第34期試題與參考解答

中學生通訊解題

民國 93 年 4 月份(第 34 期)解答與評析

問題編號 933401 如圖，每一個小正方形方格大小皆相等，試問： （1） 共有幾個大小不同的正方形？（2）共有幾個大小不同的長方形？ 【評析】 在基本圖形上算正方形、長方形等的數量，最好要分類來算，才不會漏掉某 些圖形的數量，絕對不要用心算。我們也發現國中生很會做關於計數問題的題目 但希望同學要訓練自己的想法，莫模擬同學的想法。 就 讀 學 校 姓 名 得 分 就 讀 學 校 姓 名 得 分 南縣建興國中 林映辰 6 彰縣陽明國中 王建詒 7 北市南門國中 羅兆陽 6 新竹光華 王銘鋒 5 北市萬華國中 簡廷安 7 新竹光華國中 范祐維 4 北市建成國中 江 衡 4 北縣永和國中 李韋翰 4 北縣永和國中 林子祥 3 北縣永和國中 謝寰宇 4 北縣永和國中 張桂銘 5 北市延平中學 黃善佑 4 基隆銘傳國中 鍾承恩 7 基隆銘傳國中 陳冠融 7 基隆銘傳國中 黃柏凱 7 基隆銘傳國中 許書穆 7 基隆銘傳國中 許閔翔 7 基隆銘傳國中 陳瑞國 7 基隆銘傳國中 徐郁晴 7 基隆銘傳國中 陳威東 7 基隆銘傳國中 張任鋒 7 基隆銘傳國中 賴威志 7 基隆銘傳國中 王重皓 7 基隆銘傳國中 陳鼎元 7 基隆銘傳國中 江佳穎 4 基隆銘傳國中 魏志庭 4 基隆銘傳國中 陳以健 4 基隆銘傳國中 江 愷 4 基隆銘傳國中 羅翊修 4 基隆銘傳國中 簡桓谷 4 基隆銘傳國中 紀瑋銘 4 基隆銘傳國中 江 豪 4 基隆銘傳國中 陳奕潔 7 基隆銘傳國中 王浚安 7 基隆銘傳國中 蕭 帆 7 基隆銘傳國中 王 琳 7 基隆銘傳國中 詹士睿 7 基隆銘傳國中 宋梅村 7 7 7

【參考解答】 （1） 類 型 個 數 類 型 個 數 1×1 32 4×4 6 2×2 17 5×5 2 3×3 11 合 計 68 （2） 類 型 個 數 類 型 個 數 類 型 個 數 類 型 個 數 1×1 32 2×2 17 3×3 11 4×4 6 1×2 48 2×3 26 3×4 16 4×5 7 1×3 36 2×4 18 3×5 9 4×6 4 1×4 25 2×5 10 3×6 4 4×7 2 1×5 15 2×6 4 3×7 2 5×5 2 1×6 6 2×6 2 5×6 2 1×7 3 5×7 1 合計 308 （解答題供：彰縣陽明國中王建詒同學） 問題編號 933402 試證：（1） （1+2+---+10）可以整除（₁2_22_{10}2_）。 （2） （1 2  _ 20）可以整除（₁3_23_{20}3_）。 【評析】 這個題目大部分的同學都是用公式分別求 （_{岀 1+2+---+10）的和、（} 2 2 2 _{2 10} 1   ）的和與（₁3_23_{20}3_）， 1+2+---+10= 55 2 ) 1 10 ( 10  _ ；1+2+---+20= 210 2 ) 1 20 ( 20  _ 385 6 ) 1 20 )( 1 10 ( 10 10 2 12 _ 2 _ 2 _   _{ ；} 44100 4 11 10 20 2 1 2 2 3 3 3_{  }  _ 然後證明結果。但應該可以用其他方法來處理，而不是解題只亂背公式而已。在 參考解答裡，我們提供兩位同學的解答與大家一起研究，其中有一位是小學生 的。

