89年國中盃數學能力競賽第一節

89 學 年 度 國 中 盃 數 學 能 力 競 賽

第 一 節 試 題

89 年 12 月 10 日上午 8:20~9:50

注意：本節試題均為計算證明題，請將計算證明的結果寫在答案卷上

一、 (16 分) 十個人圍成一圈，每個人心中都想定一個數，並把這個數 告訴左右相鄰的人，每個人再將左右兩人告知自己的數之 算術平均數報告出來(例如，左右兩人告知的數分別是 16 , 24，那麼中間那個人就報出 20)，已知每個人報出的 數依序為 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(如右圖所示)，試問報出 5 的 人，他心中想定的數是多少？ 二、 (20 分) 哪些連續正整數的和為 500？試求出所有的解。 三、 (24 分) n 是一個正整數，且 n 可以寫成 n=a×b，也可以寫成 n=c×d，其中 a≥b，c≥d，a≠c，且 a,b,c,d 皆為正整數，試說明 a2+b2+c2+d2 不是質數的理由。 四、 (30 分) 有一個 12 面體的星球，每面都是菱形 (如右圖所示)， 今有 14 個城市分布在 14 個頂點上，有一位太空人欲 沿 12 面體的稜線旅遊，他希望在同一個城市不重覆經 過的條件下，遊遍這 14 個城市。請問這個太空人的希望 能實現嗎？無論能否，請說明理由 。 五、 (30 分) 如右圖所示，正方形 ABCD 的邊AB及AD 上分別取一點 E、F，且EF 交AC 於 P 點。 試證：(1) AE 1 + AF 1 = AP 2 。 (2)AP2≤ 1 2 ( _{AE×AF )} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D C F E P