實質選擇權評價供水及污水系統BOT計畫－最低營收保證複式選擇權

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(1)國立交通大學土木工程學系碩士論文實質選擇權評價供水及污水系統 BOT 計畫－最低營收保證複式選擇權. 研究生：鄭偉廷指導教授：黃玉霖博士. 中華民國九十四年八月.

(2) 實質選擇權評價供水及污水系統 BOT 計畫－最低營收保證複式選擇權. 研究生：鄭偉廷. Student：Wei-Ting Cheng. 指導教授：黃玉霖. Advisor：Dr. Yu-Lin Huang. 國立交通大學土木工程學系碩士論文. A Thesis Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Civil Engineering August 2005 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十四年八月.

(3) 實質選擇權評價供水及污水系統 BOT 計畫－最低營收保證複式選擇權. 研究生：鄭偉廷. 指導教授：黃玉霖博士. 國立交通大學土木工程學系（研究所）碩士班. 摘要 BOT 基礎建設投資計畫通常含有許多風險，政府為了社會公利與民間利益之平衡，通常會給予特許公司保證政策以吸引民間參與公共建設。從選擇權的觀點來看，保證政策如同選擇權一樣，具有消除投資人下方風險的功能。在不確定性高的情況下，以實質選擇權方法來評價投資計畫較能表現出計畫的價值。本研究同時考慮投資選擇權及最低營收保證選擇權，建構複式選擇權評估模式。並以一個污水系統 BOT 計畫作為案例驗證。研究結果顯示：若只將投資選擇權與最低營收保證選擇權之價值相加會高估計畫之價值，需以複式選擇權評估模計算才能真正表現計畫的整體價值。. 關鍵詞：民營化，實質選擇權，複式選擇權，最低營收保證。. I.

(4) Valuation of the Real Options to Water and Wastewater System in BOT Project: Minimum Revenue Compound Option. Student：Wei-Ting Cheng. Advisor：Dr. Yu-Lin Huang Department of Civil Engineering National Chiao Tung University. Abstract. BOT infrastruct projects usually involve substantial risks. In order to balance public benefits, host governments often provide guarantees in BOT infrastructure projects to attract private sector investors. From the options perspective, a guarantee and an option are similar in sense that they can provide a downside protection to their holders. A real options approach is proposed to recognize and capture project values hidden in dynamic uncertainties. This article develops a BOT project investment evaluation model that considers investment and minimum revenue guarantee decisions as compound options. A wastewater system in BOT project is used as a real case to apply the derived models. The results show that the project value of option to investment and minimum revenue guarantee are not straight additive, due to the interaction between these two options.. Keywords: BOT, real options, compound options, minimum revenue guarantee.. II.

(5) 誌謝. 本文承蒙指導教授黃玉霖博士的悉心指導，在此謹致上由衷的敬意與謝忱。導師於研究生涯期間，對於論文研究給予啟發與建議，使我的眼光更加開拓。此外，特別感謝本校財金所許和鈞教授，在我修習財金所課程期間，提供許多專業的財金知識，並給予論文寶貴的建議，使我的論文得以更加完繕。在研究所求學過程中，感謝蒔霈、鍵銘、明聰、俊男、志平、倫及二位世宏學長給予我精神上的支持與鼓勵，以及謝謝哲輝、育霖、冠文、銘利、明祥、奉宜、正倫、政曉、文彬、威榤和佩茹在這段時間與你們相處，使我在新竹的二年日子過的更加充實與快樂。謝謝學弟們在我碩二最繁忙時侯，將組上的事務及活動處理的很好，使我能專心作研究。最後，謹將此論文獻給我敬愛的父母與家人，感謝他們無微不至的關懷與照顧。. III.

(6) 目錄摘要 _____________________________________________________________________ I Abstract __________________________________________________________________II. 誌謝 ____________________________________________________________________ III 目錄 ____________________________________________________________________ IV 圗目錄 __________________________________________________________________ VI 表目錄 _________________________________________________________________ VII 第1章. 緒論 ___________________________________________________________ 1. 1.1. 研究動機 _______________________________________________________________ 1. 1.2. 研究目的 _______________________________________________________________ 1. 1.3. 研究方法與步驟 _________________________________________________________ 2. 1.4. 研究流程 _______________________________________________________________ 3. 1.5. 研究架構 _______________________________________________________________ 3. 第2章 2.1. 文獻回顧 _______________________________________________________ 5 BOT 模式 _______________________________________________________________ 5. 2.1.1. BOT 的定義 _________________________________________________________________ 5. 2.1.2. 國外 BOT 配套措施 ___________________________________________________________ 7. 2.2. 選擇權 ________________________________________________________________ 10. 2.2.1. 選擇權介紹 _________________________________________________________________ 10. 2.2.2. 買權賣權等價理論 ___________________________________________________________ 12. 2.2.3. Black-Scholes 模型 ___________________________________________________________ 13. 2.3. 實質選擇權分析 ________________________________________________________ 15. 2.3.1. 實質選擇權定義 _____________________________________________________________ 15. 2.3.2. 傳統計畫評估與實質選擇權評估 _______________________________________________ 17. 2.3.3. 實質選擇權應用於 BOT 相關文獻 ______________________________________________ 18. 第3章. 投資選擇權評估模式 ____________________________________________ 20. 3.1. 供水及污水系統簡介 ____________________________________________________ 20. 3.2. 投資選擇權基本說明與假設 ______________________________________________ 22. 3.3. 模型建構 ______________________________________________________________ 23. 3.4. 投資選擇權評估模式求解 ________________________________________________ 26. IV.

(7) 3.5. 第4章. 放棄投資選擇權 ________________________________________________________ 35. 最低營收保證選擇權評估模式 ____________________________________ 36. 4.1. 基本說明及假設 ________________________________________________________ 36. 4.2. 最低營收保證選擇權模式建構 ____________________________________________ 37. 4.3. 最低營收保證選擇權模式求解 ____________________________________________ 39. 第5章. 投資及最低營收保證複式選擇權評估模式 __________________________ 42. 5.1. 基本說明及假設 ________________________________________________________ 42. 5.2. 模式建構 ______________________________________________________________ 43. 5.3. 模式求解 ______________________________________________________________ 45. 第6章 6.1. 案例分析 ______________________________________________________ 56 案例說明 ______________________________________________________________ 56. 6.1.1. 興建計畫 ___________________________________________________________________ 56. 6.1.2. 基本假設 ___________________________________________________________________ 57. 6.1.3. 資本支出假設 _______________________________________________________________ 59. 6.1.4. 資金來源規劃假設 ___________________________________________________________ 61. 6.1.5. 營運收入假設 _______________________________________________________________ 62. 6.1.6. 營運費用假設 _______________________________________________________________ 66. 6.2. 投資選擇權分析 ________________________________________________________ 69. 6.3. 最低營收保證選擇權分析 ________________________________________________ 76. 6.4. 投資及最低營收保證選擇權分析 __________________________________________ 83. 6.5. 投資選擇權與最低營收保證選擇權之關係 __________________________________ 90. 6.6. 選擇權價值與標準差之關係 ______________________________________________ 92. 第7章. 結論與建議 ____________________________________________________ 95. 7.1. 結論 __________________________________________________________________ 95. 7.2. 建議 __________________________________________________________________ 95. 參考文獻 ________________________________________________________________ 97. V.

(8) 圗目錄圗 1-1 研究流程 _________________________________________________________________________ 3 圖 2-1 買進買權 ________________________________________________________________________ 11 圖 2-2 買進賣權 ________________________________________________________________________ 11 圖 2-3 賣出買權 ________________________________________________________________________ 12 圖 2-4 賣出賣權 ________________________________________________________________________ 12 圖 3-1 典型的供水系統配置 ______________________________________________________________ 21 圖 3-2 典型的污水系統配置 ______________________________________________________________ 21 圖 3-3 投資選擇權示意圖 ________________________________________________________________ 22 圖 4-1 最低營收保證選擇權示意 __________________________________________________________ 36 圖 6-1 各類選擇權計算之 BOT 計畫價價值 _________________________________________________ 90 圖 6-2 投資與最低營收保證選擇權關係示意圖 ______________________________________________ 91 圖 6-3 不同標準差下各類型選擇權之價值 __________________________________________________ 92 圖 6-4 原始營運收入與有最低營收保證下營運收入比較 ______________________________________ 93. VI.

(9) 表目錄符號說明 ________________________________________________________________________________ 1 表 2-1 民間參與公共建設之類型與意義 _____________________________________________________ 6 表 2-2 各國政府提供 BOT 計畫案例補貼措施 ________________________________________________ 8 表 2-1 各國政府提供 BOT 計畫案例補貼措施(續)_____________________________________________ 9 表 2-3 實質選擇權的類型 ________________________________________________________________ 16 表 6-1 污水處理廠分年資本支出 __________________________________________________________ 60 表 6-2 管線分年資本支出 ________________________________________________________________ 60 表 6-3 總開發金額彙整 __________________________________________________________________ 61 表 6-4 資金來源與資金用途 ______________________________________________________________ 61 表 6-5 計畫污水處理量預估 ______________________________________________________________ 63 表 6-5 計畫污水處理量預估(續) __________________________________________________________ 64 表 6-5 計畫污水處理量預估(續) __________________________________________________________ 65 表 6-6 投資選擇權基本參數假設 __________________________________________________________ 69 表 6-7 分年委託服務費用金額 ____________________________________________________________ 70 表 6-7 分年委託服務費用金額(續) ________________________________________________________ 70 表 6-7 分年委託服務費用金額(續) ________________________________________________________ 71 表 6-8 投資選擇權價值計算 ______________________________________________________________ 72 表 6-8 投資選擇權價值計算(續) __________________________________________________________ 73 表 6-8 投資選擇權價值計算(續) __________________________________________________________ 74 表 6-9 投資選擇權計算結果彙整 __________________________________________________________ 75 表 6-10 營收保證選擇權基本參數假設 _____________________________________________________ 76 表 6-11 有最低營收保證之營運收入計算 ___________________________________________________ 77 表 6-11 有最低營收保證之營運收入計算(續) _______________________________________________ 77 表 6-11 有最低營收保證之營運收入計算(續) _______________________________________________ 78 表 6-14 最低營收保證選擇權價值計算 _____________________________________________________ 79 表 6-14 最低營收保證選擇權價值計算(續) _________________________________________________ 80 表 6-14 最低營收保證選擇權價值計算(續) _________________________________________________ 81 表 6-15 最低營收保證選擇權計算結果彙整 _________________________________________________ 82 表 6-16 投資及營收保證選擇權基本參數假設 _______________________________________________ 83 表 6-17 臨界值之計算 ____________________________________________________________________ 84 表 6-17 臨界值之計算(續) ________________________________________________________________ 84 表 6-17 臨界值之計算(續) ________________________________________________________________ 85 表 6-18 投資及最低營收保證複式選擇權價值計算 ___________________________________________ 86 表 6-18 投資及最低營收保證複式選擇權價值計算(續)________________________________________ 87 表 6-18 投資及最低營收保證複式選擇權價值計算(續)________________________________________ 88 表 6-19 投資及最低營收保證複式選擇權計算結果彙整 _______________________________________ 89. VII.

