Rouche 定理
bee
*108.02.06
∼ 108.02.06
一個有趣的性質。
1.
定理敘述與應用
定理：設 f, g 是 D 上的一個全純函數，C 是 D 內部的一個圓，若每個 z∈ C 均滿足 |f(z)| > |g(z)| (1) 則 f 和 f + g 在 C 的內部的零點個數是一樣多的。 說明：這定理說明要看 f + g 的零點數，就看 f 的零點數即可。這件事很有趣，我們可以 利用它來觀察代數基本定理。 例如：觀察多項式 (f + g)(z) = z5+ 3z2+ 2 (2) 然後取|z| = 2 的圓，可見得 |z5| > |3z2 + 2|。於是，令 f(z) = z5，我們已經知道 f (z) 在 單位圓上有 5 個零點，這就說明 (f + g)(z) 恰有 5 個零點 (因為最多就 5 個)。 於是，對於任意多項式 f (z) = anzn+ an−1zn−1+· · · + a0 (3) 我們只要取夠大的圓 C，讓 |anzn| > |an−1zn−1+· · · + a0| (4) 就可以得到 f (z) 和 zn有相同多的零點，當然，也就是恰有 n 個零點。 *bee 美麗之家: http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee 12.
定理證明
關於本定理的證明如下： 在 t∈ [0, 1] 定義函數 ft(z) = f (z) + tg(z) (5) 可得 f0 = f, f1 = f + g。並令 nt是 ft在 C 內部的零點數，nt是一個整數。 因為|f(z)| > |g(z)|，所以在 C 上，任意 ft都不會有零點。於是由【幅角定理】，可得 nt= 1 2πi ∫ C ft′(z) ft(z) dz (6) 我們希望證明 nt是一個常數 (不受 t 的影響)，因此，我們得證明 nt是一個連續函數。 因為 ft(z)在 C 上都沒有零點，顯然對 t 而言， ft′(z) ft(z) 是一個連續變換，因此，n1和 n0 必須相同，不然由均值定理可得必有一數 t 滿足 0 < t < 1，使得 nt不是一個整數，這和 nt必然是一個整數牴觸。故 nt是一個常數，即 f 和 f + g 在 C 的內部有相同的零點數。 上面的證明中我們用到幅角定理，因此，我們必須另外寫一篇關於幅角定理的文章。3.
參考書目
(1) 維基百科：儒歇定理。(2) Elias M.Stein & Rami Shakarchi 的 Complex analyisi p91。
(3) 將來會參考的網頁：林延輯老師的網頁 (https://yclinpa.wordpress.com/2017/01/)
