第 9 章 机械振动基础
人类生活在充满振动的自然界之中，固体物质中原子的振动、宇宙空间的电 磁振荡、机械钟表钟摆的摆动等，振动现象俯拾皆是。而机械振动是机械工程和 日常生活普遍可见的力学现象，行驶交通工具的振动、人体脉搏不停息地跳动和 内燃机工作状态的振动等均属此类运动。机械振动的传播便形成机械波，因此本 章是第 10 章波动的学习基础。值得注意的是，机械振动和机械波的基本内容还是 电工学、无线电技术、自动控制技术等科学技术领域的理论基础。本章将重点介 绍简谐振动及其规律，讨论简谐振动的合成，以及阻尼振动、受迫振动等更接近 客观实际的机械振动模型。在本章学习过程中，应重视简谐振动的学习，掌握其 动力学方程的建立与求解，简谐振动合成复杂振动的研究等，为机械振动在专业 课程的学习和技术工程中的应用奠定扎实的理论基础。9.1 简谐振动
物体在其平衡位置附近往复运动称为机械振动，简谐振动属于最简单、最基 本的机械振动，是研究复杂振动的基础，因为复杂的振动可由若干简谐振动合成 获得。 由原长为 l 、劲度系数为0 k 的轻弹簧和质量为 m 的物体构成的弹簧振子如图 9.1 所示，若不计空气阻力、水平桌面的摩擦力，则该力学系统做简谐振动，应用 牛顿第二定律可以求解其运动方程。以下通过对弹簧振子的求解，详细介绍简谐 振动问题的求解方法。以固定于地面的水平桌面为惯性系，选择如图 9.1 所示的坐 标系，取振动系统的平衡位置为坐标原点O，由胡克定律得到质量为 m 的振子所 受弹性力与其位移成正比得： F = - kx 图 9.1 弹簧振子 如上式所述，将始终指向振子平衡位置、又与其位移成正比的力称为线性回2 大 学 物 理 （ 下 册 ） 复力，受到此类力作用的系统一般为简谐振动系统。由牛顿第二定律可得： 2 2 d d x m kx t = - （9.1.1） 令 2 0 k m w = （9.1.2） 由式（9.1.1）、 （9.1.2）得到： 2 2 0 2 d 0 d x x t +w = （9.1.3） 式（9.1.3）是振子简谐振动的动力学方程，求解该二阶线性齐次微分方程得 到振子简谐振动的运动方程为： 0 ( ) cos( ) x t =A wt+ j （9.1.4） 将式（9.1.4）对时间分别求一、二次导数得到振子简谐振动的速度、加速度为： 0 0 d sin( ) d x v A t t w w j = = - + （9.1.5） 2 2 0 0 0 d cos( ) d v a A t x t w w j w = = - + = - （9.1.6） 由式（9.1.4）～（9.1.6）可知，物体做简谐振动时，其位移、速度和加速度 均为时间的周期性函数，图 9.2 给出了相应的函数图像。应用位置、速度和加速度 与时间的函数图像描述简谐振动，具有直观的特点，称之为图像方法。而应用式 （9.1.4）～（9.1.6）描述简谐振动称为解析方法，尤其是用于理论证明，该方法 具有简洁的特点。其实只要振动物体的动力学方程或运动方程与式（9.1.3）或式 （9.1.4）的形式相同，且其中的 w 仅取决于振动系统本身的固有性质，则振动物 0 理量并不局限于位移，即可判定其做简谐振动。 图 9.2 简谐振动的函数图像
第 9 章 机 械 振 动 基 础 简谐运动方程式（9.1.4）中的 A、j 均为积分常量，可由初始条件确定。其 中 A为简谐振动物体位移的最大绝对值，限定物体的振动范围，称为振幅。由式 （9.1.2）给定的 w 取决于振动系统的固有性质，称为角频率，SI 单位为 0 1 rad s - × 。 把物体完成一次完全振动所经历的时间称为周期，SI 单位为 s。利用周期性函数的 性质及式（9.1.4）可以得到周期与角频率的关系为： 0 2π T w = （9.1.7） 将单位时间内物体所做的完全振动的次数称为频率， 用n 表示， SI 单位为 Hz。 频率、周期与角频率的关系为： 0 1 2π T w n = = （9.1.8） 将式（9.1.2）带入式（9.1.7）、式（9.1.8）可得到振子的谐振动周期、频率以 及角频率为： 0 2π 2π m T k w = = 1 1 2π k T m n = = （9.1.9） 0 k m w = 由式（9.1.4）～（9.1.6）可以看出，当A和 w 一定时，确定振动物体任意时 0 刻位移、速度和加速度的物理量是 (w0 t+ j ) ，称为振动相位。而j 对应时间 t = 0 时 的振动相位，称为初相位，反映 t = 0 时振动物体的运动状态。 由初始条件可以确定简谐运动方程式（9.1.4）中的积分常量 A、j 。将 t = 0 带 入式（9.1.4）、式（9.1.5）得到初始位移、初始速度为： 0 cos x = A j 0 0 d sin d x v A t w j = = - （9.1.10） 于是得到： 2 0 0 0 + v A x w æ ö = ç ÷ è ø （9.1.11） 0 0 0 arctan v x j w æ ö = ç- ÷ è ø （9.1.12） 综上所述，描述简谐振动的特征物理量是A、T 和 (w0 t+ j ) ，振动系统决定T 或 w 。振动系统确定后，0 A、j 由初始条件 x 、 0 v 决定，式（9.1.4）～（9.1.6） 0 给出弹簧振子简谐振动的解析描述。