(10) 表 6-20 最低營收保證選擇權計算結果彙整 _________________________________________________ 90 表 6-21 不同標準差下各類型選擇權之價值 __________________________________________________ 92 表 6-22 各種情境下之 BOT 計畫價值 ______________________________________________________ 93. VIII.

(11) 符號說明. R. ：營運收入. I. ：投入成本. M. ：最低營收保證收入. µ. ：計畫折現率. α. ：營運收入預期成長率. σ. ：營運收入預期成長率標準差. ε. ：成本預期成長率. ξ. ：最低營收保證收入預期成長率. δR. ：營運收入成長率不足折現之差額. δI. ：成本成長率不足折現之差額. δM. ：最低營收保證成長率不足折現之差額. Ω. ：投資組合. r. ：無風險利率. t. ：興建期之時間. Ti. ：營運期之時間, i=1,2,3…. H (v). ：單位步階函數. N (i). ：標準常態分配累積機率函數. F ( R, I ;0 ) f G ( R, M ;0 ) FG ( R, I , M ;0 ) N ( x, y ; ρ ) X. ：投資選擇權 (單一選擇權) ：放棄投資之價值：最低營收保證擇權 (單一選擇權) ：投資及最低營收保證選擇權 (複式選擇權) ：二元標準常態分配累積機率：臨界值. 1.

(12) 第1章. 緒論. 1.1 研究動機由於公共建設具有投入金額龐大、風險高、回收期長等特質，且民間業者主導或控制專案外部效益的權利易受侵犯或剝奪、預期獲得的專案內部效益價值不高，導致民間參與公共建設的投資意願低落。但在良好的 BOT 機制及配套措施下，政府則能借重民間的技術及效率來興建或營運公共建設，除了可以減輕政府的財政負擔，亦可為民間業者帶來商機，帶動國家的經濟發展。政府為了促進國家經濟建設之發展，在「政府最大的審慎」的原則下鼓勵「民間最大的參與」，先後制定了「獎勵民間參與交通建設條例(Statute for Encouragement of Private Participation in Transportation Infrastructure Projects)」及「促進民間參與公共建設法(Act for Facilitation of Private Participation in Infrastructure Projects)」以利民間參與公共建設政策之推動。「促參法」與「獎參條例」均提供了民間參與公共建設(Private Participation in Infrastructure, PPI)相當完備的政策配套措施；包括土地取得與開發協助、資本金融市場開放、資金取得協助與租稅優惠、風險分擔等…。而最低營收保證即是在風險分擔項目中的營運風險部分，政府提供最低營收保證的調節機制來分擔營收風險。對於含有高度不確定性的 BOT 投資計畫，傳統的 NPV 法無法適當地表達在投資決策上的彈性，只以 NPV 法來評估投資計畫似乎不足以因應外在環境的改變。從選擇權的觀點來看，投資決策可視為一個買權，最低營收保證可視為一個賣權。因此，若在評估投資計畫時能加入實質選擇權的觀念，可彌補 NPV 法的不足，將能完整展現 BOT 投資計畫的價值。因此本研究嘗試以實質選擇權評價法，來評估在有提供營收保證下，計算投資 BOT 計畫之彈性價值。. 1.2 研究目的本研究的主要目的包括：一、運用實質選擇權分析的觀念於 BOT 投資計畫，以 Black-Schole 選擇權評價模式評估 BOT 計畫投資價值。二、對於政府提供 BOT 投資計畫之最低營收保證承諾，以 Black-Schole 選擇權評 1.

(13) 價模式評估含有最低營收保證之 BOT 投資計畫價值。三、以 Geske 的複式選擇權評估在擁有最低營收保證選擇權下，投資 BOT 投資計畫價值的選擇權價值。四、透過案例驗證，以瞭解實質選擇權評價方法如何應用於供水及污水系統 BOT 投資計畫。. 1.3 研究方法與步驟本研究將透過下列方法及步驟進行：一、文獻蒐集與回顧：彙整有關民間參與公共建設及選擇權等理論文獻，蒐集 BOT 模式及實質選擇相關期刊論文，研讀瞭解觀念及研究成果，加以歸納整理。二、問題分析：本研究重點在於利用選擇權的觀對於 BOT 投資計畫進行研究，以實質選擇權評價模式分析 BOT 計畫之投資與否以及政府提供最低營收保證的價值問題。最後以複式選擇權的觀念來分析在投資選擇權下，擁有最低營收保證之投資價值。三、評價模式推導建立 BOT 投資計畫投資與最低營收保證之 Black-Scholes 偏微分方程式，並求推導出 Black-Scholes 實質選擇權評價模式。再以 Geske 複式選擇權分析結合投資及最低營收保證選擇權，推導投資及最低營收保證複式選擇權評價模式。四、模式之驗證使用高雄市楠梓區污水下水道系統之財務可行性分析資料進行投資選擇權、最低營收保證選擇權、投資及最低營收保證複式選擇權評價模式之驗證，並與傳統 NPV 法作比較。五、結果分析對於實質選擇權評價模式之驗證結果進行探討。. 2.

(14) 1.4 研究流程本研究之研究流程如圖 1-1 所示：研究動機與目的. 研究問題. 文獻蒐集與回顧. 選擇權理論. 實質選擇權分析. BOT模式. 投資選擇權模式建構. 最低營收保證選擇權模式建構. 複式選擇權模式建構案例分析. 結論與建議. 圗 1-1 研究流程. 1.5 研究架構本研究論文共分為五章，各章內容敘述如下：第一章. 緒論說明本研究之研究動機、目的、方法與流程。. 第二章. 文獻回顧. 3.

(15) 蒐集傳統投資評估與實質選擇權評估之相關文獻並加以整理。第三章. 投資選擇權評估模式利用 B-S 模式來建構 BOT 計畫投資選擇權評估模式。. 第四章. 最低營收保證選擇權評估模式利用 B-S 模式與買權賣權等價理論建構 BOT 計畫最低營收保證選擇權評估模式。. 第五章. 投資及最低營收保證選擇權評估模式利用 Geske 複式選擇權模式建構 BOT 計畫投資及最低營收保證複式選擇權評估模式。. 第六章. 案例分析以高雄市楠梓污水下水道系統 BOT 計畫為例進行投資選擇權、最低營收保證選擇權及投資及最低營收保證複式選擇權進行分析。. 第七章. 結論與建議對於 BOT 計畫投資選擇權、最低營收保證選擇權及投資及最低營收保證複式選擇權分析之結果，提出結論與建議。. 4.

(16) 第2章文獻回顧 2.1 BOT 模式 2.1.1 BOT 的定義所謂 BOT，乃是“興建-營運-轉移＂(Build-Operate-Transfer)的縮寫，原意是由民間機構投資興建公共建設，並取得經營權，營運一段時間，待投資完全回收後，再將該建設的資產移轉給政府，同時喪失經營權。 BOT 之理論起源自英國經濟學家 E. Chadwick (1800-90)“competition-for-the-field＂的原理；該原理利用特許競標(concession tendering)以解決公共設施的壟斷和惡性競爭問題。而後，美國經濟學家 H. Demsetz 重新將之發揚光大，倡導利用特許權競標以取代管制(economic regulation)，避免管制所引發之行政及效率問題。1979 年英國首相柴契爾 (Margaret Thatcher)一方面推動「3Es」改革，即注重經濟(economy)、效率(efficiency)及效能(effectiveness)來改善財務管理；另一方面積極推重國營事業民營化，使民營化的風潮擴展至世界各地，促成現在所謂的 BOT 模式。事實上，BOT 只是民間參與公共建設(Private Participation in Infrastructure, PPI)的一種特許模式(concession model)。所謂民間參與公共建設，乃是民間機構透過競標或申請、審核等公開程序，取得參與公共建設的權利，並承諾履行該公共建設之籌辦、資金取得、興建、營運及轉移等工作之全部或部份義務；而參與投資權利之取得，主要係透過特許競標。除了 BOT 之外，尚有很多其他民間參與公共建設的方式，如 BO、BOO、 BOOT…等，整理如表 2-1。. 5.

(17) 表 2-1 民間參與公共建設之類型與意義類型 1. 2. 3. 意義. BO. 政府賦予民間機構超統包(duper-turnkey)的責任，並在雙方. (Build-Operate). 合意的費用協議下，賦予其營運與維修之義務. BOO. 由民間機構興建並擁有所有權，自為營運或委託第三人營. (Build-Own-Operate). 運. BOOT. 由民間機構興建並擁有所有權，自為營運或委託第三人營. (Build-Own-Operate-Transfer). 運一段時間後，將所有權移轉政府在開發中國家，由於技術較落後，公共建設於民間(通常為. 4. BOOTT (Build-Operate-Own-Transfer-Training). 外商)營運期滿後交還政府，須特別加強技術之訓練與傳承，因而多加一項訓練的要求 BOT 特許期滿後，專案公司將專案之公共設施移轉政府，. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. BOTO’T (O’T 代表第二階段之後的營運循環). 政府可以自行負責營運，亦可尋覓其他適當廠家，進行另一循環之營運合約. BT. 由民間機構籌資興建，待工程部分或全部完工後，政府再. (Build-Transfer). 一次或分次償還工程款；或稱延遲付款(deferred payment). BTO. 由民間機構籌資興建完成後，先將公共建設所有權轉移予. (Build-Transfer-Operate). 政府，再由該民間機構營運一段時間. BTL. 由民間機構籌資興建完成後，先將公共建設所有權移轉予. (Build-Transfer-Lease). 政府，再由政府出租予民間機構使用. BLT. 由民間機構籌資興建完成後，將公共建設租予政府使用，. (Build-Lease-Transfer). 待租期屆滿後，一併將所有權移轉政府. OT. 政府將已興建完成之公共建設，委託民間機構經營一定期. (Operate-Transfer). 限後，移轉予政府；或稱「公有民營」或「公辦民營」. ROT. 政府將老舊的公共建設交由民間機構投資改建或增建，待. (Refurbish-Operate-Transfer). 營運一段時間，再將所有權移轉政府. ROO. 政府將老舊的公共建設交由民間機構投資改建或增建，民. (Refurbish-Own-Operate). 間機構於完工後擁有該建設之所有權並為營運. LROT. 由民間機構向政府承租老舊公共建設，並為投資改建或增. (Lease-Refurbish-Operate- Transfer). 建，待營運一段時間，再將所有權移轉政府民間機構興建完成後，不直接向使用者收費，而是依據公、. 14. DBFO. 私部門雙方同意的計價方式計算出影子費率 (shadow. (Design-Build-Finance-Operate). rate)，並載入特許契約，在特許營運期間內，由政府編列的預算直接依契約支付費用于特許公司. 資料來源：參考 Huang(1995)、劉憶如、王文宇、黃玉霖(2000)、陳宥杉(1999)。. 6.

