高二上期末考數學3B題庫(40)

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P1

單元六 平面向量

㇐、單選題

1. （ ）如圖所示，O 為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點P落在△ODE 內部（不含邊 界）？ (A)_{OP OC OE}

  

_{ } (B) 1 1 4 2 OP

  

 OC OE (C) 1 1 4 2 OP

  

  OC OE (D) 1 1 4 2 OP

  

 OC OE (E) 1 1 4 2 OP

  

  OC OE 解答 B 解析 如圖。令_{OP xOC yOE}

  

  ， P落在直線OE右側的條件為x0， P落在直線OD左側的條件為x y 0_， P落在直線DE下方的條件為y1

二、多選題

1. （ ）一物體由坐標平面中的點



3,6



出發，沿著向量



_v 所指的方向持續前進，可以進入第一 象限。請選出正確的選項： (A)



v 



1, 2



(B)



v 



1, 1



(C)



v 



0.001,0



(D)



0.001,1



v 



_(E)



_{v  }

_

_0.001,1

_

解答 BCD 解析 各向量的略圖如下（其中



v 



1, 2



的方向通過原點O）：

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P2

三、填充題

1. 坐標平面中A a

 

,3 ，B



16,b



，C



19,12



三點共線。已知C不在A、B之間，且AC : BC3 : 1， 則a b ____________。 解答 19 解析 如圖，因為AB : BC2 : 1，所以由分點公式，得



16,



38 3 24, 3 3 a b _{ }   _  。 解得a = 10，b = 9，即 a + b = 19。 2. 在坐標平面上， ABC△ 內有一點P滿足 4 5, 3 6 AP _{ } _  



_及 1 1 2 5 AP AB AC

  

_{。若A P、} 連線交 BC 於M ， 則_AM



_____________。（化成最簡分數） 解答 40 25, 21 21       解析 設_{AM t AP}

 

_ ， 則 1 1 2 5 2 5 t t AM t_ AB AC_ AB AC  



   

_。 因為M 在BC上，所以 1 10 2 5 7 t _{   }t _{t 。} 故 10 10 4 5, 40 25, 7 7 3 6 21 21 AM  AP _  _{ } _    

 

。

3. 設D為△ABC_{中 BC 邊上的一點，已知}ABC 、75 ACB 、45 ADB 。若60 _{AD s AB t AC}

  

_{ } ， 則 s  ①____________，t②____________。（化成最簡分數） 解答 ①1 3 ②2 3 解析 如圖，設BD x ，DC y，AD z 。 在△ABD中，利用正弦定理， 得 sin 45 sin 75 x _ z  ⇒ sin 45 sin 75 x z  。 在△ACD中，利用正弦定理， 得 sin15 sin 45 y _ z  ⇒ sin15 sin 45 y z  。 因此， 2 2 1 sin 45 sin 45 _{2 2 2 2} 4 sin75 sin15 6 2 6 2 16 4 4 x y             ， 即BD DC: 2 : 1。利用向量的分點公式，得 1 2 3 3 AD

  

 AB AC。故 1 3 s ， 2 3 t 。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P3 4. 小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星： 由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面，其中天璇的坐標為

 

9,8 及天樞的坐標為



7,11



。 依上述資訊可以推得北極星的坐標為____________。 解答



3,26



解析 設北極星的坐標為



x y,



。 利用分點公式，得



7,11



1 5 9 1, 5 8 1 5 1 5 x y          _{  } _，即7 45 6 x  ，11 40 6 y  。 解得x 3、y26，故北極星的坐標為



3,26



。

四、計算題

1. 已知A

 

1,2 ，B

 

3,5 ，C



2,4



，且ABCD為平行四邊形，求D點的坐標。 解答 D



4,1



解析 設D x y

 

, 。因為ABCD 為平行四邊形，所以_{DC AB}

 

_ ，即



 2 x,4 y

  

 2,3 。 解得x 4，y1_。 故D



4,1



。 2. 已知



a 

 

3,4 ，



_{b }



_{2, 1}



，且實數t滿足_ a t b  _{ }// a  b _    

   

