兩供應商良率不確定下單週期數量採購之研究

國立交通大學

工業工程與管理學系

碩士論文

兩供應商良率不確定下單週期數量採購之研究

A Single Period Procurement Policy when Facing

Two Suppliers with Uncertain Yield Rates

研 究 生：陳佩宜

指導教授：洪一薰 博士

陳文智 博士

兩供應商良率不確定下單週期數量採購之研究

A Single Period Procurement Policy when Facing Two Suppliers

with Uncertain Yield Rates

研究生： 陳佩宜 Student： Pei-I Chen

指導教授： 洪一薰 博士 陳文智 博士

Advisor： Dr. I-Hsuan Hong Dr. Wen-Chih Chen

國立交通大學

工業工程與管理學系

碩士論文

A Thesis

Submitted To Department of Industrial Engineering and Management College of Management

National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of Master in

Industrial Engineering August 2010

Hsin-Chu, Taiwan, Republic of China

兩供應商良率不確定下單週期數量採購之研究

研究生：陳佩宜 指導教授：洪一薰 博士 陳文智 博士

國立交通大學工業工程與管理學系

中文摘要

近年來，由於顧客市場變大、技術快速進步的因素，許多產業都往往存在多 家廠商可提供服務，因此當顧客需要購買產品時，往往有許多的選擇可以來滿足 他的需求。但由於供應商在製造的過程中是充滿變動的，除了製造的良率無法確 定外，產能也可能受限，或者是突發的天災人禍都有可能造成顧客向供應商訂購 產品後卻拿不到足夠貨品的窘境。若是此顧客還要進一步加工以提供產品給下游 顧客，那麼受到損失的不僅單是供應商，而是整條供應鏈利益都會受到影響。因 此在這種充滿高度不確定的環境中，當一個組裝廠可有兩供應商可選擇時，他是 否會選擇只忠於其中一家，或是向兩家皆訂購，並且需要訂購多少數量以減少可 能會發生的損失來提高公司能獲得的利潤。 本研究主要以下游組裝廠角度，探討兩供應商的環境中，供應商生產良率為 隨機不確定的情況下，組裝廠也面臨訂購成本、缺貨成本和廢料處理成本的狀況 中，是否會採取向兩家供應商皆訂購的情況，或只偏好向某一家訂購。我們在單 週期環境下以最小化成本為目標建構一個數學模型及求解方法，探討組裝廠對於 訂單的分配的偏好，針對懲罰成本和數量相關的不同情境，找到最適合的最佳訂 購量。

A Single Period Procurement Policy when Facing Two Suppliers

with Uncertain Yield Rates

Student: Pei-I Chen Advisor: Dr. I-Hsuan Hong

Dr. Wen-Chih Chen

Department of Industrial Engineering and Management

National Chiao Tung University

ABSTRACT

Because of the potential customer segment and rapid technological progress, more firms are built to serve the market. When a customer has more choices to choose, would a customer only choose one supplier or choose both suppliers? In this research, we assume the production yield rates of the suppliers are random variables, and the assembly firm needs to decide the order quantity. We consider the uncertain yield rates of the suppliers and the trade-off between shortage cost and salvage cost. We propose a single period model to determine the optimal order quantity of the assembly firm where the assembly firm minimizes its own cost. Then we find the condition that the assembly firm only orders from one supplier or two suppliers. Finally, we demonstrate our results by a numerical case and conduct the parameter analysis to observe how parameters affect the assembly firm’s decision.

致謝

我畢業了！在新竹已經待了六年的時間了，要開始面臨學生身份轉換成上班 族的心情還是覺得惆悵與不捨。在交大的兩年，要感謝的人很多，首先必須感謝 洪一薰老師在這兩年中不厭其煩的指導，在每次討論時往往給予許多的回饋與意 見，除了在學術上不斷引領我們思考外也教導許多做事的道理。在洪一薰老師身 上我看到了老師對於學術研究與工作認真堅持的態度，對於老師所給予的身教與 言教我會好好記得，期待自己未來在工作崗位時也能像他做的一樣好。同時也要 感謝陳文智老師、巫木誠老師與許錫美老師，在論文口試期間給予許多寶貴的意 見，幫助我補足不完善的部分，才能夠將論文順利完成。

同時，也要感謝實驗室的鄧志鋒學長、齊哥、老柯和大葉學長，除了給予 我很多想法外也不斷替我加油打氣。另外一起奮鬥的小多、扣斯、阿銘，沒有你 們生活一定乏味很多，謝謝你們和我一起度過實驗室的生活。也要感謝許多大學 的朋友們，聽我說心事分享我的喜怒哀樂，有你們的支持，我才可以在離家遙遠 的新竹開心的笑著！

最後要感謝我的家人，總是在我背後默默的支持我，從來不給我任何的壓 力，讓我可以全心全意專注的在學校事務中，使得我求學的路上總是沒有任何牽 掛。接下來我也會好好的生活，請大家放心。很高興生活中有你們的存在，讓我 的人生可以更加的完美！ 陳佩宜 誌于 風城交大 中華民國九十九年八月

目錄

中文摘要 ... i ABSTRACT ... ii 致謝 ...iii 目錄 ... iv 表目錄 ... v 圖目錄 ... vi 第一章 緒論 ... 1 1.1 研究動機與背景... 1 1.2 研究目的... 3 第二章 文獻回顧 ... 6 2.1 多個供應商之相關文獻... 6 2.2 良率為隨機之相關文獻... 8 2.3 報童模型與經濟訂購量之相關文獻... 10 2.4 本研究與過去研究不同之處... 12 第三章 兩供應商環境下產品良率隨機之單期訂購量研究 ... 13 3.1 問題描述... 13 3.2 兩供應商環境下最佳訂購量之訂定... 17 3.2.1 定義兩供應商環境下單期之超缺額數量函數... 17 3.2.2 定義兩供應商環境下單期之成本函數... 20 3.2.3 良率屬於均勻分配... 24 3.3 良率範圍皆屬於 0 至 1 均勻分配之決策情形與範圍之訂定... 26 第四章 案例說明與參數分析 ... 33 4.1 數值範例說明... 33 4.2 模型參數分析... 34 4.2.1 D 之參數分析 ... 34 4.2.2 P 、₁ P 之參數分析 ... 36 ₂ 4.2.3 C_salvage、C_short之參數分析 ... 40 4.2.4 y 、₁ y 之參數分析... 44 ₂ 4.3 小結... 49 第五章 結論與未來研究方向 ... 51 5.1 結論... 51 5.2 未來研究方向... 51 參考文獻 ... 53 

表目錄

表 3.1：參數符號說明... 18 表 3.2：所有訂購決策的參數的範圍... 29 表 4.1：改變 D 之最佳訂購量 ... 36 表 4.2：改變P 之最佳訂購量... 37 ₁ 表 4.3：改變P 之最佳訂購量與成本 ... 39 ₂ 表 4.4：改變C_salvage之最佳訂購量與成本... 41 表 4.5：改變C_short之最佳訂購量與成本 ... 42 表 4.6：供應商 1 平均良率改變、標準差固定之最佳訂購量... 45 表 4.7：供應商 1 標準差改變、平均良率固定之最佳訂購量... 46 表 4.8：供應商 2 平均良率改變、標準差固定之最佳訂購量... 47 表 4.9：供應商 2 標準差改變、平均良率固定之最佳訂購量... 48

