教育科學研究期刊 第五十五卷第二期 2010 年，
55 (2)' 207-231
國小四年級學生對乘法算則理解之研究
申 l 占百圓白玉淵授
﹒il--通教 -sm 學理束趴助
lj
科 山 崑摘要
本研究旨在探索學生對結合律與分配律等乘法算則概念理解的情形，研究樣本為國小四 年級的學生 80 人，進行三階段之調查作業，研究工具包含「算則概念辨識判斷」、「算式選擇 與解釋」、「算式表徵與解題」等三項測驗，配合紙筆作答、實作排列與訪談方式蒐集資料 O採百分比、 χ2 適合度考驗與質性方式進行資料分析，歸結研究發現:學生對單因子合成設計的
乘法算式較兩因子設計的分解或補價策略算式正確判斷比例高;選擇「直接加法」與「整體 合成」之算則策略進行解題，較選擇「數字分解」與「補償策略」者多;依據對算則策略的 理解，學生產出四種解決乘法問題的思考路徑，並能根據問題情境形成算式表徵'利用合成 算則策略解決問題。根據學生乘法算則概念理解的發現，可協助教師瞭解影響學生乘法算則 學習的要素..'作為改善代數推理教學設計和輔導學生數學學習機制的建立。 關鏈字:分配律、代數推理、結合律通訊作者 陳嘉皇，
E-mail: chenchai@kbrone
t.com.tw
壹、緒論
運用算則(
algorithms
properties) 執行數字運算，是學習操弄代數符號的基礎(Carpenter
,
Franke
, &
Levi
,
2003 )
0 Ca叩enter 等 (2003 )的研究發現，算則的學習與代數之間的轉化有密切關係'在計算或操弄符號表現優異的學生，較能透過一般化及利用概念和步驟之間關係的 辨識進行解題，且能因計算程序的簡化，而有事半功倍的效益。此外，研究也發現，將教學 焦點放在乘法分配律( dist巾ution law) 和結合律 (associative law) 策略的理解，對促進學生 代數推理，扮演著極重要的角色，因為:
一、乘法算則可協助學生一般化及驗證策略所強調的數學概念，並反過來發展代數的推 理(陳竹村，
1997
;南自強，1995 ' 1997 ; Carraher
,
Schliemann
,
Brizuela
, &
Earnest
,
2006
)。 教師若能提供等分解一個或兩個因子成為較小的數字，或證明為何可以這樣處理問題的機 會，在此過程中可讓學生暸解代數推理的重要性及算則的意義。 二、在乘法問題解題的過程中，學生若能將分配律與結合律加以一般化及驗證，那麼在 代數的學習上會有較佳的理解。例如，能夠驗證 16x8= lO x8+6x8 ，將能運用相似的推理 解決代數問題，像是 16y=lO
y+6y
;能解決 23X 35 =(20+3) X (30+ 5)=(20X 30)+(20 X 5)
+ (3 X 30) + (3 X 5)
，將可運用分配律的知識解決像個+b)(c + d) = ac + ad + bc +
bd 的代數 問題。 針對算則對學生數學概念學習的必要性，教育部 (2003 )在〈國民教育九年一貫課程綱 要:數學學習領域〉四年級之「代數」能力指標裡'強調學生要能在具體的情境，理解乘法 的結合律。對五年級學生則明示要能理解乘法對加法的分配律，並應用於簡化心算。因此， 數學作業的練習題裡，常出現有關結合律或分配律的問題，如長方形周長之算則，及加、乘 法之應用。乘法算則指的是將某物件所包含複雜的內涵關係'予以抽離成多層次的系統，來 描述被乘數、乘數與積之間的關係'並操弄物件內涵關係裡單位量轉換的活動(陳竹村，1997
)。四年級學生在課堂已經接觸乘法概念，但能否理解並運用算則進行解題，探索他們對 算則概念理解的狀況，可作為檢驗算則教學成效的依據。 學生若理解乘法算則，那麼應能解釋與證明執行計算時所運用的代數推理 (Ba仗， 2008 )。 但根據教學現場的觀察，教師並未提供一個學習代數的基礎，常將算則當成是一系列的運算， 很少提供學生進行數學關係思考的機會，因此，當學生接觸代數問題時，常無法判斷及運用 數學關係解決等式和簡單的算則問題。Baek ( 1998
,
2008
)指出乘法分配律與結合律概念的理解，最基本的能力是能對問題中有 關聯的數字加以分解與合成，明白等號兩邊數字運算代表等值的關係，當分解、合成與等值 概念經過合理的驗證後，才可建立堅固的結合律與分配律概念。然而，學生面對問題時，如何探索解題的要素，進行數字的分解和合成?如何從題意中數字的關係轉化成結合律或分配 律的算則?他們是否理解算式等號兩邊等值運算的概念呢?教師要協助學生有效的理解乘法 算則，那麼就需對乘法分配律與結合律概念的學習，深入明瞭不可。鑑此，本研究希冀透過 調查的方式，探索學生對分配律與結合律概念理解的情形，包含算則的辨識判斷、正確算式 的選擇與解釋，呈現對問題的思考，形成算式表徵，利用分配律與結合律進行解題，以提供 改善代數推理課程設計和教學實施的依據。本研究目的為: 一、探索學生對乘法算則概念辨識判斷的情形，作為引導學生數學概念理解學習的基礎。 二、分析學生對問題情境提供之多元算式進行正確選擇的情形，瞭解其解題運用的策略。 三、從學生對問題情境提供之多元算式選擇排列的表現與解釋，歸納出解決乘法問題的 思考路徑。 四、針對問題情境，探究學生如何思考問題關係'形成算式表徵，利用乘法算則解題。
貳、文獻探討
一、乘法分配律與結合律概念理解之引導
Ca中enter 等 (2003 )將數字基本的算則與運算的範例，視為是小學算術與代數之間整合 的重點，認為能將算則運用於解題上，且在解題的歷程討論如何運用，才可建立紮實的代數 學習能力。當學生能夠思考和抽離算則，那麼算則概念才能精細(sophisticated)
，才能減少操 弄具體材料的依賴，而使計算流暢白如。理解乘法問題是明白數學的重心，美國數學教師學 會 (NationalCouncil ofTeachers ofMathematics