，求t的值。 解答 1 解析 因為

 

a t b 

_{  }

3,4 t 2, 1  

_{ }

3 2 ,4t t

_

，

 

a  b 

  

3,4  2, 1 

  

1,5 ， 且_   _{ }//  _    

   

_{a t b a b} ，所以3 2 4 1 5  t _ t ⇒15 10 t 4 t⇒t 1。 3. 如圖，AD DB: 2 :1，AC CE: 3: 2。已知_DE

  

_{x AB y AC} ，求x，y的值。 解答 2 3 x  ， 5 3 y 解析 因為 2 5 3 3     

    

DE DA AE AB AC，所以 2 3   x ， 5 3 y 。 4. 如圖，AP PB: 2 : 3，OC CB: 1: 2。已知_{CP rOA sOB}

  

_{ } ，求r，s的值。 解答 3 5 r ， 1 15 s 解析 連接OP。因為_{CP CO OP}

  

_{ } 1 3 2 3 1 3 5 5 5 15     _  _   

    

OB OA OB OA OB_， 所以 3 5  r ， 1 15  s 。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P4 5. 已知A

 

2,1 ，B

 

6,9 ，P是直線_AB



上一點，且AP PB: 3 :1，求P 點的坐標（兩解）。 解答 (5,7)或(8,13) 解析 (I)當 P 在AB上時，利用分點公式，得P 點的坐標為 1 2 3 6 1 1 3 9,

 

5,7 3 1 3 1        _{ }  _{ }    。 (II)當 P 不在AB上時，因為AP PB: 3 :1，所以AB BP: 2 :1 設P 點的坐標為

 

x y, 。利用分點公式，得B 點的坐標為

 

6,9 1 2 2 1 1 2, 2 1 2 1        _{ } x _ y_ B 。 解得x = 8，y = 13，即 P(8,13)。 故P 點的坐標為(5,7)或(8,13)。 6. 已知



a 

_{ }

2,4 ，



_{b }

 

_1,1 ，t為實數，求

 

a t b 的最小值，及此時t的值。 解答 t 3，最小值 2 解析 因為

 

a t b 

_{    }

2,4 t 1,1  2t,4t

_

，所以



 

2



2 2 4     

 

_{a t b t t} 2 2 12 20  t  t



2



2 6 9 2  t  t 





2 2 3 2  t  。 故當t 3時，

 

a t b 有最小值 2。 7. 圖為正六邊形 ABCDEF。 (1) 已知 AD x AB y AF

  

  ，求x，y 的值。 (2) 已知 AC r AB s AF

  

  ，求r，s 的值。 解答 (1)x = 2，y = 2 (2)r = 2，s = 1 解析 (1) 因為AD

     

2AO2



AB AF



2AB2AF， 所以x = 2，y = 2。 (2) 因為_AC

       

_{ AD DC }



_2AB2AF



_{ }



_AF



_{2AB AF} ， 所以r = 2，s = 1。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P5 8. 在河的南岸某渡口處，河水以 12（公里／小時）的速度向東流，渡船相對於水的速度為 24（公 里／小時）。若要使渡船到達對岸的航程最短，則渡船的航行方向為何？ 解答 北偏西 30° 解析 如圖，設_AB



為水流的速度，_AD



為渡船相對於水的速度， AC



為渡船相對於地面的速度。 因為_{AB AD AC}

  

_{ } ，所以四邊形ABCD 為平行四邊形。 又因為船到達對岸的航程最短，所以_AC

 

_AB。 在直角三角形ACD 中， 因為ACD 90 ， DC

 

 AB 12， AD



24， 所以CAD 30 故渡船的航行方向為北偏西30°。 9. 如圖，在△ABC中，P為BC邊的中點，Q在AC邊上且AQ2QC。已知_PA





 

_4,3 、_PQ





 

_1,5 ， 求_BC



。 解答



1,12



解析 首先，因為AQ QC: 2 :1， 所以利用向量的分點公式，得 2 1 3 3 PQ

  

