由 2 開始由小而大連 續幾個質數相乘的結果再加 1 的值，因此每 個式子等號右邊算出來的數一定不會是該式 等號左邊所用到的任何一個質數的倍數；例 如 31 一定不是 2 或 3 或 5 的倍數，而 2311 一定不是 2 或 3 或 5 或 7 或 11 的倍數等。 上面這些式子算出來的 7、31、211、2311 其實都是質數，不過 30031 並不是質數。即 使我們一下子看不出來 30031 除了 1 及本身 之外還有哪些因數，我們卻可以肯定 30031 除了 1 以外的所有因數（包含「質因數」）一 定全都大於 13，因為所有小於或等於 13 的 質數都不是 30031 的因數。事實上，30031 = 509 59⋅ ，而 59 和 509 都是質數而且確實都 大於 13。 要証明質數的個數有無窮多個，其實只 要將上述概念一般化就可以了。假設 p 是任 意一個質數，我們令 1 11 7 5 3 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = p N L N 顯然會比 p 大，而且所有小於或等於 p 的質數都不會是 N 的因數。 N 有兩種可能，其一是 N 本身就是一個 質數（比 p 大的質數），另一種可能是 N 不 是質數，不過它的所有的質因數都比 p 大； 不管是哪一種情形，我們都証明了不管 p 有 多大，一定有比 p 更大的質數存在，因此質 數的個數是無限的。 請讀者留意上面的論述重點是要証明有 比 p 大的質數「存在」，只要能夠証明其存在 就足以說明質數個數的無限，我們並沒有（事 實上也不需要）透過實際找出比 p 大的下一 個質數或是任何一個比 p 大的質數來說明有 比 p 大 的 質 數 存 在 （ 因 此 上 述 証 明 屬 於 nonconstructive proof）。 目前世界上已知的質數中最大的數發現 於 2001 年 11 月，大小為

1

2

13466917

−

它總共有 4053946 個位數（十進制）；當 然，它絕不是「最大的質數 」。

質數間的間隙

上述証明過程巧妙地避開了求出比 p 大 的下一個質數或是任何一個比 p 大的質數的 問題，因為這是一個相當困難的問題；由於 質數在數線上的分布極不規則，因此並沒有 一個簡單的「公式」可以讓我們有系統地將 不同的值代入來得出一個一個的質數。 質數分布的凌亂由質數間的間隙可見一 斑 ； 連 續 兩 個 質 數 之 間 的 距 離 有 時 大 有 時 小，最小為 1（2 與 3 差 1），有可能為 2（如 71 與 73），或是 4（如 37 與 41），或是 6（如 23 與 29）等；很明顯，相鄰的 兩個質數的距 離除了一開始的 1 之外全都是偶數，不過最

大是多少呢？以下我們將証明，連續兩個質 數的距離可以任意大；說得更明確一點，對 任意正整數 n ，不管 n 有多大，在數線上一 定可以找到連續 n 個整數而且它們每一個都 是合數，由此可知一定存在著距離大於 n 的 連續兩個質數。 以下的証明與歐幾里得的前述作法有密 切的關連。首先，假設 p 是所有整數中大於 n 的第一個質數，接著考慮以下連續 n 個整 數： 2 11 7 5 3 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Lp+ 3 11 7 5 3 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Lp+ 4 11 7 5 3 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Lp+ M ) 1 ( 11 7 5 3 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Lp+ n+ 這 n 個數都具有如2⋅3⋅5⋅7⋅11Lp+k的 形式，其中2≤k≤(n+1)≤p，因此 k 的所有 質 因 數 必 定 都 小 於 或 等 於 p ， 所 以 k p+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 5 7 11L 2 必為合數，也就是上面的 n 個連續整數全部都是合數，我們因此証明 了有距離大於 n 的連續兩個質數「存在」。 這個問題的另一個可能的証明方式是利 用 2 )! 1 (n+ + 3 )! 1 (n+ + 4 )! 1 (n+ + M ) 1 ( )! 1 (n+ + n+ 等 n 個數都是合數（很明顯可看出）來說 明有距離大於 n 的連續兩個質數存在。 與歐幾里得的証明一樣，我們在上述証 明過程中並沒有（也不需要）真的找出符合 要求的兩個質數。

等差數列中的質數

等差數列a, a+d, a+2d, …中 總 共 包含了多少個質數？這個問題的答案很顯然 和 a 與 d 的值有關，例如等差數列 3, 6, 9, 12, 15, 18, …中，3 是唯一的質數，而等差數列 2, 5, 8, 11, 14, 17, …中的質數個數很明顯較 多；有多少個呢？這個問題在西元 1837 年由 德國數學家狄利克雷（G. Lejeune Dirichlet， 1805-1859）提出了解答，他証明了只要 a 與 d 互質（即 a 與 d 的最大公因數為 1），等差 數列a, a+d , a+2d , …中必定含有無窮 多個質數（此定理通常稱為狄利克雷定理）。 他的証明方式相當複雜，本文不予討論，不 過對某些特殊的 a 與 d 的值所形成的數列， 我們卻不難証明其中含有無窮多個質數；以 下我們來看兩個例子。

