▲ 圖 1 ▲ 圖 2 管理餐飲連鎖店時，各分店進貨的數量有所不同， 每天食材的價格也會浮動。例如圖 1 為甲、乙兩間分 店各種食材進貨的數量（單位：份），而圖 2 為連續 三天這些食材的價格（單位：元／份）。 有這麼多筆資料，能否快速地算出每間分店每日 食材的成本呢？本單元將延續前一單元矩陣的運算， 並將資料表視為矩陣，進而使用電腦做矩陣運算的示 範。
甲 反方陣的應用
國中學過一元一次方程式ax b
（a
0
）的解為x
b
a b
1a
，類似於解一元 一次方程式的過程，我們也可以來解AX B
的矩陣 X。當 A 有反方陣A
1時，可 以將等式AX B
的兩邊同時左乘A
1，得
1 1A AX
A B
， 因為左式可化簡為A AX
1
A A X IX X
1
，所以解得 1X A B
。 練習利用反方陣來解矩陣方程式。【例题 1】 已知矩陣
1 2
,
4
2 3
3
A
B
及x
X
y
滿足AX B
，求 (1) A 的反方陣A
1。 (2) X。 Ans： 【詳解】 (1) 因為
1 3 2 2
1 0
， 所以A 有反方陣。利用二階反方陣的公式，得 11
3
2
3 2
2 1
2
1
1
A
。 (2) 將AX B
等式兩邊同時左乘A
1，得
1 1A AX
A B
。 解得 13 2 4
6
2
1 3
5
X A B
。 【隨堂練習 1】 已知矩陣3 1
,
2
4 2
6
A
B
及x
X
y
滿足AX B
，求 (1) A 的反方陣A
1。 (2) X。 An： 【詳解】 (1) 因為
3 2 4 1 2 0
， 所以A 有反方陣。 利用二階反方陣的公式，得 11
1
2
1
1
2
4 3
3
2
2
2
A
。 (2) 將AX B
等號兩邊同時左乘A
1， 得A AX
1
A B
1 。 因為左式可化簡為
1 1 2A AX
A A X I X X
， 所以 11
1
2
1
2
3
6
5
2
2
X A B
。 反方陣也可以應用於解聯立方程式，說明如下：由矩陣乘法的運算規則，我 們可以將二元一次聯立方程式 1 1 1 2 2 2ax by c
a x b y c
改寫成矩陣的表達方式 1 1 1 2 2 2a b
x
c
a b
y
c
。 令矩陣 1 1 2 2a b
A
a b
，當 A 有反方陣A
1時，將上式中等式的兩邊同時左乘A
1， 得 1 1 1 2c
x
A A
A
c
y
， 即 1 1 2c
x
A
c
y
。 因此，可以利用二階反方陣來解二元一次聯立方程式的解。 練習利用二階方陣的反方陣求聯立方程式的解。【例题 2】 二元一次聯立方程式
3
2
8
2
3
x
y
x y
。 (1) 利用加減消去法解此聯立方程式。 (2) 將此聯立方程式以矩陣表達。 (3) 利用反方陣解此聯立方程式。 Ans： 【詳解】 (1) 先將聯立方程式編號3
2
8
2
3
x
y
x y
，①
②
然後由①
②
2
消去y，得7
x
14
， 解得x
2
。將x
2
代入②，得2 3 2 2 3 1
y
x
。 故聯立方程式的解為x
2,
y
1
。 (2) 聯立方程式3
2
8
2
3
x
y
x y
的矩陣表達為3 2
8
2
1
3
x
y
。 (3) 13 2
8
1
1
2 8
1
14
2
2
1
3
7
2 3 3
7
7
1
x
y
。 故聯立方程式的解為2,
1
x
y
。 【隨堂練習 2】 設二元一次聯立方程式2
0
ax by
cx dy
。 (1) 將此聯立方程式以矩陣表達。 (2) 已知矩陣a b
c d
的反方陣為1
5
3
7
， 求此聯立方程式的解。 Ans：【詳解】 (1) 聯立方程式
2
0
ax by
cx dy
的矩陣表達為2
0
a b x
c d y
。 (2) 因為a b
c d
的反方陣為1
5
3
7
， 所以 12
1
5 2
2
0
3
7
0
6
x