圖目錄

圖 3.1：資訊與決策關係圖... 15 圖 3.2：上下游供應鏈關係圖... 18 圖 4.1：組裝廠的成本模型之目標函數... 34 圖 4.2：不同 D 對於訂購數量的影響 ... 36 圖 4.3：不同P 對於訂購數量的影響... 38 ₁ 圖 4.4：不同P 對於訂購數量的影響 ... 39 ₂ 圖 4.5：不同P 、₁ P 對於成本函數的影響 ... 40 ₂ 圖 4.6：不同C_salvage對於訂購數量的影響... 41 圖 4.7：不同C_short對於訂購數量的影響 ... 43 圖 4.8：不同C_salvage、C_short對於成本函數的影響 ... 44 圖 4.9：供應商 1 不同平均良率對於訂購數量的影響... 45 圖 4.10：供應商 1 不同良率標準差對於訂購數量的影響... 46 圖 4.11：供應商 2 不同平均良率對於訂購數量的影響 ... 48 圖 4.12：供應商 2 不同良率標準差對於訂購數量的影響... 49

第一章 緒論

1.1 研究動機與背景

在一般決策環境中，環境往往是隨時變動、充滿高度不確定性的，公司在決 策時除了會遭遇自身的條件限制，也會面臨不確定性較高或者競爭激烈的市場， 因此取得的資訊並無法永遠百分之百的符合決策者的需求，以讓決策者做出完全 精準的決策，所以能夠在充滿動態的環境下，針對所面臨的問題做出適當的決策 以獲得較高的利潤，是各廠商都想達成得目標。對於廠商而言，想達到最大利潤 的目標時，也可用反面的方法，也就是最小化成本來達到目的。因此，若有廠商 販賣較有時效性的產品，那麼他可以從做好訂購決策來幫助他達到最佳利潤，因 為好的訂購決策能大大的減少相關的購買成本或者懲罰成本。因此訂購數量問題 已存在許久，Burton (1988)就曾指出供應商在製造、運輸、服務等項目都扮演了 極重要的角色，而在高科技產業中相關的採購和服務成本約佔了總生產成本的 80%，更甚有些零售商的採購成本更高達其總零售的90% (Stevenson，2002)。因 此，對於訂購議題做一個較為準確的決策除了可以減少訂購成本之外，也可以避 免日後會發生的缺貨成本(shortage cost)或者是處理多餘物料的廢料處理成本 (salvage cost)，尤其當缺貨成本或廢料處理成本遠遠大於訂購價格或是最終銷貨 價格時，是否能夠較為準確訂購以期望符合需求時，由此可知，數量訂購議題仍 然有其重要性。 在採購的議題中，有些商品是具長期性交易的特色，但是有些則是具有易腐 性和時效性的商品，像是食物、報紙等物品，不論是何種產品，都會面臨到相關 的處理成本，例如持有成本(holding cost)、缺貨成本，而這些相關處理成本在短 期的模式中影響更為顯著，因為在訂購數量不夠準確的情況下，就非常容易發生 缺貨成本或廢料處理成本，缺貨除了會浪費生產線上已預訂好的計畫外，往往會 造成商譽的損害並減低競爭力，長久之下會想購買公司產品的顧客就會越來越

少，甚至導致公司關閉的情況。而訂購太多原料時除了浪費資源外，也會多花費 訂購成本且還會額外產生廢料處理成本，為了預防缺貨而多訂的原料數量則使得 總成本提高。因此對於一個決策者而言，在成本最小化的目標下，能夠依據已知 的需求，訂購恰當數量來達到最佳目標，是每位決策者都想達到的成效。 而採購議題又無可避免的會牽扯到和上游供應商的關係。製造環境中，必然 存在不完美的生產系統，而此不完美的生產系統所造成的良率高低必會影響供應 商提供給下游的數量。在現實的製造環境中，除了內在變動因素外，也存在像是 操作失誤的外在變動因素，因此廠商的製造良率並無法永遠保持一個定值，這些 變動因素都會使得製造良率呈現一個變動的狀態。因此我們無法獲得準確的良 率，只能根據需求，藉由隨機的良率來推測可能發生的情形以決定向供應商訂購 的最佳經濟訂購量，以避免訂購太少而產生缺貨的情形或者是因為訂購太多而產 生多於存貨的情形。但是大致來說，良率和價格是呈現取捨關係的，良率較高的 供應商大多銷售價格也較高，較高的銷售價格就有可能造成零售商較大的購買成 本。有些決策者偏好向良率較高的供應商訂貨、有些偏好向價格較低的供應商訂 貨、也有些則偏好向良率範圍變動較小、製程比較穩定的供應商訂購，因此在數 量訂購的決策上，仔細考慮價格與良率的影響，也是關鍵的要素考慮之一。 而目前現行的採購制度中，為了避免將全部雞蛋放在同一籃子中的風險，因 此許多公司採取多個供應商(multiple sourcing)的訂購策略，多個供應商數量包含 兩個或以上的供應商，這些供應商之間也許存在互相競爭或合作的關係，自身條 件也存在著差異，有些是銷售價格較便宜、有些是製程較穩定，良率比較高。每 一個供應商皆具有本身的優勢，而決策者在考量本身的限制後再決定要向何者購 買、需要訂購多少數量，以達到決策者想要最大化利潤或是最小化成本的目標。 向多個供應商訂購可避免當其中一家供應商發生急遽變化時，還能有另一家支援 廠商；同時向兩個廠商訂購可以對兩廠商都建立良好的合作默契，尤其在變化無 常的現代化環境中，決策者需要為可能發生的所有事件做出相關的因應措施。此

外也可以讓供應商間產生競爭的意識，來達成更好的產品品質或是交易服務，因 此如何確保貨源穩定，避免面臨缺貨的風險下，多個供應商的採購策略是值得被 參考的。

在數量訂購相關的研究中，以往多針對一家供應商與一家零售商之間的訂購 關係，在存貨考量的情形下，探討最佳的經濟訂購批量、最佳的再訂購點以及訂 購週期。比較少研究針對多個供應商背景的訂購策略，因此本篇研究則是在多個 供應商的成本、良率條件不一定相同的背景之下，討論最佳訂購數量，是否在多 個供應商的情形下，買方仍只偏好向其中一家供應商訂購數量，或是在何種特定 的條件下，買方皆會對供應商產生需求訂購。尤其產品處在單期具有時效性的環 境下，往往會面臨到缺貨成本和廢物處理成本的考量，買家又要如何去做取捨， 在製造良率沒有辦法完全固定的情形下，買家訂購原料時，若迫不得已要產生缺 貨或者多餘貨品時的偏好如何，對於買家來說，缺貨成本或者是廢料處理成本影 響較大，也會影響訂購的決策。 因此本篇研究是以組裝廠為角色，在末端需求、售出的貨品價格確定情況， 在面對多元供應商的良率為隨機變數、銷售價格不同的條件之下，若是未做好訂 購數量分配，則可能會造成多餘的訂購成本和缺貨成本以及廢料成本，因此本研 究以最小化成本為目標，訂定單週期最佳的訂購數量。而訂購數量會因應各個不 同參數，有多大的偏好以及敏感度的反應？這些參數如何影響零售商的成本，對 於廠商而言會產生哪些管理意涵，也是值得研究討論的問題。

1.2 研究目的

本研究主要以下游組裝廠角度，探討存在兩供應商的環境中，供應商生產良 率為隨機不確定的情況下，組裝廠面臨缺貨成本和廢料處理成本的狀況中，去決 定最佳的訂購數量分配。本研究中，僅考慮單期情形，且未考慮銷售期間存貨的 問題，在供應商告知組裝廠其原料銷售價格以及生產製造良率的大略資訊後，組