[NCT間， 1989) 的〈學校數學課程與評量標準〉( Curriculum and evaluation standards for school
mathematics) 建議:學生需能透過算則的演算 和創造，發現問題變數之間的關係，建構出乘法概念的意義。因此，要促進發展流利的算則 策略，首先，要協助學生感覺乘法的概念，讓其能發展自己的策略;其次，要能明確地理解 算則，運用這些算則進行一般化，且能更代數的思考o 要讓學生感覺算則，教師需以其實生 活的情境介紹乘法，鼓勵學生討論問題情境、解題策略、對策略的推理，解釋算式與原問題 情境的關係。根據Ca中enter 等人的研究，認為教師要明白學生算則理解的情形，可運用下列 策略:在教學時可採用更代數化的方式呈現算則的概念，提供學生可提升等分解一個或兩個 因于的問題材料，對學生算則概念的理解可呈現是非題或採用開放式命題的方式進行評鑑。Baek
(2008) 認為上述策略不僅可促進聰慧的學生進行關係的思考，並能協助習慣運算 的學生，透過等式兩邊物件運算產出的結果，驗證算則中數字的等值關係，明確理解分配律 與結合律的概念，便於一般化這些算則，使計算更加流暢。雖然算則對學生數學概念的發展 與正確執行計算有重大的影響(陳竹村，1997 ; Baek
,
1998
,
2008;
Ca中enteret a
I.,
2003)
，但有 關學生乘法算則的理解，甚少針對學生如何將問題情境中的數字分解與合成後的關係做連結，以及影響運用算則的因素加以探索。 由 Baek
(1998
,
2008) 和 Carpenter 等 (2003 )提出的觀點，可知學生要理解乘法算則概 念，需對乘法問題進行辨識判斷、正確選擇與解釋算式，並能進行關係的表徵(如圖 l 所示),
因此，本研究乃以算式的辨識判斷、選擇解釋、算式表徵與解題等歷程的表現，作為探究學 生對乘法算則概念理解的重點，以檢驗學生對乘法分配律與結合律理解的情形，並從其對問 題關係思考後繕寫的算式表徵'分析其是否能將算則策略加以轉化解題，以獲得代數推理的 能力。 算則辨識判斷 算則概念理解 /刻， 解題表現與 算式表徵、\~一~
正確算式的 選擇與解釋 圖 l 學生算則慨念理解歷程開係圍 資料來源:Baek ( 1998
,
2008) ;
Carpenter 等 (2003)
二、學生乘法算則概念理解與解題策略
當學生面對問題情境時，如何透過算則與解題技巧有效地運算出答案?根據 Baek(2005)
的研究發現，學生會使用其對分配律與結合律直觀的理解，發展廣泛多元的策略，而能建立 一項分類的基模，顯示出學生不同理解層次的發展，其範圈可歸納成:(一)直接進行加法(
direct modeling to adding )
組計數物件的總數，一些學生需要透過計數所有的物件，才能塑造整個問題的情境並加以解
決。直接加法的策略又可分成兩種:由一個一數或十個一數的直接加法策略。
(二)整體合成數字(
doubling to complete number)
依據乘數的多少，將被乘數連續組合起來，學生會使用幾種策略，像是重複加法的運算， 或是兩兩相加將所有的數整體處理。例如 13x5=13 十 13 十 13
+ 13 + 13=26+26+
13 。(三)分解數字策略(
partitioning number strategies)
將乘數、被乘數或兩者分解成較小的數，以便能容易的進行乘法，學生會採用兩種方式 來分解乘數和被乘數，一種是將單一的數分解成非 10 單位的數，例如將 15
x
177 分解成(5X3) x 177 = 5 x (3 x 177)
;與將單一數分解成 10 單位的數，例如 61 x43 可以等分解成 61x (40
+3)=(61 X40)+(61
X3)' 這是單一數字的分解。另一種則是同時將乘數與被乘數分解成以10 單位的策略進行乘法的計算，例如26X39=(20十 6)X (30 十 9)=(20x 30)+(20 x
9) 十 (6X 30) 十(6X 9)
，此為兩個或多元數字的分解。(四)補價策略(
compensating strategies)
學生對以特殊特徵為基礎的數合成之特定問題，會進行數的調整，有時候會同時調整乘 數與被乘數，有時僅調整一種，若問題的數有包含 5 時，調整的策略會將乘數或被乘數加倍 或減半進行;若只進行乘數或被乘數其中一數的調整時，學生則會將它往上或往下調整以接 近 10 單位的數解題，例如 17x 70=(20X
70)-210 。 上述 Baek (2005) 的策略模式可瞭解「直接進行加法J '是利用視覺觀察情境物件，透過 計數整合出全體的數量，此策略適用於使用圖像方式解題的情境，該策略運用要能正確，需 配合堅實的觀察和計數能力.，-整體合成數字J '則是透過將問題情境中之相關數字累加的方 式呈現乘法概念，需具有將數字合成的能力，此策略可用於圖像、文字題或數字的情境，-分 解數字策略」則是能顯示單一因子或多元因子做分解與合成的動作，並瞭解變化後的數字結 果，仍然與先前的算式保持等值的關係，學生若能使用此策略進行乘法解題，大致上可說具 備分配律與結合律的概念，且具有對數字做符號操弄的能力;在「補償策略」部分，指的是 能洞察情境問題的數值關係'並能運用簡易、明智的方式解題，使用此類型策略的學生可謂 具備精熟之數學計算與思考解題能力。Baek
(2005) 的策略模式，與學生面對的問題情境類型和其認知能力的發展有關，這些 策略的劃分具有從具體數量操弄轉化到代數推理的特質，他假設學生運用的策略會以十位數 作為計數的單位，且明白情境中具有相似特徵的單一或多元因子可以進行分解與合成，明瞭 其間的數值關係仍然保持不變。這些策略的發展與學生認知能力、算則概念的理解有密切關 係'因此，學生是否能理解算則概念，可從其對情境問題中的數字運算與關係的發展進行探 句h::n...
