運用Ausubel學習理論協助四年級學生代數學習之行動研究

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運用 Ausubel 學習理論協助四年級學生代數

學習之行動研究

曹惠菁

1

、徐偉民

2 1_{高雄市七賢國小教師、}2_{屏東教育大學數理教育研究所助理教授}

摘要

本研究的目的主要在於協助四年級學生代數基本性質概念的學習。以學校教科書教材內容為基礎，融合 Ausubel 學習理論，採用行動研究的方法，進行兩個單元的教學設計，透過教學實施、反省和修正的歷程，以期能協助學生理解與運用代數基本性質的概念，並提升學生的學習興趣、學習態度與代數推理能力。研究對象為一班國小四年級學生，共 29 名，以學生解題紀錄、繪製的心智圖、數學日記、研究者田野日記、教學錄影、訪談、紙筆測驗等資料進行分析。研究結果顯示，透過 Ausubel 學習理論所設計的教學方案，能有效的協助學生代數基本性質概念的理解，並進一步的能運用代數基本性質進行解題，同時在過程中提升學生的數學學習興趣，促進學生積極的學習態度，且在小組討論過程中，逐步提升學生的代數推理能力。關鍵字：代數、行動研究、 Ausubel學習理論、學習態度、推理能力註：徐偉民為通訊作者

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壹、緒論

一、研究動機與目的

美國科學促進協會(American Association for the Advancement of Science, [AAAS], 1990)在「全民的科學」 (Science for all)中強調：全民的科學中，數學是不可缺席的一部份，並將數學視為溝通的語言。數學是一種語言，教師教學時使用數學語言和學生進行溝通，教師所使用的數學語言必須能讓學生了解，才能達到有效的敎與學。陳家弘(1998)研究四年級學習障礙學生解四則運算，對先乘除後加減的數學語言琅琅上口，但卻不了解此語言所代表的數學概念，造成運用上的錯誤；莊松潔(2005)發現五年級學能獨自分別寫出 6×N 和 2×3×N 兩個算式，但需研究者的引導才能將 6×N 和 2×3×N 做聯貫，顯示學生雖會計算，但卻不能明確以「乘法結合律」的數學用語表達與運用的數學概念；陳維民(1998)發現六年級學生無法進行單位數與單位量間的轉換，亦即不具備乘法交換律的運算性質；針對國一生的研究，劉天民(1993)發現有誤用乘法運算性質及不當使用運算規則等情形，戴文賓(1998)發現學生只能將 3x+4+5x+3 化簡成 8x+4+3，無法將 4 和 3 合併；張勝和 (1994)發現國二學生將指數律 (ab) 2_=a2_‧_b2_{，誤推至} (a+b)2_=a2_＋_b2 _或_(a-b)2_=a2_-b2_{，而}_(a+b)2 _{的基礎概念為國小階段的分配律概念。} 以上研究都顯示，學生對於代數基本性質的概念並不清楚或不完整，而代數基本性質從國小一年級就開始讓學生在具體情境中認識加法的交換律、結合律與加減互逆等性質，到四年級時要理解並運用乘法結合律、分配律和乘除互逆等性質來進行解題(教育部， 2003)。代數相關的基本性質須在四年級前全部學習並完整具備，由此可知，四年級代數性質的學習有其關鍵性，否則模糊的概念將影響學生日後相關代數概念的學習。 Skemp(1978)指出兩種不同的數學教學方式，將形成學生兩種不同的學習結果：一種是工具性的了解，特點是「只敎公式、技巧，不管理由」，另一種是關係性的了解，特點是「不僅知道做什麼，而且知道理由」。前者學生只是機械性的學習，後者才是真正的理解；Davis(1985)也主張有效的教學應從觀念或經驗著手，才能有助於學生數學的學習；九年一貫數學課程綱要也主張，

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確保學生學好數學的要素之ㄧ在於「如何引導並利用學生的前置經驗」（教育部，2003）。數學新概念的學習，必須要以學生已有的知識與經驗為基礎，以學生有意義的事務為前提，才能達成真正的理解(Anderson, 2003)。這些主張和 Ausubel 的有意義學習論相符合，主張教師應「提綱挈領」的引出舊經驗，逐步協助學生進行「漸進分化」、「層級學習」、「統整調和」、「含攝學習」的學習過程，最後形成「有意義的學習」。因此，本研究採用行動研究的方法，結合 Ausubel 有意義學習的理論，根據相關研究和前導研究來規劃教學步驟與設計教學內容，並經由學生的學習反應來修正原有的教學行動方案，進一步訂定適合研究對象的教學步驟，以提昇四年級學生代數基本性質概念的學習表現，同時檢驗本研究教學行動方案實施的成效。其中，本研究所指的代數基本性質包括了加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、加減互逆、乘除互逆等基本性質。九年一貫數學課程綱要中指出，透過代數基本性質的學習，可用來簡化計算(如加法結合律 )，以及協助發展解題的策略(如乘除互逆 )(教育部， 2003)。除了這六個代數基本性質的學習外，本研究也會藉由問題的設計，讓學生進行符號或數字的觀察和比較，來培養學生歸納和形式化規則或規律的代數推理能力(陳嘉皇， 2006；張英傑、周美菊譯，2000)，以符合數學學習的目標 (教育部， 2003)。

貳、文獻探討

一、代數基本性質的課程編排與相關研究 (一 )代數基本性質的課程編排本研究實施的對象為 2009 學年度下學期研究者任教的四年級學生，其一至四年級所使用的數學教科書，均為國家教育研究院籌備處所出版(簡稱部編版)，且依據 2003 年的數學課程綱要所編寫。表 1 是一至四年級課程綱要中代數基本性質分年細目的編排，表 2 是教科書中相對應的學習單元。從表 1 來看，代數的基本性質從一年級就開始引入加法的交換律和結合律，並預期學生在四年級結束時，除了能瞭解包括加法和乘法的交換律和結合律，以及加減互逆和乘除互逆等六項代數基本性質外，更重要的是要應用基本性質來簡化計算和