裝廠根據確定的終端需求去決定是否僅向一家供應商訂貨，或採取皆向兩家供應 商訂購、並決定訂購多少原料，以避免可能會發生的缺貨、多貨情形，來達到最 小化成本的目標。在此決策的過程中，供應商或許是互相競爭或是合作的狀態， 但是由於本研究是站在組裝廠的角度，因此供應商之間的互動關係並不會影響組 裝廠的決定，我們所考量的會是供應商和組裝廠之間的互動，包含供應商所提供 的價格、良率，而組裝廠面對決策內部除了會面臨到訂購成本外，也要負擔起此 單期產品可能發生多、缺貨情形所造成的懲罰成本，若是缺貨成本遠高於廢料處 理成本，那麼在無法完全準確訂購的前提下，組裝廠將會偏好多訂購原料而較不 願意承擔可能會發生缺貨情形的成本，反之則亦然，當廢料處理成本遠高於缺貨 成本，那麼在無法完全準確訂購的前提下，組裝廠將會偏好缺貨而較不願意承擔 處理費原料的成本。 在供應商和組裝廠的產能無限制、價格和數量沒有折扣的假設情形下，針對 單一的原物料做單期的訂購決策，且不考慮交易過程中的運輸或者存貨成本，由 於終端需求對於組裝廠而言是確定的，因此決策的考量應著重在訂購成本與懲罰 成本和隨機良率對於決策的影響。一般來說，價格會和訂購數量呈現取捨關係， 而製程較穩定、良率較高的廠商大多可以獲得較多的訂單數量，例如在2008年 時，中芯晶片就發生因為晶片良率不如預期，雖然價格較為便宜，但仍使不少訂 單回流至台積電(自動化在線，2008)。良率已被許多企業納入績效或是決策的考 量，對於高科技產業而言，良率所造成利潤變化的影響程度也越來越重要了，良 率不只發生在製造過程，在行銷販賣過程也會考量良率做為訂購標準，末端消費 者或者是中間製造廠商可考量良率來訂定產品的允收標準，例如奇美的液晶顯示 器產品的保固系統就標明在產生3個亮點內的螢幕皆屬於良品，產生3個以上亮點 在保固期內可免費維修(奇美保固資訊，2009)。另外在供應鏈上，我們可以發現 對成本造成一大影響的要點即是變動成本，包含存貨成本及廢料處理成本，兩者 當然只能存在一種，在本研究中，並無探討多餘原料的剩餘價值，直接假設這些

多餘原物料已經沒有剩餘價值，則當這些變動成本的設定不同時，會對採購策略 造成怎樣的影響。一般而言，缺貨成本較大時會偏向多訂原物料，廢料處理成本 較大時則偏向訂購少一點的原物料。 因此針對以往多單一供應商的研究而言，本研究希望能以多個供應商的情境 下手，在兩供應商的良率為隨機不確定，並在單週期訂購單一項原物料的情況之 下，探討組裝廠對於訂單的分配，在達到最小化成本的目標下構建數學式，針對 懲罰成本和數量相關的不同情境，找到最適合的最佳訂購量並且去做分析以希望 能找到適合產業運用的經濟或者管理意涵。

第二章 文獻回顧

本研究主要目的乃針對供應鏈中的組裝廠面對多供應商時，會如何將其訂單 分配給這些不完全相同的供應商。決策的過程中，在設備足夠的狀態下，供給面 可滿足需求面，因此雖然假設供應商的產能是無限制的，但因為供應商在良率為 隨機不確定，製造含有不良品的情況下，無法百分之百提供組裝廠訂單數量，又 因為本研究只探討單期的訂購，因此無法利用二次訂購將不足的數量補足，因此 在這類似報童模型的訂購背景中，在供應商良率隨機時，組裝廠面臨缺貨成本或 是廢料處理成本的風險下，組裝廠如何分配訂單給供應商以達到最小化成本，是 本研究所探討的重點。因此在文獻回顧中即根據本研究的核心與相關的問題背 景，分為三個部分：供應鏈中存在多個供應商、良率為隨機的情形、存貨系統中 報童模型的經濟訂購量。

2.1 多個供應商之相關文獻

在採購的策略上，大致可分為兩種，分別是單一供應來源(sole sourcing)和 多個供應來源(multiple sourcing)。Schonberger (1982)、Freeland (1991)、Presutti (1992)針對在日本工廠管理中被廣泛實施的 JIT(just in time)制度研究，並指出此 管理制度採取的則為單一供應來源策略，藉由單一供應可和供應商維持良好且長 期的合作關係，並可降低和品質相關的檢驗工作成本。Presutti (1992)、Watts et al. (1992)、Wacker (1993)等人則以美國為例，他們認為由於美國自由競爭的經營風 格，因此多採取多個供應策略，因為多個供應商的存在會讓供應商競爭而會有生 產品品質變好以及價格較低的可能，此外也可以利用多個供應商供應物料以分散 風險、降低缺貨發生的機會，來降低持有成本和缺貨成本的發生。

(1993)便是討論單期決策下，零售商面臨具有差異性的兩個供應商，在良率和需 求都屬於隨機變數時，求取最適訂購批量並佐以實證數據驗證。而 Gerchak and Parlar (1990)則是考量兩供應商之間有不同的製造良率平均和變異數，並且得出 當兩供應商之間差異越小時，則良率變異對於最佳訂購量決策的影響就會變小。 Anupindi and Akella (1993)則是討論兩供應商的良率不確定，且會延遲到貨情形 時對存貨的影響，零售商決定最適訂購量，並得到以下結論：當原始存貨大於一 個最高上限門檻時，則不訂購；當介於最高和最低界線時，會向較不保障但是價 格較便宜的供應商購買；原始存貨比最低界線還低時，則都向兩家供應商訂購。 Mohebbi and Posner (1998)則認為訂單分散至多個供應商之間的研究議題大 致可分為兩部份，一部份是探討訂單分散對有效前置時間(effective lead times)的 影響，討論包含有效前置時間的平均和變異數受到訂單分散的影響程度，另一部 份則是探討在採用多供應商的策略下，相關成本對於各個供應商獲得訂單數量比 例的影響。眾多學者則針對前置時間呈現隨機分配時，當供應模式由單一轉為多 供應商時，訂單分散對有效前置時間的影響，例如 Sculli and Wu (1981)即是供應 商前置時間服從常態(normal)分配時，當訂購策略由一供應商轉為兩供應商時， 平均有效前置時間會降低，且在相同的服務水準下，零售商對兩供應商的再訂購 點(reorder point)和存貨水準會比僅有單一供應商時要低。Pan et al. (1991)則是針 對供應商的前置時間分別服從常態、指數(exponential)、均勻(uniform)分配時， 若訂購策略由一供應商轉為兩供應商，則採購平均前置時間的改變。這些研究多 表現出採用多供應商策略多能得到降低存貨和減少系統成本的好處。Ramasesh et al. (1991)則以最小化成本為目標，考量持有成本、缺貨成本和訂購成本存在時， 兩 供 應 商 的 前 置 時 間 分 別 是 獨 立 且 相 同 分 配 (independent and identical distribution)，當需求確定的時後，零售商最佳的訂購數量及再訂購點。

Ramasesh et al. (1993)則進一步討論並認為當供應商給零售商原料的前置時 間屬於不同分配，並且採購價格也不一樣時，最小成本的方法能更有效分析不同

前置時間與採購價格之間的取捨。Lau and Lau (1994)則是在確定性需求下，探討 不同供應商在前置時間和採購價格具有取捨特性下的採購策略，並且發現雙重供 應的情形適合在成本參數皆適中時使用，且其最適合的需求分配量則依照成本參 數組合來決定。Lau and Zhao (1994)則針對供應商前置時間和需求皆隨機的背景 下，探討零售商採取兩供應商供應時的訂購策略，在服務水準的限制下，使持有 和訂購成本最小化目標下，可得到訂單分配數量比例會隨前置時間而變化，且訂 單分散可以使得持有成本降低。Sedarage et al. (1999)則是在最小化系統的相關成 本目標下，針對多個不同供應商供應且前置時間和需求皆隨機的情形，決定供應 商的數目、訂單分配數量、再訂購點，並且得出當前置時間變異變大時，供應商 數目會增加，且將訂單分給多數供應商時，不一定能保證必有經濟效益。 由以上文獻可知

，

多個供應商的背景已經漸漸廣泛應用，因此確實有被研 究的必要，並且可應用的範圍很大，除了可考量有差異性的供應商對於顧客決策 的影響，也依據現實狀況探討良率或需求是隨機變數時的決策，這些都是本研究 中的背景之一，而學者們另外考量在訂購時會發生的前置時間、長期下存貨的問 題的背景雖然在本研究中未出現，但是可做為後續研究的方向，再加以補強。