Skemp ( 1987
)認為孩童進入學校時，其位值的記數法(place-value
notation) 概念是種「工 具性的理解 J(instrumental understanding)
，數詞(number
words) 與數值 (numerals) 尚未具有數字的意義，大多數學生對數字並無心智運算的變通力(
flexibility)
，只能透過對物件的計數呈現物件的整體數量(類似直接進行加法)。甚者，對算則的理解也是工具性的，也就是， 當運用算則時，只具備如 Wilder
( 1968
)所定義的「符號的投射 J(symbolic
reflex) 能力，無 法將具有相同性質的數字加以連結，建立關係進行運算。學生能創造訊號代表物件、觀念、 事件及關係進行運算時，Wilder 稱此為「符號的創始J(symbolic
initiative) 能力，與只能操弄 物件與對訊號行動的符號投射相較，符號的創始能力可同時創造和運用訊號，將數字加以分 解或合成計算。Wilder 主張算則概念的演化與發明，是符號創始的結果，他主張沒有理解算則、 符號操弄與數學表徵深層的意義，就會降低個體認知活動至符號投射的層次，也就無法對結 合律或分配律的要素進行連結，甚至可能產生誤解。要解決上述問題，Baek
(2008) 主張乘 法算則符號創始能力的出現，需要對問題中相關的要素進行瞭解，包含: (一)辨識問題呈現的物件、觀念與事件是否能夠根據其相同的性質加以分解或組合， 例如，甲有七個袋子，乙也有一樣的袋子八個，每一個袋子裡都裝有48 顆棒球，請問這些袋 子總共可裝幾顆棒球?學生需能瞭解每個袋子都一樣裝48 顆棒球，可採取分別算出甲、乙袋 子裡的球數加以組合;或是利用將甲、乙兩人擁有的袋數先行組合，再乘以每個袋子的球數， 算出答案，這是對乘法算則要素的辨識判斷。 (二)個體瞭解題意並可正確辨識問題中物件之間的關係後，進一步選擇結合律或分配 律等算則用來呈現物件的關係'例如，可以運用(7X 48)+(8 X
48)或(7+8)X 峭的算式進行計 算，這可謂是選擇正確的算式與對問題解釋的表現。 (三)呈現結合律或分配律的算式表徵'並在執行時針對運用的算式表徵檢驗其呈現的 效力，此處可謂是學生運用符號進行算式表徵與解題的表現。 因此，要促進結合律或分配律學習的成效，應從相關情境問題的設計著手，讓學生從問 題情境中瞭解乘法問題的目的與意義，然後導引學生逐步觀察發現問題情境中相關的物件或 數字，並能將這些數字予以合成或分解，整合成正確之算式，以解決乘法問題。 Ca中enter 等 (2003 )認為，分配律與結合律對於運用數學觀念證明時，可提供作為額外 的工具，然而，要成為有用的證明工具，則需引導學生逐步將算式中的數字，依據驗證推測 的順序加以處理。所以從算式內顯示的數字合成與分解的操作，可理解學生算則概念學習的 狀況。另外也指出解乘法問題時，學生對數字運算的策略並不侷限於一種，但選擇算則步驟 的先後，則會影響答案正確與否的產出，所以從學生解題選擇的算則與其解釋，亦可明暸學 生算則思考的路徑，推測其如何形成算則概念，進而協助乘法算則課程與教學的設計，促進 學生代數推理能力更堅實的發展。參、研究方法與步驟
本研究採用調查法進行資料的蒐集，研究工具參考 Ca中enter 等 (2003 )對學生代數推理 學習的觀點作為設計的基礎。 Ca中enter 等人認為，要明白學生算則概念理解的情形，可在教 學歷程以代數的方式呈現算則概念，提供可提升等分解一個或兩個因子的問題，呈現是非題 或採用開放式命題進行評量。此種設計可支持學生從乘法算則概念的變化，對分配律與結合 律進行學習與探究。 Baek (2008) 也主張學生從上述問題的設計，能從事對乘法算則變化之 辨識判斷，從可能解題的多元策略中進行選擇、解釋而形成解題的思考路徑，並從問題情境 思索算式中被乘數、乘數與積之間的關係'依據情境變數的關係形成算式表徵進行解題，而 明白乘法算則概念 o 為達成研究目的，本研究分三階段進行探究(如圖 2 所示)。 階段三 乘法情境問題之算 式表徵與解題 階段一 乘法算則概念之 辨識判斷 階段二 乘法算則正確算式 之選擇與解釋 圖2 本研究執行之流程一、階段一:乘法算則概念之辨識判斷
利用 Baek (2005) 研究歸納之算則理解的策略模式，採取是非題方式呈現不同數字因子 設計之乘法算則概念的算式，提供學生辨識判斷，以探索學生對分配律和結合律的理解狀況， 以及因子變化對算則判斷影響的情形。二、階段二:乘法算則正確算式的選擇與解釋
利用情境問題，延伸 Baek (2005) 主張學生在乘法解題歷程可能產出的算則策略，設計 合乎策略的多元解題算式，要求學生從這些算式中選擇可行性之算式，並將算式設計成紙卡 方式，透過實作與訪談要求其解釋解題時可能採用之算式順序，推測其解題時運用的算則， 進而歸納學生算則概念理解之思考路徑。三、階段三:乘法情境問題之算式表徵與解題
以學生生活情境作為基礎，設計乘法問題，要求學生依據題意，將解題思考的方式以算 式呈現，藉以瞭解其如何運用結合律與分配律進行解題，並從這些算式呈現的結構或步，驟， 探索學生運用算則時產生的困境，作為其解題時算則概念理解的解釋要素，提供未來課室教 學實務的參考 o以下茲就本研究之樣本、工具、資料分析與實施步驟加以說明。
一、研究樣本
根據能力指標分析，我國學生在小學三年級即開始學習二位數以上的乘法，除具有乘法 概念外，亦能對不同位值的數字進行分解和合成運算，例如 15X 12
'學生可採分解(l 0+5)X 12 解題; (2X13)+(8X13) 情境的問題，則能採用合成 (2+8)x13 等方法解題。俟四、五年級 時，教科書融入算則的介紹，讓學生瞭解乘法結合律與分配律概念與應用，當成協助學生簡 化數字與解題步驟的策略。鑑於四年級學生已具有分析與合成數的基本概念與能力，現今叉 接觸乘法結合律概念的教導，未來也要學習乘法分配律，為瞭解學生對乘法算則概念理解的 狀況，並作為學生代數推理學習的基礎，因此以四年級學生作為研究之樣本。 本研究採取立意抽樣方式，從南部地區選取 3 所自願參與研究之小學四年級學生 80 人 (分別為 26 、 26 、 28 名)。這些國小皆屬鄉鎮型學校，全校約為二十至二十四班左右，學生 家長社經地位中等，多從事農、工業職務。參與研究之學生數學學業成就理解中等。研究進 行前，參與研究之樣本，已經接受教科書之「乘法」與「整數四則運算」單元的教學，三個 班級的導師皆採用講述法配合教科書，情境問題練習演算，內容包含能用乘法列式、運用括弧 解決 '11日或減」、「乘或除」的混和計算，並瞭解有括號的算式要先算。例如，提供演算題目 像是lO x(79+21)