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發展解題策略(教育部， 2003)。也由於這六項基本性質涉及到整數的四則運算的內容，所以從表 2 中可以發現，代數基本性質都安排在四則運算的相關單元中，而且可以瞭解四年級學生使用的四下部編版教科書，將代數基本性質概念編排在「乘法」與「除法」兩個單元，其中，「乘法」單元對照分年細目 4-a-1，「除法」單元對照分年細目 4-a-01 與 4-a-03。表 1 和表 2 的內容不但可以瞭解代數基本性質概念的編排情形，同時也可以瞭解其所對應的學習單元，這些都可以作為未來教學行動方案規劃和測驗試題編制的參考。表 1 九年一貫課程綱要代數基本性質的分年細目表年級分年細目一 1-a-02 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律，並運用於簡化計算 1-a-03 能在具體情境中，認識加減互逆二 2-a-03 能在具體情境中，認識乘法交換律 2-a-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題三 3-a-02 能在具體情境中，認識乘除互逆四 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積 4-a-03 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題 (二 )代數基本性質的相關研究 數學的學習包括概念的理解與計算的流暢，要達到計算流暢需要包括概念裡解和計算精熟；概念理解是指「位值」、「數字的分解合成與運算定律」、「數字與運算關係」等三個部份。數字的分解合成與運算定律是指學生利用分辨計算的數字之分解與合成，或者使用交換律、結合律、分配律來幫助解題 (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 2000 )。由此可知，代數基本性質在計算流暢中扮演著重要角色。

但過去研究指出，學生在代數基本性質上都有一些迷思概念存在： Benander 與 Clement(1985)的研究指出，學生會認為所有的運算皆有交換律，包括減法和除法，這樣的結果也出現在臺灣國中一年級學生身上( 劉天民， 1993)；張景媛 (1994)研究指出國中生對數學文字題的解題上，具有基模知識

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的錯誤概念，學生缺乏基本的數學概念，誤將乘法的交換律類推到除法上；郭正仁(2001)發現國二學生在進行多項式四則運算時，並不完全理解移項法則，認為移項就一定要變號，對於加減法的逆運算和乘除法的逆運算概念仍一知半解。由此可以，即使學生到了國中，仍然對代數基本性質的概念有不甚理解，這會影響日後相關四則運算及多項式與方程式單元的學習，同時也會影響學生計算的流暢性。而目前國內針對代數基本性質進行國小階段的相關研究並不多，本研究期望結合相關的教學理論來落實於教學中，協助學生在四年級學習結束前，能建立正確代數基本性質的概念，並能將相關性質應用在解題與計算中，以達成數學學習概念理解與計算流暢的目的(教育部， 2003)，同時有助於學生日後相關概念或主題的學習。表2 代數基本性質在教科書中相對應的單元表

1-a-02 1-a-03 2-a-03 2-a-04 3-a-02 4-a-01 4-a-03 一上 10以內的加法 ● 一下 20以內的減法 ● 二位數的加法 _● 二位數的減法 _● 二上二位數的直式減法 _● 乘法2 _● 二下乘法 2 ● 三上乘法的直式計算 ● 除法2 ● 三下乘法 _● 數的運算 ● 除法 _● 四上乘法 _● 除法 _● 四下乘法 _● 除法 ● ●

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二、Ausubel 的有意義學習論

(一 )有意義學習論的內涵

心理學家 Ausubel 於 1963 年提出了「認知同化論」 (assimilation theory for cognitive learning)的觀點，即大家所熟知的有意義學習理論，該理論核心是指學生能否學到新知識，取決於他們認知結構中已有的相關概念。認知同化論主要討論七個關鍵概念，如表 3， Ausubel 認為學習會在「機械式」和「有意義的」兩個連續向度上，由下往上移動，逐漸達成「有意義的學習」(引自余民寧，1997)。表 3 Ausubel 的認知同化論中七個關鍵概念有意義的 │ │ │ │ 機械式的學習連續向度

y有意義的學習 (meaningful learning)：將新知識與認知結構中既存的相關概念和命題做聯結，並且統整進這些概念裡。

y含攝學習 (subsumption)：將新知識包含進入既存的相關概念或命題之下。

y統整調和 (integration recilliation)：整合不同但相關聯之概念成為一新聯結的學習。

y層級學習 (superordinate learning)：與兩個以上有關聯但不同階層的概念相聯結之學習。

y漸進分化 (progressive differentiation)：當新的含攝學習、統整調和與階層學習產生時，概念與命題的意義會逐漸精緻化與類別化。 y提綱挈領 (advance organizer)：設計出一種簡單、有意義的學習綱要

，以幫助學習者將新穎且特殊的知識與其已知的概念或命題做聯結。

y機械式的學習 (rote learning)：以隨機、逐字復誦的方式將新訊息灌輸進認知結構中。其中「機械式學習」是被動的學習，學生在不了解的情形下，以機械式的方式練習，從事片段知識的記憶，每次的學習都是以外塑方式累積記憶的量 (Kinnear, 1994)；如果教師將學習者欲學習的新知識結構化，幫助學生將新知識和命題，與其本身認知結構中的舊概念相聯結，將有助學生吸收和同化新概念，此教學步驟稱為「提綱挈領」或前導組織(advance organizer)；而概念的

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教學大都從普遍性和一般性的概念開始，教學者通常先呈現概括性的概念，再逐漸增加詳細或特殊概念的說明。學生在新舊知識融合的過程中，其認知結構將重新調整，趨於精緻和複雜化。這種從概括到分化的教學中，學生可以瞭解新概念和先備知識的異同，此為「漸進分化」過程。當學生學習更多新的、較寬廣的概念時，會含攝過去所學的概念，會發現這些概念間似乎存在著一種新關係，概念間具有某種共通性，可以一種更高階層概念來含攝這些概念，此時，新學習的知識便與學生認知結構中已有的概念產生一種上位概念，「層級學習」便開始產生；在「含攝學習」的過程中，學生逐漸形成或發現所學習的概念能含攝在一個新的、較廣的概念中；而且不同概念或新舊概念在含攝過程中，可能產生衝突的情形，此時學生會主動修正原有的認知結構或重新定義概念的意義，明確指出相似與相異概念，將分化後的知識再聯結起來，則原始概念意義將能夠更精確地被清楚陳述出來，成為有組織的知識結構，此即為「統整調和」。最後，學習者將主動地知覺並挖掘新的學習內容和原有認知結構中先備概念間的聯結關係，從中促進概念的理解，並統整成一個更大、更廣的知識結構，作為後續學習的基礎。過程中學生能明瞭自己的學習行為是有意義的，並且是主動進行概念的連結與統整，有意義的學習便告產生(余民寧， 1997)。但要達成有意義的學習，下列三項條件是必須具備的(余民寧， 1997)： 1.學習的材料在本質上必須是有意義的；學習材料本身，即具有提供學習者以有意義方式連結其知識結構的潛力。我們不可能針對無意義音節或隨意擷取一段文章材料，即要求學習者能夠產生有意義的學習。 2.學習者必須具備相關的知識或概念；亦即，學習者必須事先具備足供聯結新學習概念的既有概念架構(conceptual framework)。 3.學習者必須顯示出有意義學習的心向；學習者必須為自己的學習負起責任，願意主動嘗試將新知識與既存概念架構做聯結，以建構起有意義的理解。 Ausubel 的理念落實到教學中，即要求教師ㄧ方面注重基本概念、基本原理的教學，二方面注重知識的系統化(曹中保， 1994)。教學設計著重協助學生能將已有的知識和新知識產生關聯性，透過合邏輯性的教學內容組織模式，協助學生學習。教學初可設計類似題進行概念引導，教學後設計變化題，確認學