 PC PA， 移項，得 3 1 2 2 PC

  

 PQ PA。 接著，因為_PA





 

_4,3 ，_PQ





 

_1,5 ， 所以 3

 

1,5 1

 

4,3 1,6 2 2 2 PC   _ _  



。 最後，因為P為BC邊的中點， 所以 2 2 1,6



1,12



2 BC PC _ _   

 

。 10. 已知△ABC 的二個頂點坐標為 A( − 2, 2)，B(5, 3)，重心 G 的坐標為

 

2,1 ，求頂點C 的坐標。 解答



3, 2



解析 設 C 點的坐標為



x y,



。利用重心坐標公式，得

 

2,1 2 5 ,2 3 3 3 x y         _ _。 由3 2 3 x  _ ，5 1 3 y  _ ，解得x = 3，y = − 2，即 C 點的坐標為



3, 2



。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P6 11. 已知



a 



1, 2



，



_{b }

 

_2,3 ，



_{c   }



_{1, 3}



，求 (1) 向量

 

_{a 2 b} 及其長度。 (2) 向量₂

  

_{a  b2 c} 及其長度。 解答 (1)

 

5,4 ， 41 (2)



2, 1



， 5 解析 (1)

 

a 2 b 

_

1, 2 

_{  }

2 2,3 

 

5, 4 。 2 2 2 5 4 41    

 

_{a b} 。 (2) 2

  

a b2 c 2 1, 2

_

 

_{   }

2,3   2 1, 3

_





2, 1



。

 

2 2 2

  

a  b 2 c  2  1  5。 12. 如圖，D 為AB的中點，AC CE: 2 : 1_{。已知 DE x AB y AC}

  

_{ } ，求x，y 的值。 解答 1 2 x  ， 3 2 y 解析 因為 1 3 2 2 DE

    

DA AE   AB AC， 所以 1 2 x  ， 3 2 y 。 13. 已知



a 

 

1,1 ，



_{b  }



_{1, 3}



，



_{c  }



_{1, 7}



_{，求滿足 c}

  

_{x a y b} 的x，y 之值。 解答 x = 1，y = 2 解析 因為

  

_{c x a y b} ，所以



1, 7



x

 

1,1 y



1, 3

 

 x y x , 3y



。 由x − y = − 1，x + 3y = 7，解得 x = 1，y = 2。 14. 坐標平面中A a

 

,3 、B



16,b



、C



19,12



三點共線。已知C不在A、B之間，且AC BC: 3:1，求a、 b 的值。 解答 a10，b9 解析 如圖，因為AB BC: 2 :1， 所以由坐標的分點公式， 得



16,



38 3 24, 3 3 a b _{ }   _  。 解得a10、b9。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P7

單元七 平面向量的運算

㇐、單選題

1. （ ）假設三角形 ABC 的三邊長分別為AB 、5 BC 、8 AC 。請選出和向量6 _AB



的內積為 最大的選項 (A)_AC



(B)_CA



(C)_BC



(D)_CB



(E)_AB



解答 D 解析 (A) 5 6 cos 30 52 62 82 3 2 5 6 2 AB AC    A       

 

(B) 3 2 AB CA AB   _ AC_ AB AC   

     

(C)





2 2 2 5 8 6 53 5 8 cos 180 40 2 5 8 2 AB BC     B   _   _     

 

(D) 53 2 AB CB AB _ BC_ AB BC   

     

(E) 2 25 AB AB  AB 

  

2. （ ）△ABC內接於圓心為O之單位圓。若_{OA OB}

   

_{  3OC 0} ，則BAC之度數為何？ (A)

30 (B)45 (C)60 (D)75 (E)90 解答 D 解析 因為_{OA OB}

   

_{  3OC 0} ，所以_OB

  

_{ 3OC OA}。 由 2 2 3 OB

  

 OC  OA ⇒_{1 2 3 OB OC}

 

_{  3 1}， 得 3 2 OB OC

 

   。因此cos BOC OB OC ₂3 OB OC   

 

 