，情境文字題如:一個蘋果賣49 元，一個梨子賣的元，媽媽各買了十五 個，共要付幾元?等類型問題，要求學生思考並利用簡化計算的策略解題。 乘法問題的情境有許多類型，像是等組、乘法比較、乘積與面積問題(Greer， 1992) 。本 研究採用等組的乘法問題，主要理由在於小學教室裡'教師常運用這種問題，且是學生日常 生活中常碰到的問題情境;另外，學生若能對乘數、被乘數與乘積之間的關係加以理解，可 以促進其算則的流暢力。二、研究工具
為探索學生是否理解乘法算則概念，本研究依據Baek( 1998
,
20的， 2008 )和 Carpenter 等(2003
)的主張，採用是非題、多重選擇、實作排列與訪談法，提供學生有關分配律與結合 律的算式，要求學生進行辨識判斷、選擇解釋，說明算式括弧內顯示的數字合成與分解操作 的緣由，以理解其算則思考的路徑，推測其如何形成算則概念。調查工具有三:一為「算則 概念辨識判斷測驗J '結合律與分配律題目各5 題，總計 10 題(如表 l 所示) 0表 l 分配律與結合律慨念測驗內容與說明 題灰 題目 特徵 算則類型
23 X 17 = (20 + 3) X 17
單一因子直接加法 分配律2
(9 X 5) X9 = 45 X 9
單一因子整體合成 結合律3
20 X 34=2 X
(1
0 X 34)
單一因子分解 結合律4
21 x24-24=20x24
補償策略(兩個因子合成) 分配律5
(7
X 5) X (6 X4)=35 x24
兩個因子合成 結合律6
21 X 15=(20X 15)+(1 X 15)
兩個因子分解 分配律7
27X
(1
0+3)=27X 13
單一因子直接加法 分配律8
(32 X 9) X5 =32 x45
單一因子整體合成 結合律9
54 X 18 = 54 X(3 X 6)
單一因子分解 結合律10
29X 14=(30X
14) 一(1X 14)
補價策略(兩個因子分解) 分配律 作答方式要求學生判斷等號兩邊算式裡數字關係的呈現是否正確，正確回答者每題可得 1 分，無作答或錯誤者不予計分。測驗後則針對測驗內容對個別學生進行 10 分鐘的訪談，問題 如 1 你為什麼判斷這個算式是對的(或錯的) ?請說明一下。」、「這個算式為何是錯的? 怎樣才是對的? J 的問題，以明瞭其對分配律及結合律判斷的想法。 第二類工具為「算式選擇與解釋測驗 J '共計 4 題(如附錄一) ，每題皆含五項解題的 算式，每個算式除以是非題方式提供作答外，亦設計成紙卡，讓每位學生進行選擇和排列。 這些算式是依 .Baek (2005) 提出之算則策略類型加以設計，其意涵與類型包含:選項 1 :能從算式中， 1 辨識問題之意義 J' 理解並判斷若 a+b+c=d 之類型的算式正確
時，則 a+b-c=d 為錯誤的算式，算則策略在於提供辨識判斷。 選項 2:'
透過整體合成後數字的關係形成算式 J '觀察問題題意之後，要求能判斷 axb 為正確算式，因為 a 或 b 是由相似性質的數字組合而成，所以類似整體合成策略。 選項 3:
1 透過分解數字後的策略呈現算式 J '依問題題意要求能判斷 axc+bXc 為正確 算式，因將題目中某數字分解成 a 與 b' 算則性質類似單一因于分解。 選項 4:'
將問題情境中相似關係之數字做合成形成算式J '依問題題意要求能判斷(a+b) Xc 為正確算式 'a+b 代表原題意，算則性質類似直接加法策略。 選項 5:
1 明白算則中的數字可等分解，形成等值關係之其他算式 J' 依問題題意要求能判 斷(a+
c)
X(b
+
d)為正確的算式，算則性質類似兩個因于分解。 正確選答者，每選項可得 1 分，無作答或錯誤者不予計分 o 測驗完後要求學生依據解題 的認知進行算式紙卡的排列，如: 1 根據這個題目和列出的算式，要算出答案的話，你會先選 擇哪個算式來算?然後呢? ...最後會用哪個算式? J '並說明解題採用的思考路徑，以描繪出學生利用乘法算則解題的模式。根據 Baek
(
1998) 及 Carpenter 等 (2003 )的看法，上述選 項所包含之解題反應皆是理解與學習分配律和結合律所需的要素，因此，可從算式紙卡選擇 排列的測驗及訪談的內容，瞭解學生對算則概念理解的狀況，作為教學實務改善的依據。 第三類工具為「算式表徵與解題測驗 J '總計 6 題，問題內容分別以文字及圖像加以說 明，第 1 、 2 題採文字與圖像線索同時呈現方式，第 4 、 5 題則強調以文字說明方式，第 3 、 6 題則以圖像線索為主(如附錄二)。作答方式要求學生觀察問題後，利用簡捷的方法解題， 並呈現算式表徵，正確者可得 1 分，無作答或錯誤者不予計分。測驗後亦根據填答內容進行 訪談，問題如，對於這題為何寫錯算式?原因是什麼 7 J 探討學生採行策略解題的原因， 以明瞭使用分配律及結合律解題的狀況。 上述調查工具設計完後，經 2 位國小資深數學教師審核(數理教育研究所畢業，為各縣 市數學教育輔導團員，分別任教 10 年與 14 年) ，修正一些試題之數字，使得各類因子之試題 能平均分配呈現。並透過四年級一班學生( 28 名)進行預試，將學生理解進行庫李信度(Kuder-Richardson
reliability) 分析，得到三項測驗之Cronbachα 係數為 .94 、 .97 、 .89 。針對學生測驗的反應， 3 位評分者信度之相關係數達 .98 。本工具之試題內容設計符合學生認知 發展，題目辭意通順適合學生作答。
三、資料分析
資料分為兩部分處理，有關學生紙筆測驗調查部分，首先將學生在三階段測驗的反應加以檢視，是否符合作答的標準'再進行正確人數百分比統計與t 適合度考驗，考驗其觀察次
數與相對應的期望次數是否相符合;第二部分則根據學生在三個階段訪談的內容，逐步對算 則辨識判斷、算式選擇與紙卡排列解釋、算式的表徵與解題的說明經過文字稿轉譯編碼、整 理、分析等步驟，形成研究結果。研究者將所有受試訪談的資料進行編碼轉譯，例如【甲的A(3)
a】代表甲班 3 號同學，在第一階段活動有關辨識判斷測驗第3 道問題產出「不明瞭算式 中數字如何分解」的反應I 丙 06B(3)