(18) 2.1.2 國外 BOT 配套措施由於民間業者參與公共建設往往牽涉層面複雜且投資金額龐大，因此各國政府均會直接或間接提供配合措施，以降低民間業者的投資風險，提高參與公共建設之意願。各國對 BOT 專案所以供配合措施，以下七種為主： 1.支援性貸款(support loans) 政府提供支援性貸款給參與 BOT 的民間公司，使其順利取得資金。 2.最低營收保證(minimum operating revenue guarantee) 政府為了確保民間公司參與之意願，提供最低營收保證以確保特許公司在營運時有最低收益的保障。 3.經營現有設施特許權(concession to operate existing facility) 政府提供參與 BOT 的特許公司經營現有設施的特許權，以降低特許公司的融資需求。 4.營運自主性(commercial freedom) 政府為提高民間參與 BOT 之意願，提供營運上之自主性或半自主性的保證，包括可以自主或半自主調整費率的權利。 5.匯兌保證(foreign exchange guarantee) 開發中國家籌措鉅額之建設資金，往往須引進國外資金，因此政府提供外匯保證以吸引外資參與建設。 6.利率保護(interest rate guarantee) 政府為避免特許公司因利率上升而超支的利息費用，提供利率上升超過某程度時，將補償特許公司因利率上升而超支的利率費用。 7.無相同競爭設施保證(no second facility guarantee) 政府為提高民間參與 BOT 之意願，承諾在幾年內不興建相同競爭設施的保證。. 7.

(19) 表 2-2 各國政府提供 BOT 計畫案例補貼措施英法海底隧道. 馬來西亞高速公路. 香港東區海底隧道. 澳洲雪梨過港隧道. 泰國曼谷第二高速公路. 台灣南北高速鐵路. 120. 18. 5.65. 5.5. 8.8. 125. 8% 30 年 (1988~2018). 28% 公路部份 30 年鐵路部份 20 年 (1986 起算) N.A. 獲利良好. 2900 萬權利金 30 年 1992~2022). 20% 30 年 (1988~2018). 25% 35 年 (1998~2033). 預估稅前報酬率. 20% 原為 55 年後來延長為 99 年 (1987~2086) 15% 目前為虧損. 15%. IRR 約 14%. 費率制定. 自由調整. 依物價指數調整. 由政府與道路公司協商訂定. 6% (通貨膨脹率平減後) 由政府制訂，因應物價調漲上限為澳幣 0.5 元. 由政府制訂，且 15 年內調幅不能超過美金 0.8 元. 融資來源. 從 209 家跨國銀行聯貸 85 億美金. 從國內 45 家民營銀行聯貸，佔總資金比例 56%. 最低營收保證. 政府簽約買斷 50% 之運量. 經營期前 17 年有最低營收保證. 道路鐵路分開融資，72 %資金採計畫性融資方式取得，鐵路部份以長期租賃契約方式向香港捷運局取得 9 億港幣之擔保 N.A.. 依交通部費率委員會所訂基本費率與調整機制進行訂價，基本費率調整須經交通部同意政府提供中長期資金透過銀行辦理貸款協助但不保證成功，最後透過政府、銀行、高鐵三方協議之基礎完成融資安排無. 專案名稱建造成本 (億美元) 自有資金要求特許期間. 12~17%. 50%資金以發行 30 年期國內公債方式籌措. 從國內取得資金貸款與股權融資. 有. 無. 資料來源：國道新建工程民營化(BOT)之研究－台中環線段民營化策略規劃及資訊備忘錄附錄 C，1994 年。. 8.

(20) 表 2-1 各國政府提供 BOT 計畫案例補貼措施(續) 外匯保證 (補貼). 無. 利率保證. 無. 政府其他特別補貼. 無. 政府特別立法. 海峽隧道法案. 政府提供貸款 /投資. 無. 土地取得無競爭之保證. 無土地取得問題英法政府承諾 33 年內不再興建類似隧道興建中發生財務困難，經政府協助，銀行貸款改為股本投資. 其他. 無. 無. 無. 無. 可採利率上限選擇權規避利率風險. 無. 無. 無. 特許經營者免稅. 無. 無. 設立 BOT 專責委員會政府提供資金 19% 之優惠貸款，15 年免稅，10 年年利率 8%，由政府取得無. 東區過港隧道條例. N.A.. 可以和政府共同分享第一高速公路的營收通案立法. 香港政府投資 5%. 政府提供佔資金 45%額度之無息貸款. 政府同意持股 49%. 獎參條例規定，政府基金及公營事業投資上限為 20%. 由政府取得無. 無土地取得問題 N.A.. 特許公司負責取得無. 特許公司需提撥一定金額之維護保證金；特許公司可於週邊土地經營附屬事業. 特許公司主要由承包商(64.9%)、香港政府(5%)、銀行團 (5.5%) 與信託投資公司 (24.5%) 等組成。. 營運期間政府提供償付債券持有人之擔保. 特許公司與政府分享兩條高速公路營收之比例，每九年更改一次. 由政府取得政府不再興建西部走廊第二條南北高速鐵路政府不補貼自償率不足之虧損，高鐵每年稅前盈餘 10% 回饋政府總計不低於 1080 億元，35 年期滿政府無償收回。. 匯率下跌超過 15%，由政府補貼損失當利率上升超過 20%時，可由償債本金中扣除超支利息無. 9. 通案立法.

(21) 2.2 選擇權 2.2.1 選擇權介紹選擇權(options)是一種衍生性證券(derivate security)，當契約買方付出權利金 (premium)後，享有在特定期間內向賣方以約定的價格買入或賣出一定數量標的資產（underlying asset）的權利。在此強調選擇權是給予持有者買入或賣出標的資產的權利，而非是義務，因此持有者不一定要執行此權利。有關選擇權的重要名詞解譯如下： 1.履約價格(exercise price) 選擇權契約中，在特定期間內以約定的價格買賣某一定數量標的資產，此約定的價格稱為履約價格或執行價格(strike price)。 2.到期日(maturity) 選擇權契約中，在特定期間內以約定的價格買賣某一定數量標的資產，此特定的期間稱為到期日或失效日(expiration date)。 3.標的物資產(underlying asset) 目前在集中市場交易的選擇權其標的資產主要是：股票、股價指數、外幣及期貨約契；實質選擇權的交易標的為實質資產。 4.美式選擇權(American option) 選擇權可以在到期日前的任何時間執行稱為美式選擇權。 5.歐式選擇權(European option) 選擇權只可以在到期日當天執行稱為歐式選擇權。 6.買權(call option) 買權給予持有者在到期日前以履約價格買入標的資產的權利。 7.賣權(put option). 10.

(22) 賣權給予持有者在到期日前以履約價格買入標的資產的權利。 8.選擇權的部位(options positions) 每個選擇權契約都有兩方，一方是買了選擇權的投資人，一方是賣出選擇權的投資人。選擇權的出售者先收取現金，但之後則有潛在的負債，出售者的利潤或損失剛好相反。如果 K 是履約價， ST 是標的資產的最終價格，選擇權部位有四種形式： (1)買進買權買進買權的損益是： max ( ST − K , 0 ). 圖 2-1 買進買權 (2)買進賣權買進賣權的損益是： max ( K − ST , 0 ). 圖 2-2 買進賣權 11.

(23) (3)賣出買權賣出買權的損益是： − max ( ST − K , 0 ) = min ( K − ST , 0 ). 圖 2-3 賣出買權 (4)賣出賣權賣出賣權的損益是： − max ( K − ST , 0 ) = min ( ST − K , 0 ). 圖 2-4 賣出賣權. 2.2.2 買權賣權等價理論買權賣權等價理論(put-call parity)公式最早是由美國財務學家 Stoll 在 1969 年所推導出來的。公式表示如下：. 12.

(24) C + Ke − rT = S0 + P 其中： C 為一歐式買權. Ke− rT 為折現後之現金金額 P 為歐式賣權. S0 為一股現股此公式的意義表示：對相同標的資產、同一履約價格、同一到期日之買權賣權而言，在某個時點的買權、賣權相對價格應該等於當時股價減去履約價格之折現，否則會有套利的機會產生。. 2.2.3 Black-Scholes 模型 1970 年早期，Fisher Black, Myron Scholes 及 Robert Merton 在股票選擇權的定價上有重要的突破，即推導出 Black-Schole 選擇權定價模型，此模型對交易員進行選擇權之評價及避險影響甚大。Robert Merton 及 Myron Scholes 在 1977 年獲得諾貝爾經濟學獎，奠定了 1980 年代及 1990 年代財務工程蓬勃發展的基礎。 Black、Scholes 及 Merton 建立一個包括衍生性金融性商品及股票的無風險投資組合，在無套利機會的情況下，該投資組合的報酬會等於無風險利率，導出 Black-Scholes-Merton 微分方程式，基本的假設如下： 1.股價遵循幾何布朗運動，其中平均值 µ 及標準差 σ 為常數； 2.賣空證券的收入可以全部使用掉； 3.沒有交易成本稅，所有的證券可以完全分割； 4.在衍生性商品的契約期間內，沒有發放現金股利； 5.無風險的套利機會是不存在的； 6.證券交易為連續的； 7.無風險率利為常數，且在到期日前都維持不變。. 13.