  _， 即BOC150。又因為圓周角為圓心角的一半， 所以 1 75 2 BAC BOC     

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P8

二、多選題

1. （ ）在坐標平面上，有一通過原點 O 的直線L，以及一半徑為2、圓心為原點O 的圓。P Q、 為上相異2 點，且OP OQ、 分別與L所夾的銳角皆為30_{ ，試選出內積OP OQ}

 

_． 之值可 能發生的選項 _{(A) 2 3 (B) 2 3} (C) 0 (D)2 (E)4 解答 DE 解析 如圖，P Q、 _為A B C、 、 、D_{四點其中相異兩點，} 因此POQ可能為60、120、180， 2 2cos 4cos OP OQ

 

．   POQ POQ， 4cos60 2，4cos120  2，4cos180  4

2. （ ）坐標平面上有A、B、C 三點，滿足 ABC 為直角， AB BC ，且向量_AB



_

 

_4,2 。請選 出可以為向量_AC



的選項 (A)



2,4



(B)



2, 4



(C)

 

2,6 (D)



2,6



(E)



6, 2



解答 CE 解析 由圖知C有兩種可能，令C與C，設BC





 

x y, ， 則 4₂ 2₂ 0 20 x y x y     _{ }  ⇒解得



x y,

 

 2,4



或



2, 4



， 故_BC



與_BC



分別為



2,4



及



2, 4



， 所以_AC



_

 

_2,6 ，_AC



_



_{6, 2}



3. （ ）設



_u 與



_v 為兩非零向量，夾角為120。若



_u 與

 

_{u  v} 垂直，試選出正確的選項 (A)



_u 的長度是



_v 的長度的2 倍 (B)



_v 與

 

_{u  v} 的夾角為30 (C)



_u 與

 

_{u  v} 的夾角為銳 角 (D)



_v 與

 

_{u  v} 的夾角為銳角 (E)

 

_{u  v} 的長度大於

 

_{u v} 的長度 解答 BC 解析 依題意，作圖如下： (A)由30，60，90直角三角形的性質，得 1 2 u  v

 

(B)由圖知，



_v 與

 

_{u  v} 的夾角為30 (C)由圖知，



_u 與

 

_{u  v} 的夾角為（銳角） (D) 由圖知，



_v 與

 

_{u v} 的夾角為120 （鈍角） (E) 在圖中的上方三角形與下方三角形中，因為60與 120的兩夾邊的長度相同，所以60的對邊比120的 對邊較短，即

 

u  v 小於

 

u  v

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P9 4. （ ）坐標平面上 O 為原點，P點坐標為

 

1,0 ，直線L的方程式為x2y 4。請選出正確的 選項 (A)在直線L上可以找到一點A，滿足向量_OP



與_OA



平行 (B)在直線L上可以找 到一點B，滿足向量_OP



與_OB



垂直 (C)在直線L上可以找到一點C ，滿足向量_OC



與_PC



垂直 (D)在直線L上可以找到一點D，滿足_PD2 (E)在直線L上可以找到一點E， 滿足△EOP為等腰三角形 解答 ABE 解析 (A)取L與x軸的交點A



4,0



，滿足_OP



與_OA



平行 (B)取L與y軸的交點B

 

0,2 ，滿足 OP



與OB



垂直 (C)設C t



2 4,t



。因為OC



與PC



垂直，所以



2t4,t

 

 2t5,t



0⇒ 2 5t 18t20 0 。解得 18 76 10 t     ，即C點不存在 (D)因為P到L的距離

 

2 2 1 2 0 4 5 5 2 5 1 2         ，所以D點不存在 (E)取OP的中垂線 1 2 x 與L的交點 1 9, 2 4 E _ _  ， 此時EO EP ，滿足△EOP為等腰三角形

三、填充題

1. 坐標平面上，若拋物線_yx2_{2x3的頂點為C ，與 x 軸的交點為A、B，則cos ACB } ____________。（化成最簡分數） 解答 3 5 解析 利用配方法將方程式改寫為