b 】代表丙班6 號同學，在第二階段活動有關算式選 擇與解釋測驗第 3 道問題產出 'B 類型思考路徑」的反應;【乙17C(1)
a】則代表乙班 17 號同學，在第三階段活動有關算式表徵與解題測驗第1 道問題產出「對題意中數字的呈現方 式，影響解題思考」的反應。 關於質性資料的分析，研究者解讀所蒐集到的資料，以發現研究內容的關係'並排除與 研究無關的部分，進行資料分類的工作，透過訪談錄音(影)呈現的場景、研究對象調查資 料的解題紀錄，與 2 位國小教師的審視討論，表徵學生在三項測驗的反應。最後進行報告撰 寫，並透過學生測驗表現、影音檔案、分類資料與2 位國小教師觀點進行三角檢定，以使研 究能從不同的向度更確實與多元的檢視出學生的解題方式與想法，獲得一致性的闡釋。四、實施步驟
本研究參考丈獻，編製相關調查工具，經預試、修正後，分三階段進行，於 2008 年 10月至 2009 年 1 月期間實施，第一、二階段配合班級「乘法」與「整數四則運算」單元教學後，
分別於 10 及 11 月實施，以瞭解教學之成效;第三階段則與第二階段相隔 2 個月後，將之視為 後測方式於 2009 年 1 月底實施。調查採團體測驗方式，每次測驗時間為 40 分鐘，並於施測 之前，先說明測驗目的、作答方式，要求學生思考，做出最佳判斷及提供合適之解題策略， 每題都需作答，不能遺漏。測驗完後，研究者針對受試班級的學生，進行個別實作解釋與訪 談，訪談內容為其測驗內容的反應。肆、研究結果
有關研究結果，依各階段資料分析說明如下:一、算則概念辨識判斷測驗結果
學生在「算則概念辨識判斷測驗」結果分析如表 2 所示。 表 2 算則概念辨識判斷測驗之統計分析 題;欠 正確人數 比例(%)
t值
62
77.5
68.34***
2
63
78.7
"
3
22
27.5
4
27
33.8
5
56
70.0
6
30
37.5
7
70
87.5
8
58
72.5
9
32
40.0
10
28
35.0
***p
< .00
1.
從表 2 資料得知:學生對測驗之第 1 、 2 、 7 、 8 與第 5 題的辨識判斷，正確比例有 70%以上，對第 3 、 4 、 9 、 10 及第 6 題的辨識判斷，正確比例等於或低於 40% ;進行 χ2 適合度考驗，
得到 χ2 值 68.34 (χ2."， (9)=21.67) ， p<.OO1 ，顯示參與本研究之學生對於各題算則正確辨識
判斷的困難有明顯的差異存在。對不同算則判斷的表現加以分析，得到:單一因子直接加法策略(第 1 、 7 題) >單一因子整體合成策略(第 2 ， 8 題) >兩個因子合成、分解策略(第 5 、 6 題) >單一因子分解策略(第 3 、 9 題)與補價策略(第 4 、 10 題)的趨勢。 根據訪談資料，歸納學生在數字分解、補償策略判斷表現不佳，原因有: (一)不明瞭算
式中之數字如何分解而進行變化; (二)無法接受算式等號的右邊仍可分解運算; (三)認為
等號兩邊的運算符號需要一樣; (四)欠缺以正確算式解決問題的能力等協助算則概念理解的 知識，以致於算式判斷錯誤，反應類型如下: 類型 1 :我不知道 20X 34 = 2 X
(l
Ox 34
)中的 l0x34 是怎麼來的?為何這樣呢?直接寫上 20X 34=680 就好了。【甲的A
(3)
a
>
類型 2
: 20 X 34 = 2 X ( 10 X 34
)是錯的，因為 20
X
34=680' 不是 2
X
(l OX34) 。【甲
15A
(3)
b
>
"
類型 3: 21 X 15 = (20 X 15) +
(l
X 15
)不對，因為 21X
15 是乘法問題，不可能變 成相加的問題，不能寫成(20 X 15) +
(l
X 15
)。【乙 18A(6) c
>
類型 4: 21 X 15=305 ' 20X 15=300' 1 X 15= 15 ' 300+ 15=315 '
305 不等於 315 。 【丙 07A(6) d
>
他結果得知，學生對於單一數字因子直接加法或合成設計的算式，正確判斷的比例較高， 但對單一數字因子分解、兩因子合成或分解、補償策略之算式，比例明顯降低，顯示 Bake(2005
)提出之算則策略模式之認知層次發展的因素，與算式所含的數字因子分解或合成策 略的變化，會影響學生對乘法算則概念的理解。至於將可能解題的算式融入情境問題，提供 多元算則概念，讓學生進行選擇正確算式的活動，是否可提升其對乘法算則概念的理解?本 研究將透過下一階段的調查，並藉由訪談，瞭解提供相關多元算式的方法對學生算則概念理 解的影響，推測其解題思路的反應。二、算式選擇與解釋測驗之結果
學生在「算式選擇與解釋測驗」的分析如表3 所示。 由表 3 資料得知:學生對情境問題所提供之多元算式的選擇，各類選項正確比例的範圍 在 55%""'90%之間，皆較前一階段只呈現數字之算式判斷，正確比例要高。大多數接受訪談之 學生認為，這些同時出現於情境問題的算式，可提供對算則概念思考和比對所需的線索，只 要能將情境變項加以抽離並與算式核對後，即可進行判斷。顯示配合多元算式線索設計的情 境問題，可提升學生算則概念正確的理解，從圖3 ，-將問題情境中相似關係之數字做合成形成 算式 J (選項 4) 的選擇，正確的比例將近90%可獲得證明，因為學生透過情境變項關係理解 後，比對問題提供的算式，即可正確地進行選擇。表 3 算式選擇與解釋測驗統計分析表 第 1 題選項 選項卜 18
X24+ 17
選項2 、 35X24 選項 3 、 18X 24 + 17 X 24
選項4 、(1 8+17)X24
選項小 (30+5) X (20+4)
第2題選項 選項卜的 X18+ 12
選項2 、 45X30 選項 3 、 45x18+45x12 選項4 、的 X (1 8+12) 選項小 (40+5) X (20 + 10)
第3題選項 選項卜特 X10+6
選項2 、 48x16
選項3 、 48X10+48X6
選項4 、 48X
(1
0+6)
選項5 、 (40+8) X
(1
0 +6)
第4題選項 選項卜 lQ'X24+15
選項2 、 25x24 選項3 、 (2+3)X5 X24
選項4 、(1 0+15)X24 選項小 (20+5)X(20+4)*p
<
.05.