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生建立的概念(王映雪、林穎， 2008)。教師教學前事先了解學生已經學過的概念，教學設計強調舊經驗與新知識的連結，以利教學中能善用舊經驗過渡到新知識，在教學內容融入類似題進行概念引導與概念確認。 (二 )有意義學習論的教學步驟 Ausubel 著重學生的舊經驗，在講授新概念時，和其相關的舊概念也應該有意識的提出來，讓尚未明確掌握這些舊概念的學生有機會再次學習。在漸進分化的教學原則下，概念建立後利用學習結果的回饋作用，讓學生及時了解學習的結果(譚細龍， 2003)；提供適當的範例，促進上位概念的形成。在統整調和的教學原則下，協助學生建立整體化的高層次認知結構，融會貫通知識(曹中保，1994；何雪玲， 2008)。提綱挈領的教學模式的概念引入是多樣的。郝琦蕾與姜晉國(2003)和孫秀萍(2003)更進一步的詳細說明提綱挈領的教學模式分為三個步驟： 1.在學習新概念之前，教師應先以學生的認知概念為立足點，進而說明即將要學習的新概念，將新概念的上位概念納入學生的認知結構中；2.依照一般概念到特殊概念的順序，有層次的呈現教材，敎授新概念；3.統整、鞏固新概念，強化學生認知結構。根據文獻上的觀點，有意義教學論所形成的教學步驟可以整理如圖 1 。圖 1 有意義學習的教學步驟其中「提綱挈領」細分為「教師示範、提問」與「教師連結新舊概念」的教學步驟，幫助學習者將新知識與舊概念相連結，吸收同化舊概念；「含攝學習」過程細分為「指導新概念」、「教師練習提問」、「學生解題」的教學步驟，教師逐步的講解說明學生須學習的子概念，引導學生學習新概念，學生逐漸將所學概念含攝在較廣的概念中；此時，學生能了解新學習的知識與舊概念間的異同，此為「漸進分化」過程；同時，能將新學習的知識與舊概念產生一教師示範、提問教師連結新舊概念指導新概念學生解題綜合練習整合新概念教師練習提問

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種上位概念，「層級學習」便開始產生。學生能指出相似與相異的概念，將分化後的知識再連結起來，成為有組織的知識結構，即為「統整調和」。圖 1 的教學步驟將作為研究者教學實施時的參考，同時「整合新概念」和「綜合練習」等教學步驟中，設計相關的活動或問題，讓學生有機會進行代數基本性質概念的統整和應用。三、結合有意義教學論的活動和教學策略 (一 )心智圖活動：提供學生概念整合的機會 心智圖(mind mapping)是一種將放散性思考具體化的工具，以樹狀的結構來呈現思維過程，有助於發揮學生問題解決的能力(許麗玲、章美英、謝素英，2008)。同時心智圖也是將概念圖像化或視覺化的擴散性思考模式，利用線條、顏色、數字、符號、圖形等多種方式，將想法或點子以簡單明瞭的方式記錄在心智圖上，能輕易的組織各種想法，激發更多的創意(羅玲妃譯， 1997)。 Hanf(1971)認為心智繪圖能用來訓練思考、增進記憶力、提升聯想力、加強注意力等，非常適用學生如何問題解決的思考推理(吳國江， 2004)。王開府 (2007)認為圖像學習的心智圖具有能將學習內容化繁為簡的精緻化功能；能聚焦在重點上，加深印象的重點化功能；能篩選重要概念，安排概念之間的關係，並加以延伸，使思考更周延的邏輯化功能；能組織分散之資訊，有利於系統與整體理解的組織化功能；能將新的資訊與舊的知識結構統整，促進有意義學習的統整化功能。魏靜雯(2004)提到心智圖是由中心向四周擴散，愈靠近中心的概念屬於愈重要的概念，且強調能將分支間的相關概念連結起來，在運用上不同於機械式的技巧使用，而是具有主動思考和連結的歷程。而且，心智繪圖是一種容易學習的方法，從幼童到老年人都適用(Buzan, T. & Buzan, B., 1997) 。由此來看，心智圖強調學習者須能主動連接新、舊概念，也認為概念間具有階層性，這樣的觀點和 Ausubel 有意義學習論的主張類似，都強調透過學習歷程中對概念進行主動的統整，來達成學習的目的。因此，在研究者依據 Ausubel 有意義學習論所設計的教學方案中，融入心智圖繪製的活動，提供學生進行概念整合的機會，以達成有意義學習代數基本性質的目的。不過林嘉玲 (2003)針對七年級學生的研究指出，學生對於顏色與圖像的運用以及聯想方式