就 讀 學 校 姓 名 得 分 就 讀 學 校 姓 名 得 分 北市福德國小 張育橋 7 新竹光華國中 王銘鋒 7 北市南門國中 魏豪廷 7 北縣永和國中 謝環宇 7 北市萬華國中 簡廷安 7 新竹光華國中 范祐維 7 桃縣青溪國中 詹文智 7 新竹光華國中 楊涵傑 7 桃縣青溪國中 藍棣彥 7 北縣永和國中 施恩銘 7 北市建成國中 江 衡 7 北縣永和國中 李韋翰 7 北縣福和國中 林學庸 7 北市延平中學 黃善佑 7 彰縣陽明國中 王建詒 7 基隆銘傳國中 陳冠融 7 基隆銘傳國中 黃柏凱 7 基隆銘傳國中 許書穆 7 基隆銘傳國中 江 豪 7 基隆銘傳國中 宋梅村 7 基隆銘傳國中 江 愷 7 基隆銘傳國中 余秉駿 7 基隆銘傳國中 王祥鈺 7 基隆銘傳國中 李世煒 7 基隆銘傳國中 何柏佑 7 基隆銘傳國中 陳昱汝 7 基隆銘傳國中 江奕萱 7 基隆銘傳國中 李欣瑜 7 基隆銘傳國中 施又瑄 7 基隆銘傳國中 林俊廷 7 基隆銘傳國中 楊昀達 7 基隆銘傳國中 戴其鏡 7 基隆銘傳國中 葉展昆 7 基隆銘傳國中 林怡廷 7 基隆銘傳國中 劉 俐 7 基隆銘傳國中 江孟霖 7 基隆銘傳國中 謝志鴻 7 基隆銘傳國中 邱為柏 7 基隆銘傳國中 陳政柏 7 基隆銘傳國中 蔡秉杰 7 基隆銘傳國中 鄭景文 7 基隆銘傳國中 施喻懷 7 基隆銘傳國中 林映辰 7 基隆銘傳國中 吳子綺 7 【參考解答】 （1） 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 

9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ＋ 10 10 9 10 9 8 10 9 8 7 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 5 10 9 8 7 6 5 4 10 9 8 7 6 5 4 3 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ＋ 10 9 10 8 9 10 7 8 9 10 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | | 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

B A C D E F P R Q 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21×11×8÷3＝385 1+2+3+…+10=55 385÷55=7 故 可以。 （解答題供：北市福德國小張育橋同學） （2） 1+2+---+20= 210 2 ) 1 20 ( 20  _ ) 11 11 10 10 )( 11 10 ( ) 19 19 2 2 )( 19 2 ( ) 20 20 1 1 )( 20 1 ( ) 11 10 ( ) 19 2 ( ) 20 1 ( 20 2 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3                                      ∴₁3_23_{20}3 _{為 21 的倍數} 3 3 3 _{2 20} 1   中每一個立方的各位數字為 1+8+7+4+5+6+3+2+9+0+1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=90 ∴₁3_23_{20}3_{為10 的倍數} （₁3_23_{20}3_{）為（1+2+---+20）的倍數} （解答題供：基縣銘傳國中王祥鈺同學） 問題編號 933403 如圖，C 為優弧 AB 的中點，D 為劣弧 AB 上任意一點，E、F 分別為劣弧 AD、BD 的中點。設 P 為弦 CD 上的一點，PA與CE相交於Q，PB與CF 相交 於R，試證：QR //AB 【評析】 幾何題目參與的同學明顯少的很多，可能因 是國中幾何證明的教導在國三才學，但同學仍可透 過自我學習來完成幾何的證明。本題大部分的同學 都是利用三角形角平分線的比例性質來證明，過程 漂亮且簡潔有力。 就 讀 學 校 姓 名 得 分 就 讀 學 校 姓 名 得 分 北市萬華國中 簡廷安 7 新竹光華國中 王銘鋒 7 北市敦化國中 許倫愷 7 北縣永和國中 謝環宇 7 北縣永和國中 李韋翰 7 新竹光華國中 范祐維 7 北市延平中學 黃善佑 7 北縣永和國中 施恩銘 7 南縣建興國中 黃千益 7 北縣永和國中 江采蓮 7