正確選擇人數 比例(%)
61
76.3
56
70.0
61
76.3
73
9
1.3
34
42.5
正確選擇人數 比例(%)59
73.8
52
65.0
59
73.8
74
92.5
38
47.5
正確選擇人數 比例(%)52
62.0
72
90.0
52
62.0
69
86.3
46
57.5
正確選擇人數 比例(%)
44
55.0
68
85.0
50
62.5
70
87.5
49
6
1.3
t值
10.22*
x
2f直
12.07*
x
2值9.15
t值
10.12*
表 3 之計適合度考驗，分別得到第 1 、 2 、 4 題之計值為 10.22 、 12β7 與 10.12 ' (其295， (4)
=9
.4
9)
'p
<
.05 ，除第 3 題外，其餘皆達到顯著水準，可知學生對每一題情境問題多元算 式之間的選擇反應有顯著的差異。另從表 3 選項類型整體統計資料分析得知，學生正確選擇 的算式額型以選項 4 ('將問題情境中相似關係之數字做合成形成算式 J) 的人數最多，其次為 選項 2 ('透過整體合成後數字的關係形成算式 J) 、選項 3 ('透過分解數字後的策略呈現算 式 J) 、選項 5 ('明白算則中的數可以等分解，形成等值關係之其他算式 J) 。此結果顯示出: 學生明白情境問題的題意後，大多會先直接選擇配對題意之算式，然後再思考進行數字之整選項 2 選項 3 選項 4 選項 5 圖 3 學生在情境問題各類算式正確判斷之比較 體合成與分解的策略解題。如學生所說的: .第 1 題 .第 2 題 國第 3 題 口第 4 題 s: 第 1 題題目中已經告訴我們有兩種顏色的手兵球，只要將它們加起來，再乘以 24 就可以算出答案了(選項 4) 。另外，也可以從題目的意思分開來算，先算紅色的 共兵球有幾個，再算綠色的共兵球有幾個?然後加起來就可以了，所以第三個算 式是正確的。【丙 2IB (1 )a 】 s: 第 3 題題目已經說:每個球袋都裝 48 顆棒球，這邊有 10 個袋子，這邊有 6 個球 袋，所以總共有 48
X
(10+6) 顆棒球(還項 4)' 也就是 48X 16
(選項 2) 。【丙06B
(3)
b
>
s:
:第 4 題可以(10+15)
X24 計算外(選項 4) ，從圖中知道禮盒裡的蘋果有25 顆， 可以分成 (20+5) ，總共有 24 個禮盒，也可以將他分成(20+4) ，所以 (20+5)
X
(20+4) 是正確的(還項 5) 。【甲 09B(4) d
>
本階段設計的算式是依據 Baek (2005) 的算則策略模式加以延伸，各選項皆有符應的算 則策略，從選項分布的情形可以得知:四年級學生大多數是以「直接加法」和「整體合成」 的算則策略解決乘法問題，採用「分解策略」與「補償策略」解題者較少，顯示出對「分解」 與「補償」算則策略的理解較為困難。 透過算式紙卡選擇排列測驗與訪談資料加以分析:學生對本研究設計的乘法情境問題， 其解題運用的算則思路，可以分成四類模式(如表 4 、圖 4 所示)。 由上述資料可知:學生理解問題後，開始選擇解題運用的算則，會影響其思考的路徑， 這與 Carpenter 等 (2003 )的研究發現一致。研究也發現，學生會根據自己的經驗或能力，選 擇從表 4 之「直接加法策略」或「單一因子分解策略」開始進行解題，然後進展至「兩個因表 4 學生應用算則思考路徑之分析 思考路徑類型運用算則思考路徑的l順序
A.
(51 人) 直接加法策略→整體合 成策略→單一因子分解 策略→兩個因子分解策 略。B.
(15人) 單一因子分解策略→整 體合成策略→直接加法 策略→兩個因子分解策 略。C.
(12人) 直接加法策略→單一因 子分解策略→整體合成 策略→兩個因子分解策 略。D.
(2人) 單一因子分解策略→直 接加法策略→整體合成 策略→兩個因子分解策 略。 範例說明 s: 我還是會用第 1 題的方法，先用的 X (1 8+12) 的 方式表示，然後用的 X30
'再來是 45X 18+45 X
12
'然後(40 + 5) X (20 +
10
)。【丙 2IB(2) a
>
s: 看了問題後，我發現有兩邊的背包，所以我會先算 這邊的，再算那邊的，我的方式是先用 48x10+48
x6表示，然後變成48X 16
'再來是 48x(1
0+6)
,
最後才是(40 + 8) X
(1
0+ 6
)。【丙06B(3)
b
>
s: 我會把題目中的這一列加起來乘以 5 '再乘以24來 算，所以我會先用 (2+3)X 5
X24表示，然後看 圓的變化是(1 0+15) X 24
'再來把數合起來是25x24
'最後就是(20 + 5) X (20 + 4
)。【甲。他(4)
c
>
s: 對於第 1 題，我會先用的 X24+ 17 X
24 的方式解 題，然後再變成(1 8+1
7)
X24的方式，再來變成35 X 24
'最後是(30+5)X
(20+4) 。【乙 19B( 1) d
>
子分解策略」的算則概念。「直接加法策略」與「單一因子分解策略」這兩種思考是學生最常 用來解題的頤徑。選擇從「直接加法策略」算則出發解題的學生，透過情境線索的提示，從 分解的數字予以合成的概念進行計算，由部分至整體再至關係整合的思考;而選擇從「單一 因子分解策略」算則出發解題的學生，則從整體之數字予以分離的概念進行計算，由整體至 部分再至關係整合的思考。對各思考路徑採用之人數，從高至低，依次為路徑 A>B>C>D' 進行 l 適合度考驗，
得到之 x
2值為
59.27
({99.9
,
(3)=16.2
7),
P
<
.001 ，達到顯著水準，可知學生對於解決乘法問
題採用之思考路徑有明顯的差異存在。研究就發現，以 A 算則思考路徑解題之學生人數最多， 此思考路徑與 Bake (2005) 的算則策略模式進展一致，學生會先用合成的算則策略解題，再 延伸至分解策略的運用;另一方面，本研究進行之前，學生剛好接受結合律的教學，相關數 字合成概念的記憶力及經驗較為清晰，且明白結合律的運用可以簡化數字的運算，正確值亦 較高。從數字合成轉化至分解的歷程 (A 、 C) ，與從數字分解轉化至合成的歷程 (B 、 D) 做 一比較，反映前者模式較後者模式的人數多 (63: 1
7)
，顯示出本研究學生算則概念的理解， 呈現「數字合成」轉化至「數字分解」較為容易學習，與數學領域能力指標宣稱的:四年級 學生應先學習結合律，五年級再學分配律的認知發展相互驗證(教育部，2003) 。---....