2 1 4 y x  ，得頂點C



 1, 4



。 將y0代入_yx2_2x3， 得_x2_{2x 3 0⇒}



_x₃



_x ₁



_0。 解得x 3，1，因此A



3,0



，B

 

1,0 。 因為_CA



_{ }



_2,4



，_CB



_

 

_2,4 ， 所以 4 16 12 3 cos 20 5 20 20 CA CB ACB CA CB         

 

 

。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P10

四、計算題

1. 已知△ABC是邊長為2的正三角形，M為BC的中點，求_BCAM_AC  

  

的值。 解答 5 解析 _BC

      

AM_AC BC AC AM AC    2 2 cos 60 3 2 cos30         4 1 2 3 3 2 2     = 5。 2. 已知A a

 

,1 ，B



2, 2



與C

 

3,4 為坐標平面上三點，而O為原點。若向量_OA



與_OB



在向量_OC



上的 正射影相同，求a_的值。 解答 2 解析 依題意及利用正射影公式，得 2 2      _   _    _             

 

_

 

_





OA OC OB OC OC OC OC OC ， 因此，_{OA OC OB OC}

   

_{  } ，即

    

a,1  3,4  2, 2 

  

3,4 _⇒3a  4 2。 解得a 2。 3. 已知



a 2，



b 4，



c 4，且

   

_{a b  c  0} ，求

 

_{a  b} 的值。 解答 2 解析 因為

   

_{a  b c  0} ，所以三向量恰可圍出一個三角形，如圖所示。 由內積的定義及餘弦定理，得





2 4 cos 180      

 

_{a b     2 4}

_

_cos

_

₂2 ₄2 ₄2 2 4 2 2 4        _{ }     2。 4. 已知



a 



x, 4



在



b 

 

1, 2 上的正射影為



 2, 4



，求實數x 的值。 解答 −18 解析 利用正射影公式，得



_a 在



_b 上的正射影為

 

2 8 8 _{1, 2} 5 5 a b _b x _b x b   _{     }   _{   }           

  





。 因此， 8 2 5 x _{ } ，解得x 18。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P11 5. 已知



a 

_{ }

4, 5 ，



_{b }

 

_{1, 2} ，且

  

_{a  u v} ，其中

 

_{u // b} ，

 

_{v  b} ，求向量



_u 與



_v 。 解答 14 28, 5 5 u _{ } _  



_， 6_, 3 5 5 v _  _  



解析 如圖所示，

  

_{a  u v} ，且



_u 為



_a 在



_b 上的正射影。 利用正射影公式，得 2 4 10 14 14 28 , 5 5 5 5 a b u b b b b   _{    }    _{ }  _{ }           

 





 



。 又因為

  

_{a  u v} ，所以

 

4, 5 14 28, 6, 3 5 5 5 5 v  a u  _  _{ }  _    

  

_。 6. 如圖，一根細繩穿過兩個定滑輪 A，B，且兩端分別繫有 3 公斤與 4 公斤的重物。現在兩個滑輪 之間的繩上掛一個5 公斤的重物，並呈現平衡狀態，求此時



AOB

的度數。 解答 90° 解析 設



AOB





，



_a ，



_b 分別為A，B 的張力， c



_{為掛上重物的重量，且}



a 3，



b 4，



c 5_。 因為呈現平衡狀態，三重量的合力為零， 即

   

_{a  b c  0} ，得

  

_{a  b   c} 。 由向量加法的定義得知，



_a ，



_b 與

 

_{a  b} 形成一個三角形。 因此



_a ，



_b 與



_c 恰圍出一個三角形，如圖所示。 利用餘弦定理，得   2 2 2 3 4 5 cos 180 0 2 3 4          ， 即

180

  



90

。故



AOB

  



90

。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P12 7. 設



為兩直線L1:x y   與2 0 L2 : 2x y   的一個夾角，求 cos3 0



的值（兩解）。 解答 10 10  解析 直線L1與L2的法向量分別為



n₁ 



1, 1



與



n₂ 

 

2,1 。 設 1 n



_與 2 n



_的夾角為 1



。 因為   1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 10 cos 10 2 5 10 n n n n           