(25) Black-Scholes 定價公式如下： C = S0 N ( d1 ) − Ke − rT N ( d 2 ). 其中： d1 =. d2 =. (. ). ln ( S0 K ) + r + σ 2 2 T. σ T. (. ). ln ( S0 K ) + r − σ 2 2 T. σ T. = d1 − σ T N ( i ) 為標準常態分配的累積分配函數. C 為歐式買權價格. S0 為初始股價 K 為履約價格 r 為連續複利的無風險利率. σ 為股價波動率 T 為選擇權距到期日的時間. N (d1 ) 為避險比率(hedge ratio) N (d1 ) 為到期時股價大於履約價格的機率. 14.

(26) 2.3 實質選擇權分析 2.3.1 實質選擇權定義實質選擇權乃將已發展出的選擇權觀念延伸到實質資產投資的評價，實質資產包括了土地、建築物、工廠…等等，而且通常會有附加的選擇權。 Trigeorgis(1996)將實質選擇權歸納成以下幾種類型： 1. 遞延選擇權(option to defer) 又稱為等待選擇權(option to wait)，投資人擁有延遲投資計畫的權利，可等待時機較佳時再進行投資，可視為一美式買權。 2.延續性投資選擇權(time-to-build option) 大部分的長期投資計畫中常具有階段性，在這期間中由於新資訊產生，故需重新評估投資計畫之可行性及價值，而每一期投入的成本可視為取得下一期投資的機會，可視為複式選擇權。 3.改變營運規模選擇權(option to alter operating scale) 可分為擴張選擇權(option to expand)、緊縮選擇權(option to contract)及暫時中止選擇權(option to shut down)三種。管理者可視的市場景氣的變化，隨著需求量的大小，來決定是否擴張、緊縮或暫時中止營運。 4.放棄選擇權(option to abandon) 當市場清況惡化，使投資計畫出現鉅額顧損或營運上產生嚴重困難時，投資人可考慮是否結束投資計畫，可視為一美式賣權。 5.轉換選擇權(option to switch) 投資方案執行過種中，管理者可依據市場需求的變化，來決定最有利的投入與產出，即管理者擁有一個轉換與否的選擇。 6.成長選擇權(growth option). 15.

(27) 當投資計畫效益良好，可選擇是否擴張營運規模以獲得更多利潤，可視為一美式買權。 7.多重交互影響選擇權(multiple interacting options) 此為複式選擇權的延伸，由遞延選擇權、延續性投資選擇權、改變營運規模選擇權、放棄選擇權、轉換選擇權、成長選擇權、多重交互影響選擇權等各種選擇權組合所產生。各類實質選擇權之特徵及適用情境整理如表 2-5：表 2-3 實質選擇權的類型. 種類. 遞延選擇權. 延續性投資選擇權. 改變營運規模選擇權. 放棄選擇權. 轉換選擇權. 成長選擇權. 多重交互影響選擇權. 特徵. 管理者持有一個有價土地或資源. 適用情境. 自然資源、萃取物產物、. 的租約，可等待至直到產出價格與不動產開發、農業與紙業分期投資將一系列的費用支出，當 R&D 密集產業，特殊製新資訊不利時，考慮放棄目前進行藥、長期開發且資本密集若市場的條件比預期有利，則公司自然資源產業、循環性設擴充生產；反之若條件比預期差，備規劃、建設業、流行服若市場條件劇烈下跌，可放棄繼續資本密集產業、不確定市營運並變賣資本設備和資產。. 場中開發新產品. 若價值或需求改變，管理者能藉由輸出替換：玩具、機械零設備的混和改變產出或是相同的. 件、汽車. 投資計畫連結一未來有開發可魴. 基礎建設、策略產業、高. 的有相關計畫鏈. 科技、R&D、應用產品. 計畫通常包含不同的選擇權。. 以上所有產業均有可能. 資料來源: Trigeorgis(1996). 16.

(28) 2.3.2 傳統計畫評估與實質選擇權評估淨現值法是企業進行投資決策時廣泛使的用的工具，但淨現值法仍有其缺點。 Klammer(1922)對一百多家大型企業的調查指出，1959 年時僅有 19%企業使用淨現值法，但至 1970 年時，使用比例已高達 57%。Schall, Sundem 和 Geijsbeek 於 1978 年對 424 家大型企業的研究結果，使用淨現值法的企業比例更高達 86%。Hayes 和 Garvin(1982) 指出 1959 年到 1975 年間，使用淨現值的企業比例由 19%成長到 94%，但企業在 R&D 費用與資本投資逐年下降，造成企業喪失競爭力。雖然淨現值法與實質選擇權法均考慮專案存續期間所有的現金流量，並將現金流量以資金的市場機會成本折現，但此二法最大的不同是在於淨現值法只是實質選擇權法的特例，是假設無決策彈性的特殊情況下。傳統淨現值法與實質選擇權法評估之比較文獻有下： Trigeorgis 和 Mason(1987)指出傳統淨現值法的問題在於，當不確定因素消失且未來情況並非如預期時，無法完全地衡量投資的價值。當市場情況佳時，管理者可擴大投資規模，以獲得更多利潤；當市場情況不佳時，則縮減投資規模或放棄投資計畫。因此投資計畫具有上方潛在利益無限而下方損失有限的不對稱性，Trigeorgis 和 Mason 稱投資計畫的價值為擴張的淨現值(expended NPV)，應包含傳統的淨現值再加上管理彈性所產生的選擇權價值公式表示如下：擴張的淨現值 = 淨現值 + 實質選擇權價值 (Expanded NPV = Static NPV + Value of Real Option) Paddock, Siegel 和 Smith (1988) 搜集公司對發展海上油田租賃權利的競標資料，分別利用官方現金流量折現模型及延遲選擇權計算租賃價值。結果發現兩種模式評估出的價值與得標結果高相關，但一般而言，理論價值只有實際得標價值的一半，而延遲選擇權計算可得出較高的價值。 Baily (1991) 使用 1983 年至 1985 年 7 家棕櫚油及橡膠園的股價來比較實質選擇權及現金流量折現法。7 家中的 6 家，實質選擇權法比現金流量折現法更符合真實的股價。 Dixit 和 Pindyck (1993) 指出傳統現金流量折現法所計算出的財務指標忽略了投資計畫具不可回復(irreversible)的時性、環境是不確定的及有些投資是可延遲的(deferrable) 17.

(29) 等特性。 Quggi (1993)研究西雅圖 2700 家土地交易商，發現實證支持包含期待土地開發的選擇權模式，尚未開發的土地擁有者具有可在未來適當時機建造合適建築的永續選擇權。 Moel 和 Tufano (2000) 研究 1988 至 1997 年間 285 家北美已開採的黃金礦區每年營業開始與結束的決策，發現有強力證據支持以實質選擇模式解釋開始與結束決策是有效的。 Alexander B.及 Ian C.(2005)指出實質選擇權和現金流量折現法並非是互斥的估價方法，相反地，現金流量折現分析和實質選擇權具有互補性，而且方案的總價值是兩者價值的總和。Alexander B.及 Ian C.並發現絕大部分的成本投資方案都是位於現金流量折現分析和實質選擇權之間，而此種方案即在所謂的選擇權區中，並提出價價公式如下：方案總價值 = 淨現值 + 調整後選擇權價值 + 撤銷價值 TPV = NPV + AOV + ABV 其中：AOV 為調整後選擇權的價值(adjusted option value) ABV 為撤銷價值(abandonment value). 2.3.3 實質選擇權應用於 BOT 相關文獻雖然 BOT 計畫具有投入金額龐大，風險高，回收期長等特質。但由於 BOT 計是由民間來主導，因此相對於傳統的政府採購模式，BOT 模式給與投資人較多的決策彈性。而實質選擇權便是一個能表現出決策彈性價值的方法，有關 BOT 投資計畫之文獻如下： Rose (1998) 以澳洲莫爾本高速鐵路 BOT 計畫為例說明，政府給予特許公司 33.5 年經營權，但若特許廠商稅後收入之內部報酬率高於 17.5%，則政府有終止特許期間的權利；另一方面政府也給予特許廠商一個遞延支付承租費的權利。研究結果顯示，政府的回收價值約澳幣 2,400 萬元，特許公司的遞延價值約澳幣 94,000 萬元；同時考量二個權利之淨價值約澳幣 79,700 萬元。 Mason 和 Baldwin (1988)認為政府的貸款保證對於工程承包商是一有價資產，對政府是一或有負債，該研究建議以或有求償權分析法探討實質選擇權價值。. 18.

(30) Tesiberg (1994) 利用選擇權定價模式來分析公用電廠興建的投資價值，指出資本投資往往忽略資本支出不可取消的性質及投資計畫未來的不確定性。研究結果顯示延後或放棄興建的決策具有彈性的價值。張大成和賴景昌 (2000) 利用實質選擇權分析法探討強制收買條款修改的經濟分析。該條款的修改就如同政府給予特許廠商一隨時可放棄營運的美式賣權，即放棄價值。模擬結果發現，此放棄價值約為總建構成本的 12.18%。周蒔霈 (2000) 利用實質選擇權理論建構 BOT 計畫籌辦始點投資選擇權評估模式與最低營收保證保證複式選擇權評估模式，以擴展淨現值的觀念，評估 BOT 計畫籌辦始點的選擇權價值。陳西華 (2003) 運用衍生性商品選擇工具，將國道北宜高速公路 OT 方案設計為類比，以 B-S 買權模式評價。此案在傳統現金折現法的計算下，NPV 為負 47.18 億元，以 B-S OPM 所計算之結果，基本情境之深度價外買權理論價格為 6.58 億元，顯示在不確定發展的正向離散波動性愈大，愈有投資機會。林達榮和柯娟娟 (2003) 在財務性效益評估前提下，應用實質選擇權法建構 BOT 模式下最適投資門檻值及最佳完工時間，研究顯示實質選擇權法在不確定營收狀況下，與一般傳統淨現值無法隨動態營收環境變化而進行彈性調整其經營策略，產生之差界為專案策略價值。張大成、周麗娟及劉宛怡 (2004) 運用 NPV 法則與實質選擇權分析法，探討台灣高速鐵路契約中收購保證及貸款保證條件，評估該 BOT 專案之價值。結果發現在不考慮政府保證條款下，該專案之靜態 NPV 為 36 億元，而如果考慮政府同時給予特許廠商收購保證與貸款銀行團貸款保證的情況下，則理論上應向特許廠商收取 2,520 億元費用。. 19.