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9.2 旋转矢量
简谐振动的描述可以采用解析方法，也可以采用如图 9.2 所示的图像方法，两 种方法各有千秋。本节将介绍另外一种描述简谐振动的方法，即具有形象特点的 旋转矢量法，特别是用于讨论简谐振动的合成，该方法有其独到之处。 设在如图 9.3 所示的xOy 直角坐标系中，矢量A的起始点位于原点O， t = 0 时，A与 x 轴的正向夹角为j ，任意时刻t ，A与 x 轴的正向夹角为 (w0 t+ j ) ，且 A以角速度 w 绕 z 轴逆时针转动，则如此定义的矢量0 A称为旋转矢量。于是任意 时刻 t 旋转矢量A在 x 轴上的投影为： 0 ( ) cos( ) x t =A wt+ j 图 9.3 旋转矢量 同理，将 A端点的速度矢量、加速度矢量在 x 轴上投影，就可以得到如式 （9.1.5）、式（9.1.6）表示的物体简谐振动的速度和加速度。 于是可知，旋转矢量的模为简谐振动的振幅，旋转矢量转动的角速度为简谐 振动的角频率，旋转矢量与 x 轴的正向夹角为简谐振动的相位，旋转矢量的端点 以及端点的速度和端点的加速度在 x 轴上的投影即为简谐振动的运动方程以及振 动速度和振动加速度的表达式。因此有结论：旋转矢量可以描述简谐振动。9.3 简谐振动的应用
本节将以例题的形式介绍单摆、复摆等振动装置的简谐振动，同时还将涉及 简谐振动的能量、地球隧道中质点的谐振动等问题。 例题 9.3.1 单摆与简谐振动。设长为 l 且不可伸长的细线上端固定，其下端 悬挂质量为 m 的小球，构成如图 9.4 所示的振动系统称为单摆，又称数学摆。小 球、细线分别称为单摆的摆球和摆线。试讨论单摆在小角摆动条件下的运动规律。第 9 章 机 械 振 动 基 础 图 9.4 单摆 解：由题意知可忽略不计摆线的质量，同时也不计空气阻力及细线上端固定 点的摩擦力。以下应用牛顿第二定律进行分析，若摆球在铅垂面内做小角摆动， 则单摆的摆动为简谐振动。将摆球视为质点，其受到重力与细线的拉力，如图 9.4 所示。选摆线固定点 C 为惯性系，取摆球的平衡位置为 O 点，设任意时刻摆线与 其平衡位置铅垂线的夹角为摆角，令任意时刻单摆的角位移为q ，取逆时针摆向为 其正向，于是应用自然坐标系得到重力在摆球轨迹 e 方向的分量为： t sin t F = - mg q 其中负号表示 F 的方向与 q 的正向相反，应用牛顿第二定律得到摆球的动力学方 t 程沿其轨迹 e 的分量式为： t 2 2 d sin d t mg ma ml t q q - = = 整理得： 2 2 d sin 0 d g l t q q + = （9.3.1） 若限定摆球为小角摆动 q≤ 5° ，故有sinq» q，于是得到： t F = - mgq 上式表明，摆球 m 所受到的力也是回复力。再令 2 0 g l w = 得到： 2 2 0 2 d 0 dt q w q + = （9.3.2） 求解式（9.3.2）得： 0 cos( ) m t q=q w + j （9.3.3） 其中： 0 g l w = （9.3.4） 0 2π 2π l T g w = = （9.3.5） 讨论： （1）由式（9.3.2）～（9.3.5）可知，单摆的小角摆动是简谐振动，此时单摆
6 大 学 物 理 （ 下 册 ） 的简谐振动周期取决于摆长及当地的重力加速度，与摆球的质量无关，故可应用 单摆装置测量当地重力加速度的数值，也可应用单摆作为计时装置。 （2）若摆球的尺寸较大，或绳的质量不能忽略，就不能再作为单摆对待，此 时摆的周期就与摆球的尺寸或绳的质量有关。 （3）请思考若取消单摆小角摆动的限制条件，其运动规律又将如何？ “现代物理学之父”伽利略·伽利雷（Galileo Galilei，1564～1642 年）对于单 摆的研究作出过较大贡献。伽利略 18 岁在比萨大学就读期间，观察到教堂悬灯的摆 动，他用脉搏的跳动测量吊灯摆动的时间，发现无论吊灯摆动角度的大小如何，脉 搏跳动的次数总是一样的！伽利略奔回宿舍，寻找到不同长度的绳子、铁球等材料， 一次又一次重复试验。最后他得出结论：单摆的周期与摆长的平方根成正比，而与 振幅大小、摆锤质量无关，这就是单摆的等时性定律。该规律的发现为以后的振动 理论和机械计时装置的研制建立了理论基础。荷兰著名物理学家克里斯蒂安·惠更 斯（Christian Huygens，1629～1695 年）进一步验证了单摆振动的等时性，并用于 计时器的研制，1656 年研制成功第一架计时摆钟。史蒂芬·霍金（Stephen Hawking， 1942～）认为“自然科学的诞生要归功于伽利略” 。阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein，1879～1955 年）评价： “伽利略的发现，以及他所用的科学推理方法，是 人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学真正的开端！ ” 例题 9.3.2 复摆与简谐振动。设质量为 m 的任意形状的刚体，可绕固定水平 轴O在铅直平面内自由摆动，如图 9.5 所示，该振动系统称为复摆，又称物理摆。 设C 为复摆的质心，h= OC 为转轴到复摆质心的距离，设J 为复摆对固定水平轴 O的转动惯量，在忽略不计空气阻力及水平轴处摩擦力的条件下，试分析复摆的 小角振动为简谐振动。 图 9.5 复摆 解：选定固定水平轴为惯性系，若使刚体偏离其平衡位置一个小角度，设为 刚体的角位移q ，取逆时针方向为其正向。由于刚体仅受重力作用，于是得到任意 时刻相对水平轴O复摆受到的重力矩为：