例題一：

證明等差數列 2, 5, 8, 11, …中包含了 無窮多個質數。 解： 整數可以分成三種，一種是能被 3 整除 的數，一種是除以 3 餘 1 的數，一種是除以 3 餘 2 的數；題目中的數列即是由所有除以 3 餘 2 的正整數組成的。 一個除以 3 餘 2 的數一定不會是 3 的倍 數；它可能是一個質數，也可能不是質數； 如果不是質數，那麼它的質因數一定不會全 部都是除以 3 餘 1 的質數（也就是說，它必 有至少一個除以 3 餘 2 的質因數），因為兩個 除以 3 餘 1 的數相乘的結果除以 3 一定餘 1：

1 3 3 9 ) 1 3 )( 1 3 ( x+ y+ = xy+ x+ y+ 1 ) 3 ( 3 + + + = xy x y 假設 p 是等差數列 2, 5, 8, 11, …中任意 一個大於 2 的質數；我們再次採用與歐幾里 得類似的作法，令 1 11 7 5 3 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = p M L 由於 M 是 3 的倍數減 1，因此 M 除以 3 一定餘 2。我們還可以肯定所有小於或等於 p 的質數都不是 M 的因數。 M 有兩種可能，其一是 M 本身就是一個 質數（比 p 大而且是一個除以 3 餘 2 的質 數），另一種可能是 M 不是質數，不過它的 所有質因數都大於 p ；由於 M 一定有除以 3 餘 2 的質因數，因此 M 一定有大於 p 且除以 3 餘 2 的質因數。不管是哪一種情形，我們 都 証 明 了 不 管 p 有 多 大 ， 在 數 列 2, 5, 8, 11, …中一定有比 p 更大的質數存在，因此 該數列中的質數個數是無限的。

例題二：

證明等差數列 3, 7, 11, 15, …中包含了 無窮多個質數。 解： 題目中的數列是由所有除以 4 餘 3 的正 整數組成的。一個除以 4 餘 3 的數可能是一 個質數，也可能不是質數；如果不是質數， 那麼它的質因數一定不會全部都是除以 4 餘 1 的質數（也就是說，它必有至少一個除以 4 餘 3 的質因數），因為兩個除以 4 餘 1 的數相 乘的結果除以 4 一定餘 1，不可能餘 3。 假設 p 是等差數列 3, 7, 11, 15, …中的 任意一個質數；我們再次採用與歐幾里得類 似的作法，令 1 ) 11 7 5 3 2 ( 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = p K L 由於 K 是 4 的倍數減 1，因此 K 除以 4 一定餘 3。我們還可以肯定所有小於或等於 p 的質數都不是 K 的因數。 K 有兩種可能，其一是 K 本身就是一個 質數（比 p 大而且是一個除以 4 餘 3 的質 數），另一種可能是 K 不是質數，不過它的 所有質因數都大於 p ，因此 K 有大於 p 而且 除以 4 餘 3 的質因數；不管是哪一種情形， 我們都証明了不管 p 有多大，在數列 3, 7, 11, 15, …中一定有比 p 更大的質數存在，因此 該數列中的質數個數是無限的。 細心的讀者也許已經發覺，除了將 K 設 為4(2⋅3⋅5⋅7⋅11Lp)−1之外，其實還有許多 可能，如 1 ) 11 7 5 3 2 ( 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = p K L 1 ) 11 9 7 5 3 ( 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = p K L 1 ) 19 15 11 7 3 ( 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = p K L 1 ) ! ( 2 − = p K 等，也都是可行的。簡單來說，如果某數 A 是 4 的倍數，而且所有不大於 p 且除以 4 餘 3 的質數都是 A 的因數，那 麼 1 − = A K 就可以用於上述証明。 讀者不難看出，正整數中有無窮多個質 數的性質其實是狄利克雷定 理 在a=d=1時 的特例。

