楊惠后 臺中市私立曉明女子高級中學 真正里有三部分: 考查， I!p 求取它;認識， I!p 它已存在;信心， I!p運用它。 ~益表格拉底 壹、緣由 近日，國二的第一次學習評量有一道非選擇題的題目是「以十分逼近法求)1]的近似 值到小數點後第二位 J' 有極少數的幾個學生有如下的寫法: 1. 32=9,42= 16 .'.3<)1]<4 2. 3.32=10. 紗， 3 .42=1 1. 56 ".3.3<)1]<3.4 3. '''3.312=10.9561, 3.322=11.0224 ".3.31<)1]<3.32 4. ... 3.322-11 =11.0224-11 =0.0224
,
11-3.312=11-10.9561=0.0439，又...0.0224<0.0439 ... )1]::::3.32 現在問題的關鍵點是出在第四個步聽上，學生的想法是 r 11 離 3.32 的平方比較近， 所以 JU 靠近 3.32 '因此直接取 JU 的近似值是 3.32 0 J 遑論學生先前是否有旁人協助指 點，如今因為答案是正確的，可是絕大多數學校的老師不是這麼敦的，所以引起了一番唇 槍舌戰，務求一定要導正學生的觀念，回歸正規的做法。所謂正規的做法如下: 1. ...32=9,42=16 .'.3<)1]<4 2. ..' 3.32=I0.89,3.42= 11.56 .'.3.3<)1]<3.4 3. '.'3.312=10.9561,3.322=11.0224 .'.3.31<)1]<3.32 4. '.'3.3162=10.995856,3.3172=11.002489, .'.3.316<)1]<3.317, .'.)1]::::3.32 若是要利用四捨五入法求至小數點後第二位的近似值，我們也可以利用 3.31 及 3.32 的中點 3.315 的平方與 11 比較。因為 3.3152= 10.989225< 1 卜所以 3.315< )1] <3.32 '故依 四捨五入法得)1]::::3.32 。貳、討論
事實上，上述的學生做法羞孟草草。請看下面的說明:
已知 α< ~<a+ 10-" , (其中 x 非完全平方數，且 G 的 /J、教位數有 n 位)
若 (a+ \O-")2_ X幻_a2 • 貝IJ [(α+10-") - ~][(a +10-")+~]三 [~+α][石。]
[~+a][石 -a] /__ .J二 +a [(a+IO-")-~]~ 一 [(a+10-")+~] \. ~+(a+IO-")
~(a+1們 -~<~-a~~>。你;l們
結論:若 x 距離 (α+ 10-")2 比較近或 x 是中間值，貝IJ~ 均會距離 (σ+ 10-") 比較近，所以 品的 n 位小數近似值必為的10-" 。 不過，若 x 距離。2 比較近，那麼石的 n 位小數近似值是否為a' 則需要做進一步的 確認。請再看底下的說明: 已知。 <.J三 < a+
10-" , (其中 x 非完全平方數，且 G 的小數位數有 n 位) 主主 (α+\0-,,)2-x> x-a2 • 則 [(a+I0-")_~][(a+10-")+~]>[~+ a][~-a][~+a][~-a] [(a+10-")-~]> [(a+10-")+~]
因為「 JZ+G
<I
.所以無法確認(a+10-")-~一定大於~-a;換句話說，也就是
+(a+10-") 不能肯定 d 的 n 位小數近似值就是。。 所謂「眼見為憑J '現在舉一個例子來驗證: 已知而互百五三=2.435 .所以 2.43<..)5.929225<2.44 '因為 2 .432=
5.90峙. 2.44 2=
5.9536 ~5.929225 - 5.9049=0.024325<5.9536 - 5.929225=0.024375 雖然 5.929225 距離 2 .432 比較近，然而取二位小數近似值是..)5.929225:::::2.44 參、後言 其實，各位讀者只要眼尖就不難發現上面特殊例子的端倪，知道笛中玄機。現在，我 們再來談談為何國中生要學十分逼近法?我查詢到的相關知識背景是國中階段教「十分逼 近法」的主要目的是透過有限小數來培養無理數的數鼠，也就是藉由操作十分逼近法的步 聽，讓學生感受到 .JN (N 是非完全平方數的皇盞墓)的小數位數可以為所欲為的求取出來，沒有重覆循環的現象，知道其可以化為無限不循環小數，以此引領學生人門無理數的世界。 