子略
因策
個解
兩分
-.
一-.
A 算則思考路徑一一~‘
子略
因策
個解
兩分
B 算則思考路徑一一一---.:..
一-.
C 算則思考路徑一一一---....
子略
因策
個解
兩分
-.
D 算則思考路徑一一一jij
學生算則運用之思考路徑結構 圖4三、算式表徵與解題測驗結果
學生在「算式表徵與解題測驗」分析如表 5 所示。 從表 5 資料得知:除第 2 題外，每題皆有超過 60% 的學生(第 1 題略近) ，能依題意寫下 正確的算式表徵並解題，且大多數學生使用合成策略，簡化問題的數字，順利計算出答案。 從正確解題者大多運用合成策略來說，學生明瞭對於計算程序複雜的問題，會依情境需要採 用數字整體合成的策略協助解題。學生在第 2 題情境問題寫下正確算式表徵的比例較低，雖 然大多數學生使用數字整體合成策略解題，但因本問題在題意與數字的呈現上，容易造成混 淆，因此產生計算錯誤，足見學生雖會利用算式表徵解決乘法問題，但仍需配合對題意理解 能力與細心，才能寫出正確算式表徵。 從問題情境設計方式對算式表徵呈現的影響進行分析，可以發現正確的比例依次為:以表 5 算式表徵與解題測驗結果統計分析 試題 正確人數(%
)
使用合成黨略人數(%)
123456
45 (56.3)
25
(31.3)
58 (72.5)
52 (65.0)
49 (6
1.3)
65
(8
1.3)
使用分解黨略人數(%)
5
(11.1)
1 (
4.0)
4 (
6.9)
2 (
3.8)
8
(16
.3)
2 (
3.1)
40 (88.9)
24 (96.0)
54 (93
.1)
50 (96
.2)
41 (83.7)
63 (96.9)
圖像說明的問題設計(第3 、 6 題) >文字說明的問題設計(第4 、 5 題) >文字、圖像兩者 要素同時呈現的問題設計(第1'
2 題) ，主要是圖像要素設計的問題，提供學生解題時具體 的線索，可讓其透過觀察、操弄而歸納和驗證其寫出的算式表徵'而文字說明或文字、圖像 同時呈現設計的問題，需要學生理解變數其間的意涵與關係'進一步思考及整合問題中相關 線索，其轉化需更多認知資源，較易錯誤與混淆。針對學生無法寫出正確的算式，根據訪談 結果，其原因可歸類為: (一)題意中數字的呈現方式，影響學生的解題思考; (二)細心不 夠，誤將不同性質之數字做合成。如下列學生的反應: 原因 1 :我將算式寫成 80x36+20 是因為看錯了，因為題目是說每條要再加上 20 公 分，我以為是算出來以後再加上 20 公分 o 【甲 06C(4)
a
>
我看不懂為什麼蘋果裝 8 個後，再裝 4 個的意思，所以我才寫成 4xI5+8' 現在才知道是 (8+4 )再乘以 15 。【乙 17C(1)
a
>
原因 2: 我把 19 個金魚缸看成是 9 個金魚缸，所以就算錯了。【乙 28C(2) b
>
我會寫成(1 9+9) x6 是因為我以為金魚缸內，分別放進去 19 隻和 6 隻金 魚，而總共有 6 個金魚缸。【乙 BC(2) b
>
從訪談資料發現，文字說明方式設計的算式，其意涵的表達與數字出現的順序，直接影 響學生解題策略的思考，間接地影響算式的呈現與解題。因此，要提升學生算則概念的理解， 問題題意之瞭解是項重要的能力，在教學的歷程上應特別重視。伍、發現與討論
依據研究目的，將研究結果總結成下列發現:一、學生對單因子合成設計的乘法算式較二因子分解與補償策略設計的算
式正確判斷比例高
本研究結果顯示:學生對單因于數字直接加法或合成，較三因于數字合成或補償策略設 計之算式正確判斷的比例高，得知算式中數字因于個數的變化，會影響學生對合成算則正確 的判斷。從學生訪談的結果歸納原因在於:學生對於單一數字因于合成的問題，透過視覺觀 察或簡易數字計算的程序與學習的經驗，即能發現算式中數字的形式雖改變，但仍具等值的 關係，因此可做出正確的判斷;而在二因于分解或補償策略設計的算式裡，因為數字經過重 組改變其原先的位置與樣式，需加以比對與驗證，在判斷的過程需應用更多的認知資源，因 此錯誤判斷的比例較高。但從單因子數字分解與二因于分解之正確判斷的比例加以比較，結 果並不一致(第 6 題>第 3 、 9 題>補償策略第 10 題) ，是否與研究設計之題數、問題結構、 數字大小或其他因素有關，值得日後研究加以釐清。 學生對數字分解或補償策略算式的判斷反應，仍限於 Wilder( 1968
)所定義的「符號投射」 能力層次，無法理解分配律或結合律概念裡的深層意義，包括算式中相似特質的數字可以分 解或合成，等號代表兩邊物件等值的關係'只強調算則表面訊號的變化，缺乏對數字進行心 智運算的變通力。因此，在教學材料內容的安排，乘法算則問題的設計宜考慮由單一合成數 字因子變化的題目，逐步轉變為三個數字因子分解變化或補價策略的問題，並依照 Baek(2005
)發現的算則策略理解層次，由簡而難，培養學生建立「等號」代表兩邊物件等值的 關係'與數字合成和分解等堅實的基本算則概念後，再予以深化與應用。二、學生選擇「直接加法」與「整體合成」之算則策略進行解題，較選擇「數
字分解」與「補價策略」者多
本研究發現學生對算則策略的理解，與Baek (2005) 的研究一致，即學生對不同算則概 念的理解呈現理解層次的差異:學生在「直接加法」與「整體合成」的算則策略，正確選擇 的比例較高，在「數字分解」或「補償策略」上比例較低。另一發現是配合多元算式設計之 情境問題，提供了學生對算則概念比對和判斷的解題線索，可提升對分配律與結合律算則的 理解。問題情境配合多元算式的設計，對學生算則概念的理解是有助益的，因為激發學生不 同的解題思考路徑，可提供教師教學實務改進參考的資料。 依據學生選擇算則策略運用的反應，對於算則概念的教學，可指導學生從問題情境中辨 識題意與問題中相關物件與要素，然後指示將相似關係的數字加以整合成為結合律之練習; 或指引學生將解題可用之算則呈現，然後配合情境變化引導學生將問題情境中之數字或物件 分別進行分解與合成，同時學習分配律和結合律等概念，並驗證其間的等值關係，再配合具 體情境將不同數字進行分解以學習分配律，最後證明所用算則皆具有等值之關係。三、學生依據對算則策略的理解，產出四種解決乘法問題的思考路徑
針對學生對研究提供的情境問題，配合不同解題算式紙卡之排列解釋活動，歸納解決乘 法問題之四種算則思考路徑，其中以「合成策略」至「分解策略」的比例最高，與教育部 (2003)