a b
y
c d
。 故聯立方程式的解為x
2,
y
6
。 來做一道與反方陣相關的應用問題。 【例题 3】 甲須傳送一組 4 個數字的密碼 abcd 給乙。為了保密，甲事先跟乙約定：只會 傳送兩個二階方陣 A 與 B 給乙，且 A 與 B 滿足關係式a b
A B
c d
。 (1) 已知甲傳送的密碼為 5738，且1
3
1
2
A
，求 B。 (2) 已知乙收到甲傳來1
3
1
2
A
與2 3
3 5
B
，求密碼 abcd。 Ans： 【詳解】 (1) 計算5 7
1
3
2
1
3 8 1
2
5 7
。 故2
1
5 7
B
。(2) 根據題意列式，得
1
3
2 3
1
2
3 5
a b
c d
。 解得 12 3
1
3
3 5 1
2
a b
c d
2 3 2
3
3 5
1
1
1 3
1 4
。 故密碼為 1314。 【隨堂練習 3】 承例題，已知乙收到甲傳來1 2
2 5
A
與15 34
14 31
B
， 求密碼 abcd。 Ans： 【詳解】 根據題意列式，得1 2
15 34
2 5
14 31
a b
c d
。 解得 115 34 1 2
15 34 5
2
7 4
14 31 2 5
14 31
2 1
8 3
a b
c d
。 故密碼為 7483。乙 矩陣乘法的幾何意涵
在坐標平面上，矩陣乘法有其幾何意義，先從平面上的點坐標看起。 在坐標平面上，如果將點P x y
,
依線性關係式3
2
x
x y
y x
y
對應到點P x y
,
，那麼這關係式可用矩陣表示為3
1
1 2
x
x
y
y
。 例如：當點 P 的坐標為
3, 2
時，由上列的關係式， 得3
1 3
7
1 2 2
7
x
y
， 即對應到的點為P x y
,
P
7, 7
。 凱利 （A. Cayley，英，1821 ～1895）是矩陣理論 的先驅，在該領域有 著無可取代的重要貢 獻。 在上例中，我們稱二階方陣3
1
1 2
將點 P(3，2)作線 性變換到點 P’(7，7)，而且點 P’(7，7)稱為點 P(3，2)的對 應點，如圖 3 所示。 一般而言，將平面上點的線性變換定義如下。 平面上點的線性變換 設二階方陣A
a b
c d
。在坐標平面上，當點P x y
,
依線性關係式x
a b x
y
c d y
（即x ax by y cx dy
,
） 對應到點P x y
,
時，稱二階方陣 A 為坐標平面上的一個線性變換，且點
,
P x y
稱為點P x y
,
的對應點。 來練習點的線性變換。【例题 4】 設二階方陣
3 2
2 1
A
。 (1) 已知 A 將P
1, 2
對應到P
點，求P
點的坐標。 (2) 已知 A 將 Q 點對應到Q
5, 4
，求 Q 點的坐標。 Ans： 【詳解】 (1) 因為3 2 1
1
2 1
2
0
， 所以P
1, 2
的對應點P
之坐標為
1, 0
。 (2) 設Q 的坐標為(x，y)。因為3 2
5
2 1
4
x
y
， 所以
13 2
5
1
1
2 5
3
2 1
4
1
2 3 4
2
x
y
。 故Q 的坐標為
3, 2
。 【隨堂練習 4】 設二階方陣2 1
5 3
A
。 (1) 已知 A 將P
2, 1
對應到P
點，求P
點的坐標。 (2) 已知 A 將 Q 點對應到Q
3, 4
，求 Q 點的坐標。 Ans： 【詳解】 (1) 因為2 1 2
3
5 3
1
7
，所以
2, 1
P
的對應點P
之坐標為
3, 7
。 (2) 設Q 的坐標為
x y
,
。因為2 1
3
5 3
4
x
y
， 所以 12 1
3
3
1 3
5
5 3
4
5 2 4
7
x
y
。 故Q 的坐標為
5, 7
。▲ 圖 5 在例題 4 中，二階方陣
3 2
2 1
A
分別將P
1, 2
與Q
3, 2
對應到
1, 0
P
與Q
5, 4
。今在直線PQ y
:
2
上取一點R
4, 2
，計算3 2 4
8
2 1
2
6
， 即方陣 A 將R
4, 2
對應到點R
8, 6
；同時注意到：點R
8, 6
會落在直線: 2 3
2 0
PQ
x
y
上，如圖 4(a)所示。這個現象並非偶然，事實上，當 R 點為 直線 PQ 上的任何一點時，經過 A 變換後的R
點也會在直線PQ
上。
(a) (b) ▲圖 4 由上述亦可推得，向量PQ
經過 A 變換後，仍然會是一個向量，即向量PQ
，
如圖 4(b)所示。將以上線性變換的性質整理如下。 線性變換的性質 若二階方陣A
a b
c d
的行列式不為 0，則坐標平面上 (1)直線經過 A 變換後仍為直線。 (2)線段經過 A 變換後仍為線段。 (3)向量經過 A 變換後仍為向量。 那麼，要怎麼進行向量的線性變換呢？例如向量
1, 2
u
經過二階方陣1
1
0 2
A
變換後，會是什麼向 量呢？首先，將向量u
1, 2
視作向量OP
，其中 O 為原 點，P 為點
1, 2
，如圖 5 所示。接著，因為1
1 0
0
0 2 0
0
且1
1 1
1
0 2 2
4
， 所以 O 點經過 A 變換後仍為 O 點，P
1, 2
經過 A 變換後為P
1, 4
。 最後，綜合以上可得：經過 A 變換後，向量u
1,2
的對應向量為向量
1, 4
。 因此，當我們處理向量u
a b
,
的變換時，只需考慮點
a b
,
的對應點即 可。來練習一道例題。 【例题 5】 設二階方陣2 4
3
3
A
。已知 A 將向量u
2,3
對應到向量u
， 求向量u
。 Ans： 【詳解】 因為2 4 2
8
3
3 3
3
， 所以向量u
2,3
的對應向量為u
8, 3
。【隨堂練習 5】 設二階方陣
4
3
1 2
A
。已知 A 將向量u
對應到 向量u
18, 7
，求向量u
。 Ans： 【詳解】 設u
x y
,
， 因為4
3
18
1 2
7
x
y
， 所以 14
3
18
1
2 3
18
3
1 2
7
5
1 4
7
2
x
y
， 故向量u
為
3, 2
。 接下來介紹向量經過矩陣變換後的線性組合意涵。首先，設向量u
x y
,
經過1
3
2
4
A
變換後對應的向量為u
x y
,
，其關係式為
1
3
1
3
2
4
2
4
x
x
y
x
y
x
y
y
， 接著，利用矩陣的加法與係數積，將上式改寫成
1
1
3
1
3
3
2
2
4
2
4
4
x
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
， 最後，設a
1,2 ,
b
3, 4
，那麼，以上矩陣的關係式可用向量表示成u
x a y b
， 也就是說，向量u
x y
,
可視為二階方陣 A 中第一行與第二行所對應向量a
與b
的線性組合，且線性組合的係數來自於向量u
x y
,
中的 x 與 y。二階方陣乘向量的線性組合意涵 設二階方陣 1 1 2 2
a b
A
a b
，且a
a a
1,
2,
b
b b
1,
2 。在坐標平面上，若向量
,
u
x y
經過 A 變換後對應的向量為u
x y
,
，即 1 1 2 2a b
x
x
a b
y
y
， 則u
x a y b
。丙 矩陣與資料表格
日常生活中有許多報表的數據資料要處理，我們可將這些報表的數據資料表 示成矩陣的形式，再利用矩陣的運算求得所要之資料。舉引言中餐飲連鎖店的食 材管理為例，下圖 6 為甲、乙兩間分店各種食材進貨的數量（單位：份），而圖 7 為連續三天這些食材的價格（單位：元／份）。 ▲圖 6 ▲圖 7 觀察以上的圖表發現，只要把圖 6 中甲分店進貨數量那一列的各個數字15,3,10,16
，分別乘上圖 7 中週一食材價格那一行的各個數字60,45,32,20
，最 後再加總，即15 60 3 45 10 32 16 20 1675