(31) 第3章投資選擇權評估模式 3.1 供水及污水系統簡介供水及污水公用事業之主要投資物為資本設備。供水系統主要投資於供水、處理、輸水及配水設備，服務住家、商業、學校、及工業買主。污水系統的主要投資在集水、輸水、處理及配置設備。詳細說明如下：供水系統設施可分為集水、輸水、抽水、配水等五大項，各項主要設施包括： 1.集水工程(Collection works) (1)進水設備。 (2)蓄水庫、堤、壩。 2.輸水工程(Transmission works) 壓力管線、順坡管渠、隧道。 3.抽水工程(Pumping works) 低揚抽水機、高揚抽水機、加壓抽水機。 4.淨水工程(Purification works) 氣曝、混凝、沉澱、過濾、軟化、消毒、其他化學處理、淨水儲槽。 5.配水工程(Distribution works) 配水池、配水管網、用戶水管、制水閥、消防栓、室內衛生設備。. 20.

(32) 圖 3-1 典型的供水系統配置污水系統應包括以下三部分： 1.收集系統工程(Collection works) 或稱下水道系統，包括家庭排水管(House-connection)、支管(Lateral sewer)、分管 (Branch sewer)、小幹管(Submain)、總管(Main)、抽水設備。 2.處理系統工程(Treatment works) 污水廠各單元包括欄污柵、沉砂池、調和池、最初沉澱池、曝氣池、二次沉澱池、消毒設施，污水處理視其出水水質之需要，可分為初級處理(Primary treatment)、二級處理(Secondary treatment)、三級處理或高級處理(Tertiary or advanced treatment)。 3.出口或最後處置(Outfall or disposal works) 包括排放管。. 圖 3-2 典型的污水系統配置 21.

(33) 3.2 投資選擇權基本說明與假設本章以選擇權評價模式來評估特許公司投資 BOT 計畫之投資價值。以選擇權的觀點來看，當特許公司與政府簽約後，相當特許公司取得一個買權，此買權即是擁有投資的權利。特許公司在動工前，可以視未來的預測營運收入來決定是否要投資 BOT 計畫，如預測之營運收入大於所需投入的成本則可投資以獲得利潤；反之若營運收入之預測結果小於所需投入之成本則可選擇放棄投資的權利。此買權可以下圖表示：. 圖 3-3 投資選擇權示意圖基本假設如下： 1.計畫之營運收入遵守幾何布朗運動 2.計畫之投入成本為固定值 3.計畫一但執行後，就不能放棄投粢，標的物亦不作變更數學式可表示為：. F = Max ( 0, R − I ) 其中，F 為營收保證之價值； R 為營運收入； I 為總投入成本。. 22.

(34) 3.3 模型建構 Black 和 Scholes 自從 1973 年提出了第一個選擇權定價權式 (options pricing model; OPM) 後，衍生性金融商品的交易便從此蓬勃發展，並在芝加哥選擇權外匯交易所被使用。隨後 McDonald 和 Siegel(1986)等將 OPM 的概念運用於實質資產 (real assets) 之資本預算決策評估，發展出實質選擇權分析 (ROA) 應用於投資決策相關領域。本文仍以 Black 和 Scholes 的理論模型為中心，並結合 McDonald 和 Siegel 的變數變換轉換法，並根據上節對模型所設定的假設條件，開始進行供水及污水系統 BOT 計畫投資選擇權評價模式建構。首先對營運收入 R 及成本 I 作設定：營運收入 R 以專案計畫之預估淨營收為基礎，假設遵守幾何布朗運動 (geometric Brownian motion; GBM)，表示如下：. dR = α Rdt + σ Rdz. (3.1). = ( µ − δ R ) Rdt + σ Rdz 其中， α ：年平均收益之時間單位預期成長率；. σ ：年平均收益之平均成長率標差； dz ：標準韋那過程 (Wiener process) 之隨機增量；. σ R ：收益成長率不足折現率之差，即營收短少率。成本 I 為預估投入總成本，包括投資活動、營運活動及融資活動所產生之成本合計，表示如下：. dI = ε Idt = ( µ − σ I ) Idt 其中， ε ：年平均成本之時間單位預期成長率；. σ I ：成本成長率不足折現率之差。. 23. (3.2).

(35) 依據 Ito’s Lemma 定理，營運收入 R 及總投入 I 所衍生之 F ( R, I ; t ) 之微分將會服從：. ⎡ ∂F ∂F ∂F 1 ∂ 2 F 2 2 ⎤ ∂F εI + σ R ⎥ dt + σ Rdz ∆F = ⎢ α R + + 2 ∂I ∂t 2 ∂R ∂R ⎣ ∂R ⎦. (3.3). 再運用投資組合原理，建構無風險之投資組合 Ω (riskless portfolio) 如下： I.. 買入 1 單位的投資選擇權： − F. II. 賣出. ∂F ∂F 單位投資計畫營運收入： + R ∂R ∂R. III. 賣出. ∂F ∂F 單位的投資計畫成本： + I ∂I ∂I. 則此投資組合 Ω 之價值可表示為：. Ω = −F +. ∂F ∂F R+ I ∂R ∂I. (3.4). 在 ∆t 時間內，投資組合之變化量如下：. ∆Ω = −∆F +. ∂F ∂F ∂F ∂F dt + δ I I dt ∆R + ∆I + δ R R ∂R ∂I ∂R ∂I. (3.5). 將式(3.1)、(3.2)及(3.3)代入上式，得：. ⎡ ∂F ∂F ∂F 1 ∂ 2 F 2 2 ⎤ ∂F εI + σ R ⎥ dt − σ Rdz ∆Ω = − ⎢ α R + + 2 ∂I ∂t 2 ∂R ∂R ⎣ ∂R ⎦ ∂F + [α Rdt + σ Rdz ] ∂R ∂F + [ε Idt ] ∂I ∂F dt +δ R R ∂R ∂F dt +δ I I ∂I ⎡ 1 ∂2 F 2 2 ∂F ∂F ∂F ⎤ σ R + δRR dt = ⎢− + δI I − 2 ∂R ∂I ∂t ⎥⎦ ⎣ 2 ∂R 24. (3.6).

(36) 上式中營運收入 R 之隨機項 dz 已消去，此投資組合在極短時間內風險已消除，此投資組合即等於無風險投資，否則會有套利的機會產生。. 假設無風險利率為 γ ，則投資組合之價值可表示為：. ∆Ω = r ⋅ Ω∆t. (3.7). 將式(3.4)及(3.6)代入上式，可得：. ⎡ 1 ∂2F 2 2 ∂F ∂F ∂F ⎤ ∂F ∂F ⎡ ⎢ − 2 ∂R 2 σ R + δ R R ∂R + δ I I ∂I − ∂t ⎥ dt = r ⎢ −∆F + ∂R R + ∂I ⎣ ⎣ ⎦. ⎤ I ⎥ dt ⎦. (3.8). 將兩邊的 dt 消除，可得：. 1 ∂2F 2 2 ∂F ∂F ∂F + (r −δI ) I + − rF = 0 σ R + (r −δR ) R 2 ∂R ∂I ∂t 2 ∂R. (3.9). 移項整理後即為偏微分方程式. rF ( R, I ; t ) =. 1 ∂2 F 2 2 ∂F ∂F ∂F + (r −δI ) I + σ R + (r −δR ) R 2 ∂R ∂I ∂t 2 ∂R. 邊界條件：. ⎧R − I F ( R, I ; t ) = ⎨ ⎩ 0. if if. R≥I R<I. 上式即為本研究所建構之專案投資選擇權評價模式。. 25. (3.10).

(37) 3.4 投資選擇權評估模式求解已知投資選擇權之偏微分方程式如下：. 1 ∂2F 2 2 ∂F ∂F ∂F + (r −δI ) I + − rF = 0 σ R + (r −δR ) R 2 ∂R ∂I ∂t 2 ∂R 參考 McDonald 和 Siegel (1986)之變數轉換方法：令Z =. R F 及 W (Z ; t ) = I I. 則 F = W ( Z ; t ) I 、 R = ZI 和 F = WI ∂F ∂W ⎛ R ⎞ =W + W ⎜ ;t ⎟ I ∂I ∂Z ⎝ I ⎠ =W +. ∂W ∂Z. =W +. ∂W ( −Z ) ∂Z. ⎛ R⎞ ⎜− 2 ⎟I ⎝ I ⎠. (3.11). ∂F ∂W ⎛ R ⎞ = W ⎜ ;t ⎟ I ∂R ∂Z ⎝ I ⎠ =. ∂W ⎛ 1 ⎞ W ⎜ ⎟I ∂Z ⎝ I ⎠. =. ∂W ∂Z. (3.12). ∂ 2 F ∂W ∂W ⎛ R ⎞ W ⎜ ;t ⎟ = ∂R 2 ∂Z ∂Z ⎝ I ⎠ =. ∂ 2W ∂Z 2. ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝I⎠. (3.13). ∂F ∂W = W (Z;t ) I ∂t ∂t =. ∂W (I ) ∂t 26. (3.14).

(38) 將式(3.11)、(3.12)、(3.13)及(3.14)代入式(3.9)可得：. 1 ⎡ ∂ 2W 2 ⎣⎢ ∂Z 2. ∂W ∂W ⎛ 1 ⎞⎤ 2 2 2 ⎡ ∂W ⎤ ⎡ + ( r − δ I ) I ⎢W + ( − Z )⎤⎥ + ⎡⎢ ( I )⎤⎥ ⎜ ⎟ ⎥ σ ( Z I ) + ( r − δ R )( ZI ) ⎢ ⎥ ∂Z ⎝ I ⎠⎦ ⎣ ∂Z ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ∂t ⎦. −r (WI ) = 0. (3.15). 將 I 提出，並整理如下：. ⎡ 1 ∂ 2W 2 2 ⎤ ∂W ∂W ∂W σ δ δ δ I⎢ Z r Z r W r Z rW + − + − − − + − =0 ( ) ( ) ( ) R I I ⎥ 2 ∂Z ∂Z ∂t ⎣ 2 ∂Z ⎦ 由於 I 非變數，可消去後再展開如下：. 1 ∂ 2W 2 2 ∂W ∂W ∂W ∂W ∂W σ Z + rZ −δRZ + rW − δ I w − rZ + δI Z + − rW = 0 2 ∂Z ∂Z ∂Z ∂Z ∂t 2 ∂Z 最後將上式整理為：. 1 ∂ 2W 2 2 ∂W ∂W σ Z + (δ I − δ R ) Z + − δ IW = 0 2 ∂Z ∂t 2 ∂Z. (3.17). 上式即為降階後選擇權偏徵分方程式。可應用 Kutner(1988)及 Hwang & Jou(1994) 之選擇權偏微分方程式求解步驟：令. W = e−σ Iτ y ( u, v ) u =. ⎛ 2 ⎛ σ2 ⎞⎡ σ2 ⎞ ⎤ ln δ δ T Z δ δ − − Φ + − − ( ) ⎜ M R ⎜ ⎟⎢ ⎟τ ⎥ 2 ⎠ ⎦ σ2 ⎝ I R 2 ⎠⎣ ⎝ 2. 2 ⎛ σ2 ⎞ v = 2 ⎜δI − δR − ⎟ τ 2 ⎠ σ ⎝. τ = tB − t 則. 27.