第 9 章 机 械 振 动 基 础 sin M = -mgh q» - mghq 其中已限定复摆为小角摆动 q≤ 5° ，并取sinq» q。如上式所述刚体受到的始终指 向其平衡位置且又与其角位移成正比的力矩称为线性回复力矩，受到此类力矩作 用的力学系统一般为谐振动系统。于是由刚体定轴转动定律可得： 2 2 2 0 2 2 d d 0 0 d d mgh J t t q q q w q + = Þ + = （9.3.6） 求解式（9.3.6）得： 0 cos( ) m t q=q w + j （9.3.7） 其中： 0 mgh J w = （9.3.8） 0 2π 2π J T mgh w = = （9.3.9） 讨论： （1）由式（9.3.9）知，应用复摆可测量其周期、角频率或当地重力加速度的 大小； （2）应用复摆可测量任意形状的刚体对固定水平轴的转动惯量； （3）应用复摆可验证平行轴定理； （4）若令 2 J= l m ，并带入有关复摆的各公式，可以得到单摆对应的式 （9.3.2）～（9.3.5），于是有结论，复摆包括单摆。 例题 9.3.3 地球隧道中质点的谐振动。设地球为密度 3 3 5.5 10 kg m r - = ´ （ × ） 、 半径为 R 的球体，若沿其直径打通一条隧道，设隧道内质量为 m 的质点做无摩擦 运动， （1）试证明隧道内质点做谐振动；（2）试计算该质点谐振动的周期。 解： （1）隧道内质点做谐振动。 只要从动力学角度分析质点在隧道内运动时的受力特征即可。 取坐标如图 9.6 所示，坐标原点为地球中心，故当质点位于坐标 x 处时所受地 球引力为： 2 x m m F = G x - （9.3.10） 图 9.6 隧道内质点的运动
8 大 学 物 理 （ 下 册 ） 其中 3 4π 3 x ρx m = ，令 4π 3 ρm k = G，则得到质点位于 x 处的受力为： 4π 3 ρm F =- Gx = kx - （9.3.11） 由式（9.3.11）可知质点在隧道内所受地球引力为线性回复力，因此质点做谐 振动。 （2）质点谐振动周期。 与弹簧振子谐振动周期式（9.1.9）类比可得： 3 3π 2π / 84.5min 5.07 10 s T m k Gρ = = = = ´ （ ） （9.3.12） 讨论： （1）可以证明，沿地球表面圆轨道运行人造地球卫星的周期与地球隧道内质 点谐振动周期相同； （2）可以证明，将上述隧道贯穿地球任意位置，质点谐振动周期均为式 （9.3.12）表示的结果，即质点谐振动周期与隧道的位置无关； （3）对于地球隧道内质点振动问题的讨论，还可以增加地球自转、公转等因素。 例题 9.3.4 弹簧振子简谐振动的能量。以弹簧振子的简谐振动为例，讨论谐 振动的能量，其中包括弹簧振子的振动动能、弹性势能和总能量等问题。 解：由式（9.1.4）、式（9.1.5）可知，任意时刻弹簧振子简谐振动的运动方程、 振动速度为： 0 0 0 ( ) cos( ) sin( ) x t A t v A t w j w w j = + = - + 于是得到该系统任意时刻的动能、弹性势能为： 2 2 2 2 0 0 1 1 sin ( ) 2 2 k E = mv = mw A wt+ j （9.3.13a） 2 2 2 0 1 1 cos ( ) 2 2 p E = kx = kA wt+ j （9.3.13b） 故弹簧振子系统的总能量为： 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 + = 2 2 2 2 k p E=E +E = mv kx mw A = kA （9.3.14） 将式（9.3.13）第二式带入式（9.3.14）又得到： 2 2 1 1 2 2 k E = kA - kx （9.3.15） 图 9.7（a）所示为式（9.3.13）对应的动能、弹性势能随时间的变化关系。图 9.7（b）所示为简谐振动动能、弹性势能随空间的变化关系。 讨论：
（1）简谐振动系统的 E 、 k E p 均为t 的周期函数。如图 9.7（a）所示，动能最