 

 

， 所以cos 180



₁



cos ₁ 10 10         。 又因為L1與L2的夾角為



1或180 



1，所以cos 10 10    。 8. 設△ABC 是邊長為 3 的正三角形，D 是 BC 上的點，且BD1。 (1) 已知 AD x AB y AC

  

  ，求x，y 的值。 (2) 求 AB AD

 

 的值。 解答 (1) 2 3 x ， 1 3 y (2)15 2 解析 (1) 如圖，利用分點公式，得 2 1 3 3 AD

  

 AB AC。 故 2 3 x ， 1 3 y 。 (2) 由(1)，得 2 2 1 2 1 3 3 3 3 AB ADAB _ AB AC_ AB  AB AC     

       

2 9 1 3 3 cos60 15 3 3 2         。 9. 已知非零向量



_a 、



_b 滿足

   

a 2 b 2 a3b ，且 為



_a 與



_b 的夾角，求cos 的值。 解答 7 8  解析 令

   

a 2 b 2a3b 2k，其中k0。 因為 2 2 2 2

 

a3b 4



a 12

  

a b 9 b ， 所以

 

2

 

2 ₂ 2k 4 2k 12

 

a b 9k ， 解得 7 2 4 a b   k

 

。 故 2 7 7 4 cos 2 8 k a b k k a b      

 

 

。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P13 10. 如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，M 為BC的中點，N 為CD的三等分點，求 (1) _{AM AN}

 

_ 。 (2) NAM。 解答 (1)30 (2)45 解析 (1) 將圖形放在坐標平面上，並標示 A，M，N 的坐標，如圖所示。 因為_AM



_{ }



_3,6



、_AN



_{ }



_6,2



， 所以AM AN

 

       

   

3 6 6 2 30。 (2) 因為cos NAM AM AN AM AN   

 

 

30 1 3 5 2 10 2    ， 所以NAM 45 。 11. 已知兩非零向量



_a 與



_b 的長度相等，且

   

a  b  3 a  b ，求



_a 與



_b 的夾角。 解答 120 解析 令

 

a  b  k 0_。 因為

   

a b  3 a  b _， 所以 2 2 3 a b  a b

   

2 ₂ 2 ₃ 2 ₂ 2 k a b k k a b k       _    _  

 

 

2 2 k a b 

 

   。 因此，



_a 與



_b 的夾角 滿足 2 1 2 cos 2 k a b k k a b       

 

 

。 故



_a 與



_b 的夾角為120。 12. 已知直線L x1: 3y 2 0與L2: 2x ay  5 0的銳夾角為45，求實數a 的值。 解答 4 或1 解析 因為L1與L2的法向量分別為



n₁



1, 3



，

 

2 2, n  a



_，所以 1 2 1 2 cos45 cos135 n n n n  _{  }

 

 

或 2 2 3 1 2 10 4 a a       。 兩邊平方後，整理得2 2 3



 a



210 4



a2



a23a 4 0。 解得a4或1。

1091 高二數學 3B 期末考題庫 @ MATH-SHINMIN P14 13. 已知



a 2、



b 3、



c 3，且

   

_{a  b  c  0} ，求下列各式的值： (1)

 

_{a c} 。 (2) 2

  

a  b3 c _。 解答 (1)2 (2)4 2 解析 因為

  

_{a  b   c} ， 所以三向量恰圍出一個三角形，如圖所示。 (1) 利用餘弦定理，得cos 22 32 32 1 2 2 3 3        。 因為



_a 與



_c 的夾角為180 ， 所以

   

a c  a c cos 180



 



2 3 1 2 3      _{ }    。 (2) 因為

   

_{a b c  0} ， 所以₂

  

_{a b 3c} 2 a  _ a  c _3 c  a 2c  

 

   

。 又因為 2 2 2 2 4 4 a c  a  a c  c

     

_22_{     4}

_{ }

_{2 4 3}2 _32， 所以2

    

a b 3c  a2c _{ 32 4 2} 。