(39) ∂W ∂y −δ Iτ ∂u ∂y −δ Iτ ∂v ⎡⎣e y ( u , v ) ⎤⎦ = + ⎡⎣ e y ( u , v ) ⎤⎦ ∂Z ∂u ∂z ∂v ∂z = e −δ I τ. σ 2 ⎞⎛ 1 ∂y ⎡ 2 ⎛ ⎞ ⎤ −δ Iτ ∂y δ δ − − [ 0] ⎢ 2⎜ I ⎟ ⎜ + 0 ⎟⎥ + e R ∂u ⎣ σ ⎝ ∂v 2 ⎠⎝ Z ⎠⎦. = e −δ I τ. σ2 ⎞ 2 ∂y ⎛ δ δ − − ⎜ I ⎟ R 2 ⎠ σ 2Z ∂u ⎝. (3.18). ∂ 2W ∂ 2 y −δ Iτ ⎡e y ( u , v ) ⎤⎦ = ∂Z 2 ∂Z 2 ⎣ =. ∂y ∂Z. ⎡ −δ Iτ ∂y ⎛ σ2 ⎞ 2 ⎤ e δ δ − − ⎢ ⎥ ⎜ I ⎟ R ∂u ⎝ 2 ⎠ σ 2Z ⎦ ⎣. ⎡ ∂y ∂y ⎛ σ2 ⎞ 2 σ 2 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞⎤ ∂y ⎛ δ δ δ δ = e −δ I τ ⎢ − − + − − ⎜ I ⎟ ⎜ I ⎟ R R ⎜ − ⎟⎥ 2 ⎠ σ 2 Z ∂u ⎝ 2 ⎠ σ 2 Z ⎝ Z ⎠⎦ ⎣ ∂Z ∂u ⎝ ⎡ ∂y ∂y ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂y ∂y ∂y ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂v = e −δ I τ ⎢ δ − δ − + δ − δ − ⎜ I ⎟ ⎜ I ⎟ R R 2 ⎠ σ 2 Z ∂Z ∂v ∂v ⎝ 2 ⎠ σ 2 Z ∂Z ⎣ ∂u ∂u ⎝. σ2 ⎞ 2 ⎤ ∂y ⎛ − ⎜δI − δR − ⎥ ⎟ 2 ⎠ σ 2Z 2 ⎦ ∂u ⎝ ⎡ ∂2 y ⎛ σ 2 ⎞ 2 ⎛⎛ σ2 ⎞ 2 ⎞ δ δ = e −δ I τ ⎢ 2 ⎜ δ I − δ R − − − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ I ⎟ R 2 ⎠ σ 2Z ⎝ ⎝ 2 ⎠ σ 2Z ⎠ ⎣ ∂u ⎝. (3.19). ∂W ∂y −δ Iτ ⎡e y ( u , v ) ⎤⎦ = ∂t ∂t ⎣ =. ∂y −δ Iτ ∂u ∂y −δ Iτ ∂v ⎡⎣ e y ( u , v ) ⎤⎦ + ⎡⎣ e y ( u , v ) ⎤⎦ + e −δ Iτ y (δ M ) ∂u ∂t ∂v ∂t. 2 2 2 ⎤ −δ τ ∂y ⎡ 2 ⎛ ⎤ ⎞ ∂y ⎡ 2 ⎛ σ2 ⎞ σ I =e ⎢ 2 ⎜δI − δR − ⎢ 2 ⎜δI − δR − ⎟ ( 0 − 1) ⎥ + e ⎟ ( 0 − 1) ⎥ ∂u ⎢ σ ⎝ ∂v ⎢ σ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣ + ye −δ Iτ δ M −δ I τ. =e. −δ I τ. 2 2 ⎡ ∂y 2 ⎛ σ 2 ⎞ ∂y 2 ⎛ σ2 ⎞ ⎤ δ −δR − ⎟ − δ − δ R − ⎟ ⎥ + ye−δ Iτ δ M ⎢− 2 ⎜ I 2 ⎜ I 2 ⎠ ∂v σ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎢⎣ ∂u σ ⎝ ⎦. 將式(3.18)、(3.19)、(3.20)代入式(3.17)可得：. 28. (3.20).

(40) 0=. 1 ⎪⎧ −δ Iτ 2 ⎛ σ 2 ⎞ ⎡ ∂2 y ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂y ⎤ ⎪⎫ 2 2 e δ δ δ δ − − − − − ⎥ ⎬σ Z ⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ σ 2 Z 2 ⎝ I R 2 ⎠ ⎣ ∂u 2 ⎝ I R 2 ⎠ σ 2 ∂u ⎦ ⎭⎪ 2 ⎩⎪ ⎧⎪ σ 2 ⎞ 2 ⎫⎪ ∂y ⎛ δ δ + ( δ I − δ R ) Z ⎨e −δ I τ − − ⎬ ⎜ I ⎟ R 2 ⎠ σ 2 Z ⎪⎭ ∂u ⎝ ⎪⎩. ⎧⎪ + ⎨e −δ I τ ⎩⎪. 2 2 ⎫⎪ ⎡ ∂y 2 ⎛ σ 2 ⎞ ∂y 2 ⎛ σ2 ⎞ ⎤ −δ I τ − − − − − + δ δ δ δ δ ye ⎢− ⎥ ⎜ I ⎟ ⎜ I ⎟ R R M ⎬ 2 ⎠ ∂v σ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥ ∂u σ 2 ⎝ ⎣⎢ ⎦ ⎭⎪. −δ M ( e −σ Iτ y ). 將 e−σ Iτ 提出整理如下： 2. 0=e. ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂ 2 y −δ Iτ δ − δ − −e ⎜ I ⎟ R 2 ⎠ σ 2 ∂u 2 ⎝. −δ I τ. 2. ⎛ σ 2 ⎞ ∂y δ − δ − ⎜ I ⎟ R 2 ⎠ ∂u ⎝. ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂y + e −δ Iτ ( δ I − δ R ) ⎜ δ I − δ R − ⎟ 2 ⎠ σ 2 ∂u ⎝ 2. −e. 再將 δ I − δ R − 0=e. −δ Iτ. σ2 2. −δ Iτ. −e. 2. ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂y −δ Iτ ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂y δ − δ − − e δ − δ − ⎜ I ⎟ ⎜ I ⎟ R R 2 ⎠ σ 2 ∂u 2 ⎠ σ 2 ∂v ⎝ ⎝. 提出：. ⎛ σ 2 ⎞ ⎡⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂ 2 y ∂y 2 ∂y + (δ I − δ R ) 2 ⎜δI − δR − ⎟ ⎢⎜ δ I − δ R − ⎟ 2 2− ∂u 2 ⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ σ ∂u σ ∂u ⎝. −δ I τ. 2 2 ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂y −δ Iτ ⎛ σ 2 ⎞ 2 ∂y ⎤ − e ⎜δI − δR − ⎥ ⎜δI − δR − ⎟ 2 ⎟ 2 2 ⎠ σ 2 ∂v ⎥ σ u ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎦. ⎛ σ 2 ⎞ ⎡ ∂ 2 y ⎛ 2δ I 2δ R ⎞ = e −δ I τ ⎜ δ I − δ R − − − 1⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎣⎢ ∂u 2 ⎝ σ 2 σ 2 ⎠ ⎝ +. 2δ I 2δ R ∂y ⎛ 2δ I 2δ R ⎞ ⎜ 2 − 2 − 1 − 2 + 2 + 1⎟ σ σ σ ∂u ⎝ σ ⎠. −. ∂y ⎛ 2δ I 2δ R ⎞ ⎤ − − 1⎟ ⎥ ⎜ ∂v ⎝ σ 2 σ 2 ⎠⎦. =e. −δ I τ. ⎛ σ 2 ⎞ ⎛ 2δ I 2δ R ⎞ ⎡ ∂ 2 y ∂y ⎤ − − 1⎟ ⎢ 2 − ⎥ ⎜δI − δR − ⎟⎜ 2 ⎠⎝ σ 2 σ 2 ⎠ ⎣ ∂u ∂v ⎦ ⎝ 29. (3.21).

(41) 將上式之非變數參數消除可得下式：. ∂ 2 y ∂y = ∂u 2 ∂v. (3.22). 上式即為熱傳導方程式之形態，可用分離變數法進行求解。令 y ( u, v ) = V ( u ) ⋅W ( v ) 則原式變成 Vuu ( u ) W ( v ) = V ( u ) Wv ( v ). 令. (3.23). W (v) (u ) = − p2 = V (u ) Wv ( v ). V. uu. 將上式分為二個偏微分方程式，先計算左式，經移項後得： Vuu ( u ) + p 2V ( u ) = 0. 上式即為常係數二階線性微分方程式，公式解如下：. V ( u ) = C1 cos pu + C2 sin pu. (3.24). 再計算右式，經移項如下：. Wx ( x ) + p 2W ( x ) = 0 上式為分離變數型微分方程式，公式解如下 W ( v ) = C3e − p v. (3.25). 2. 將式(3.24)、(3.25)代入. y ( u, v ) = V ( u ) ⋅ W ( v ) = [C1 cos pu + C2 sin pu ] C3e− p v dp 2. 其中： C1 、 C2 及 C3 均為與 p 有關之常數，分別以 A ( p ) 及 B ( p ) 表示如下：. 30. (3.26).