第 9 章 机 械 振 动 基 础 图 9.7 简谐振动能量随时间/空间变化图像 （2）如图 9.7（b）所示，简谐振动系统的 E 、 k E p 也可为 x 的周期函数。动能 最大时 E = p 0 ，势能最大时 E = ，振动过程就是系统 k 0 E 、 k E p 的相互转换过程； （3）简谐振动系统是保守系统，如图 9.7（a） 、 （b）所示，系统的总能量守 恒。弹簧振子简谐振动的守恒量与振幅的二次方成正比，简谐振动是等幅振动。 例题 9.3.5 试由弹簧振子的总能量出发，导出其简谐振动的动力学方程。 解：由式（9.3.14）可知，弹簧振子的总能量为： 2 2 2 1 1 1 + 2 2 2 E= mv kx = kA 将上式两边对时间求一次导数，并注意上式右端为常量，得到： 2 2 0 2 d d d + 0 0 d d d v x x mv kx m x t t = Þ t +w = 讨论： （1）由上述结果，即可求得弹簧振子简谐振动的运动方程式（9.1.4） ； （2）由弹簧振子的总能量导出其简谐振动动力学方程的方法，较之应用牛顿 第二定律的求解方法简单快捷，完全可以不去顾及弹簧振子的受力，省去了受力 分析等环节，该方法对于保守系统普遍成立； （3）应用式（9.3.13）～（9.3.15）描述简谐振动称为能量方法，在解决某些
10 大 学 物 理 （ 下 册 ） 简谐振动问题时有其方便之处； （4）能量方法可用于求解简谐振动系统的固有频率，该方法在工程技术中具 有广泛应用。 例题 9.3.6 能量的时间平均值问题。与时间有关的物理量 ( ) A t 在时间间隔T 内的平均值定义为： 0 1 ( )d T A A t t T =
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（9.3.16） 试计算弹簧振子简谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能。 解：由式（9.3.16）可求得弹簧振子简谐振动在周期T 内的平均动能、平均势 能和平均机械能分别为： 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 ( )d d sin ( )d J 2 2 4 1 1 1 1 1 1 ( )d d cos ( )d J 2 2 4 1 1 1 d ( ) ( ) d J 2 p T T T k k T T T p T T k p E E t t mv t m A t t kA T T T E E t t kx t kA t t kA T T T E E E t E t E t t kA T T w w j w j = = = + = = = = + = é ù = = = ë û =ò
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（ ） （ ） + （ ） （9.3.17） 上述结果表明，弹簧振子简谐振动在T 内的E= E ，而 E k 和 E p 相等，分别等 于E 的一半，这是关于简谐振动系统能量的重要结论，该结论在第 12 章及第 13 章讨论气体分子的平均动能及摩尔热容问题时有具体应用。 例题 9.3.7 氢原子的简谐振动。原子的振动可近似为简谐振动，已知氢原子 质量 m =1.68 10´ - 27 （ ） kg ，振动频率 14 1.0 10 Hz n = ´ （ ） ，振幅 11 1.0 10 m A - = ´ （ ） 。试 计算氢原子做简谐振动时： （1）最大振动速度； （2）振动总能量。 解： （1）最大振动速度。由简谐振动速度式（9.1.5）可得氢原子做简谐振动 的最大速度为 2 1 max 2π 6.28 10 m s v =wA= nA= ´ （ × - ） （2）振动总能量。氢原子的振动总能量为 2 20 max / 2 3.31 10 J E=mv = ´ - （ ） 由此结果可以看出，氢原子简谐振动速度较大，但其简谐振动能量具有非常 小的数量级。9.4 简谐振动的合成
诸如行驶列车引起铁路桥梁的振动，火山爆发产生地动山摇的地震，演奏悠 扬乐曲的琴弦等均为复杂振动。多个简谐振动的合成可以得到较复杂的振动，而 且振动的合成在光学、电工学、无线电技术等领域均有应用，本节重点介绍简谐第 9 章 机 械 振 动 基 础 振动的四类合成。 9.4.1 两个同方向同频率简谐振动的合成 设有两个同方向同频率的简谐振动，其运动方程为： 0 ( ) cos( ) 1 2 i i i x t = A w t+j （ i= ， ） 可以应用旋转矢量方法解决上式所描述的两个简谐振动的合成。 设如图 9.8 所 示两个分振动的旋转矢量分别为 A1、 ， A 2 t = 0 时，旋转矢量与 x 轴的正向夹角分 别为 j1、 。由于 j 2 A1、 均以相同的角速度 A 2 w 做匀角速转动，故由其构成的平行 0 四边形形状保持不变，合矢量A的模也保持不变，并也以 w 随平行四边形做匀角 0 速转动。故由平行四边形法则得到时刻 t 的合矢量为： 1 2 = + A A A 图 9.8 两个同方向同频率简谐振动的合成 A及 A1、 在 x 轴上的投影关系为： A 2 1 2 x= x + x 于是得到A在 x 轴上的投影为： 1 2= cos( 0 ) x= x +x A w t+ j （9.4.1a） 如图 9.8 所示，应用余弦定理可以求得合振动的振幅，由直角三角形 OPM 可 求得合振动的初相位，分别如下所示： 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 = 2 cos( ) sin sin tan cos cos A A + A + A A A A A A j j j j j j j - + = + （9.4.1b） 上述合成结果表明，两个同方向同频率简谐振动的合成，仍然是同方向同频 率的简谐振动， 其中合振动的运动方程、 振幅和初相位分别由式 （9.4.1a）、（9.4.1b） 给出。易于证明，上述方法对于多个同方向同频率简谐振动的合成依然成立，合 成结果依然是同方向同频率的简谐振动。正如式（9.4.1b）所示，合振动的振幅与