兩個有趣的應用

前面幾個証明都利用了相似的觀念來証 明某個或某些質數存在的必然性，以下我們 再看這個觀念的兩個應用。

應用一：

求証：對任意大於 2 的整數 n 而言，在 n 與n!之間必有質數存在。 這個問題只要能抓到關鍵的話其實很容 易。對任意大於 2 的整數 n，很顯然所有小 於或等於 n 的質數都不會是n!−1的因數，因 此n!−1必定有大於 n 的質因數，所以n 與n!之 間必有質數存在。 應用二： 以下方法可以用來「製造」出新的質數。 假設我們將最小的 n 個質數 2, 3, 5, …, p_n 任意分成兩組，然後將各組中的質數相乘以 得出兩個數 A 與 B（如果某一組不含任何質 數的話就將其所含質數的乘積當作是 1）。求 証：若 2 1 + < +B pn A ，則 A+B必為質數；若 2 1 + < −B pn A ，則|A−B|必為質數。 舉例來說，如果我們將 2, 3, 5, 7, 11 等最 小的五個質數分成(3,11)與(2,5,7)兩組，算出 33 11 3⋅ = = A 與 B=2⋅5⋅7=70 ， 那 麼 103 = +B A 與 A−B =37 的 值 都 小 於 169 132= ，而 103 與 37 確實都是質數。如果 分 成 的 兩 組 是 (2,7) 與 (3,5,11) ， 那 麼 179 = +B A ， A−B =151，此時只有 151 小 於 2 13 ，而 151 也確實是質數。繼續往下看 之前，讀者不妨先想一想原因何在。 道理並不難。每一個小於或等於p_n的質 數一定能而且只能整除 A 與 B 其中之一，因 此一定不能整除 A+B或 A−B ；對 A+B與 B A− 的任一數而言有兩種可能，其一是它 本身就是一個質數，另一種可能是它不是質 數，不過它的所有質因數（每個合數有至少 兩個質因數）都大於 p_n，此時它的值必定不 會小於 2 1 + n p ，而這種情況已經被題目所述的 條件排除了，因此滿足題目限制的 A+B與 B A− 一定是質數；這裡所運用的其實是我 們在中學學過的「如果所有小於或等於 n 的質數都不是 n 的因數，則 n 必為質數」的 觀念。

結語

「數論」（Number Theory ）是數學的一 個分支，專門研究數（尤其是正整數）的性 質，在所有數學領域中有最悠久的歷史，可 以說是最「純」的數學，常被暱稱為「數學 中的皇后」（the Queen o f Mathematics ）。

與數學的其他領域比較起來，數論的特 點之一是它有許多問題看似簡單，其實卻很 難；有些問題的題目簡單得連小學生都看得 懂，但是卻能讓數學家窮畢生之力都無法解 決 ； 最 有 名 的 例 子 當 屬 費 瑪 最 後 定 理 （Fermat's Last Theorem）的証明，這個定理 是說方程式_xn_+yn_=zn_{在 n 為大於 2 的整數} 時 沒 有 正 整 數 解 ； 費瑪 （ Pierre de Fermat, 1601-1665）只簡短地描述了這個性質而沒有 提供証明，後世數學家雖然大多相信這個未 經証明的「定理」是對的，長久以來卻苦於 找不到証明的方法；一直到 1995 年，這個三 百多年來困擾了一代又一代頂尖數學家的超 級難題才由任教於普林斯頓大學的 Andrew Wiles 予以解決。 除了等差數列外，是否還有其他「簡單」 的數列也包含著無窮多個質數？舉例來說， 由形如n2+1的數，或形如2n−1或n!+1的數 形成的數列中是否 包含著無窮多個質數？這

種看似簡單的問題常很難回答，有些問題到 目前為止在學術界還沒有確切的答案。 在 n 與n!之間存有質數似乎不足為奇， 因為隨著 n 的遞增，n!增大的速度相當快； 當n=3時，n!為 6，而當n=10 時，n!已經 大到 3628800；因此以上對質數落點的預測 是相當粗糙的；在 n 與n!之間不僅有質數， 而且常有數量龐大的質數。 俄國數學家柴比雪夫（P. L. Chebyshev, 1821-1894）於西元 1850 年証明了對任意大 於 1 的整數 n，在 n 與 2n 之間必有質數存在。 對較大的 n 而言，2n 當然比n!小得多，因此 這是對質數分布較準確的估計，不過其証明 方式不同於本文所述的方式。 由於數論所探討的對象是正整數，是最 「自然」的數，因此對一般人而言特別容易 親近，也特別容易感受其中的美妙。儘管經 過了數千年的研究，數論中仍有許多問題長 久以來懸而未決，答案僅止於人們的「猜想」 （conjectures）；沒有人可以肯定這些謎團最 終能不能被解開，但是我們可以肯定數論一 定會持續為現代及未來的數學家及業餘的數 學愛好者提供源源不絕的研究題材。

練習題

以下是幾個與本文內容相關的問題，提 供讀者參考。 1. 證明等差數列 5, 11, 17, 23, 29, …中包含 了無窮多個質數。 2. 証明對任意一個大於 1 的正整數 n 而言， 4 4+ n 必為合數。 3. 証明22002+1與22002−1都不是質數。 4. 証明末四位數為 0003 的質數有無窮多個。 5. 例題二中如果令 3 ) 11 7 5 3 2 ( 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = p K L 可不可行？ 6. 某 數 列 a1,a2,a3,K_{以 遞 迴 的 方 式 定 義 如} 下：    > + − = = + _{1 0} 0 2 2 1 n a a n a n n n 証明此數列中任意兩項皆互質。（提示： ) 1 ( 2_{− = −} n n n n a a a a ）

參考資料

1. C. V. Eynden, Elementary Number Theory , 2nd edition, McGraw-Hill, 2001.

2. K. H. Rosen, Elementary Number Theory

And Its Applications, 4th edition, Addison-

Wesley, 1999.