2.2 良率為隨機之相關文獻

良率這個名詞已經普遍出現在製造業中，He and Zhang (2008)認為在一個供 應鏈中，良率不確定會影響整體製造決策和績效，因此在一個製造商和一個經銷 商的供應鏈結構中，當製造良率和需求不確定時，討論不同協商能力的供應鏈中 的風險共享契約的最佳決策，在某些參數確定的設定下，良率不確定性反而可以 增加供應鏈績效，減少雙重邊際效果(double marginalization)。當經銷商承擔較多 良率未知風險時，製造商在同樣的訂購數量下，願意投入較多資源，同時，作者 也發現製造商的生產數量通常會和經銷商的訂購數量成一線性關係。 傳統的文獻多假設無不良品的情形發生，但現實中製造過程往往會因為外在

或內在原因造成不良品發生。Porteus (1986)即考慮製程中會有不良品產生的情 形，藉由一衡量製程品質水準的模式改善製程和產品的品質並導出經濟訂購批 量。Cheng (1991)則是研究在非百分之百良率產生的製造過程中，若單位生產成 本會跟隨需求變動時，探討此背景下的存貨模式和存貨策略。Salameh and Jaber (2000)則考慮非百分之百良率產生的製造過程中，廠商可以將瑕疵品以較低價的 方式再賣出的情況下，討論此背景下的存貨模式和存貨策略。Huang (2004)則是 討論非百分之百良率產生的製造過程中，將即時化想法加入供應商和零售商整合 的供應鏈，討論此背景下存貨模式最佳的訂購策略。Kelle, Transchel and Minner (2009)討論在供應鏈中存在會影響訂購或者運送的存貨相關的成本，在良率是隨 機情形下，若買家隸屬即時生產系統(JIT)下，應該如何決定訂購量以及安全庫 存，以使成本最小化。並且得到以不確定良率能比平均良率更能提供嚴謹的服務 水準以及最佳的裝載貨運量和準備策略的結論。

Bakal and Akcali (2006)、Mukhopadhyay and Ma (2009)皆面臨到再製業中， 良率為不確定時的相關情況。Bakal and Akcali (2006)討論逆供應鏈中某再製造業 的供給面和需求面是對價格具有敏感度的，在良率是隨機變數下應如何制定 EOL(end-of-life)產品的購買價格和再製品的銷貨價格。並且知道在確定環境下若 能延遲銷貨價格決定直到良率準確體現時，是比較有利的。Mukhopadhyay and Ma (2009)討論閉環系統(closed-loop)中，再製業中品質和需求不確定的情況之下的採 購和訂購的數量決策。運用兩階段的隨機方法決定最佳數量，並且探討了參數改 變時對最佳化情形的影響以及比較不同決策變數下最佳的利潤情形。 許多產業會面臨良率問題，不只製造業，甚至是農業也探討良率對其影響。 Kazaz (2004)針對橄欖油業可隨時生長的特性，討論植物生長良率和需求不確定 且良率和成本及價格是相依的情形下的製造計畫。在良率不好的情形下，製造商 會承租其他農地；在良率好的情形下，製造商會製造橄欖油以及廢物利用。當橄 欖油製造好後製造商會開始面臨需求不確定的情況。Kazaz (2004)並且證明對一

農地而言，最佳的承租空間會因為其他存在產品供應者而減少，且在有其他產品 供應者的存在下，良率的變異增大，農地承租空間並不會絕對因此而變大。 因此由上述這些文獻我們可以發現，討論良率非百分之百的生產系統的確更 重要也更貼近真實，尤其在良率為隨機的情況下，有時更能提供嚴謹的服務水準 以及較高的計劃價值，因此考量良率問題對於會牽涉到製造的行業是有存在的必 要。

2.3 報童模型與經濟訂購量之相關文獻

單期模式多討論於較具時效性的產品，而探討單期模式最典型的例子即是報 童模型。報童模式主要考慮兩種成本，分別是缺貨成本及持有過多存貨的廢料處 理成本。根據林進財(1991)的整理，傳統的報童模式大致具備四個條件，分別是 只有一個零售商，且零售商面臨需求量是隨機變數、零售商只能訂購一次，即使 需求過大也無法向外界緊急要求幫忙、商品具有時效性，在活動終止後，剩餘產 品要立即處理、並多以最小化成本或者是最大化利潤為目標。而經濟訂購量則是 存貨系統研究中重要的議題之一。此模式是由 Harris (1915)提出，他將成本包括 了貨品購買成本、訂購成本和持有成本以找出使總成本可達最小的最佳訂購量， 傳統的經濟訂購量在以下假設上進行，分別是可正確預測未來情形、需求固定且 已知、原物料一次及時送達且前置時間固定、沒有訂貨數量折扣情形發生、也不 允許缺貨後補。 在傳統的報童模式延伸中，Chien (1993)針對隨機需求，將模式加入產品成 本和運輸費用，以探討最佳的運輸政策。Lau (1997)則是假設需求分別屬於均勻 分配、指數分配和常態分配下的最佳訂購數量。Lau and Lau (1997)則是將報童延 伸有兩次訂購機會，決策者假設需求為均勻分配前提下先考慮期初訂購量，開始 銷售後會知道顧客需求為隨機並可知平均需求和標準差，再進行第二次訂購，結 束銷售前的需求依舊是一隨機需求的情況下，決定兩次最佳訂購數量。黃允成

(2001)則針對易腐性產品，並在有數量折扣、需求隨機的前提下，應用報童模式 求取最適訂購量和最佳定價以達最大利潤的目標。

Gallego and Moon (1993)、Moon and Choi (1994,1995)的研究則是針對需求自 由分配時的報童問題去做存貨的探討，但他們的研究中都尚未考慮訂購時間。 Gallego and Moon (1994)則是進一步細分討論當存貨模型為連續存貨檢視模型 (continuous review model)和定期存貨檢視模型(periodic review model)時的最佳訂 購量。Moon and Choi (1994)則針對服務水準受限的報童問題，在連續存貨檢視 系統中決定最佳的訂購量和再訂購量。之後 Moon and Choi (1995)又接著探討若 消費者的選擇會產生限制的狀況，當消費者面臨上游存貨水準低時，因為他無法 確保上游可以提供足夠的貨品給他，所以消費者在決定訂購數量的過程會產生遲 疑，故當上游存貨低於一個門檻值時，消費者可能會決定不購買，因此供應商將 物品售出的機率就降低了，故作者假設消費者決策的時後會有猶豫的情況產生， 探討需求自由分配的報童模式的最佳訂購點。此外 Khouja (1999)在研究中提出 了一些報童存貨模式可被延伸的應用問題，例如存在多個供應商時的定價決策、 產品訂購可以有銷貨折扣或是進貨數量折扣問題、具有隨機需求的多樣產品的報 童存貨模式、產品具有替代性的報童存貨模式、多階層的存貨模式。Petruzzi and Dada (1999)即討論出了兩階層報童存貨模式的定價策略，Khouja (2000)則討論產 品訂購有多重銷貨折扣發生，且因多重銷貨折扣故有多重售價，在假設需求函數 是線性的情況下，決定最佳的訂購數量和初始定價。Dye and Ouyang (2005)則在 假設存貨和銷售率有關的前提下，且產品具有時效性，但產品腐敗率為一常數， 當顧客分別對缺貨接受程度為不允許缺貨、部分缺貨、可接收缺貨發生時，建立 一個最佳經濟訂購模式。而 Adachi et al. (1999)則是將具時效性產品的產品週期 分成三期並且訂定三種固定的價格，利用馬可夫過程(Markov process)，在平均利 潤最大化的目標下求取最適的訂購數量。 由以上文獻我們可以知道報童模型應用在數量訂購的問題是很常見的，而延