12 大 学 物 理 （ 下 册 ） 两个分振动的振幅、相位差均有关系，对此可做如下讨论： （1）若 (j2-j 1 )=2 π k （ k=0 1 ， ， ± ± 2 L ） ，则两个分振动同相位，即两个分 振动旋转矢量同向重合，此时分振动相互加强，合振动振幅最大： max A = 2 2 1 2 2 1 2 A + A + A A = A + A ； 1 2 （2）若 (j2-j 1 )=(2 +1)π k （ k=0 1 ， ， ± ± 2 L ） ，则两个分振动反相位，即两个 分振动旋转矢量反向重合，此时分振动相互削弱，合振动振幅最小： min A = A + A12 22 - 2 A A 1 2 = A1- A 2 ； （3）若 (j2- j 1 ) 为异于（1） 、 （2）的其他情况，则合振动振幅为： 1 2 A -A < A< A + A 1 2 。 9.4.2 两个相互垂直同频率简谐振动的合成 设有两个相互垂直同频率的简谐振动，分别在平面直角坐标系 x、y 轴上运动， 则对应运动方程为 1 1 0 ( ) cos( ) x t = A w t+ j 2 2 0 ( ) cos( ) y t =A w t+ j 将 t 消去可得合振动物体的轨迹方程为： 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 cos( ) sin ( ) x y xy A A A +A - j -j = j - j （9.4.2） 式（9.4.2）为椭圆方程，故两个相互垂直同频率简谐振动的合振动轨迹为椭 圆曲线，其具体形状由分振动的振幅及其相位差决定，对此可做如下讨论： （1）将 (j2-j 1 )= ±2 π k （ k= 0 1 2 ，， ） L 带入式（9.4.2）得 2 1 A y x A = ，对应图 9.9 所示斜率为正值的直线； （2）将 (j2-j 1 )= ±(2k+1)π （ k= 0 1 2 ，， ） L 带入式（9.4.2）得 2 1 A y x A = - ，对 应图 9.9 所示斜率为负值的直线； （3）将 2 1 π ( ) (2 1) 0 1 2 2 k k j -j = + （ = ， ， ） L 带入式（9.4.2）得 2 2 2 2 1 2 1 x y A +A = ， 对应图 9.9 所示的正椭圆； （4）当 2 1 2 1 π 3π ( ) π ( ) 2π 2< j -j < ， 2 < j -j < 或为其他值时，合振动轨迹为图 9.9 所示的斜椭圆。
第 9 章 机 械 振 动 基 础 图 9.9 两个相互垂直同频率简谐振动的合成 9.4.3 两个同方向不同频率简谐振动的合成 由于此时两个分振动的频率不同，故两者的相位差及合振动的振幅均与时间 有关，而且两个同方向不同频率简谐振动的合成结果一般不再是简谐振动，而是 较复杂的振动。以下结合拍现象，仅讨论一种特例，即两个分振动的频率均较大， 但两频率差较小的情况。 设有两个同方向不同频率的简谐振动，又有 n2-n1 << (n2+n1 )，为简化讨论 又不影响合成结果，设两个简谐振动的振幅相同、初相为零，于是有： 1 cos 01 cos 2 π 1 x = A w t= A n t 2 cos 02 cos 2π 2 x =A w t= A n t 由于是两个同方向的振动，故可得合振动的运动方程为： 2 1 2 1 1 2 2 cos 2π cos 2 π 2 2 x= x +x = çæ A n -n t÷ ö n + n t è ø （9.4.3） 图 9.10 给出了合振动的振动曲线图，其中合振动的振幅随时间做缓慢的周期 性变化。这类分振动频率较大、频率差较小的两个同方向不同频率简谐振动的合 成，其合振动振幅时大时小周期性变化的现象称为拍。 容易看出合振动运动方程式（9.4.3）包含两个周期性变化的因子，但是 2 1 2 cos 2π 2 A n - n t æ ö ç ÷ è ø 的周期大于 2 1 cos 2π 2 t n + n 的周期， 故前者频率要比后者频率小 得多，因此前者随时间的变化要比后者缓慢得多。可以类比简谐振动，将变化缓