而十分逼近法最重要的理論基礎就是連續函數的斟根定理，在國中階段求 JN 的近似值時， 以十分逼近法做到規定的第 n 位小數時，再引進這個長度為 10-n 的區問中點數，來判斷 JN 應在區間的左半部或右半部，以決定近似值為何。也就是說，這個階段的十分逼近法 搭配二分法(四捨五人)是個非常有效且具明確理論依據的方法。 網路上有一則學生留吉「奇怪!學校老師不是這麼教的，如果用這個解法，我覺得真 的比較容易懂。」基於這個動機，我想對國中生而盲，因為 N 所討論的範團旱 1-100 的 皇盞墓，甚至為了方便操作十分逼近法，老師們會將 N 值限定在更小的範圍內;所以我才 會發想.透過在附錄中所整理出來的資料來呈現，即使在「最後一步聽」改寫成「設 G 是 二位小數，已知 o<JN <0+0.01 '當 N 靠近。2 時，就取 JN""o; 當 N 靠近 (0+0.01/時， 就取 JN""o+O.OIJ 的做法是可行的。 雖然這些表格資料純粹只是一種數學實驗，不能當作嚴謹的證明，但是我常自覺在實 際教學現場上，對於不同年齡層的孩子們，我會努力嘗試在他們既有的預備知識前提下， 運用他們能理解的語彙、方式、經驗...等引導他們學習數學概念。「最後一步聽」這個不 一樣的做法，在國中階段的確可以減輕某些學生在繁瑣計算上的厭煩戚，我也希望經由這 次的討論分享，今後若有學生有這樣的寫法，老師們能不吝情給分1 參考文獻 南一書局 (2014 年):十分逼近法 國中數學 2 上 P.65-P.66 附錄 N
JN
。 02 N_0 2 0+0.01 (0+0.01)2 (0+0.01)2-N 1.00 2 1.41 1.41 1.9881 。.0119 1.42 2.0164 0.0164 3 1.73 且 .τ3 2.9929 。 .0071 1.74 3.0276 0.0276 4 2.00 2.00 5 2.24 2.23 4.9729 0.0271 2.24 5.0176 。.0176 6 2.45 2.44 5.9536 0.0464 2.45 6.0025 。 .0025 7 2.65 2.64 6.9696 0.0304 2.65 7.0225 。 .0225 8 2.83 2.82 7.9524 0.0476 2.83 8.0089 。 .0089 9 3.00 10 3.16 3.16 9.9856 。 .0144 3.17 10.0489 0.0489N
JN
α a 2 N _a 2 a+O.OI (α+0.0])2 (σ +0.0])2-N I ] 3.32 3.31 10.9561 0.0439 3.32 11.0224 。 .0224 12 3.46 3.46 11.9716 。 .0284 3.47 12.0409 0.0409 13 3.61 3.60 ]2.96 0.04 3.61 13.0321 。 .0321 14 3.74 3.74 13.9876 。 .0124 3.75 14.0625 0.0625 15 3.87 3.8τ 14.9769 。 .02車， 3.88 15.0544 0.0544 16 4.00 17 4.12 4.12 16.9744 。 .0256 4.13 17.0569 0.0569 18 4.24 4.24 l7.9776 。 .0224 4.25 18.0625 0.0625 ]9 4.36 4.35 ] 8.9225 0.0775 通 .36 19.0096 。 .0096 20 4.47 4.4τ ] 9.9809 。 .0191 4.48 20.0704 0.0704 21 4.58 4.58 20.9764 。 .0236 4.59 21.0681 0.0681 22 4.69 4.69 21.9961 。 .0039 4.70 22.09 0.09 23 4.80 4.79 22.9441 0.0559 4.80 23.04 。 .04 24 4.90 4.89 23.912l 0.0879 4.90 24.01 。.01 25 5.00 26 5.10 5.09 25.9081 0.0919 5.10 26.01 。.01 27 5.20 5.l9 26.936l 0.0639 5.20 27.04 。.04 28 5.29 5.29 27.9841 。 .0159 5.30 28.09 0.09 29 5.39 5.38 28.9444 0.0556 5.39 29.0521 。.0521 30 5.48 5.47 29.9209 0.0791 5.48 30.0304 。.。