伸的研究更是不少。由於我們所研究的背景是單一週期的一次訂購策略，因此我 們可以應用報童模型訂購一次、產品具有時效性到我們的成本函數中，此外因為 時效性的原因，報童模型可以將訂購情形分類成缺貨或超額兩類，而將缺貨與超 額的範圍界定成兩個互斥事件，因此我們便可將此性質應用到我們的成本函數 中，並區分為缺貨成本及廢料處理成本，然後再進一步討論。

2.4 本研究與過去研究不同之處

過去研究中，單週期一次訂購的模型中，雖多以報童模型為基礎來來構建 目標函數，但是多以一供應商對一零售商的背景為主，較少針對多個供應商供應 的單期訂購策略，此外報童模型多將需求設為隨機變數，探討數量訂購決策時則 可分為訂購數量大於需求或者小於需求兩類討論，本研究則是將需求固定，假設 良率為隨機變數，並將供應商的數量增為兩個，且不考慮產品有時間性的存貨成 本存在，而是將單一週期以報童模型的概念將所有可能發生的情形分為發生缺貨 和超額商品兩種分類，探討組裝廠對於兩供應商的數量訂購情形。

第三章 兩供應商環境下產品良率隨機之單期訂購量研究

3.1 問題描述

本研究探討在供應鏈中，組裝廠已確切知道下游的需求時，在面臨上游兩 供應商皆可提供產品，但是供應商的良率並非固定的情況，則組裝廠應該要如何 在單期的訂購策略中利用一次訂購將訂單分散給兩供應商，以達到公司所設立最 小化成本的目標。由於兩供應商的良率是隨機的，因此組裝廠也無法確定正確收 到貨的數量，不論組裝廠多收到貨或少收到貨時，都會造成相關成本增加，因此 在上游供應商告知組裝廠確定的銷售價格與其製造良率的隨機分配後，組裝廠依 據這些資訊以及確定的需求後，決定要分別分配給兩供應商多少訂單數量，而本 研究為了不複雜情況，因此假設組裝廠訂購貨品時並不會產生數量折扣，以免數 量折扣的影響會遠大於懲罰成本的影響而改變組裝廠對兩供應商的抉擇，此外由 於技術進步，故供應商的產能完全足夠，可以負擔組裝廠的要求，而組裝廠的產 能也完全可以滿足下游確定需求，因此組裝廠在知道市場需求後，除了向訂購商 訂購數量外也會同時生產產品，等到供應商的原料到位之後再進一步組裝，因此 供應商的良率對於組裝廠來說，屬於未體現(before realization)的良率，因此不論 組裝廠會從供應商一方收到多少原料數量，組裝廠皆會依照下游的需求先生產好 數量以便進行加工。 就交易過程而言，消費者大多偏好價格較低、良率較高的廠商。但一般而言， 良率較高的廠商價格也相對較高，當消費者只向製造良率較高廠商購買時或許可 以因為良率較高而購買較少數量，但在單價較高的情況下，仍可能使得購買產品 的成本超過只向製造良率較低的廠商訂購的購買成本。此外良率的標準差也可能 會影響顧客的購買意願，有時雖然平均良率高，但若良率標準差也大時，那麼也 不容易準確估計確實可獲得的產品數量，一般而言，良率標準差大時會降低銷售

價格，良率標準差較低時則可提高銷售價格。因此決策者在兩供應商良率平均和 標準差與價格的取捨下，會怎樣向不同條件的供應商訂購數量，以盡量達到減少 缺貨或超額情形發生，使總成本可以最小。所以在兩供應商條件不盡相同的情形 下，組裝廠是否會有意願將需求訂單分散至兩廠商，或者仍只願意向其中一家廠 商訂購。組裝廠在確定下游需求下，雖然供應商的產能是完全可供應組裝廠需求 的，但由於我們只訂購一次，因此若是一開始的訂購數量沒有決定好的話，無法 完全滿足下游需求時，便會面臨缺貨成本，而供應鏈中貨品流是環環相扣的，組 裝廠的下游顧客拿不到產品時，除了代表此下游顧客有可能因為沒有產品可加工 而產生多餘的原料庫存，再更下游的顧客也因此無法拿到貨品，因此對於整個供 應鏈的各個角色而言，都損失了不少的商譽或者金錢。但是組裝廠若是收到過多 的原料時，雖然可以完全滿足下游需求，不過因為組裝廠只生產了恰可滿足需求 的確定數量，因此從供應商多送到組裝廠的原料則必須要由組裝廠自行處理掉， 具時效性產品在有多餘產品情況下的處理可大致分為兩種，一種即為再以較低價 格轉賣出去，另一種則為直接丟棄，本研究中則設定直接丟棄的方法，因此供應 商需要面對一個和購買價格相比不算低的廢料處理成本，如此才不會使得組裝廠 一窩蜂的多訂貨也不願意缺貨。 在一般的庫存模式中，往往存在著庫存成本與缺貨成本，為了要達到盡量減 少成本的目標，因此在數量訂購的決策上能夠越精準的話，代表將會面臨到的這 些成本也就越少。本研究雖然是建立在單期類似報童模型的訂購問題討論，但是 也存在著如同一般庫存模式中會存在的成本，例如廢料處理成本就類似於庫存成 本，因此根據這些供應鏈間所得到的資訊，訂購精準的原料數量可以減少可能發 生的缺貨成本或者是廢料處理成本。因此訂購數量決策對組裝廠而言就變得重要 了。由於現在有兩供應商可提供組裝廠選擇，每一個供應商的製造良率是屬於隨 機變數，但是會服從於某種分配，供應商會告知組裝廠這些資訊，而讓組裝廠自 行決定需要訂購的數量。

傳統報童模式多建立在需求為隨機，並且上游只有一個供應商可提供產品， 在最小成本或最大利潤目標下決定一次訂購的最佳數量，本研究將應用報童模 式，但是和傳統報童有些差異的地方則是本研究中，多考量良率為隨機變數，有 兩個供應商可以供應物料，但需求則是固定的，我們建立一個以最小成本為目標 的目標式，此目標式包含購買成本以及缺貨成本和廢料處理成本三項影響，而缺 貨成本及廢料處理成本都會受到隨機良率以及需求的影響。因此組裝廠要決定最 佳的訂購量，以盡量滿足需求並且減少缺貨或者多出貨的情況。 本章在良率隨機環境下，建構組裝廠的成本模型，以訂定最佳的訂購數量。 最後分析成本模型中各參數對廠商成本的影響。我們可以將這些獲得的資訊與決 策之間的關係如圖 3.1 表示。 圖 3.1：資訊與決策關係圖 本研究在下列限制下進行研究： 1. 本研究中討論廠商單期的數量訂購問題，上游兩供應商生產的產品為相 同的單一種產品，因此組裝廠不會只偏好向某一家訂購，而是根據客觀 可以知道的資訊決定數量的訂購。 2. 在供應商向組裝廠報價、組裝廠直到收到貨品前，上下游廠商都沒有辦 法確切知道良率，屬於未體現的情形。因此假設良率為一隨機變數，並 且 兩 供 應 商 的 良 率 隨 機 變 數 不 一 定 屬 於 相 同 且 獨 立 分 佈 (Identical Independent Distribution)。但對於連續函數而言，其定義域多為 0 至無 限大，或是所有實數，但是對於良率來說，定義域只介於 0 到 1 之間的 實數，因此大部分的連續函數會無法符合良率的概念，所以我們假設供 輸入 輸出 : 兩供應商 _{組裝廠成本} 最小化求解 : 下游顧客 確定需求 組裝廠的成本函數 銷售價格 確定需求 * * 1 2 (Q Q, )