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並不順暢。因此，本研究考量四年級學生的能力，以及在本研究中心智圖所扮演的角色，僅要求學生在繪製心智圖時把握住幾個原則：一是將所學中心概念放至中間；二是將與此中心概念相關的子概念放置周邊，並以連接線連接；三是針對所聯想到的子概念，嘗試以舉例或文字說明的方式，讓子概念能更清楚、明確的呈現。本研究所採用的心智圖精簡圖如圖 2。圖 2 心智圖簡圖 (二 )小組合作學習和提問的教學策略：提供學生概念整合和應用的機會 Ausubel 有意義學習論關注的是學習者個人主動進行連結和整合的學習，透過有意義學習的方式，來強化與理解所學習的新概念，同時成為下一階段學習的基礎。這樣的概念和數學教學中注重學生思考，強調學生為中心，促進數學理解為目的（Anderson, 2003; Kilpatrick & Silver, 2000）的教學主張相符。而要達成這樣的教學目標，合作學習是一個合適的教學策略，因為透過合作解題可以促進學生溝通、主動思考、合作解題等能力，達成數學學習的目標 (NCTM, 2000)。雖然相關研究 (如吳素貞， 2000；傅明例， 2000)發現合作學習能增進同儕間的學習氣氛和互動，但 Bruhl 與 Serna(1998)主張要為學生選擇合適的夥伴，才能產生品質較好的社會互動。Swin 與 Peterson(1982)也認為小組中的同儕互動並非都具有建設性，因為合作情境雖然提供學生更多互動機會，但也給予學生從事學習無關行為的機會(如聊天 )，因此秩序的維持與討論文化的建立非常重要。中心概念子概念子概念子概念子概念子概念子概念

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在學生學習的過程中，總會遇到思緒受阻的情形，教師除了可以鼓勵學生多方嘗試，引導學生利用自己原有的認知結構尋找解決問題的分法外，亦可提供學生互相討論的機會，因為學生之間的討論可以提升他們的詮釋能力(詹勳國等譯，2004)，而且師生間透過分組討論、交流的相互作用，可啟發學生積極的思維（顧宏偉，2008；郝琦蕾、姜晉國， 2003；陳柏良， 2004），藉此體會數學思考的內涵，並且在過程中強化新舊概念的連結和整合，這些都是小組合作學習的優勢。上述文獻的主張，提醒了研究者在營造出教室的討論文化和氣氛後，可以在教學最後步驟的「綜合練習」時(圖 1)，來採用小組合作討論的教學策略，透過不同程度同儕之間的討論、溝通與評析，除了提供學生綜合應用所學概念進行解題的機會外，也可以藉此多瞭解不同的思考與解題策略，藉此更強化新舊概念之間的連結和整合，在提升數學概念學習成效的同時，也提升學生思考和推理的能力。此外，「提問」也是在教學中經常使用的策略，透過提問可以協助學生舊經驗的提取，也可以促進探究、質疑、挑戰或澄清概念(張靜文， 1997)。 Artzt 和 Armour-Thomas (2002)認為提問是有效擴展學生思考之核心， Orlich(1998) 也指出教師若能有效運用提問技巧，則可激發學生不同層次之心智活動。綜合上述學者的主張，發現教學過程中提問策略的使用，不但能協助學生舊經驗的提取，引導學生新概念學習，促進高層次認知的思考，同時可以透過提問讓學生不斷的在新舊概念之間進行連結，或是原有認知架構和新概念之間進行互動，達成概念理解或重組的目的。因此，提問的教學策略也和有意義學習論的觀點相符，可以作為研究者數學教學時的參考。

参、研究方法

一、研究方法本研究主要是運用 Ausubel 的有意義學習論，來協助四年級學生代數基本性質概念的學習。採用的研究方法是行動研究法，先從文獻探討中來形成一個符合「有意義學習論」的教學步驟(圖 1)，依此步驟的各項原則進行教學：教學前，以學生的舊經驗為立足點，設計教學方案；教學中，透過提問策略，逐

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步引導學生代數基本概念的學習，達成代數基本性質概念的理解；教學後，要運用心智繪圖活動和小組合作學習策略，讓學生組織新舊學習的概念，進行概念的整合和應用。在行動的過程中，會針對學生的反應來進行教學步驟的反省與修正，隨時檢驗是否達成本研究所設定的研究目的。二、研究對象本研究實施的對象為高雄市研究者任教的一班四年級學生，共有 29 位學生，15 位男生和 14 位女生。其中有 4 位是屬於單親家庭， 2 位外籍配偶家庭。學生家長學歷大多數為高中職、專科與大學三種，多數從商(以自行開設公司或經營店面生意為主)，其次為上班族 (公務體系和私人機構 )。多數家長經濟收入穩定，較關注學生，家長常主動積極關心學生的學習情形。整體來說，學生家長普遍關心學生的學習，會不定時的到校或以電訪方式了解學生的學習情況，甚至對於學生的解題紀錄有疑問時，也會以聯絡簿或電話的方式進行了解，並尋求老師專業的說明，親師之間溝通良好。學生在數學學業成績表現為常態分布，雖有學生學習表現較弱，但上課中仍會積極回答他所會的問題。三、課程內容由表 2 可知，代數基本性質在四年級下學期的教材中，安排在乘法和除法兩個單元，並希望讓學生理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積(4-a-01)，以及能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題(4-a-03)兩條分年細目。而這兩條分年細目涉及的代數基本性質，雖然以乘法結合律和乘除互逆為主，但涉及到包含乘除四則混合算中代數基本性質的應用(如先乘再除與先除再乘的結果相同 )。因此，本研究針對這兩條分年細目進行課程的設計，同時也透過測驗的編制和心智圖的繪製，來檢驗學生對於其餘代數基本性質(如加法結合律和加減互逆 )的理解程度。四、教學行動的嘗試與修正 (一 )醞釀探索期 於四年級上學期實施，主要目的為確定研究主題與教學步驟。研究者將從文獻中了解的學習論的內涵，融合本身的教學經驗，設計初步的教學步驟如圖 3。

