4-1-1圓錐曲線-拋物線

全文

(1)第四冊 1-1 圓錐曲線-拋物線【起源】 1. 直圓錐面：空間中，兩不互相垂直的直線 L, M 相交於一點 V ，固定直線 L 為軸，將直線 M 繞點 V 在空間中旋轉一周，所得的圖形稱為直圓錐面，其中直線 L 稱為主軸，點 V 稱為頂點，變動的直線 M 在空間中的每一個位置都稱為母線。. 2.. 直圓錐面與不過頂點的平面之截痕：設 L, M 是相交於 V 點的兩條直線，讓 M 以 L 為軸旋轉，所得的曲面就是一. 個直圓錐面 Ω ，再用一個不過 V 點的平面 E 去切割 Ω ，所得的曲線稱為圓錐曲線。設 L, M 的夾角為 α ，割平面和軸線 L 的夾角為 β ，則 π (1) 當 β = 時，即平面與主軸垂直，截痕為圓。 2 π (2) 當 > β > α 時，即平面稍傾斜時，截痕為橢圓。 2 (3) 當 β = α 時，即平面再稍傾斜使它與一母線平行時，截痕為拋物線。 (4) 當 0 ≤ β < α 時，即平面再傾斜使它與直圓錐面的上下兩部分都相交時，截痕為雙曲線。【問題】 x y z 1. 直線 L : = = ， L 與 z 軸交於 (0,0,0) ，將 z 軸固定而 L 繞 z 軸旋轉一周所 1 1 1 得的直圓錐面 Ω ，試判別下列各題分別為何種圖形： (1)平面 E : z = 3 ， E 與 Ω 的交線。 (2)平面 F : 2 x − y − z = 3 ， F 與 Ω 的交線。 (3)平面 G : 2 x + 2 y + z = 1 ， G 與 Ω 的交線。 (4)平面 H : x − 2 y − 2 z − 4 = 0 ， H 與 Ω 的交線。 2. 平面與直圓錐面 Ω 的截痕還有哪些圖形？ 3. 若將直圓錐面 Ω 改成直圓柱面後，則截痕有哪些可能圖形？ 4. 直圓錐面方程式如 x 2 + y 2 = z 2 ；直圓柱面方程式如 x 2 + y 2 = c 2 。. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P1.

(2) 【圖形】 1. 圓：. 2.. 橢圓：. 3.. 拋物線：. 4.. 雙曲線：. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P2.

(3) 【定義】 1. 拋物線(截痕)：當 β = α 時，則割平面 E 和 Ω 交於開口的一支，這時，我們只能塞進一個球，它和 Ω 相切於圓 C ，和割平面相切於 F 點，另外，圓 C 所在的平面和割平面交於一條直線 L ，稱為準線。 2. 拋物線：在一平面上，設 F 為一定點， L 為不過 F 的一條固定直線，則到定點 F 與到直線 L 的距離相等的所有點所形成的圖形稱為拋物線。定點 F 稱為焦點，定直線 L 稱為準線。 3. 對稱軸：過焦點且垂直準線的直線稱為對稱軸(簡稱軸)。 4. 頂點：拋物線與對稱軸的交點。 5. 焦距：焦點到頂點的距離，一般以 | c | 表示。 6. 弦：拋物線上任意兩相異點的連線段。 7. 焦半徑：拋物線上任一點與焦點的連線段。 8. 焦弦：通過焦點的弦。 9. 正焦弦：垂直對稱軸的焦弦，一般以 4 | c | 表示。註：(正焦弦長) = 4 × (焦距)。證明： (正焦弦長) = AB = 2 AF = 2 FM = 2( 2 × OF ) = 4 × (焦距) = 4 | c | 。. 【類型】 1. 對稱軸為 x 軸的拋物線標準式：設拋物線 Γ 的頂點 O (0,0) ，對稱軸為 x 軸，焦點 F (c,0)(c ≠ 0) ，準線 L : x = −c (即 x + c = 0 )，則 Γ 的方程式為 y 2 = 4cx 。證明：設 P ( x, y ) 為拋物線上的任一點，則 PF = d ( P, L ) ⇒ ( x − c ) 2 + ( y − 0) 2 =| x + c | ⇒ y 2 = 4cx 。 2. 對稱軸為 y 軸的拋物線標準式：設拋物線 Γ 的頂點 O (0,0) ，對稱軸為 y 軸，焦點 F (0, c )(c ≠ 0) ，準線 L : y = −c (即 y + c = 0 )，則 Γ 的方程式為 x 2 = 4cy 。證明：設 P ( x, y ) 為拋物線上的任一點，. 則 PF = d ( P, L ) ⇒ ( x − 0) 2 + ( y − c ) 2 =| y + c | ⇒ x 2 = 4cy 。 3. 拋物線的平移： (1) 將 y 2 = 4cx 平移 ( h, k ) ，得 ( y − k ) 2 = 4c( x − h) 。 (2) 將 x 2 = 4cy 平移 ( h, k ) ，得 ( x − h) 2 = 4c( y − k ) 。. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P3.