14 大 学 物 理 （ 下 册 ） 慢的 2 cos 2π 2 1 2 A n - n t 作为合振动的振幅，其值在 0～2A 之间变化，其周期为 2 1 1 n - n ，合振动振幅变化的频率为两个分振动频率之差 n =n2- n1 ，称为拍频。 将 2 1 2 n + n æ ö ç ÷ è ø 作为合振动的频率，其周期为 2 1 2 (n + n )。 图 9.10 两个同方向不同频率简谐振动的合成 可以利用两个固有频率稍有差异的音叉演示拍现象：敲击两个音叉，由于两 者的振动在空间相遇区域的叠加，会听到忽高忽低的“拍音” ，而应用“拍音”可 以校准钢琴。对于两个频率相近的振动，若已知其一，则可应用拍频的测量测得 未知振动的频率，该方法常用于高精度速度测量、卫星跟踪等工程技术领域。 9.4.4 两个相互垂直不同频率简谐振动的合成 两个相互垂直不同频率的简谐振动，其合成结果较为复杂，一般情况下其合 振动轨迹不能形成稳定的闭合曲线。但是两个分振动的频率若成整数比，则相应 的合振动轨迹为稳定的闭合曲线，且曲线图形与分振动的频率比、初相位、振幅 均有关，此类图形称为利萨茹图形，如图 9.11 所示。利用示波器、沙漏摆均可实 现利萨茹图形的观察与测量。 由于利萨茹图形的花样与分振动的频率比有关，因此可以利用图形花样确 定分振动的频率比，再由已知分振动频率测量获得另一未知分振动的频率。另 外若已知两个分振动的频率比，利用利萨茹图形的花样，可以判定两分振动的 相位关系，这些测量方法在电学测量技术中均有重要应用。近年来也有设计师 以利萨茹图形作为基本设计元素，应用计算机技术将其优化组合，从而构成具 有鲜明特色的设计图案，印制在服装、窗帘、桌布等产品上，为大众生活增添 了绚丽的色彩。
第 9 章 机 械 振 动 基 础 图 9.11 利萨茹图形
9.5 阻尼振动 受迫振动 共振
本节将分别讨论阻尼振动、受迫振动和共振等更接近客观实际的振动。首先 建立其动力学方程，然后给出方程的解，最后以实例展示阻尼振动、受迫振动和 共振在工程技术领域及日常生活中的应用。 9.5.1 阻尼振动 简谐振动系统是保守系统，系统的机械能守恒，简谐振动是等幅振动。其实 简谐振动是在忽略不计各种阻力条件下的理想模型，又称为无阻尼自由振动。而 客观实际的振动系统，不可避免地要受到各种形式的阻力作用。在无外界能量补 充的情况下，其振幅将随时间逐渐衰减直至为零。振动系统由于受阻力做振幅减 小的运动，称为阻尼振动。 考虑如图 9.1 所示的弹簧振子在粘性介质中的阻尼振动， 设弹簧振子所受阻力 与其运动速率成正比，表示为： d d x F v t g = -g = - g 其中g
称为阻力系数，取决于振动物体的形状、大小及介质的性质，可由实验测 量获得。式中的负号表示振动物体所受阻力与其速度反向。选择如图 9.1 所示的坐 标系，以固定于地面的水平桌面为惯性系，于是由牛顿第二定律得到该振动系统 在弹性力、阻力作用下阻尼振动的动力学方程为： 2 2 d d d d x x m kx t t = - -g16 大 学 物 理 （ 下 册 ） 对于给定的振动系统及介质，m、 、 k g 均为常量。若令 2 0 2 = k m m g w = 、 b ，带 入上式整理得： 2 2 0 2 d d +2 + 0 d d x x x t t b w = （9.5.1） 其中 w 为弹簧振子无阻尼自由振动的固有频率， 0 取决于振动系统本身的性质。 b 为 阻尼系数，与振动系统及阻尼介质有关，是反映阻尼大小的物理量。式（9.5.1） 为常系数二阶线性齐次微分方程，对于给定的振动系统，由微分方程理论知，可 依据阻尼系数的大小解得三种可能的运动状态，如图 9.12 至图 9.14 所示。 图 9.12 弱阻尼 图 9.13 过阻尼 图 9.14 临界阻尼 （1）阻尼较小，即 b < w 0 ，称为弱阻尼，由式（9.5.1）可求得弱阻尼运动方 程为： 0 0 ( ) e t cos( ) x t A - b wt j = + （9.5.2） 2 2 0 w= w - b 其中 A0 j 、 由初始条件决定。 0 （2）阻尼较大，即 b > w0，称为过阻尼，由式（9.5.1）可求得过阻尼运动方 程为： 2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) 1 2 ( ) e t e t x t =c -b- w -b + c -b+ w - b （9.5.3） 其中 c1、 由初始条件决定。 c 2 （3） b = w 0 ，称为临界阻尼，由式（9.5.1）可求得临界阻尼运动方程为： 1 2 ( ) ( )e t x t = c + c t - b （9.5.4） 其中 c1、 由初始条件决定。 c 2 9.5.2 受迫振动 共振 在无法克服阻尼，又要维持振动不断进行的情况下，可行的方案是由外界持 续向振动系统施加周期性外力。在周期性外力持续作用下，振动系统的振动称为 受迫振动。 若弹簧振子在阻力Fg = - gv，周期性外力 F= F0 cos(wp t) 共同作用下振动，选 择如图 9.1 所示坐标系，以固定于地面的水平桌面为惯性系，由牛顿第二定律可得