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圖

3 初步的教學步驟

研究者發現「提取舊知識」的教學步驟將所有相關的舊知識幫學生全部複習，花費較長的時間，反而削減學生學習新概念的興致，且在後來與新概念的連接上，並沒有很明確；在「解題」步驟上，解題內容為教材內容的解題，沒有提供學生跳脫既定問題的機會，連帶造成「質疑辯證」步驟的內容侷限在教科書問題的解題策略上。研究者再回頭進行文獻的探討，並透過四上數學單元教學過程中的省思與修正，逐步形成正式教學的教學步驟(如圖 1)，以此教學步驟設計四下「乘法」與「除法」兩個單元的教學方案。初步根據學生三年級數學科領域的學科成績排序，採用 S 型方式安排出小組的討論成員，進行單元教學後，有二組的小組成員在討論進行到最後時，因個人耐性問題及與小組成員人格特質上不契合，討論過程出現些許問題，因此參酌學生的人格特質，調整小組討論的成員(如表 4)，讓小組討論能順利進行並發揮功效。趙筱惠(2003)曾以一題多變的方式來培養學生分析問題、解決問題的能力，由淺入深、由易到難的引出內在知識的內在聯繫，進而提升學生的推理能力。研究者思考在「挑戰題」設計的難易度與設計的形式上，對於四年級學生，將一個題目依照概念層次設計成幾個小問題，是否也能逐步協助學生的推理思考，這樣的想法將落實在教學者的教學行動中。從文獻中研究者整理出挑戰題設計的形式，但該設計何種的內容，能有效的提升學生的推理思考能力呢？研究者再次回到文獻探討中，代數課程內容欲培養的是學生的推理能力，即為學生的代數推理能力，利用代數概念進行思考解題並將其抽象化的過程，能培養學生察覺並歸納規則性的能力。省思此時期的教學經驗與結合文獻探討的結果，挑戰題設計嘗試以一題多問分是引導，輔以表格方式呈現，協助學生透過表格的協助，進行規則性內容的觀察。協助學生進行代數推理的思考。提取舊知識連結新概念教學者概念說明解題質疑辯證教學者歸納內化

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表 4 第二次小組成員分配表組別組員第一組 S16 S24 S08 S29 ─ 第二組 S05 S11 S21 S28 S06 第三組 S12 S20 S18 S17 S10 第四組 S23 S02 S03 S19 S30 第五組 S25 S14 S22 S13 S09 第六組 S04 S01 S15 S26 S27 (二 )教學研究期與整合期 研究者依據確定的教學步驟與挑戰題設計原則，事先設計「乘法」、「除法」課程單元的教學方案並進行教學，同時進行資料蒐集與分析，結合紙筆測驗結果，將研究結果進行歸納、整理，撰寫成研究報告。三、研究工具測驗試題參考黃碧雲(2005)編制的試題，修改編制成「代數基本性質評量試題」，試題內容詳見附錄一。試題的第一部分為概念理解的選擇題類型，第二部份為運用概念的計算題類型：概念測驗內容包含加法結合律、加減互逆、乘法結合律、乘除互逆、連除兩數等於除以兩數的積、推理等六個部份，推理題取自 TIMSS 2003 的試題，互逆概念細分為基本的互逆概念、利用互逆概念解題、利用互逆概念驗算等三個小部份，每個概念盡量有兩題以上，且同概念的試題盡量避免以題號連續的方式出現，加入檢測題，檢測學生概念認知情況。將連除兩數等於除以兩數的積的概念加入概念測驗題中，以了解學生透過學習理論協助，對於初次學習的代數概念學習情況。概念運用包含加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、分解等概念，從結果分析學生代數概念的認知學習成效，以及運用概念的解題成效。四、資料處理 (一 )資料蒐集 研究者於教學過程中紀錄教學日誌，蒐集學生的心智圖、學生解題紀錄與

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發表記錄、學生數學札記(附錄二 )、半結構性的訪談資料、紙筆測驗結果等資料，並將教學過程錄音、錄影，以利研究者日後的分析。 (二 )資料分析 本研究採用游姮茹(2006)的觀點，以 70％為標準，若學生的得分有 70％ ( 以上)，則認為學生達學習成效；若全班有 70％ (以上 )的學生達學習成效，則認為全班達學習成效。為了能清楚的說明學生學習的成效，研究者將學生課堂中三次的解題紀錄、單元心智圖、代數心智圖、挑戰題解題與紙筆側驗予以量化，學生如果能正確的使用與呈現主要的數學概念，或選擇正確答案則得 1 分，如果沒有使用與呈現主要的數學概念，或選擇錯誤答案則得 0 分，依此方式計算出有多少比例的學生能達到學習成效。研究者將全班再分成高成就學業表現、中成就學業表現與低成就學業表現，以學生三年級與四年級上學期的數學月考成績為主，成績在全班前 25％的學生為高成就學業表現，落點以 90 分為分界，共有 8 名學生；成績在全班後 25％的學生為低成就學業表現，落點以 75 分為分界，共有 9 名學生；其餘 12 名學生為中成就學業表現學生，期望這樣的分類能分析全面性的資料，深入的了解不同學習成就學生學習的情況。

肆、研究結果與討論

一、學生代數基本性質概念的學習成效 (一 )學生解題的白板紀錄 研究者將學生課堂中三次的解題紀錄與以量化，從白板的解題紀錄中，能達到學習成效的學生比例如表 5。

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表 5 學生達到代數基本性質概念學習成效比例表第一次解題紀錄第二次解題紀錄第三次解題紀錄高成就學生 63％ 75％ 100％中成就學生 8％ 75％ 83％低成就學生 0％ 44％ 78％全班平均 22％ 66％ 87％從表中可看出學生在三次的解題紀錄中逐步進步的趨勢，第一次解題有 78％比例的學生還是習慣用直式算則進行解題，第三次時有 87％的學生達學習成效，顯現過 Ausubel 學習理論的協助，雖然無法立即的讓學生熟練相關的解題技巧，但能逐步的讓學生將數學概念與解題融合，協助學生概念的理解與運用。 (二 )學生的心智圖紀錄 1.學習單元概念的心智圖研究者分析「乘法」新的概念有單一單位與多單位兩種記錄方式，與倍數、乘法交換律、乘法結合律、乘除互逆、併式等五個數學子概念，若學生在心智圖中能呈現出四個(含以上 )的子概念，則認定學生透過學習理論在「乘法」數學概念的學習，能理解完整的「乘法」數學概念，若無則認定未完整理解；「除法」新的概念有單一單位與多單位兩種記錄方式，以及除以整數倍、乘除互逆、A÷B÷C＝ A÷（ B×C）、併式等四個數學子概念，若學生在心智圖中能呈現三個(含以上 )的子概念，則認定學生透過學習理論在「除法」數學概念的學習，能理解完整的「除法」數學概念，若無則認定未完整理解。以下將「乘法」與「除法」兩個單元中，三種不同學習成就的學生，在心智圖中能正確呈現出 70％ (含以上，完整理解人數 ÷全部人數 ×100%)的概念的學生比例如表 6。表 6 學生單元概念達到學習成效比例表單元高成就學生中成就學生低成就學生全班平均乘法 100％ 100％ 89％ 89％除法 100％ 73％ 44％ 72％