續分配函數。 3. 在本研究中欲討論的是供應商的良率對於組裝廠決策影響，因此組裝廠 在自身這一階層的製造則假設為良率為百分之百。組裝廠會根據下游確 定需求產生恰好的產品數量，然後等到供應商原料抵達時即可再加工或 組合之類的後續動作。因此假設組裝廠生產無瑕疵品時可確定產生的缺 貨成本或者物料處理成本和組裝廠沒有關聯。 4. 本研究中的成本函數會和訂購成本與缺貨和廢料處理成本有關，在探討 這些成本對訂購數量的影響下，因此我們假設在做訂購數量的過程中， 不會產生數量折扣情形發生，如此我們可以較為單純的討論各參數間對 於決策變數的影響。 5. 此研究的背景是製造產能為充足的情況之下，所以供給面能充分滿足需 求面，因此供應商可以充分滿足組裝廠需求，組裝廠也可充分滿足下游 需求，故我們不需考慮產能擴充問題，且為了只討論簡單的狀況，假設 兩供應商除了製造良率、價格不一之外，其餘條件相同。 6. 不論是供應商對組裝廠，或者是組裝廠對下游顧客，供應鏈裡上下游之 間互相為中立的，也就是無領導者或是被領導者的概念。因為通常領導 者是具有較大的決定決策權利，他擁有較多的資源或權利使得另一方總 是做為較被動、弱勢的一方，因此領導力較大的一方往往可以做出一些 要求像是數量折扣、低價收購的情形，因此假設本研究中任何一個角色 皆無領導者或被領導者產生，而就單純根據供應鏈中資訊流向去做決策 的制定。 7. 因為本論文主要應用報童模式決定最佳訂購量問題，因此和報童模式相 關的懲罰成本考量方面，則著重缺貨成本和廢料處理成本，因此忽略掉 交易中會出現的運輸成本以及購買過程中和行政有關的支出。

3.2 兩供應商環境下最佳訂購量之訂定

本節說明兩供應商提供原物料環境下，如何訂定最佳訂購數量。本節分成以 下二部份說明研究的步驟，第一部分先定義兩供應商環境下單期的相關成本函 數，接著再繼續探討第二部份要如何構建兩供應商環境下組裝廠的成本模型，以 訂定最佳訂購量。 3.2.1 定義兩供應商環境下單期之超缺額數量函數 在本研究環境中，在上游有兩家供應商，下游有一家組裝廠。假設每一供應 商都會對下游組裝廠報價，但是因為供應商製造過程中所耗費的成本並不是一樣 的，因此價格並不一定會相同。組裝廠在決定訂購數量時會考慮三點要素，(1) 對兩不同供應商訂購數量時，由於良率不固定而使得實際拿到貨品數量和確定需 求的數量差所造成的缺貨成本，(2)對兩不同供應商訂購數量時，由於良率不固 定而使得實際拿到貨品數量和確定需求的數量差所造成的廢料處理成本，(3)對 兩供應商做因為原料定價和良率關係而對訂單分散組合所造成的原料購買成本。 在組裝廠確定下游需求且知道上游供應商製造良率的隨機分配後，組裝廠決定訂 單分配數量。我們先將所需用到符號給予定義，如表 3.1，並將兩上游供應商對 下游組裝廠供應鏈的關係，如圖 3.2 表示：

表 3.1：參數符號說明 符號 定義 i Q 組裝廠向供應商 i 訂購的數量，為決策變數，i1, 2 i P 供應商 i 賣給組裝廠的價格，且P_i  ，0 i1, 2 i Y 供應商 i 良率的隨機變數，i1, 2 ( ) i i f y Y 的機率密度函數，_i i1, 2 i  供應商 i 良率下界，i1, 2 i  供應商 i 良率下界，i1, 2 P 組裝廠賣給顧客的價格，由於下游需求確定，因此價格也是固 定的，且不影響組裝廠的總成本 D 組裝廠的確定需求，由於要討論的是在有需求的情況下訂單的 分配情形，故D>0 salvage C 每超出一單位原料所需付出的廢料處理成本，且C_salvage0 short C 每不足一單位原料所需付出的缺貨成本，且C_short 0 圖 3.2：上下游供應鏈關係圖 本研究中，由於組裝廠向供應商訂購原料後，組裝廠即刻準備之後加工所需

的部份，因此在供應商向組裝廠報價、組裝廠直到收到供應商貨品前，組裝廠沒 有辦法確切知道供應商良率，因此組裝廠假設良率為一隨機變數，且可知的資訊 流則包含供應商的售出價格和良率分配函數以及下游顧客的確定需求跟組裝廠 賣給下游顧客的價格還有缺貨或者超額商品的懲罰成本。在資訊流被揭露之後， 組裝廠就必須根據這些資訊決策訂購數量以達到最小成本的目的，之後則開始貨 物流的流動，先經由供應商運送組裝廠所訂購的訂單給組裝廠，而組裝廠收到貨 後進一步加工再賣給下游的顧客，但是由於供應商的良率並不是百分之百而是隨 機變數，若在加上組裝廠加工時也會有不良品的影響，那麼便無法保證是供應商 或是組裝廠造成下游需求無法被滿足，為了消除此因素，因此假設組裝廠良率為 百分之百，會影響組裝廠可收到多少貨並且是否符合末端需求的關鍵就在於供應 商的良率，所以組裝廠最多可以提供給末端顧客的產品數量即是組裝廠向兩供應 商訂購的數量乘上良率的總合，若此總和大於需求就會產生廢料處理成本，若小 於成本就會產生缺貨成本。 而組裝廠從兩供應商拿到原料和真實的需求的差異將如下式所示：

Unit Over = max{Q Y Q Y_{i i}+ _{j j}D, 0},其中i j, 1, 2, i j _(3.1)

因為組裝廠從兩供應商接收到原料總數量即是Q Y Q Y ，當_{i i}+ _{j j} Q Y Q Y_{i i}+ _{j j}> D 時，供給就會大於需求，並產生多於原料，其數量為Q Y Q Y_{i i}+ _{j j}  ；但若D + < i i j j Q Y Q Y D 時，就會產生缺貨數量，而此時多出的原料數量即為 0。由於兩家 供應商的良率皆是屬於 0 到 1 之間的隨機變數，若是發生(1)某一家供應商實際 發生良率的數值較高時，而另一家供應商實際發生良率的數值也較高時，或者是 (2)某一家供應商實際發生良率的數值較高時，但另一家供應商實際發生良率的 較低時，除了可以滿足組裝廠需求外，還會造成超額商品的機會。因此假設我們 把供應商 j 的良率為基準，將供應商 i 的良率做一替換，因此當 > > j j i D Q y i yi Q   時必

[Unit Over]= max{ + , 0} ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) , , 1, 2, j i j i j i j j j i i i j j i i i j j j D Q y _{i i j j i i i j j j} Q E Q y Q y D f y dy f y dy Q y Q y D f y dy f y dy i j i j             

 

 

其中 (3.2) 同理可證，組裝廠從兩供應商拿到原料和真實的需求不同而造成缺貨的部分 則如下： Unit Short=max{D Q Y _{i i}Q Y_{j j}, 0},其中i j, 1, 2, i j _(3.3) 當 D > Q y Q y 時 ， 產 生 缺 貨 情 形 ， 其 數 量 為_{i i}+ _{j j} D Q y _{i i} Q y_{j j} ； 但 若 + > i i j j Q y Q y D 時，就會產生超額數量，而此時缺少的原料數量即為 0。類似超額 商品敘述的部分，兩家供應商的良率皆是屬於 0 到 1 之間的隨機變數，若是某一 家供應商實際發生良率的數值較高時，但另一家供應商實際發生良率的低於某個 值時，仍然有機會產生缺貨的可能，此時就沒辦法符合組裝廠的需求。因此我們 也是把供應商 j 的良率為基準，將供應商 i 的製造良率做形式上的替換，因此當 < < j j i D Q y i yi Q   時必會產生商品短缺的事件。因此我們可以計算出商品短缺的期望 數量即為：

[Unit Short]= max{ , 0} ( ) ( )