， 得到的 1675 就是甲分店在週一的食材成本（單位：元），如圖 8 粉紅底所示。 ▲圖 8 事實上，上述食材成本的計算可連結到矩陣的乘法，將圖 6 及圖 7 的資料表 格分別表為矩陣 A 和 B，其中60 57 54
15 3 10 16
45 48 55
,
10 6 14 12
32 33 32
20 25 45
A
B
。 那麼這兩個矩陣的乘積 AB 中的各元即為各分店每天的食材成本。但矩陣乘積的計算經常是大量而繁瑣的，此時可以利用電腦軟體 Excel 來協助計算，我們以圖 9 並分步驟說明如下。 ▲圖 9 將圖 6 和圖 7 的資料表分別輸入到 Excel 的儲存格內。 選取儲存格 M2 並拖曳至儲存格 O3，即得圖 9 中的灰色區域。 輸入 MMULT(B2:E3 , H2:J5) 在輸入 B2:E3 與 H2:J5 時，對應的區域會自動分別顯示藍色與紅色。輸入完 畢後，同時按鍵盤上的 CtrlShiftEnter。此時，即可得到如圖 10 的結果。 ▲圖 10 同學們可以自行透過電腦軟體來進行練習。
將訊息轉換成密文的方式有很多種，其中希爾加密法（Hill Cipher）是運用 矩陣乘法的一種加密技術，由美國數學家希爾（L. S. Hill）於 1929 年發明。我們 以明文「LOVE」為例，簡單說明將明文轉換為密文的步驟如下： (1) 將明文的英文字母分別以整數表示，其中 A
0, B
1, C
2,…, Z
25。於是 L, O, V, E 分別對應的整數為 11, 14, 21, 4。 (2) 將這些字母對應的整數依序放入矩陣中：第 1、2 個整數放在矩陣的第一列， 第 3、4 個整數放在矩陣的第二列，組成2 2
階的矩陣 P。於是 11, 14, 21, 4 四 個數組成矩陣11 14
21 4
P
。 (3) 選定一個反方陣存在的二階方陣 A 作為加密矩陣，並計算乘積 PA。假設加密 矩陣為2 3
1 2
A
，則11 14 2 3
36 61
21 4 1 2
46 71
PA
。 (4) 因為 A
0, B
1,…, Z
25，共有 26 個英文字母，所以如果所得的元大於或等於 26，即將數字分別除以 26，求其餘數。於是將36 61
46 71
的每一個元分別除以 26 取餘數得到10 9
20 19
。 (5)將步驟(4)所得的各餘數轉換成其所對應的英文字母，並將這些字母依序合併後， 即得密文。於是整數 10, 9, 20, 19 分別對應的字母為 K, J, U, T，因此可得到密文 為「KJUT」。當對方接收到密文後，要將密文還原成明文時，只要利用步驟(3)的加密矩 陣 A 的反方陣
A
1，即可將密文解密得到明文。更精確地說，將密文「KJUT」所 對應的矩陣10 9
20 19
與 A 的反方陣 12
3
1 2
A
相乘，得10 9
2
3
11
12
20 19
1 2
21
22
， 再將上述結果的每個元分別除以 26，其中因為
12, 22
分別利用除法原理可得
12 26
1 14, 22 26
1 4
， 所以得餘數為11 14
21 4
， 進而將矩陣內的數字轉換成其所對應英文字母，即可得明文為「LOVE」。 學會了上述的加密方法，下次想傳送祕密訊息給某人時，不妨嘗試看看。觀念澄清
0. 下列敘述對的打「」 (1) 若2 3
3
1 4
5
x
y
，則 13 2 3
5 1 4
x
y
。 (2) 二元一次聯立方程式2
5
3
4
6
x
y
x
y
的 矩陣表達為1 2
5
3 4
6
x
y
。 (3) 矩陣3 4
5
6
A
與x
u
y
的乘積3
5
4
6
A u x
y
。 (4) 二階方陣A 與向量u
的乘積A u
是一個矩陣。 Ans： 【詳解】 (1) ╳：將等式2 3
3
1 4
5
x
y
的兩邊同時左乘 12 3
1 4
， 得 1 12 3
2 3
2 3
3
1 4