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整體來看，學生在「乘法」與「除法」單元中，都能有效的將觀念做正確的整合；其中，學生「乘法」概念的學習成效比「除法」概念的學習成效高，表示多數學生對於除法概念的學習是感到困難。對於低成就學生在除法單元的心智圖概念整合表現上，達到有效學習的比例偏低，研究者僅能利用下課時間給予學生觀念上的說明與例題的講解。將資料進行質性分析，發現高成就學生 (如圖 2)在「乘法」心智圖已經能呈現概念間的連結與層級上的安排，中程就學生則在第二次「除法」心智圖(如圖 3)才呈現出概念間的層級安排，但低成就學生在兩次心智圖(如圖 4、圖 5)的概念層級上沒有明顯的差異。圖 2 高成就乘法心智圖圖 3 中成就除法心智圖圖 4 低成就乘法心智圖圖 5 低成就除法心智圖

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2.代數基本性質的心智圖學生在「代數」心智圖中能正確呈現出 70％ (含以上 )的概念的比例如表 7 。從表中得知中、高成就學生能有效的達成代數概念的學習，而低成就學生能達成學習成效的比例為 67％，僅 3 位學生未達學習成效，其中「乘法結合律」與「乘除互逆」是學生最容易遺忘的兩個概念。深入將資料進行質性分析，發現學生能察覺「分配律」的存在，能感受「未知數」概念也是包含在代數概念下的，學生多以「加法」、「減法」、「乘法」、「除法」四種運算類型作為代數概念分類的依據。整體而言，從學生「代數」心智圖的學習成效來看，透過 Ausubel 學習理論的協助，能有效協助學生在代數基本性質概念的學習與保留。表 7 學生教學後達到代數基本性質概念學習成效比例表高成就學生中成就學生低成就學生全班平均 100％ 92％ 67％ 86％將資料進行質性分析，高成就學生的「代數」心智圖(如圖 6)與中成就學生的「代數」心智圖(如圖 7)，能將代數基本性質的六個概念完整的呈現在心智圖中，分類方式是以「加法」、「乘法」、「除法」三種運算符號為第一層的分類依據，再將歸類為同一種運算符號的代數基本概念詳列在這一層之下；而在學習的過程中，已經能將同為代數概念的「分配律」概念與「未知數」概念歸類在一起。低成就學生的「代數」心智圖(如圖 8)，六個代數基本性質概念遺漏「乘除互逆」概念，「加減互逆」概念則重複出現在「減法」與「加法」層級之下；分類方式是以「加法」、「減法」、「乘法」、「除法」四種運算符號為分類依據，再將歸類為同一種運算符號的代數基本概念詳列在這一層之下，在運算符號的空間安排上，對於「乘法」與「加法」具有相關性的子概念採上、下對稱的空間格式安排，而「減法」與「除法」則採用左、右對稱的空間格式安排。

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圖 6 高成就代數心智圖圖 7 中成就代數心智圖圖 8 低成就代數心智圖 (三 )學生在紙筆測驗第一部份的解題表現 筆試施測時間是第四章除法課程結束一個月後才進行，從延後施測的結果來了解學生對於相關的代數概念是內化還是短暫的記憶。並加入試題 9、試題 18、試題 22、試題 23 等四題檢測題，從檢測題的答題情況了解學生對於這兩個概念是真的了解，還是認為加法算式的逆算一定是使用減法，或是乘法算式的逆算一定是使用除法，此為研究者加入檢測題的用意。將學生對於代數基本性質概念解題的答對率整理記錄如表 8。

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表 8 學生代數基本性質評量試題解題表現摘要表加法結合律加減互逆利用加減互逆觀念解題利用加減互逆觀念驗算連除兩數等於除以兩數的積題號 1 12 4 15 6 7 17 18 10 21 22 3 14 答對人數( 人) 28 28 28 28 29 23 28 26 29 26 27 25 24 各題答對率％ 96.6 96.6 96.6 96.6 100 79.3 96.6 89.7 100 89.7 93.1 86.2 82.8 平均答對率％ 96.6 96.6 92.0 94.8 84.5 乘法結合律乘除互逆利用乘除互逆觀念解題利用乘除互逆觀念驗算題號 2 13 5 16 8 19 20 9 11 23 答對人數( 人) 26 23 28 27 28 27 26 23 29 25 各題答對率％ 89.7 79.3 96.6 93.1 96.6 93.1 89.7 79.3 100 86.2 平均答對率％ 84.5 94.8 93.1 其中「連除兩數等於除以兩數的積」的解題有八成以上的答對率，此部分的概念雖不在研究者的研究探討範圍內，卻間接佐證 Ausubel 概念式的學習理論，能有效協助學生達成數學概念的學習。整體而言，加法結合律、加減互逆、乘法結合律、乘除互逆等概念的解題都有八成以上的解題答對率；在檢測題部分，加減互逆與乘除互逆的檢測題平均答對率都有八成以上；因此，對於學生整體的解題情況分析，透過檢測題可以了解班上學生對於加減互逆與乘除互逆的概念有八成以上的學習成效。加法與乘法的代數概念試題解題答對率相比，加法相關的代數試題解題平均答對率優於與乘法相關的代數試題解題平均答對率；在加法結合律與加減互逆的概念的解題答對率優於乘法結合律與乘除互逆的解題答對率；在利用加減

