104學測(數學考科)

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104 年學測第 0 頁數學考科共 7 頁

1 0 4 學年學科能力測驗數學考科試題

第壹部分：選擇題（占 50 分）

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

一、單選題（占 2 0 分）

說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）

題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 每週同一時間點記錄某植物的成長高度，連續五週的數據為a11, a22, a36, a415, a531。請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子？ (1) at13at ，1 t1, 2, 3, 4(2) at  ，t! t1, 2, 3, 4, 5( 3) at1at ，t2 1, 2, 3, 4 t ( 4) 2t 1 t a   ，t1, 2, 3, 4, 5(5) at1tat ，1 t1, 2, 3, 4 2. 第 1 天獲得 1 元、第 2 天獲得 2 元、第 3 天獲得 4 元、第 4 天獲得 8 元、依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍，如此進行到第 30 天，試問這 30 天所獲得的錢，總數最接近下列哪一個選項？ (1) 10, 000 元 (2) 1, 000, 000 元 (3) 100, 000, 000 元( 4) 1, 000, 000, 000 元(5) 1, 000, 000, 000, 000 元 3. 有兩組供機器運作的配件 A、B，其單獨發生故障的機率分別為 0. 1、0. 15 。只有當 , A B 都發生故障時，此機器才 無法運作。A、B兩配件若用串接方式，前面故障會導致後面故障，但若後面故障則不會影響前面的故障情形；若用並列方式，則故障情形互不影響。若考慮以下三種情形： ( 一) 將B串接於 A之後 (二) 將A串接於B之後 ( 三) 將 , A B 獨立並列 在情況 ( 一)、( 二)、( 三)之下，機器無法運作的機率分別為 p1、 p2、 p3。請選出正確的選項。 ( 1) p1 p2  p3( 2) p2  p1 p3( 3) p3  p2  p1( 4) p3  p1  p2( 5) p1 p2  p3 4. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 ABCDEFGH 及其內部，如右圖。已知目標函數ax by 3 （其中a b, 為實數）的最大值只發生在 B點。請問當目標函數改為3 bx ay  時，最大值會發生在下列哪一點？ (1) A( 2) B( 3) C (4) D(5) E

二、多選題（占 3 0 分）

說明：第 5 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇

（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個

選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

5. 小明參加某次路跑 10 公里組的比賽，下表_爲小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平均心率及步數：完成時間平均心率步數第一公里 5: 00 161 990 第二公里 4: 50 162 1000 第三公里 4: 50 165 1005 第四公里 4: 55 162 995 第五公里 4: 40 171 1015 第六公里 4: 41 170 1005 第七公里 4: 35 173 1050 第八公里 4: 35 181 1050 第九公里 4: 40 171 1050 第十公里 4: 34 188 1100 在這 10 公里的比賽過程，請依據上述數據，選出正確的選項。 (1) 由每公里的平均心率得知小明最高心率爲 188( 2) 小明此次路跑，每步距離的平均小於 1 公尺 ( 3) 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數_爲正相關 ( 4) 每公里步數和每公里平均心率的相關係數_爲正相關( 5) 每公里完成時間和每公里步數的相關係數_爲負相關 0

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-104 年學測第 1 頁數學考科共 7 頁 6. 設 f x( )是首項係數為 1 的實係數二次多項式。請選出正確的選項。(1) 若 f(2) 0 ，則x 可整除2 f x( ) ( 2) 若 (2) 0 f  ，則 f x( )為整係數多項式(3) 若 ( 2) 0f  ，則 (f  2) 0 ( 4) 若 f(2 ) 0i  ，則 f( 2 ) 0 i  (5) 若 f(2 ) 0i  ，則 f x( )為整係數多項式 7. 坐標平面上，在函數圖形 _y_2x_{上，標示} A、B、C 、D四個點，其x坐標分別為1、0、1、2。請選出正確的選項。 ( 1) 點B落在直線 AC 下方(2) 在直線 AB、直線BC 、直線 CD 中，以直線 CD 的斜率最大 ( 3) A、B、C 、D四個點，以點B最靠近 x 軸 (4) 直線 y2x與 _y_2x_{的圖形有兩個交點 (5) 點} A與點C 對稱於

y

軸 8. 坐標平面上有一雙曲線，其漸近線為x y 0和x y 0。關於此雙曲線的性質，請選出正確的選項。 ( 1) 此雙曲線的方程式為 x₂2 y₂2 1 r  r  或 2 2 2 2 1 x y r r   ，其中 r 為非零實數(2) 此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長(3) 若 點( , )a b 為此雙曲線在第一象限上一點，則當a1000時， a b  (4) 若點1 ( , ), ( ', ')a b a b 為此雙曲線在第一象限上兩點且a a ，則' b b (5) 此雙曲線同時對稱於 x 軸與' y_軸 9. 如圖，以M 為圓心、MA= 為半徑畫圓，8 AE為該圓的直徑，B、C 、D三點皆在圓上，且 AB BC CD DE= = = 。若_MD__{8(cos(θ90 ), sin(θ90 ))}_{ } _{ } 。請選出正確的選項。 (1) MA8(cosθ, sinθ)(2) MC8(cos(θ45 ), sin(θ45 ))    ( 3) （內積）_{MA MA} _ _₈( 4) （內積） _{MB MD}_ _₀(5) BD8(cosθcos(θ90 ), sinθsin(θ90 ))     