( ) ( ) ( ) , , 1, 2, j i j i j j j i j i i i j j i i i j j j D Q y Q i i j j i i i j j j E D Q y Q y f y dy f y dy D Q y Q y f y dy f y dy i j i j               

 

 

其中 (3.4) 因此(3.2)及(3.4)即為此報童模型中，會產生的平均超額數量以及平均缺貨數量。 3.2.2 定義兩供應商環境下單期之成本函數 藉由前面結果得出了平均超額數量以及平均缺貨數量後，便可以利用此結果 去計算和這些數量函數相關的廢料處理成本以及缺貨成本。而本研究中的成本函 數即包含了三項之和，分別是原料訂購總成本Q P Q P 、廢料處理總成本_{i i}+ _{j j} [Unit Over] salvage

我們將所有項次加總的總和即是總成本函數。將(3.2)及(3.4)代入後可以得出總成 本函數，我們以TC表示如下： = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 1, 2, j i j j j i j j j i j i i i j j D Q y salvage i i j j i i i j j j Q D Q y Q short i i j j i i i j j j TC Q P Q P C Q y Q y D f y dy f y dy C D Q y Q y f y dy f y dy i j i j                 

 

 

其中 (3.5) 又兩供應商的良率皆是介於 0 到 1 之間的隨機變數，且良率的機率密度函數未限 制何種分配，也未限制兩供應商的分配須屬於同一種分配，在此概念下我們進一 步去做計算與求解。 由於組裝廠要同時決定對兩供應商的訂購數量，因此在達到最小成本的原則 下，組裝廠即是對決定對TC做Q 、_i Q 一次偏微分，並令之為 0，因此將(3.5)對_j i Q 做一次微分，其數學式與結果如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j i j j j i j j j i j i j j j i j i j j j j i i i D Q y i salvage i i i i j j j Q D Q y Q short i i i i j j j i D Q y Q D Q y salvage i i i i j j j salvage i i i i j j j Q TC Q P C y f y dy f y dy C y f y dy f y dy P C y f y dy f y dy C y f y dy f y dy C                         

 

 

 

 

( ) ( ) ( ) ( ) = -( + ) ( ) ( ) , , 1, 2, j j j j j j i i j i j i j j j i j i D Q y D Q y Q Q short i i i i j j j salvage i i i i j j j D Q y Q

i salvage i salvage short i i i i j j j

y f y dy f y dy C y f y dy f y dy P C C C y f y dy f y dy i j i j                 

 

 

 

其中 (3.6)

此一次微分式可以利用以下所標識的萊布尼茲微積分(Leibniz integral rule)的技 巧來解決決策變數位於積分界線範圍裡的微積分方程式。而我們依據的式子即為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) b b a a d db da f x dx f b f a f x dx d d d                     





，當被

積函數 ( , )f x 、以及積分範圍的上下界a與b可化為參數 的函數表示，且這些 函數是連續並可微時，則 ( , )f x 對x積分後再對 微分時，結果如上所示。因此 就我們的模型中，x對應部份是 y ，_j  對應部份是Q ，_i f x( , ) 對應部份是 ( ) ( ) ( ) i j j i D Q y _{i i j j i i i j j} Q Q y Q y D f y dy f y    



與 ( ) ( ) ( ) j j i i D Q y Q i i j j i i i j j D Q y Q y f y dy f y    



，因 此照此步驟計算後可得(3.6)，之後繼續將(3.6)令為 0 並做移項簡化整理，可得到 最佳訂購量 * 1 Q 所符合的方程式： * * = ( ) ( ) + = [ | ] ( ) , , 1, 2, j j j i j i j j D Q y i salvage i _Q i i i i j j j salvage short j j i i j j j i P C y f y dy f y dy C C D Q y E Y Y f y dy Q i j i j            

 



其中 (3.7) 同理，對Q 的一次偏微分也如同上述萊布尼茲微積分的技巧，來解決決策_j 變數位於積分界線範圍裡的微積分運算，因此計算過程相似於(3.6)，因此我們可 以算出(3.5)對Q 的一次微分，且其數學式與結果如下： _j -( + ) ( ) ( ) , , 1, 2, j j j i j i D Q y Q

j salvage j salvage short j j i i j j j j TC P C C C y f y dy f y dy Q i j i j       _{ }   

 

其中 (3.8) 我們繼續將(3.8)令為 0 並做移項簡化整理，可得到最佳訂購量 * j Q 所符合的式子 如下： * * = ( ) ( ) + = ( ) ( ) , ( ) ( ) , 1, 2, j j j i j i j j D Q y j salvage j _Q j i i i j j j salvage short j j j i j j j i i i i i P C y f y dy f y dy C C D Q y y F f y dy Q F y f y i j i j           

 



其中 是 的累積密度函數,且 (3.9) 由(3.6)與(3.8)中可觀察出，若兩供應商良率的機率密度函數已知時，則可再進一

步準確的求出訂購量 * i Q 、Q_j*。但由於目前通式表現中並無法得知良率的機率密 度函數，因此無法直接求出訂購量 * i Q 、Q_j*的通式。故後面部分我們則將以均勻 分配為例子將這些步驟重現一次，並求得最佳訂購量。雖然我們無法在未知良率 的機率密度函數下求得最佳訂購量，但依照目前的式子，我們仍然可對函數相關 特性的部份繼續給予檢查和探討。首先我們先檢查總成本函數最小化的目標下， 此函數是否為凸函數(convex function)。 由於組裝廠需同時決定兩訂購數量，我們需藉由海斯矩陣(Hessian Matrix) 來檢驗函數的凹凸性。因此我們將利用(3.6)與(3.8)再進一步計算TC對Q 、_i Q 的_j 二次偏微分以及TC各對Q 、_i Q 的一次偏微分，並將這式子再代入要做兩決策的_j 海斯矩陣中，即 2 2 2 2 2 2 i i j j i j TC TC Q Q Q TC TC Q Q Q      _{  }     _{ }           ，結果分別如下所示： 2 2 2 3 ( ) ( + ) ( ) ( ) , 1, 2, j j j j j j salvage short j j i j i i i D Q y D Q y TC C C f y f dy Q Q Q i i j         



其中 (3.10) 2 2 2 ( + ) ( ) ( ) , 1, 2, j j j j j salvage short j j i j j i i D Q y y TC C C f y f dy Q Q Q i i j     _   



其中 (3.11) 2 2 2 = ( ) ( + ) j ( ) ( ) , 1, 2, j i j j i j j j j j salvage short j j i j i i TC TC Q Q Q Q D Q y D Q y y C C f y f dy i i j Q Q             



其中 (3.12) 又(3.10)與(3.11)中，由於C_salvage+C_short必為非負數值，又後面的機率密度函數必 為非負數值，因此(3.10)與(3.11)的數值必為非負數值。並且藉由行列式值的運算

2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) {[ ] [ ] -[ ( ) ( ) ] } ( + ) , 1, 2, , ( ) = ( ), j j j j j j j j i j j j i j j i i j j j i j salvage short i j j i i j j i f y f w z dy f y f w y dy Q Q zy f y f w dy C C Q D Q y i i j f w f z D Q y Q             







其中 (3.13) 此行列式值經過計算與整理後，我們可以得到如(3.13)的結果，最後我們可以藉 由科西不等式(Cauchy-Schwarz inequality)的性質，判斷此海斯矩陣的行列式值為 非負數值。在此結論下我們可以再進一步探討矩陣中的元素的正負號以判斷函數 凹凸性，由(3.10)、(3.11)、(3.13)的數值結果我們可以得出，在表 3.1 時，已經先 給予C_salvage、C_short不為負數的限制，因此當C_salvage、C_short非同時為零時，可確定 此目標總成本函數為一個凸函數。 Proposition 1：在兩供應商良率為連續隨機變數且機率分配函數未知的情況下， 總成本函數如(3.5)的線性函數時，組裝廠的總成本函數是為一凸函數。 proof： 對於兩個可積且積分上下界範圍相同的函數 b ( ) a f x



