 自由振盪、阻滯振盪、共振、非簡諧振盪與混沌擺

自由振盪、阻滯振盪、共 振、非簡諧振盪與混沌擺

t dt D

x dx dt

x d

t A

dt kx b dx

dt x m d

t dt A

b dx kx

F

 d









cos cos cos

2 2

2

2 2























 

 x

x x

sin

) 1

(  ²

4 波動與聲波

A sand scorpion

How does a

horseshoe bat detect a moth in

total darkness?

4.1





 governed by Newton’s laws, exist only within a material medium ( 介質 )



 governed by Maxwell’s laws, require no material medium to exist

 all travel at c = 299,792,458m/s



4.2



 displacement wave ⊥ ( 橫波 ⁾



 displacement wave ∥ ( 縱波 ⁾

脈波

、正 弦波 與縱 波

Wave train pulse

沙蠍的定位

t s

m d

s m

s d m

v d v

t d

l t















) /

75 (

/ ) 150

1 /

50 ( 1

一維波函數具有兩個變數 :

) sin(

) ,

( x t y kx t

y 

 

4.3

2D

3D

瞬間快照

kx y

x

y ( , 0 ) 

sin

Snapshot at t = 0 (or any other instant)

y = y(t) at a fixed position

t y

t y

t

y ( 0 , ) 

sin(   )  

sin 

定點變化



 

  2  k  ² k

• Why picking the sine wave ？

• Need a videotape to show it in real time.

• Wavelength and angular wave number – wavelength (λ):

• Angular wave number(k):

) sin(

) (

sin

sinkx₁ y k x₁  y kx₁ k

y_m  _m   _m 

波長 λ 與角波數

k

Period, angular frequency, and frequency f

) sin(

) (

sin sin

1 1 1

T t

y

T t

y t

y

m m m



























 

2 , 1

2  

 f T

T

週期 T 與角頻率 ω

4.4

The wave speed

dt v  dx

T f v k

dt k dx t

kx

 





















0 constant,

a

Traveling Wave

A left-going wave

- k v

t kx

y t

x

y( , )  _m sin( 





例一 A sinusoidal

wave

) 72 .

2 1

. 72 sin(

000327 .

0 )

, (

t x

t x y







) sin(

) ,

(x t y kx t

y  _m 



y a

t kx

t y a u

t kx

t y u y

t kx

y t

x y

y

m y

m m

2

2 sin( )

) cos(

) sin(

) , (





 





 































例二 橫向速率與加速度

R

F l



 2 sin  (2 ) = 由牛頓第二定律推導

4.5



 





















 









 



R v l v R

R a v

l m

R l F

2

2

l

,

= ) 2

(

sin 2

繩波的波速 II

–

1 2

1

2  l2 ,  4 l

2 1

1 2

2 1

2 2

1 1

2 2

/ /

=

/

=

v v

v v v v







  









例三 山難救援

2 1

1 2

2 1

2 2

1 1

2 2

/

/

=

/

=

v v v

v

v v







  









2

2 2 2

2 2

2 1

1 2

8 5

2

2 /

= v

l d

v

d l

v l

v

d l

v l t d





 

 





山難救援 II

–

) , ( )

, ( )

,

(x t y₁ x t y₂ x t

y  

• Fourier Analysis

3 sin3 sin2 1

2 sin 1

) 1

(t   t  t  t  

y 

 

 



• The Principle of Superposition for Waves

4.6

例四 鋸齒波

鋸齒波– II

• 合成波

) sin(

) , (

) sin(

) , (

2 1

















t kx

y t

x y

t kx

y t

x y

m m

) , ( )

, ( )

,

(x t y₁ x t y₂ x t

y  

) 2 (

cos1 )

2( sin1 2

sin sin

) sin(

) sin(



































 y_m kx t y_m kx t

4.7

) sin(

)

sin(kx 







y_{m m}









2 cos 1

2

2 ) sin( 1

2 ] cos 1 2

[ )

, (

m m

m

y y

t kx

y t

x y

 





 

Fully constructive and fully destructive interference

完全建設性與完全破 壞性干涉

180 

=

0 )

, (

0

=

) sin(

2 )

, (







 



 

t x y

t kx

y t

x

y _m

2  cos 1

2

m

y

y  

同相與異相

(exactly in phase/out of phase)

• 節點 / 反節點 node/antinode

4.8

) sin(

) , (

) sin(

) , (

2 1

t kx

y t

x y

t kx

y t

x y

m m













) , ( )

, ( )

,

(x t y₁ x t y₂ x t

y  

) sin(

)

sin(kx t y kx t

y_m 







t kx

y t

x

y( , )  [2 _m sin ]cos

數學分析

t kx

y t

x

y( , )  [2 _m sin ]cos























, , ,

= n

n x

n kx

, , ,

= n n x

n kx

2 1 0

2 2 )

( 1

= 2)

( 1

2 1 0

2

=

 

 

數學分析 II

–

在邊界反射之相位變化

4.9

A string of length L

n: harmonic number







 n = , , ,

L n v

f v n

L 0 1 2

2

= 2

 

例五 共振例

例六 波長與張力的實驗

) sin(

) ,

( x t y kx t

y 

 