第 9 章 机 械 振 动 基 础 该振动系统受迫振动的动力学方程为： 2 0 2 d d + cos( ) d d p x x m kx F t t t = - - g w （9.5.5） 整理得到： 2 2 0 0 2 d d +2 + cos( ) d d p x x x f t t t b w = w （9.5.6） 其中 2 0 0 2 = 0 = F k f m m m g w = 、 b 、 。式（9.5.6）为常系数二阶线性非齐次微分方程，由 微分方程理论可知，其解由齐次微分方程式（9.5.1）的通解与非齐次微分方程式 （9.5.6）的特解叠加而成，于是得到： 0 0 ( ) e t cos( )+ cos( ) p p x t = A - b wt+j A w t+ y （9.5.7） 值得注意的是，由于式（9.5.7）的第一项为阻尼振动的解，随着时间的延续 将衰减为零，因此描述受迫振动稳定状态的解为式（9.5.7）的第二项，即有： ( ) pcos( p ) x t =A w t+ y （9.5.8） 对于式（9.5.8）受迫振动稳定状态的解中，其中 w 是周期性外力的频率，而 p 振幅 A p 及初相y 由振动系统、阻尼力和周期性外力共同确定： 0 2 2 2 2 2 0 = ( ) +4 p p p f A w - w b w （9.5.9） 2 2 0 2 tan = p p bw y w w - - （9.5.10） 9.5.3 位移共振 由受迫振动稳定状态的振幅式（9.5.9）可知，此时振幅 A p 是周期性外力角频 率 w 的函数。振动系统受迫振动时，其振幅 p A p 达到极大值的现象称为位移共振， 对应共振角频率 w 和共振振幅 t A 。 t 利用式 （9.5.9） 对 w 求极值可得共振角频率为： p 2 2 0 = 2 t w w - b （9.5.11） 式（9.5.11）称为位移共振条件，由该式可知， w 由该系统的固有角频率 t w 和 0 阻尼系数 b 决定。 将式（9.5.11）带入式（9.5.9）得到共振振幅为： 0 2 2 0 = 2 t f A b w - b （9.5.12） 需要强调的是， w 一般不等于振动系统的固有角频率 t w ，但当阻尼趋于无限 0 小时，共振角频率无限接近于固有角频率，但此时共振振幅将趋于无限大，产生 极强烈的位移共振，如图 9.15 所示。当然，客观现实中在没有达到“极强烈的位 移共振”之前，振动系统或许就已经被破坏掉了。
18 大 学 物 理 （ 下 册 ） 图 9.15 共振频率 9.5.4 阻尼振动、受迫振动和共振的应用 1．阻尼振动的应用 由 9.5.1 节可知，由于阻尼振动包含有衰减因子 e - b t，因此阻尼可以导致振动 衰减，而适当的阻尼可以使振动消失，故其在工程技术及日常生活中大有用武之 地，为消除有害振动提供了有效途径。 （1）诸多类型的减振器工作原理均为阻尼减振，目前常用的汽车减振器就是 采用油液或气体作为阻尼介质产生阻尼力，达到阻尼减振的目的，起到改善汽车 行驶平顺性的作用。 （2）机械设备也采用阻尼减振，精密机床的阻尼隔振就是减弱影响精度的振 动，以保证机床的加工精度。高层建筑工程应用高阻尼橡胶垫隔振，其目的是应 用特殊材料减少振动对建筑的损害，确保高层建筑的安全使用。 （3）家用电器如洗衣机、电冰箱等应用阻尼减振技术，其主要目的是降低由 于电器振动而产生的噪音，保证生活环境的安静与舒适。特别是马桶盖的减振装 置、在房门上安装阻尼铰链等，由于其阻尼接近临界阻尼，故使用时既不会产生 噪音，也能较快的关闭。例如当安装阻尼铰链的房门突然被大风吹动时，也能做 到无噪音迅速关闭。 （4）易碎物品运输过程增加泡沫塑料等柔软材料的保护，冬季穿着较厚衣服 以及脂肪丰富的人摔倒不易骨折等事例，均为阻尼减振原理的应用。 2．受迫振动的应用 受迫振动有弊有利，如周期性阵风作用下建筑物发生的振动，火车行驶而引 起桥梁的周期性振动等均为有害的一面。受迫振动在日常生活中也存在有益于人 类的作用，在电磁学、建筑工程、机械工程等领域均有重要应用。 （1）摆钟在发条作用下产生受迫振动，从而实现钟表持续、准确的计时功能。 从能量角度看，发条储存的势能定量定时地施加于钟摆，使得钟摆不至于因能量 损耗而逐渐停下来。 （2）多种家用按摩器应用偏心电动机产生受迫振动起到按摩健身的作用。 （3）利用冲击振动作用分层夯实回填土的夯土机为一种压实机械。蛙式夯机
第 9 章 机 械 振 动 基 础 的工作原理为应用飞轮加装偏心块产生受迫振动，带动夯机机身向前移动，从而 实现夯锤自动夯实土壤的功能。 3．共振的应用 可以利用共振原理研制仪器和设备为人类服务，例如应用共振原理研制的火 车秤，可以方便的秤重装载数十吨乃至上百吨矿石的货运车厢。其他应用共振原 理的仪器有超声波发生器、回旋质谱仪等。 但共振现象也会产生一些危害，例如 2003 年 10 月 15 日杨利伟乘坐“神舟 五号”飞船进入太空，成为中国进入太空的第一人，其实就在火箭上升过程中产 生了共振，杨利伟感到非常痛苦，几乎难以承受，共振现象持续约 26 秒后逐渐 减轻。返回后他详细描述了“共振”过程。工程技术人员研究认为，飞船的共振 主要来自火箭的振动。之后改进了技术工艺，解决了该问题，在“神舟七号”飞 行中再没有出现过类似情况。1940 年 7 月 1 日，建成通车不到五个月的美国 Tacoma 悬索桥因阵风引起共振而坍塌，该事故也成为研究建筑物因共振而破坏 的典型事例。 因此，在日常生活及工程技术中应采取有效措施和方法，尽量避免共振现象 产生的危害。例如火车过桥慢行、大队人马过桥便步走、登山运动禁止大声喧哗 等均属于避免共振产生危害的有效措施。