1 4
1 4
5
x
y
， 即 12 3
3
1 4
5
x
y
。 (2) ○。 (3) ╳：根據二階方陣乘向量的線性組合意涵，3
4
5
6
A u x
y
。 (4) ╳：二階方陣A 與向量u
的乘積A u
是一個向量。一、基礎題
1. 設矩陣4 7
,
2
3 5
1
A
B
與矩陣x
X
y
滿足AX B
。 (1) 求 A 的反方陣A
1。 (2) 利用A
1求x y
,
的值。 Ans： 【詳解】 (1) 因為
4 5 7 3
1 0
， 所以A 有反方陣
11
5
7
5 7
3 4
3
4
1
A
。 (2) 將AX B
等號兩邊同時左乘A
1， 得A AX
1
A B
1 。 因為左式可化簡為
1 1 2A AX
A A X I X X
， 所以 15 7 2
3
3
4 1
2
X A B
。 故x
3,
y
2
。 2. 已知二階方陣5 2
,
2
3
2 1
0 5
A
B
滿足AX B
，求 X。 Ans： 【詳解】 將AX B
等號兩邊同時左乘A
1， 得A AX
1
A B
1 。 因為左式可化簡為
1 1 2A AX
A A X I X X
，所以 1 1
5 2
2
3
2 1
0 5
1
2 2
3
2 5 0 5
2
13
4 31
X A B
。 3. 設二元一次聯立方程式3
2
ax by
cx dy
。 (1) 將此聯立方程式以矩陣表達。 (2) 已知矩陣a b
c d
的反方陣為3 5
1 2
， 求此聯立方程式的解。 Ans： 【詳解】 (1) 聯立方程式3
2
ax by
cx dy
的矩陣表達為3
2
a b x
c d y
。 (2) 因為a b
c d
的反方陣為3 5
1 2
， 所以 13
3 5 3
1
2
1 2
2
1
x
a b
y
c d
。 故聯立方程式的解為x
1,
y
1
。 4. 設二階方陣5
2
2 1
A
。 (1) 已知 A 將P
2,1
對應到P
點，求P
點的坐標。 (2) 已知 A 將 Q 點對應到Q
4, 1
，求 Q 點的坐標。 Ans：(1) 因為
5
2 2
8
2 1 1
3
，所以 P(2，1)的對應點P
之坐標為(8，3)。 (2) 設Q 的坐標為
x y
,
。 因為5
2
4
2 1
1
x
y
， 所以 15
2
4
1
1 2 4
2
2 1
1
1
2 5
1
3
x
y
。 故Q 的坐標為
2, 3
。 5. 設二階方陣4
1
3 2
A
。 已知 A 將向量u
3, 2
對應到向量u
。 (1) 求向量u
。 (2) 練習使用 Excel 求向量u
。 Ans： 【詳解】 (1) 因為4
1
3
14
3 2
2
13
， 所以向量u
3,2
的對應向量為
14,13
u
。 (2) 利用 Excel 亦可得u
14,13
。二、進階題
6. 已知二階方陣
3
1
,
4
2
1 2
3 5
A
B
滿足2
AX B
3
X
，求 X。 Ans： 【詳解】 因為2
AX B X
3
， 移項得
2
A I X B
3
， 所以
1 12
3
3
1
1 0
4
2
2
3
1 2
0 1
3 5
X
A I
B
13
2
4
2
2 1
3 5
1
2 4
2
2
3
3 5
2
8
1
11
。 7. 學生玩傳遞密碼的遊戲，約定獲得上一位同學以矩陣形式a
b
的密碼時，需經過3
5
2
3
a
b
a b
的形式加工成新的密碼a
b
， 即3
5
2
3
a
a
b
b
a
b
， 再將新密碼傳遞給下一位同學。 (1) 已知3
5
2
3
a
a b
b
a b
可改寫成a
p q a
b
r s b
， 求p q r s
, , ,
的值。 (2) 已知甲獲得的密碼為8
3
， 求甲生傳遞給下一位同學的密碼。 (3) 已知乙傳遞給下一位同學的密碼為1
1
，Ans： 【詳解】 (1) 由矩陣乘法的運算規則， 我們可以將