一維、二維與三維 波函數

2D

3D

) sin(

) ,

(x t y k x k y t

y  _{m x}  _y 



) sin(

) sin(

) , (

t r

k y

t z

k y

k x

k y

t x y

m

z y

x m



















 

4.10

Sonar, Seismic Waves and Ultrasound

4.11

property

inertial

property

elastic



  v 

V V

B p

 /

 

 Bulk Modulus ： B



v  B _{容積彈性模數}

氣體^、液體與固體中的聲速

例一 聲源的方向

v D v

D v t D

v D v

t d

w

w w





sin

90 sin

sin

















13

sin     ^ vw

v

水中 空氣中

apparent angle

Displacement amplitude of an air element

) cos(

) ,

( x t s kx t

s 

 

4.12

位移

m m

m

m

m m

s k v

s Bk p

t kx

Bks p

t kx

x Bks B s

p

x A

s B A

V B V

p

t kx

s t

x s

) (

) (

) sin(

) sin(

) cos(

) , (

2





 































 

 











位移與壓力

p_m  28 Pa s_m  11m

例二 人耳耳膜可感知的最大 與最小壓力差與位移

pm s

p_m  28  10 ⁵ Pa _m  11

 ^

m m

m m

m

s f v

s v

s k v

s Bk p

) 2

( )

(

) (

)

( ²



















Hz 1000

kg/m 21

.

1 ³ 

 f



光程差和相位差













 

 





2) ( 1

) 2

2 )(

( 1

)

2 (

2 2

















 

 

m L

m

m L

m

L L

4.13

Fully

constructive

destructive interference

(a)λ_P1= 0, λ_P2= D =1.5λ

φ_P1 = 0, φ_P2= (1.5λ/λ)2π= 3π (b) N = 6 around the circle

例三 圓上有幾個完全建設性

• 通過單位面積之平均功率

2 2

2 1

) /

( 2

s

v

A

dt dK

A I P











4.14

Intensity

The Sound Level

I P

r I P

rL

s s

 

4 

2 

強度隨距離之變化

• The Decibel Scale

y

x x

y

x y









 



1

log 10

log

) 10 log(

log

分貝

0 1

log )

dB 10 10 (

log10 )

dB 10 ( )

10 (

W/m 10

log

) dB 10 (

12 12 12

2 12

0 0













 





 I

I I

聲級

^β

例四 The

WHO –the loudest concert

The Who: 120 dB 鑽孔機 : 92

dB

I₁: I₂ = 630!

4.15

pipe





 

  

2 1 2 3

2 1 2 3

L

n n f v nv

L n

, , , ,

, , , , (2 open ends)





end) open

(1

, 5 , 3 , 1

4 ,

, 5 , 3 , 1 4 ,















n

L nv f v

n n L





駐波與共振

橫笛^、雙簧管和薩克斯風

例五 紙筒的聲音

(a) 靠近耳朵

f v

 L 

 

4 343 128

4 0.670 Hz

(b) 離開耳朵

f v

 L 

 

2 343 256

2 0.670 Hz

4.16 Beats

s s s s t t

s t t

m m

   

 

    

1 2 1 2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

(cos cos )

[ cos ]cos

/ ( ) / ( )

 

 

     

s s t t

f f f

m

beat beat

 

      

 

[ cos ]cos

( )

2

2 2 1

2 ^{1 2 1 2}

1 2

 

     

6.17 Beats

4.18 The Dopper

Effect

f vt t

v f vt v t t

v v

f v v

v f f v v

v f f v v

v

D D

D D D

      

  

 

   

/ ( ) /

/









頻率變化 (a)

–

Source moving;

detector stationary

) 1

(

/ /

v f u

v f v

v f v

f

v v

f v v f

v f v f

v v

f v

f v f

v

v T

v vT

v f v

s D

s s

s

s



 

 

 



 

 

 

 

 

 

 









(general) (low speed)

頻率變化

– (b)

sin  vt  v t

v

s vs

Mach Cone/Shock Wave Mach Number

4.19

–

例六 玩具火箭發射聲波

f = 1250Hz v = 242m/s (a) f ’ 偵測器接收的頻率

   

f f v

v v

4250Hz

Hz 7240

Hz 4250



 

 

 v

v v

v v f v

f

(b) f ’’ 火箭偵測到反射波的頻率

例七 蝙蝠和飛蛾

(a) f_m when f_bd = 83kHz

(b) f_be when f_bd = 83kHz

kHz

 79

 

  _m

m m b

bd f

v v

v f v

f

f f v v

v v f

m be m

b

 

   75kHz

V_b = 9 m/s v_m= 8 m/s

4.20

   

   

    



f f u c u c

u c u c

u

c u c

( / )

( / ) ( / )

1

1

1

  

 









 

1

] ) 1 (

1 [ )

1

(  x ^1    x x 

magnitude

例八

The M87 galaxy

200 ly

s 2 9

2

5

M 10

1 . 2

m/s 10

39 .

5

nm 90

. 0

nm 7

. 500











 









r M ma mu

r

GmM

c

u









超大黑洞

ly) /

m 10

46 . 9 )(

ly 100

(  ¹⁵

 r

敬請期待

Path difference vs. phase

difference

The earth’s bow shock