习题 9
9.1 设测试振动台为简谐运动，运动方程为 x=0.1cos(2π t + π) ，其中t、 x 的 单位分别为 s m 、 ，试求： （1）振动台的振幅、频率、角频率、周期和初相； （2） t = 1s 时振动台的位移、速度和加速度。 9.2 钟摆的小角摆动为简谐振动，若已知钟摆的振幅 2 4.0 10 A - = ´ （m） 、周 期T =2.0（s） 、初相 j = 0.75π。试写出钟摆的运动方程、速度和加速度。 9.3 竖直轻弹簧下端悬挂一小球，弹簧被拉长 l = （cm）时平衡，释放后 0 5 小球在竖直方向做振幅A =2（cm）的振动，取其平衡位置为坐标原点，竖直向下 为正建立坐标系，并选取小球在向下最大位移处开始计时。 （1）试证明此振动为简谐振动； （2）试写出简谐运动方程。 9.4 质量为 m 的小球在半径为 R 的光滑球形碗底 做微小振动。设 t = 0 时， q = 0，小球的速度为 v ，且 0 如图 9.16 所示向q 增加的方向运动。试求小球的振动 方程。 9.5 现将两个劲度系数分别为 k1、 的轻质弹簧 k 2 串联，构成一个组合弹簧系统。设该弹簧系统下端悬挂 图 9.16 习题 9.4 用图20 大 学 物 理 （ 下 册 ） 质量为 m 物体，若将其置于光滑斜面上运动。 （1）试证明物体做简谐运动； （2）试求解该系统的振动频率。 9.6 设物体做简谐振动的振幅A =4（cm） 、周期T =0.5（s） 。若当 t = 0 时： （1）物体在平衡位置并向负方向运动； （2）物体在 2（cm）处，并向正方向运动； （3）物体在正方向最大位移处； 试求以上三种情况物体的运动方程。 9.7 设海面上的远洋货轮在竖直方向的运动可近似视为简谐振动，若振幅为 A、周期为T ，且初始时刻货轮的运动状态为： （1） x0 = - ； A （2）通过平衡位置向 x 轴正方向运动； （3）通过 0 2 A x = 处向 x 轴负方向运动； （4）通过 0 2 A x = 处向 x 轴正方向运动； 试用旋转矢量法确定相应的初相位，并写出振动表达式。 9.8 利用单摆可以测量月球表面的重力加速度。 设宇航员将地球上周期为 2.0 （s）的秒摆置于月球上，测得其周期为 4.90（s） ，若取地球表面的重力加速度 9.80 g = （ m / s 2 ） ，试求月球表面的重力加速度。 9.9 测量摆钟的摆长， 可有多种方法。 例如先将某精密摆钟摆锤上移 1 （mm） ， 可测得此时摆钟每分钟快 0.1（s） ，由该数据即可确定钟摆摆长，试确定该精密摆 钟的摆长。 9.10 设单摆绳长为 1.0（m） ，如图 9.17 所示，初 始时刻摆角最大为5°，试求： （1）单摆的角频率和周期； （2）单摆的运动方程； （3）摆角为4°时的角速度和摆球的线速度。 9.11 设质量为 1（kg）的物体做简谐运动，振幅 为 24（cm） 、周期为 4（s） ，当 t = 0 时位移为-12（cm）且向Ox轴负方向运动， 试求： （1）简谐运动方程； （2）由初始位置到 x = 0 所需最短时间； （3）系统的总能量。 9.12 质量为 0.10（kg）的物体，以振幅 1.0 10 ´ - 2 （ ） m 做简谐运动，其最大加 速度为 4.0 2 m s - × （ ） ，试求： （1）物体通过平衡位置时的总能量； 图 9.17 习题 9.10 用图
第 9 章 机 械 振 动 基 础 （2）物体位于何处动能与势能相等； （3）物体的位移为振幅一半时其动能和势能各为多少。 9.13 质量为 1（kg）的物体，以振幅 0.02（m）做简谐振动，其最大加速度 为8.0 m s - 2 × （ ） ，试求： （1）谐振动周期； （2）最大动能； （3）物体在何处动能与势能相等。 9.14 设一物体同时参与在同一直线上的两个谐振动，其振动方程分别为： 1 π 0.05 cos 4 6 x = æç t + ö ÷ è ø （m） ， 2 5 0.02 cos 4 π 6 x = æç t - ö ÷ è ø （m） 试求该物体的振动方程。 9.15 行驶轮船上钟摆的运动可以视为多种振动的合成， 假设钟摆同时参与两 个同方向同频率的简谐振动，其振动方程分别为： 1 5π 0.4 cos π 6 x = æç t - ö ÷ è ø （m） ， x2=0.5cos(π t j + 2 ) （m） 试求： （1） j 为何值时钟摆振动的幅值最大？最大值为多少？ 2 （2）若合振动的初相 0 π 6 j = ， j 值为多少，合振幅为多少？ 2 9.16 已知两个同方向同频率的简谐运动方程分别为 x1 =5 cos(10t + 0.75π) （m） ， x2 =6 cos(10t + 0.25π) （m） ，试求： （1）合振动的振幅及初相，并写出合振动的运动方程； （2）若有另一个同方向同频率的简谐运动 x3=7 cos(10t j + 3 ) （m） ，则 j 为 3 多少时， x1+ x 3 的振幅最大？