、 b ( ) a g x



，則各函數平方與 兩函數相乘所構成的新函數也必可積分，並有科西不等式特色： 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a f x dx a g x dx a f x g x dx







因此我們可以將(3.13)的行列式改為： 3 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{salvage short}) { j j i _j j j i j _j j j i j _j } i i i f y f w z f y f w y f y f w y z C C dy dy dy Q Q Q 







 根據科西不等式，我們知道： 3 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j i j j i j j j i j j j j i i i f y f w z f y f w y f y f w y z dy dy dy Q Q Q  





因此我們可以確定行列式值為一個非負數值。 3.2.3 良率屬於均勻分配 在此小節，將以均勻分配做此模型的應用說明。如前述說明，當決策者可以

知道良率的分配即當決策者知道良率的機率密度函數時，則可藉由此模型得到最 小化成本的目標。假設目前兩供應商分別是供應商 1 和供應商 2，供應商良率分 配皆是屬於均勻分配，供應商 1 的良率範圍介於₁到₁之間，供應商 2 的良率 範圍介於₂到₂之間，因此在(3.5)中的 f y 、₁( )₁ f₂(y 機率密度函數的值分別為₂) 1 1 1   和 _{2 1} 1   ，總成本函數最終則會得到如下結果： 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 = ( ) ( ) (( ) +( ) ) = 6 ( )( ) (( D Q y salvage Q D Q y Q short salvage short TC Q P Q P C Q y Q y D dy dy C D Q y Q y dy dy D Q Q Q Q D C Q Q D Q Q C                                 

 

 

3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ) +( ) ) 6 ( )( ) Q Q D Q P Q P Q Q          _{ }   (3.14) 同樣的，接下來求解兩供應商良率服從均勻分配時，組裝廠對兩供應商的最佳訂 購量。我們將TC對Q 、₁ Q 做一次偏微分，並且得到以下的結果：₂ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (3( ) 3 ( + )+ ( + + ) + 6 ( ) (3 3 3 ( + )+ ( + + ) 6 ( ) salvage short C D Q DQ Q TC P Q Q C D Q DQ Q Q                      _       (3.15) 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 6 (-2 +( + )(3 3 2 )) + 6 ( ) (-2 +( + )(3 3 2 )) + 6 ( ) salvage short Q C Q D Q Q TC P Q Q C Q D Q Q Q                   _      (3.16) 利用一次偏微分的式子令之為 0 後，求得聯立解即可獲得最佳的訂購量，因此將 (3.15)和(3.16)令為 0 後可以得到的最佳訂購量如以下所示：

2 2 * 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 ( )( ) , ( ) 12 ( )( )( + ) + ( ( ) 8 ( )( + + )) 2 (4 ( )( + + ) ( 3 salvage short

salvage short salvage

short short salvage short D C C Q u u C P C C C C P C P C                                          2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2( + )( + + ))) 12P ( )                 (3.17) * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 2( + + ) ( )(2 ( ) ( )( )) ( + ), ( ) 12 ( )( )( + ) + ( ( ) 8 ( )( + + )) salvage short

salvage short salvage

short short D Q P C C u u C P C C C C P                                                 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 (4 ( )( + + ) ( 3 ( ) 2( + )( + + ))) 12 ( ) salvage short C P C P                           (3.18) 我們可再進一步依照均勻分配的定義，將這些參數給予說明。因此 1 1 1 = 2    、 2 2 2 2   _  、 2 2 1 1 1 ( ) 12   _  ， 2 2 2 2 2 ( ) 12   _  ，₁、₂分別是兩供應商的平均 良率， 2 1  、 2 2  分別是兩供應商的良率變異數，因此在決定訂購數量的解析解中， 良率的平均和變異會影響訂購決策。

3.3 良率範圍皆屬於 0 至 1 均勻分配之決策情形與範圍之訂定

此部分我們則繼續針對決策者所有會做之決策的可能來進行參數的範圍界 定與分析。首先在 3.2.3 節中我們已經先將最佳訂購量 * 1 Q 、Q 求出，而在兩供₂* 應商良率皆介於 0 到 1 範圍時，我們可將(3.17)和(3.18)簡化為以下式子：

* 1 _{2 2} 1 1 2 2 ( ) 8 4 ( 2 3 ) 12 salvage short salvage short salvage short

D C C Q C C P C C P P P        (3.19) 2 * 2 _{2 2} 1 1 2 2 ( 2 ) 3 ( ) 2 _{8 4 ( 2 3 ) 12} salvage salvage short salvage short

D C P Q D C C P C C P P P         (3.20) 為了能夠求得有理解，在(3.19)中有一個自然產生的限制，即為根號內的數值必 須為正數，否則會形成複數解，而在(3.20)中則會產生兩個自然限制，即是根號 內數值必須為正，並且 * 2 Q 需不為負數，即Q 至少要大於或等於₂* 0，否則可能會 產生不合理的複數解或者是負數解，所以在前面所述的限制之下，我們所求出來 的最佳訂購數量才會是一個合理的結果，否則將會出現無理解，使得所求出的答 案 是 沒 有 意 義 的 。 而 根 據 (3.19) 我 們 可 以 得 到 2 2 1 1 2 2 8 4 ( 2 3 ) 12 >0

salvage short salvage short

C  C P  C C  P  P  P 的限制，並且求得以下的 結果： 2 2 1 (2 + ) 3 ( + ) > 4 (2 + ) salvage salvage short salvage P C C C P C (3.21) 而由(3.20)中則會產生兩個自然限制，其中一個自然限制即為根號內數值需不為 負，因此 2 2 1 1 2 2 8 4 ( 2 3 ) 12 > 0

salvage short salvage short

C  C P  C C  P  P  P 也會得到同(3.21) 結果，而 2 2 2 1 1 2 2 ( 2 ) 0 8 4 ( 2 3 ) 12 salvage salvage short salvage short

D C P D C C P C C P P P         則是為了 讓訂購數量不為負的限制，此限制經過運算後則會得到以下結果： 2 2 1 (2 + ) ( + ) (2 + ) salvage salvage short salvage P C C C P C  (3.22) 由於要使得兩訂購數量皆符合限制，後續範圍討論和分析才有意義，因此我們透

過交集的方式，由(3.21)和(3.22)可以得知在 2 2 1 (2 + ) ( + ) (2 + ) salvage salvage short salvage P C C C P C  情況 下時，所求出的訂購數量會是有理解。 在前述部分我們找出最佳訂購量為有理解時的參數範圍，下一部分我們則將 針對組裝廠的所有決策組合討論參數的範圍限制與分析。對於組裝廠而言，他可 以選擇只對單一供應商訂貨，或者是向兩供應商都訂貨，藉由(3.19)和(3.20)的討 論，我們可以得到當組裝廠只向供應商 1 訂購全部所需的數量時，此情況成立條 件為 2 2 1 (2 + ) ( + ) = = (2 + ) salvage salvage short salvage P C C C k P C 且k0；而當組裝廠只向供應商 2 訂購全 部所需的數量時，此情況成立條件為 2 2 1 (2 + ) ( + ) = = 0 (2 + ) salvage salvage short salvage P C C C k P C  ，之後 在 2 2 1 (2 + ) ( + ) (2 + ) salvage salvage short salvage P C C C P C  的限制下，我們可以發現組裝廠會將訂單需求分 配至兩供應商。因此若一開始的參數符合某一家供應商全拿訂單時，當其他參數 發生了變化而符合 2 2 1 (2 + ) ( + ) (2 + ) salvage salvage short salvage P C C C P C  時，則訂單就會發生轉移的情 形，並且隨著這限制下，我們可以發現到向供應商 1 與向供應商 2 訂購數量的上 下界，我們將所有可能的參數組合一一檢驗後，將所有結果整理並顯示在表 3.2 中：