宣稱之學生算則概念之認知發展能力指標相一致。根據學生對解題所產出的算則思考路徑， 研究者認為指導學生進行乘法算則的學習，其環境的布置可從兩方面著手:一是指導學生從 表徵問題中辨識題意與問題中之相關物件與要素，然後指示將相似關係的數字加以整合成為 結合律之練習，並與呈現算則的算式比較驗證，發現等值的關係，再配合表徵問題將不同數 字進行分解以學習分配律，最後證明所用之算式皆具有等值之關係。例如，以第二階段問題 3 為例，指導學生發現題目中兩邊皆有相同的背包，然後可用 48X 16+6x
16 或(40+8)X16 的 算式計算;再者，配合情境將不同數字進行分解的操弄以學習分配律，像(40+8)X(l 0+6) 。 另一則是提供情境問題，指引學生將解題可用之算式呈現出，然後配合情境變化引導學 生將問題情境中之數字或物件分別進行分解與合成，同時學習分配律和結合律等概念，並驗 證其間的等值關係。以本研究第二階段之題4 為例，教師將解題所用之算式列出，然後透過 教具的操弄，如呈現出25x24 的情境，再變化成(l0+5)X24 的算式，讓學生瞭解算則結構與 相符應之情境的意義，進而學習分配律或結合律的概念。前者教學，是以進程的方式逐次呈 現算則要素至算則的學習過程;後者則是以算則結構為主，配合情境數和物件的操弄而學習 乘法算則。四、四年級學生根據問題情境能形成算式表徵，利用合成算則策略解決問題
對本研究設計之「算式表徵與解題測驗」問題，大部分學生能正確寫出算式進行解題， 其中以「合成策略」方式呈現較多，學生會依|育境需要，思考合宜的算式協助解題。研究也 發現，採用文字或圖像說明不同設計的情境問題，會影響學生呈現算式表徵與解題的表現， 此結果顯示出「視覺化」的因素影響著學生解題的表現，這與Rivera (2010) 強調對發展與促 進學生代數推理能力方面的教導，可思考藉由幾何圖像視覺化的一般化活動加以提升的主 張，似乎有所關聯，此議題值得日後加以探索。 從學生對文字說明設計問題的解題表現發現，情境問題意涵的說明與數字呈現的方式， 混淆學生解題的思考，一些學生因對題意理解因素的影響，致使產出的算式表徵錯誤，無法 將相似關係的數字或物件加以合成或分解，而影響算則正確的呈現。可知要對乘法問題正確 解題，學生之算則應用和對問題理解的能力，兩者缺一不可。針對算則概念的理解，需同時 加強學生對問題題意理解的能力，與對數字分解和合成能力的練習，才能促進學生對呈現之 算式結構與意義的轉化。另外，從學生錯誤算式產出的因素分析發現，問題設計呈現的資訊， 所產生的視覺搜尋和感受的效應，也會影響學生對算則思考的理解，因此，算則概念的教學 設計，可先安排圖像情境，激發學生思考，再配合丈字說明，統整學生對算則之結構和意義的連結，將有助於學生對算則概念的理解和應用。 本研究目的在於探索學生對乘法問題有關算則概念理解的狀況，提供建議以改善代數推 理數學教學的實務。根據學生運用乘法算則概念解題之思考路徑，未來可以設計合宜之教學 設計，大規模深入教學現場進行實驗探究，明瞭學生對算則概念發展之細節，並比較不同教 學模式產生之效力，以提升學生代數推理能力，改善其學業成就表現。為理解相關因素對學 生算則概念發展的影響，未來研究可同時配合圖形、語文理解和情感因素等相關工具的施測， 與實際教學現場之觀察，深入瞭解學生乘法算則發展影響因子，作為改善教學設計和輔導學 生學習機制的建立。
誌謝
本研究承蒙行政院國家科學委員會專題研究計畫(計畫編號:NSC97-25
;J
l-S-168-001-MY2) 補助經費、審查委員提供寶貴意見，及國立嘉義大學數理教育研究所劉祥通教授予以 指導斧正，特此致謝。參考文獻
一、中文部分
陳竹村(1 997)。數與計算教材設計對於乘法算則的一些看法。載於臺灣省國民學校教師研習 會(主編) ，團民小學數學科新課程概說(中年級)一協助見童認知發展的數學課程 (pp.
95-118
)。臺北縣:臺灣省國民學校教師研習會。<
Chen
,
Z.-C.
(1997).
Some ofviews ofthe number and calculation ofmaterials designed for multiplication operator.
In Ministry of Education
,
Taiwan Provincial Council (Ed.)
,
National
primaη schoolmathematics curriculum
survey
-junior (pp.
95-118).
Taipei County
,
Taiwan: Ministry of Education
,
Taiwan Provincial Counci
l.>
教育部 (2003 )。國民教育九年一貫課程綱要:數學學習領域。臺北市:作者。
<
Ministry of Education
(2003).
9-year-integrated mathematics curriculum standards for national schools from
grade
1 的 9in Taiwan. Taipei
,Taiwan: Author
>
南自強( 1995) 。單位量的變換(二)一正整數乘除運思的融合。教師之友，
36 (5)
,
35-44 。【 Nin臣，
T.-C.
(1995).
Units of transform
(II):
Positive integer multiplication and method thinking of fusion
The Professo
r,36(5)
,
35-44.
>
甫自強 (1997)。由多單位系統看中年級的數與計算教材。載於臺灣省國民學校教師研習會(主 編) ，國民小學數學科新課程概說(中年級)一協助兒童認知發展的數學課程 (pp. 66-77) 。 臺北縣:臺灣省國民學校教師研習會。
【 Ni時，
T.-C.
(1
997).
The number of units the number and grade and calculation of materials. In Ministry of
Education
,
Taiwan Provincial Council (Ed.)
,
National
primaη schoolmathematics curriculum survey-junior
(p
p.
66-77).
Taipei County
,
Taiwan: Ministry of Education
,
Taiwan Provincial Counci
l.>
二、外文部分