B A C D E F P R Q 彰縣陽明國中 王建詒 7 基隆銘傳國中 張瓊文 7 基隆銘傳國中 江 豪 基隆銘傳國中 宋梅村 7 基隆銘傳國中 江 愷 7 基隆銘傳國中 邱為柏 7 【參考解答】 1.連接 CA、BC 2.∵E、F 分別是 AD 弧、BD 弧 的中點 ∴ AE 弧=DE 弧，∠ACE=∠ECD ∴ CA CP QA PQ  ，同理 CB CP BR PR  3.∵ C 是優弧 AB 的中點，AC 弧=BC 弧 AC=BC 4.∴ QR AB RB PR QA PQ _{  //} （解答題供：北市萬華國中簡廷安同學） 問題編號 933404 設a1,a2,a3,a20是20 個皆小於 70 的自然數，且a1a2 a3 a20，今任意取 兩個數為一組並計算出差的絕對值，試證：這些差中至少有4 組是相同的。 【評析】 這種類型的證明題，需用到一點鴿籠原理的觀念來證明，故答題的人數比較 少，但參與此題答題者的數學解題能力與數學知識之淵博令人佩服。 就 讀 學 校 姓 名 得 分 就 讀 學 校 姓 名 得 分 南縣建興國中 王姿婷 7 新竹光華國中 王銘鋒 7 彰縣陽明國中 王建詒 7 北市延平中學 黃善佑 7 台東新生國中 蘇峻緯 7 北市金華國中 陳翾宇 7 基隆銘傳國中 江 愷 7 新竹光華國中 范祐維 7 【參考解答】 假設這些差沒有4 組是相同的，則至多有 3 組是相同的 照 a1a2 a3 a20 排列 1 2 2 3 18 19 19 20 a ,a a , ,a a ,a a a   _   這 19 組數的差中沒有 4 組是相同的，

所以這19 組差中至少有 7 組不同的差（∵19>6×3） 因此得 70 ) 1 1 1 ( ) 5 5 5 ( ) 6 6 6 ( 7 ) ( ) ( ) ( 70 20 1 20 19 19 18 2 1                        a a a a a a a a 矛盾，所以假設是錯的。得證。 （解答題供：新竹光華國中范祐維同學） 問題編號 933405 如圖，圓O 的直徑是A0A1 =2，A2、A3、A4、---、AK、AK+1、---是半圓上的點，若 0 2 1 0 1 A A A ， 0 3 2 1 2 A A A ， 0 4 3 2 3 A A A ， 0 1 1A A K A_{K K K}   _{ } ， （k 為正整數），若AkAk1 的長小於1，求 k 的最小值是多少？ A₀ A₁ O A₂ A3 A₄ 【評析】 這是一個很有趣生動的幾何計算題，只要懂得圓周角與等差級數的觀念就 可以做得很好，不希望用三角函數等觀念來處理。許多答題同學也很有耐心慢慢 地分析做完此題。 就 讀 學 校 姓 名 得 分 就 讀 學 校 姓 名 得 分 彰縣陽明國中 許倫愷 5 新竹光華國中 王銘鋒 7 彰縣陽明國中 王建詒 7 北縣永和國中 謝環宇 7 北市萬華國中 簡廷安 7 新竹光華國中 范祐維 7 基隆銘傳國中 宋梅村 7 新竹光華國中 楊涵傑 7 南縣建興國中 王姿婷 7 北縣永和國中 施恩銘 7 北市建成國中 江 衡 7 北縣永和國中 李韋翰 7 北縣永和國中 江采蓮 5 北縣永和國中 張桂銘 5 北縣秀峰國中 胡永學 7 北市延平中學 黃善佑 7 基隆銘傳國中 張逸泓 7 基隆銘傳國中 宋梅村 7 台東新生國中 蘇峻緯 7 基隆銘傳國中 林劭安 7 基隆銘傳國中 許永政 7 基隆銘傳國中 何亭豫 7

如右圖一： 2 2 1 2 1 1 1 A A k A A_K 弧 _K 弧 _   先設 AKAK1=1，則 Δ AKAK1O為正三角形 0 1 1  60 AKOAK_ AKAK_弧 2 )k 1 ( 2 120 2 0 1 1 1 A A k A AK 弧 K 弧 _{ }  2 481 1 0 120 2_{k  k }   k （負不合） 因為AkAk1 的長小於1，所以         10. 2 481 1 k ，所以k=11 （解答題供：北縣永和國中施恩銘同學）