(42) y ( u, v ) = ⎡⎣ A ( p ) cos pu + B ( p ) sin pu ⎤⎦ e− p v dp 2. (3.27). 將所有的 p ( 0 ≤ p < ∞ ) 代入得到之解，再加總成之函數： ∞. y ( u, v ) = ∫ ⎡⎣ A ( p ) cos pu + B ( p ) sin pu ⎤⎦ e − p v dp 0 2. (3.28). 此即傅立葉積分展開之形態，可利用傅立葉積分定理，給定初始條件： ∞. y ( u, 0 ) = ∫ ⎡⎣ A ( p ) cos pu + B ( p ) sin pu ⎤⎦dp 0 可得係數 A ( p ) 及 B ( p ) 如下： A( p) = B ( p) =. 1. π. ∫. ∞. −∞. 1. π. ∫. ∞. −∞. y ( w, 0 ) cos pwdw. (3.29). y ( w, 0 ) sin pwdw. (3.30). 其中：. ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ σ2 w ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 2 y ( w, 0 ) = ⎢exp ⎜ − 1⎥ H ( w ) 2 ⎟ σ ⎢ ⎜⎜ δ − δ − ⎟⎟ ⎥ I R ⎢⎣ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝. (3.31). 將式(3.29)、(3.30)、(3.31)代入式(3.28) ∞⎡1 y ( u, v ) = ∫ ⎢ 0 ⎣π. =. =. 1. π. ∫. ∞. 0. ∫. ∞. −∞. y ( w, 0 ) cos pwdw cos pu +. ⎤ − p2v , 0 sin sin y w pwdw pu ( ) ⎥⎦ e dp π ∫−∞ ∞. 1. ⎡ ∞ y ( w, 0 ) cos ( w − u ) dw⎤e − p2v dp ⎢⎣ ∫−∞ ⎥⎦. ⎡ ∞ cos ( w − u ) e − p 2v dp ⎤dw , 0 y w ( ) ⎢⎣ ∫0 ⎥⎦ π ∫−∞ 1. ∞. (3.32). 利用積分公式. ∫. ∞. 0. e − x cos 2bxdx = 2. 令 −x = − p v 2. 2. 則 x =p v dx = vdp 31. π 2. e−b. 2.

(43) 式(3.27)整理如下：. ∫. ∞. 0. (. e − p v cos 2bp v 2. ∞. (. ). π. vdp =. 2. π. ). v ∫ e − p v cos 2bp v dp = 2. 0. 令b =. e−b. e−b. 2. 2. 2. (3.33). w−u 代入 2 v. ∫. ∞. ∫. ∞. 0. 0. π. e − p v cos p ( w − u ) dp = 2. e. − p2v. 2. e. ⎛ w−u ⎞ −⎜ ⎟ ⎝2 v⎠. 1 π − e cos p ( w − u ) dp = 2 v. 2. 1 v. ( w −u ) 2 4v. (3.34). 將式(3.34)代入式(3.32)可得：. ⎡ 1 π − ( w −u ) y ( u, v ) = ∫ y ( w, 0 ) ⎢ e 4v π −∞ 2 v ⎢⎣ =. (w − u) 令 4v. 2. =. 2. ∞. 1. 1 2. πv ∫. ∞. −∞. y ( w, 0 )e. −. ⎤ ⎥dw ⎥⎦. ( w−u ) 2 4v. dw. (3.35). q2 ，則 2 w = u + 2vq dw = 2vdq. 式(3.31)整理如下： y ( u, v ) =. 1. ∫. 2 πv. 1 = 2π. ∞. −∞. ∫. ∞. −∞. (. ). y u + 2vq, 0 e. (. ). y u + 2vq, 0 e. 邊界條件改變如下：. 32. −. −. q2 2. q2 2. dq. 2vdq. (3.36).

(44) ⎧⎡ ⎛ σ2 ⎞ ⎤ + 2 u vq ⎪⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎟ − 1⎥ H u + 2vq ⎪⎪ ⎢exp ⎜ 2 y ( w, 0 ) = ⎨ ⎢ ⎜⎜ δ − δ − σ ⎟⎟ ⎥ I R ⎪ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎪ 0 ⎪⎩. (. ). (. ). u 2v u ,w < − 2v ,w ≥ −. (3.37). 式(3.36)需作調整如下：. y ( u, v ) =. 1 2π. 1 2π. =. u − 2v −∞. (0) e. +∞. q2 − 2. ∫. ∫. −. u 2v. e. ⎡ ⎛ σ2 u 2 vq + ⎜ 1 +∞ ⎢ 2 exp dq + ⎢ ⎜ u 2 σ 2π ∫− 2 v ⎢ ⎜⎜ δ − δ − I R ⎢⎣ 2 ⎝. (. q2 − 2. ⎡ ⎛ σ2 u 2 vq + ⎢ ⎜ 2 ⎢exp ⎜ 2 σ ⎢ ⎜⎜ δ − δ − I R ⎢⎣ ⎝ 2. (. ). ⎞ ⎤ 2 ⎟ ⎥ −q ⎟ − 1⎥ e 2 dq ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎦⎥. ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⎟ − 1⎥dq ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎦⎥. ). (3.34). 假設 −. ⎡ ⎛ σ2 ⎞ ⎤ Φ + − − ln T Z δ δ ( ) ⎜ I R ⎢ ⎟τ ⎥ = − k2 2 ⎝ ⎠ ⎦ ⎣. u 1 =− 2v σ τ. 則式(3.34)可改為：. 1 y ( u, v ) = 2π. ∫. ∞. − k2. Φ (T ) Ze. −. ( q −σ τ ). 2. 2. e. (δ I −δ R )τ. 1 dq − 2π. ∫. ∞. − k2. e. −. q2 2. dq (3.35). 上式即常態分配之形態，分別整理如下. 1 2π. ∫. ∞. − k2. Φ (T ) Ze. = Φ (T ) Ze. (δ I −δ R )τ. −. ∫. ( q −σ τ ). ∞. − k2. 2. e(δ I −δ R )τ dq. − 1 Φ (T ) Ze 2π. (. = Φ (T ) Ze (δ I − δ R )τ N k2 + σ τ. = N ( k1 ). ( q −σ τ ) 2. 2. dq. ) (3.36). 33.

(45) 同理 1 2π. ∫. ∞. − k2. e. −. q2 2. dq = N ( k2 ). (3.37). 將式(3.37)、(3.38)代入式(3.35)可得：. y ( u, v ) = Φ (T ) Ze(δ I −δ R )τ N ( k1 ) − N ( k2 ). (3.38). 將式(3.38)代回變數變換前之式. W ( Z , 0 ) = e −δ I t B y ( u , v ) = Φ (T ) Ze −δ I tB + (δ I −δ R )tB N ( k1 ) − e−δ I tB N ( k2 ). = Φ (T ) Ze−δ RtB N ( k1 ) − e −δ I tB N ( k2 ). (3.39). F ( R, I : 0 ) = WI R ⎡ ⎤ = ⎢Φ (T ) 0 e −δ R tB N ( k1 ) − e −δ I tB N ( k 2 ) ⎥ I I ⎣ ⎦ = Φ (T ) R0 e −δ RtB N ( k1 ) − Ie−δ I tB N ( k2 ) = PtB e− µtB N ( k1 ) − I 0 N ( k2 ) = P0 N ( k1 ) − I 0 N ( k2 ). (3.40). 其中. ). 2 ⎛ Φ (T ) RtB ⎞ t + δI +σ ln ⎜ ⎟ I tB ⎠ 2 B ⎝ k1 = σ tB. (. ln ⎛⎜ = ⎝. P0. ln ⎛⎜ k2 = ⎝. ( ). ⎞+ σ2 t I 0 ⎟⎠ 2 B. σ tB P0. ( ). ⎞− σ2 t I 0 ⎟⎠ 2 B σ tB. = k1 − σ t B 式(3.40)即為投資選擇權評價公式。. 34.

(46) 3.5 放棄投資選擇權當特許公司不選擇放棄投資時，則 N ( k1 ) 及 N ( k2 ) 的機率為 1，即投資選擇權的價價會等於總營運收入收減總投入成本。反之；以投資選擇權之價值減投資計畫之淨現值即代表放棄投資選擇權的價值。表示如下： f = F − NPV. = F − ( P0 − I 0 ). (3.41). 將投資選擇權 F 之公式代入上式後可得：. f = P0 N ( k1 ) − I 0 N ( k2 ) − ( P0 − I 0 ) = P0 ⎡⎣ N ( k1 − 1) ⎤⎦ − I 0 ⎡⎣ N ( k2 − 1) ⎤⎦ = I 0 ⎡⎣ N ( − k2 ) ⎤⎦ − P0 ⎡⎣ N ( − k1 ) ⎤⎦. 可知放棄投資選擇權實為一賣權。. 35. (3.42).

(47) 第4章最低營收保證選擇權評估模式 4.1 基本說明及假設本章以選擇權評價模式來評估政府給予特許公司於營運期提供營收保證價值。在政府提供給特許公司最低營收保證，即相當於給予特許公司一個賣權。當預期營運收入小於營收保證時，則特許公司會選擇以營收保證量乘上服務費用來計算營運收入；當預期營運收入大於營收保證時，則特許公司將證將不被採用營收保，以實際之運用收收計算，營收保證價值等於零。此賣權可以 4-1 圖表示：. 圖 4-1 最低營收保證選擇權示意基本假設如下：. 1.計畫之營運收入遵守幾何布朗運動 2.計畫之營收保證在整期營運期內為固定值 3.僅為單一選擇權，僅計算出有最低營收保證的價值數學式可表示為：. G = Max ( 0, M − R ) 其中，G 為營收保證之價值；. M 為營收保證之值； R 為營運收入。 36.

(48) 4.2 最低營收保證選擇權模式建構本章一開始即說明最低營收保證選擇權為一賣權，因此本節除了重複第三章的買權模型推導出買權之偏微分方程式之外，還需運用 Stoll(1969)所推導的買權賣權等價理論，將推導出的買權經買權賣權理論轉換為賣權之偏微分方程式。首先對營運收入 R 及最低營收保證值 M 作設定：營運收入 R 同式(3.1)仍遵守幾和不朗運動，表示如下：. dR = α Rdt + σ Rdz. (4.1). dM = ξ Mdt. (4.2). 最低營收保證收入 M. 其中， ξ ：年平均最低營收保證收入之時間單位預期成長率；由於最低營收保證收入假設為非隨機變數，故無隨機增量 dz 。依據 Ito’s Lemma 定理，營運收入 R 及總投入 I 所衍生之 G ( R, M ; t ) 之微分將會服從：. ⎡ ∂G ∂G ∂G 1 ∂ 2G 2 2 ⎤ ∂G ∆G = ⎢ α R + + ξM + σ R ⎥ dt + σ Rdz 2 ∂M ∂t 2 ∂R ∂R ⎣ ∂R ⎦. (4.3). 利用投資組合原理，建構無風險之投資組合 Ω (riskless portfolio) 如下： I.. 買入 1 單位的投資選擇權： −G. II. 賣出. ∂G ∂G 單位投資計畫營運收入： + R ∂R ∂R. III. 賣出. ∂G ∂G 單位的投資計畫成本： + M ∂M ∂M. 則此投資組合 Ω 之價值可表示為：. Ω = −∆G +. ∂G ∂G R+ M ∂R ∂M 37. (4.4).

