2012第二階段試題

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G E F C A _D B B C A D 2012 臺南市公私立國民中學暨完全中學數學競賽複賽試題卷 第一部分(第 1 到第 20 題,每題 3 分;共 60 分) 1. 有一個等差數列的前面四項分別是a b c b, , , 2   ，其中a b c, , _{都是不為 0 的數，那麼}c a的值為多 少？(A) 3 2 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 從 1 到 100 在這 100 個正整數中，個位數字是 7 的質數共有多少個？ (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 3. 長方形ABCD中，E F, 分別為邊_AB及_BC的中點，延長_DF及_AB，交於G點，如圖所示；則EFG與長方形ABCD 面積之比值為下列何 者？ (A) 7 8 (B) 5 8 (C) 1 2 (D) 3 8 4. 計算656785 656782 656783 656784   _{的值為多少? (A)}8 (B) 8 (C) 2 (D) 2 5. 已在邊長為 2 的正三角形ABC中，以_AB為直徑作一圓，分別交此正三角形的邊_AC及_BC 於D及E點，則AE=? (A) 1 (B) 3 (C) 2 (D) 3

6. 如圖，ABD ACD，BAC 30 ，且 90 1 2 BDA BDC      ，則ACB的 度數為多少度？(A) 45 (B) 50 (C) 60 (D) 75 7. 已知a為方程式_x2 _{ x}3 _1_0_{之一根，且}_a_{ }₁_，則 2 ₁ a a  _{之值為多少？} (A) -3 (B)  5 (C) 5 (D) 3 8. 假設 a_、b、c_、d、e_{為五個正數，且}d e a b   ，a b c d   ，b c d e   ，c d a e   ，則 a_、 b、c、d、e_{何者最大？ (A)}a (B) b (C) c (D) d 9. 已知a_、b皆為正整數，29a145b為一完全平方數(即為某個整數的平方)，則a b 的最小值 為多少？(A) 21 (B) 17 (C) 9 (D) 5 10. 用 2, 3, 4, 5, 6, 7 這 6 個數字中找出不同的 2 個數字，組成一個二位數，則滿足這樣條件 的所有二位數之總和為多少？(A) 1465 (B) 1475 (C) 1485 (D) 1495 11. 假設ABCDEFGH 是一個正八邊形，其中四邊形ABCD的面積為9，則此正八邊形的面積為 多少？(A) 24 (B) 27 (C) 36 (D) 45 12. 已知連續三個正奇數的乘積是一個六位數4_105 __a_104 __b_103 __c_102 __d_10_3_，其中 d c b a, , , _{均為阿拉伯數字，則此三奇數的和為何？(A)}₂₃₁ (B) ₂₃₇ (C) ₂₄₆ (D) ₂₄₉ 13. 計算 _{4 2012}_ 2 _{ }_{5 2012 2013}_ _{的值為多少？} (A） 3013 (B) 3023 (C) 4013 (D) 4023 14. 在直角三角形ABC中，_C _₉₀0_，_AB__c_，_BC__a_，_CA__b_，若_x a c  且y b c  且滿足 13x y15(x y ) 15 ，則x y _{？ (A) 1 (B)} 13 15 (C) 13 17 (D) 13 19 15. 假設a b, 是正整數，a b 且 12 1 1 1   b a ，則數對( , )a b 共有幾個？ (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 16. 計算(1 1 )(1 1 )(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 1 3 2 4 3 5 4 6 19 21            的值為多少？ (A) 40 21 (B) 41 21 (C) 41 20 (D) 39 20 17. 令a 3 5, b 5 2 及c 5 2 5，則此三數由小而大的排列順序為下列何者？ (A) a b c  (B) a c b  (C) c a b  (D) c b a  1

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18. 假設a、b、c均為正數，且 ab ac 518，bc ab 468，

ac bc





650

，則a,b,c_三 數乘積的值為多少？(A) 4200 (B) 4300 (C) 4305 (D) 4410 19. ₆₅_ ₆₃之值最接近下列何者？(A) 0.12 (B) 0.13 (C) 0.14 (D) 0.15 20. 假設a,b_{為相異的兩個數，已知}_x2__ax__b_₀_{的兩根分別為} p,q_，且_x2__bx__a_₀_的兩根分別為r,s，若

p q

  

r s

，則a b？ (A) 6 (B) 4 (C) 2 (D) 0 第二部分(第 21 到第 30 題,每題 4 分;共 40 分) 21. 假設 N 為正整數，如果 N 加上它的所有位數的數字的和為 313，則滿足這樣條件的 N 值 共有多少個？(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 22. 假設n為正整數，如果

n



100

與

n



100

皆為某整數的完全平方數(即為某個整數的平 方)，則滿足這樣條件的

n

值共有多少個？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 23. 假設_ax2 __{bx c}_{ }₀_{為一個一元二次方程式，其中}_{a b c}_{, ,} _{均為整數且有二個整數解，並滿} 足將

x



8

代入 _ax2 __{bx c}_ _{之後的值為 1，則滿足這樣條件的一元二次方程式共有多少個?} (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 24. 計算 2012₂₀₁₂ 2012₂₀₁₂ 96 12 48 6   _{的值為多少？ (A)} 2 1 (B) 1₂ (C) ₂2012 1 (D) ₂1006 1 25.在ABC中，AB AC ，BC7，D在AC上，AD DC: 3: 2，P點為BC上的任意一個點。現 在為使 AP PD 的值最小，則BP長應為多少？ (A) 4 (B) 5 (C) 11₃ (D) 13₃ 26. 假設有三個正整數x y z, , ，其中x y z  ，滿足1_x1_y1_z _{亦為正整數，則}_x2__y2_₃_z__？ (A) -5 (B) -3 (C) 3 (D) 5 27. 在ABC的BC邊上取一點D，使得

_{AB AC CD}



，又ADB  A，則C＝？ (A) 36 (B) 45 (C) 60 (D) 72 28. 如右圖，在四邊形ABCD中，AB6,AD3 2,CD6 3， __BAD_₁₃₅_,__ADC _₁₀₅，若其面積為 R，則最接近 R 的整數為多少？ (A) 57 (B) 58 (C) 59 (D) 60 29. 在 ₄2、₅2_、₆2_、…、₉₉2_、₁₀₀2_{共 97 個數中，將每一個數展開後其十位數字為偶數的共有多} 少個？ (A) 66 (B) 67 (C) 72 (D) 77 30. 假設a_、b、c_{都是質數，且}a b c abc   99 ，則a b c  ＝？ (A) 23 (B) 25 (C) 26 (D) 28 2

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數學競賽複賽參考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. C B D C B D C A C C 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. C B D C D A B A B B 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. B A B D B A A A D A 3