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互逆概念進行解題與驗算的解題答對率比利用乘除互逆的概念進行解題與驗算的解題答對率還要低，但在檢測題部分的答對率，利用加減互逆概念解題與驗算的答對率卻比利用乘除互逆概念解題與驗算還要高；因此，研究者研判學生對於加法結合律與加減互逆概念比乘法結合律與乘除互逆概念還要容易理解，但將互逆概念應用在解題與驗算上時，因為乘除互逆概念出現的頻率較高，使得學生對於此概念的應用不會感到陌生，雖然解題與驗算部分是乘除互逆的答對率較高，但從檢測題的解題情況來看，研究者認為四年級學生對於加減互逆概念的解題與應用上，比較不會有錯誤概念或概念不清的情況。從表 8 中可以明顯看到第 7 題與第 17 題答對的人數有著明顯的落差，兩題都是未知數在前的題型，差別在於第 7 題是減法的算式，第 17 題是加法的算式，第 7 題答錯的學生在第 17 題全數答對，研究者認為減法算式的加減互逆概念應用對學生比較困難。二、學生在運用代數基本性質概念的解題表現 (一 )學生在挑戰題第一部份的解題表現 挑戰題的設計分成兩個部份，第一部份為融入代數概念的文字題，由學生自己進行解題，從學生的算式紀錄中了解學生運用代數概念的情形，第二部份為融入規則化概念的推理題，學生分組進行解題，從學生小組的白板紀錄與小組發表中，了解學生運用代數概念與進行推理思考的情形。在「乘法」單元的挑戰題試題(附錄三 )，將乘法結合律概念融入在「早餐」與「午餐」問題中；在「除法」單元的挑戰題試題(附錄四 )，將乘法交換律與乘法結合律概念融入在第c題與第 f題中。以下將高成就學業表現學生、中成就學業表現學生與低成就學業表現學生在各題答對率統計如表 9。

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表 9 學生在挑戰題的文字題解題答對率題目(號 ) 「乘法」單元「除法」單元早餐午餐 c f 高成就學生兩題平均 75％ 75％ 88％ 94％ 75％ 88％中成就學生兩題平均 50％ 58％ 67％ 75％ 54％ 71％低成就學生兩題平均 44％ 44％ 22％ 44％ 44％ 33％各題平均 56％ 59％ 59％ 69％從表 9 中得知，可看出高成就學業表現學生在「乘法」單元對於代數概念的運用，已經能達到學習成效；中成就學業表現學生在「除法」單元呈現出達成學習成效的結果；低成就學業表現的學生，在「乘法」單元與「除法」單元的學習過程中沒有顯著的學習成效，顯現兩個單元的學習歷程尚無法協助低成就學業表現學生達到學習成效。中、高成就學業表現學生在相同單元的解題中，第二次的題目的解題答對率比第一次的題目的解題答對率還要高，顯現學生有了前一題的解題經驗後，喚醒學生的代數概念，進而運用代數概念進行解題，因此呈現後一題比前一題還要高的解題答對率；從整體來看，中、高成就學業表現學生的解題答對率呈現持續進步的趨勢。低成就學業表現學生的解題答對率呈現持平的情況，但在「除法」單元中第c題的解題答對率卻比第 f題的解題答對率低，深入觀察學生的解題算式，學生因為對文字題題意不清，所以呈現錯誤的解題紀錄；以及因為數字簡單，所以學生直接以直式算則算出答案。總而言之，透過學習理論的協助，中、高成就學業表現學生運用概念解題逐漸進步的趨勢，以及達成有效的學習成效；低成就學業表現學生在兩個單元的學習過程，還無法達到有效的學習成效。

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(二 )學生在紙筆測驗第二部份的解題表現 第 26 題與第 27 題難易度相當，都是三個項數；第 28 題與第 29 題難易度相當，加法部分是四個項數，比第 26 題多一個項數，乘法部分是學生比較少接觸的 8 和 125 的乘法，比第 27 題較難；第 30 題與第 31 題難易度相當，加法部分是五個項數，比第 28 題再多一個項數，並且加入分解的概念，乘法部分則比之前試題多了四個項數提高試題的難度。以下將學生對於推理與運用代數基本性質概念解題的答對率整理記錄如表 10。表 10 推理與運用代數基本性質概念解題答對率加法性質應用乘法性質應用推理題號 26 28 30 27 29 31 24 25 高成就學生 87.5％ 100％ 75.0％ 100％ 87.5％ 75.0％ 93.8％中成就學生 91.7％ 91.7％ 33.3％ 91.7％ 83.3％ 58.3％ 91.7％低成就學生 66.7％ 22.2％ 0 77.8％ 44.4％ 22.2％ 83.3％各題平均 83.0％ 73.9％ 35.8％ 89.6％ 73.3％ 52.7％整體平均 64.2 71.8 89.9％從表 10 得知，中、高成就學生在試題 26 與試題 27 都能達到學習成效，觀察低成就學生在試題 26 的解題情況，學生因為對加法計算經驗豐富，造成低成就學生對於運用代數概念進行解題沒有其必要性時，選擇直接使用由左往右算的解題策略；乘法解題時為了讓計算更於便捷、快速，學生會運用代數概念進行有效率的解題。研究者認為學生對於代數概念進行解題的必要性考量，是造成試題 27 比試題 26 答對率還要高的原因。低成就學生在乘試題 28 與試題 29 未能達到學習成效，顯現低成就學生面對較多項數的算式時，仍以最熟練的直式算則進行解題。只有高成就學生在試題 30 與試題 31 解題達到學習成效，顯現中成就學生與低成就學生對於繁多的項數與多重概念的應用，尚無法達到學習成效。整體而言，透過學習理論的協助，顯現三種學習成就的學生對於基礎的試題 26 與試題 27，都能達到有效的學習；但隨著試題難度增加，三種學習成就的學生能達到的學習成效則有限。

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三、學生在代數推理與情意上的表現 (一 )學生代數推理能力的表現 學生對於規律的探究，經由推測、檢驗推測、察覺序列之間存在著某中特定或一致性的關係，能以文字或具體有意義的算術規則描述此關係，也能用這層關係推論預測與延伸下一個規律結果，接著分析規律的結構，辨識規律的通則，進而能歸納發展出規律的抽象通則化規則。因此，本研究設計將「一群數依某種規律排成序列的問題，且此數列不包含任何情境」的「數的規律問題」融入挑戰題的設計中，呈現經過設計的數字，如 1152、 1440、 2304、 3360、 3456、 3840、 4320、 4800、 14400 等 10 組數字，學生可以利用各種想法進行推測，觀察出可能形成規則的三個數，透過小組的說明與分享，讓學生從分享中了解同學的思考方式，讓研究者檢視學生基礎代數推理能力。在基礎代數推理能力的表現上，透過學生在「乘法」單元的挑戰題的發表與訪談中，了解學生從小組的觀察與討論，說明找尋的方式就是一種規律的察覺，學生運用三種方式找尋具備規律的三個數：1.尋找接近的數，學生依照數字的相近程度來決定，或先取百位的概數來判斷，解此尋找兩個差距不大的數。2.觀察數字變化，學生從千位數字 3、 2、 1 的排列形式來判斷。 3.最高位數字相同，學生將千位都是 3 的四位數放在一起，對這些數作初步的分類，再從每一類中或類與類中尋找排在一起具有規則的三個數。顯現學生已經具備基礎代數推理能力。在一階代數推理能力的表現上，學生依循「尋找接近的數」、「觀察數字變化」、「最高位數字相同」方式找尋具備規律的三個數，再結合加法與減法算則，將數列中的前後兩數做運算，找出數列的規則；也從「數的倍數關係」 (ex.2304 是 1152 的 2 倍 )、「解題算式」 (ex.48×70, 48×80)中找出所形成的規律，顯現學生已經具備一階代數推理能力。在二階代數推理能力的表現上，學生在「除法」單元的挑戰題的發表與訪談中，發現學生透過二維表格的呈現方式，學生以「通分概念」、「約分找等值分數」、「等比例概念類推」三種方式，找尋出表格中「每分鐘的打字字數」的數值，或利用「乘除互逆」概念，確定「字數」、「時間」、「每分鐘的打字字數」三者的關係，進而呈現「字數」÷「時間」＝「每分鐘的打字字數