車。4 31 5.57 5.56 30.9]36 0.0864 5.57 31.0249 。 .0249 32 5.66 5.65 31.9225 0.0775 5.66 32.0356 。 .0356 33 5.74 5.τa 32.9476 。 .0524 5.75 33.0625 0.0625 34 5.83 5.83 33.9889 。 .0111 5.84 34.1056 0.1056 35 5.92 5.91 34.9281 0.0719 5.92 35.0464 。 .0464 36 6.00 37 6.08 6.08 36.9664 。 .0336 6.09 37.0881 0.0881 38 6.16 6. I 6 37.9456 。 .0544 6.17 38.0689 0.0689 39 6.24 6.24 38.9376 。 .0624 6.25 39.0625 0.0625 40 6.32 6.32 39.9424 。 .0576 6.33 40.0689 0.0689N
JN
G 。 2 N _a 2 a+O.OI (a+0.Ol)2 (a+0.Ol)2 -N 41 6.40 6.40 40.96 。 .04 6.41 41.0881 0.0881 42 6.48 6.48 41.9904 。 .0096 6.49 42.1201 0.1201 43 6.56 6.55 42.9025 0.0975 6.56 43.0336 。 .0336 44 6.63 6.63 43.9569 。 .0431 6.64 44.0896 0.0896 45 6.71 6.70 44.89 0.11 6.τE 45.0241 。 .0241 46 6.78 6.τ8 45.9684 。.。車16 6.79 46.1041 0.1041 47 6.86 6.85 46.9225 0.0775 6.86 47.0596 。 .0596 48 6.93 6.92 47.8864 0.1136 6.93 48.0249 。 .0249 49 7.00 7.00 50 7.07 7.0τ 49.9849 。 .0151 7.08 50.1264 0.1264 51 7.14 了 .14 50.9796 。 .0204 7.15 51.1225 0.1225 52 7.21 τ.21 51.9841 。 .0159 7.22 52.1284 0.1284 53 7.28 τ.28 52.9984 。 .0016 7.29 53.1441 0.1441 S4 7.35 7.34 53.8756 0.1244 τ.35 54.0225 。 .0225 55 7.42 7.41 54.9081 0.0919 7.42 55.0564 。 .0564 56 7.48 7.48 55.9504 。 .0496 7.49 56.1001 0.1001 57 7.55 7.54 56.8516 0.1484 7.55 57.0025 。 .0025 58 7.62 7.61 57.9121 0.0879 τ.62 58.0644 。 .0644 59 7.68 τ.68 58.9824 。 .0176 7.69 59.1361 0.1361 60 7.75 7.74 59.9076 0.0924 7.τ5 60.0625 。 .0625 61 7.81 τ.81 60.9961 。 .0039 7.82 61.1524 0.1524 62 7.87 τ.8月Z 61.9369 。 .0631 7.88 62.0944 0.0944 63 7.94 7.93 62.8849 0.1151 了 .94 63.0436 。 .0436 64 8.00 65 8.06 8.06 64.9636 。 .0364 8.07 65.1249 0.1249 66 8.12 8.12 65.9344 。 .0656 8.13 66.0969 0.0969 67 8.19 8.18 66.9124 0.0876 8.19 67.0761 。 .0761 68 8.25 8.24 67.8976 0.1024 8.25 68.0625 。 .0625 69 8.31 8.30 68.89 0.11 8.31 69.0561 。.0561 70 8.37 8.36 69.8896 0.1104 8.37 70.0569 。 .0569N