10.某一班共有 45 人，問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有 35 人有手機，而有 24 人有平板

電腦。設：

A 為同時有手機與平板電腦的人數;B 為有手機，但沒有平板電腦的人數;C 為沒有手機，但有平板電腦的人數;D 為沒有手機，也沒有平板電腦的人數請選出恆成立的不等式選項。

(1) A＞B (2) A＞C (3) B＞C (4)

B＞D (5) C＞D

第貳部分：選填題（占 5 0 分）

說明：1.第 A 至 J 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（11–37）。 2.每題完全答對給 5 分，

答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 如圖，老王在平地點

A

測得遠方山頂點

_P

的仰角為13°。老王朝著山的方向前進 37 公丈後來到點

B

，再測得山頂點

P

的仰角為15°。則山高約為

⑪⑫

公丈。（四捨五入至個位數， tan13 0.231， tan15 0.268） B. 不透明袋中有 3 白 3 紅共 6 個球，球大小形狀相同，僅顏色相異。甲、乙、丙、丁、戊 5 人依甲第一、乙第二、……、戊第五的次序，從袋中各取一球，取後不放回。試問在甲、乙取出不同色球的條件下，戊取得紅球的機率為。（化為最簡分數） C. 小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多能種 8 盆，可以不必擺滿，並且每種花至少一盆，則小燦買盆栽的方法共有

⑮

⑯

種。 1 -12 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 13 A 37

７

B B P B E B C D A M

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第 2 頁 104年學測共 7 頁數學考科 D. 平面 x  y z 0與三平面 x2，x  y 2，x y 2分別相交所得的三直線可圍成一個三角形。此三角形之周 長化成最簡根式，可表為 a b c d ，其中 a b c d, , , 為正整數且b d ，則

a



⑰

，b

⑱

，

c



_⑲

， d 

⑳

。 E. 坐標平面上，直線L 與1 L 的方程式分別為2 x2y0與3x5y0。為了確定平面上某一定點P的坐標，從L 上的1 一點Q 偵測得向量1 Q P₁  ( 7, 9)  ，再從L 上的點2 Q 偵測得向量2 Q P₂   ( 6, 8)  _{，則} P點的坐標為（

㉑

,

㉒

）。 F. 小華準備向銀行貸款 3 百萬元當做創業基金，其年利率爲 3%，約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款，但給小華創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下，小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳

㉓㉔㉕㉖

元。

G.

某一公司，有 A、B 、C 三個營業據點，開始時各有 36 位營業員，為了讓營業員了解各據點業務狀況，所以進行兩次調動。每次調動都是：將當時 A 據點營業員中的 1/ 6 調到 B 據點、 1/ 6 調到 C 據點；將當時 B 據點營業員中的 1/ 6 調到 A 據點、 1/ 3 調到 C 據點；將當時 C 據點營業員中的 1/ 6 調到 A 據點、 1/ 6 調到 B 據點。則兩次的調動後， C 據點有

㉗㉘

位營業員。 H. 有一底面為正方形的四角錐，其展開圖如下圖所示，其中兩側面的三角形邊長為 3, 4, 5 ，則此角錐的體積為

。

（化為最簡根式） I . 在空間中，一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角 的正切值tan。若一金字塔（底部為一正方形，四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡度皆為 2 5，如圖。則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為。（化為最簡分數） J. 下圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時，將方向盤轉動到極限，以低速讓汽車進行轉向圓周運動，汽車轉向時所 形成的圓周的半徑就是迴轉半徑，如圖中的 BC 即是。已知在低速前進時，圖中 A處的輪胎行進方向與 AC 垂直， B處的輪胎行進方向與 BC 垂直。在圖中，已知軸距 AB 為 2.85 公尺，方向盤轉到極限時，輪子方向偏了 28 度， 試問此車的迴轉半徑 BC 為

㊱

. ㊲

公尺。（小數點後第一位以下四捨五入， sin 28 0.4695, cos 28 0.8829） 2 -B 2.85 公尺 A

28

B C

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104 年學測第 3 頁數學考科共 7 頁

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為a，公差為d 的等差數列前n項之和為 (2 ( 1) ) 2 n a n d S   首項為a，公比為r r( ¹ 1)的等比數列前n項之和為 (1 ) 1 n a r S r   

2. 三角函數的和角公式：sin(A B ) sin cos A Bcos sinA B cos(A B ) cos cos A Bsin sinA B

tan tan tan( ) 1 tan tan A B A B A B     3. ABC的正弦定理： 2 sin sin sin

a b c _R A B  C  （R為ABC外接圓半徑） ABC  的餘弦定理： _c2 __a2__b2_₂_ab_cos_C 4. 一維數據 X x x: , ,...,1 2 x ，算術平均數n 1 2 1 1 1 ( ) n X n i i x x x x n n        



標準差 2 2 2 1 1 1 1 ( ) (( ) ) n n X i X i X i x i x n n n            5. 二維數據( , ) : ( , ),( , ),...,( , )X Y x y1 1 x y2 2 x y ，相關係數n n 1 , ( )( ) n i X i Y i X Y X Y x y r n        



迴歸直線（最適合直線）方程式 Y X Y, Y ( X) X y  r  x      6. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,     3.142

7. 對數值：log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 5 0.6990, log 7 0.845110  10  10  10 

8. 角錐體積=

1

3

底面積高