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」的關係，顯現學生已經初步具備二階(數學模式化 )代數推理能力。 (二 )學生在情意上的改變 Ausubel 有意義學習理論除了對學生在代數基本性質概念的認知與運用能達學習成效外，本研究也發現 Ausubel 學習理論對於學生的學習情意亦有所影響。在數學學習的喜好上，學生在數學札記中提到：「我覺得寫挑戰題可以讓頭腦更靈活」，以及「雖然這會比較難，不過它會讓我想到底要怎麼解，會使我的思考能力更上一層」，顯現學生面對數學問題願意動腦思考各種解題方法，讓自己的數學思維更靈活。在上課中問說：「要作挑戰題了嗎？為什麼不能每一章都作挑戰題。是因為時間不夠嗎？」，顯現學生勇於接受挑戰。透過心智圖的協助，學生在數學札記說：「知道這個單元和其他的觀念有什麼關係，或還有什麼觀念」，能將數學概念作連結與整合。透過小組的討論與合作，學生認為：「小組討論可以跟對方想出正確答案，也可以跟對方問自己不懂想法的問題，了解對方的意思、想法，也可以利用想法想出了自己克服不了的問題」，而且，當研究者要問問題時，學生會說：「老師，搶答」，並提供意見：「老師你數到三，我們再舉手；老師你先面向黑板，你一轉頭我們就舉手；那老師要轉向我們這一邊；這樣不公平，老師你問兩個問題，每一邊都轉頭一次」，學生對數學問題不再恐懼，學生對數學學習更 具信心；也因為「同學會互相鼓勵、幫助不會的同學，讓他 (她 )去懂這個題目 的觀念，讓他 (她 )懂這個題目怎麼算」，對學生而言，數學討論是一個愉快的 經驗。由此，顯現學生對數學的喜愛。在學習態度上，課堂中學生此起彼落的說「老師，我看到很多耶，要全部講嗎？這樣會講不完耶？」、「老師，叫我啦，我要多講一些！」、「老師，這太簡單啦！我講的是課本沒有的題目喔！」，因為概念理解，學生學習態度甚為主動積極。學生曾說：「老師，其實我以前很討厭上數學課。」詢問為什麼對數學課的態度會有改變，回答說：「之前上數學課，有些都不懂，現在上數學課都比較懂，又可以搶答，發表自己的意思。」連帶和同學的討論互動也改變：「以前都不懂那些觀念，所以都不會，就覺得很困擾，現在就都比較懂了，所以覺得心情會比較好一點」。學生因為不理解概念，無法融入課堂學習，而今，因為學習理論幫助學生數學概念的學習，形成有意義的學習，對於數學學習更增添信心與積極，能主動提出疑問，融入數學學習

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，形成學生良好的學習態度。

伍、結論與建議

一、結論本研究有四個結論。數學學習是積沙成塔的工程，學生在概念的認知學習上，從學生三次解題的白板紀錄中，「乘法」、「除法」與「代數」心智圖的紀錄中，以及紙筆測驗中，發現學生能逐步理解數學概念，能將數學概念作有效的整合、保留與內化，顯現 Ausubel 學習理論能協助學生對抽象的代數概念進行有意義的認知學習。學生在運用概念進行解題上，在兩個單元的教學過程中，中、高成就的學生能達到學習成效，但低成就學生受到文字題題意的理解程度、試題算式項數多少與試題融合多種概念等因素的影響，無法在兩個單元達到良好的學習成效。學生在代數推理上，藉由研究者自行設計的挑戰題，讓學生以小組討論的方式進行代數推理思考，透過學生運用「尋找接近的數」、「觀察數字變化」、「最高位數字相同」等三種找尋規律的方式，再結合加法與減法算則找出數列中的規則；或從「數的倍數關係」、「解題算式」中察覺出數列的規律。透過二維表格方式，以及「通分概念」、「約分找等值分數」、「等比例概念類推」三種思維找尋「每分鐘的打字字數」的數值，或以「乘除互逆」概念思考，察覺「字數」、「時間」、「每分鐘的打字字數」三者的數量關係模式，顯現學生能達成代數推理能力的三個層次。 Ausubel 學習理論對學生數學學習興趣與學習態度亦有正向影響，學生在教學活動中獲得成就感，對數學學習更具信心，提升學生的學習興趣；因為對數學概念的理解，學生對數學課充滿學習的樂趣，學習態度轉為積極主動。二、建議本研究提供兩點的建議。第一，概念教學著重概念的完整性，經過研究者的嚐試後，建議日後教學者進行數學概念教學時，單元的子概念應在同一天教授完成，讓學生可以完整的進行概念的學習，不會造成概念學習中斷的情況。剛開始進行概念教學時，學生會有所抗拒，認為太麻煩了，建議老師可利用其

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他課程時間和學生溝通數學學習的方法，希望學生能了解「數學觀念」與「解題技巧」同等重要，最終可以讓學生感受到「數學概念」學習的好處；第二，規律問題還包含形的、形數與數形等不同的類型，建議可將學習理論融入在不同概念中，結合不同類型的規律問題進行教學，都是未來教學上值得努力的方向。

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