(49) 在極短時間 ∆t 內的變動如下：. ∆Ω = −∆G +. ∂G ∂G ∂G ∂G ∆R + ∆M + δ R R ∆t + δ M M ∆t ∂R ∂M ∂R ∂I. (4.4). 將式(4.1)、(4.2)及(4.3)代入上式，整理如下：. ⎡ 1 ∂ 2G 2 2 ∂G ∂G ∂G ⎤ ∆Ω = ⎢ − σ R + δRR dt + δ M M dt − ⎥ dt 2 R R M t 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦. (4.5). 此投資組合 Ω 在極短時間內風險已消除。設無風險利率為 γ ，則投資組合之價值可表示如下：. ∆Ω = r ⋅ Ωdt. (4.6). 將式(4.4)、(4.5)及代入上式：. ⎡ 1 ∂ 2G 2 2 ∂G ∂G ∂G ⎤ ∂G ∂G ⎤ ⎡ ⎢ − 2 ∂R 2 σ R + δ R R ∂R + δ M M ∂M − ∂t ⎥ dt = r ⎢ −∆G + ∂R R + ∂M M ⎥ dt ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 整理如下：. 1 ∂ 2G 2 2 ∂G ∂G ∂G σ R + (r −δR ) R + (r − δM ) M + − rG = 0 2 2 ∂R ∂R ∂M ∂t. (4.7). 上式也可表示為：. 1 ∂ 2G 2 2 ∂G ∂G ∂G γ G ( R, M ; t ) = σ R + (r −δR ) R + (r − δM ) M + 2 2 ∂R ∂R ∂M ∂t. (4.8). 上式即最低營收保證選擇權之偏微分方程式，但此式並非賣權，因此需要運用買權賣權等價理論，將買權轉換為賣權，才能得到最低營收保證選擇權之評價模型。. 38.

(50) 4.3 最低營收保證選擇權模式求解上節所推導之最低營收保證選擇權與 3.3 節所推導之投資選擇權形式並無不同，僅將投資選擇權之成本 I 參數改為最低營收保證 M 參數，因此求解步驟同 3.4 節，可得公式解如下：. G ( R, M ; t ) = R0 N ( d1 ) − M 0 N ( d 2 ). (4.9). 其中. ln ⎛⎜ d1 = ⎝. R0. ln ⎛⎜ d2 = ⎝. ( ). ⎞+ σ2 t M 0 ⎟⎠ 2 B. σ tB R0. ( ). ⎞− σ2 t M 0 ⎟⎠ 2 B σ tB. 根據 Stoll(1969)買權賣權等價理論，將投資買權專換為最低營收保證賣權： C + Ke − rT = S0 + P. (4.10). 其中： C 為一歐式買權；. Ke− rT 為折現後之現金金額； P 為歐式賣權； S0 為一股現股。於本模式可改寫為. Gc + M 0 = R0 + G p 其中： Gc 為一買權；. M 0 為折現後之最低營收保證值； G p 為歐式賣權； R0 為營運收入。 39. (4.11).

(51) 移項可得賣權之價值. G p = Gc − R0 + M 0. (4.12). 將式(4.9)代入上式之買權 Gc ，可得： G p = ⎡⎣ R0 N ( d1 ) − M 0 N ( d 2 ) ⎤⎦ − R0 + M 0 = R0 ⎡⎣ N ( d1 ) − 1⎤⎦ + M 0 ⎡⎣1 − N ( d 2 ) ⎤⎦. 再將上式整理如下： G p = R0 ⎡⎣ N ( d1 ) − 1⎤⎦ − M 0 ⎡⎣ N ( d 2 ) − 1⎤⎦. (4.13). 利標準常態分配之性質：. N ( d1 ) + N ( −d1 ) = 1 則式(4.13)可改為：. G p = − R0 N ( −d1 ) + M 0 N ( −d 2 ) = M 0 N ( −d 2 ) − R0 N ( −d1 ). (4.13). 其中：. ( ). ln ⎛⎜ − d1 = − ⎝. R0. ⎞+ σ2 t M 0 ⎟⎠ 2 B σ tB. ln ⎛⎜ −d 2 = − ⎝. R0. ⎞− σ2 t M 0 ⎟⎠ 2 B σ tB. ( ). 上式即最低營收保證選擇權(賣權)之解。最低營收保證選擇權(賣權)是給予特許公司一個最低營收的保障，但並不一定要報行，特許公司可視營運量而作最有利的選擇。由於本研究假設在 BOT 投資計畫營運期是以年為單位，因此最低營收保證選擇權並非是只能於整個營運期選擇執行或不執行最低營收保證；而是以年為單位，每年均可以視實際之營運量來選擇執行最低營收保證或不執行，所以 BOT 計畫之最低營收保證政策實際上是給予特許公司一系列的賣權。. 40.

(52) 所以式(4.13)需作修改如下： n. n. i =1. i =1. G = ∑ M i e−γ t N ( −d 2 ) − ∑ Ri e−γ t N ( −d1 ) n. = ∑ ⎡⎣ M 0i N ( − d 2 ) − R0i N ( − d1 ) ⎤⎦ i =1. 其中：. ( ). ln ⎛⎜ − d1 = − ⎝. R0i. ⎞+ σ2 t M 0i ⎟⎠ 2 i σ ti. ln ⎛⎜ −d 2 = − ⎝. R0i. ⎞− σ2 t M 0i ⎟⎠ 2 i σ ti. M 0i 為各期最低營收保證值之折現； R 0i 為各期營運收入之折現值； i 為年期。. 41. ( ). (4.14).

(53) 第5章投資及最低營收保證複式選擇權評估模式 5.1 基本說明及假設本章以複式選擇權(compound options)評價模式來評估特許公司投資 BOT 計畫之投資及最低營收保證之價值。以選擇權的觀點來看，當特許公司與政府簽約後，相當特許公司取得一個買權，此買權即是擁有投資的權利，及取得在營運期享有最低營收保證之賣權，即為一個以賣權為標的物的買權，如下圖：. 執行. 最低營收保證賣權 G1. G3. G2. Gn. 投資. 投資買權 F. 不執行不投資 0. 興建期. 籌辦期 0. t. T1. T2. 營運期 T3. 圖 5-1 複式選擇權示意圖. 42. Tn.

(54) 5.2 模式建構本節將以複式選擇權的型式模擬當特許公司取得先了投資買權後，再取得最低營收保證賣權，為一賣權的買權(a call on a put)型態，即以最低營收保證賣權為標的物的投資買權。以賣權為標的物的買權，其概念式可表示如下：. FG = Max [ 0, R − I + G ] 將賣權之表示式代入上式 G 可得 FG = Max ⎡⎣ 0, R − I + Max ( 0, M − R ) ⎤⎦. 上式即複式選擇權之基本概念，以賣權為標的物的買權表示如下：. ⎧ ⎡ n ⎤⎫ FG = r − t E ⎨ Max ⎢0, ∑ PVt ⎡⎣ Max ( 0, M i − Ri* | Ti ) ⎤⎦ + Rt − I t ⎥ ⎬ ⎣ i =1 ⎦⎭ ⎩. (5.1). 其中：. ∑ PV ⎡⎣max ( 0, M n. i =1. t. i. − Ri* | Ti ) ⎤⎦ 為標的賣權在時間 t 的價值；. ⎡ n ⎤ Max ⎢0, ∑ PVt ⎣⎡ Max ( 0, M i − Ri* | Ti ) ⎦⎤ + Rt − I t ⎥ 為複式買權在時間 t 的價值； ⎣ i =1 ⎦ t 為建造期； Ti 為營運期， i = 1, 2 , 3... 。. 令 f (u ) =. 1 2πσ t. e. ⎛ u − µt ⎞ ⎜ ⎟ σ t ⎠ −⎝ 2. 2. , −∞ < u < ∞. 則式(5.1)可整理如下 ∞ ⎧ ⎡ n ⎤⎫ FG = r − t ∫ ⎨max ⎢ 0, ∑ PVt ⎣⎡ Max ( 0, M i − Ri* | Ti ) ⎦⎤ + Rt − I t ⎥ ⎬ f ( u ) du −∞ ⎣ i =1 ⎦⎭ ⎩. 43. (5.2).

(55) 令 Gi ( Ri eu , t ) = PVt ⎡⎣ Max ( 0, M i − Ri* | Ti ) ⎤⎦ ⎛ R* ⎞ R* 則 u = ln ⎜ ⎟ , Reu = R ⋅ = R* R ⎝ R⎠ n ⎛X⎞ 令 ln ⎜ ⎟ 為積分下限。 X 為能使 ∑ Gi ( Ri eu , t ) + Ri − I i 等於 0 之值，因此積分函數才不 ⎝R⎠ i =1. 會是零，賣權的買權才會有價值。式(5.2)可改為： ⎡ n ⎤ u ⎛ X ⎞ ⎢ ∑ G ( Re , t ) + Rt − I t ⎥ f ( u ) du ln ⎜ ⎟ ⎦ ⎝ R ⎠ ⎣ i =1. FG = r − t ∫. ∞. (5.3). 將第四章所求出之賣權公式代入式(5.3). ⎡ n ⎡ ⎤ − T −t u − (Ti −t ) N ( − d1 ) + Mr ( i ) N ( − d 2 ) ⎤ + Rt − I t ⎥ f ( u ) du ⎛ X ⎞ ⎢ ∑ ⎣ − Re d ⎦ ln ⎜ ⎟ ⎦ ⎝ R ⎠ ⎣ i =1. FG = r − t ∫. ∞. (5.4). 此式即為投資及最低營收保證複式選擇權模型。其中： ⎛ Rd −(Ti −t ) ⎞ σ 2 (Ti − t ) ln ⎜⎜ −(Ti − t ) ⎟ ⎟+ 2 Mr ⎠ − d1 = − ⎝ σ Ti − t ⎛ Rd −(Ti −t ) ⎞ σ 2 (Ti − t ) ln ⎜⎜ − (Ti − t ) ⎟ ⎟− 2 Mr ⎠ −d2 = − ⎝ σ Ti − t. 44. (5.5). (5.6).