(4) 【類型】 1. 中心在原點(標準式)：方程式 y 2 = 4cx (左右型) 類型 c>0 c<0 開口方向向右向左. x 2 = 4cy (上下型) c>0 c<0 向上向下. 圖形. 範圍頂點焦點準線對稱軸焦距正焦弦長. x≥0. y≥0. x≤0. y≤0. (0,0) (c,0) x = −c y=0 |c| |4c| c e = =1 a. 離心率. (0,0) (0, c) y = −c. x=0 |c| |4c| c e = =1 a. 2.. 中心不在原點：方程式 ( y − k ) 2 = 4c( x − h) 類型 c>0 c<0 開口方向向右向左. ( x − h) 2 = 4c( y − k ) c>0 c<0 向上向下. 圖形. 範圍頂點焦點準線對稱軸焦距正焦弦長. x−h≥0. x−h≤0. y−k ≥0. ( h, k ) ( h + c, k ) x − h = −c y−k =0 |c| |4c| c e = =1 離心率 a 到焦點距離 c 註：離心率 e = = 。到準線距離 a. 第四冊第一章. y−k ≤0. ( h, k ) ( h, k + c ) y − k = −c x−h =0 |c| |4c| c e = =1 a. 圓錐曲線 — P4.

(5) 【方法】 1. 求拋物線方程式的解題步驟： (1) 先判別拋物線為上下型或左右型。 (a)若為上下型，則方程式為 ( x − h) 2 = 4c( y − k ) 形式； (b)若為左右型，則方程式為 ( y − k ) 2 = 4c( x − h) 形式。 (2) 求出頂點，以及 c (由開口方向判別正負)。註： (1) 若為上下型，則方程式為 ( x − h) 2 = 4c( y − k ) ，可化為 x 2 + dx + ey + f = 0 或 y = ax 2 + bx + c 形式。 (2) 若為左右型，則方程式為 ( y − k ) 2 = 4c( x − h) ，可化為 y 2 + dx + ey + f = 0 或 x = ay 2 + by + c 形式。 2. 拋物線的參數式： t2 (1) y 2 = 4cx 上點的參數式可設為 P ( , t ), t ∈ R 。 4c t2 (2) x 2 = 4cy 上點的參數式可設為 P(t , ), t ∈ R 。 4c t2 2 (3) ( y − k ) = 4c( x − h) 上點的參數式可設為 P(h + , k + t ), t ∈ R 。 4c t2 (4) ( x − h) 2 = 4c( y − k ) 上點的參數式可設為 P(k + , h + t ), t ∈ R 。 4c 2 2 (5) y = ax + bx + c 上點的參數式可設為 P (t , at + bt + c), t ∈ R 。 (6) x = ay 2 + by + c 上點的參數式可設為 P (at 2 + bt + c, t ), t ∈ R 。【討論】 1.. 若方程式為. ax + by + c. = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 形式，則其圖形為斜拋物線，. a +b 可依照定義求出拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸、焦距、正焦弦長等。【問題】 1. 試問幾個獨立條件可以決定拋物線方程式？ 2. 給定拋物線 Γ 及其對稱軸，試找出此拋物線的焦點與準線？ 3. 給定拋物線 Γ 的準線 L 及拋物線上的兩相異點 P, Q，試找出此拋物線的焦點 F 位置？ 4. 給定拋物線 Γ 的焦點 F 及拋物線上的兩相異點 P, Q ，試找出此拋物線的準線L？ 5. 給定拋物線 Γ 的準線 L 、焦點 F 及拋物線上的一點 P ，試證明此 P 點為過此點切線的切點？ 6. 將一圓柱體沿著與軸成 45° 角之平面截開，再延一母線剪開後展開成平面，則此截口曲線為何種形狀？ 7. 給定一個拋物線的圖形，是否可用作圖方法求出此拋物線的焦點？ 2. 2. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P5.

(6) 【作圖】給定一個拋物線的圖形，如何用尺規作圖方法求出此拋物線的焦點、對稱軸、準線、頂點、正焦弦長。作法： 1. 給定一個拋物線。 2. 作出平行弦中點軌 3. 作出一垂直於平行跡為一平行於對稱弦中點軌跡的直軸的直線。線，也會垂直於對稱軸。. 4.. 過垂直線中點作垂 5. 線，得對稱軸及頂點。. 畫出過頂點及一斜 6. 率為 2 的直線交拋物線於一點。. 從此點作對稱軸的垂線交於一點(即焦點)，直線 PF 。. P. P. F. 給定一個拋物線的圖形，如何用尺規作圖方法求出此拋物線的焦點、對稱軸、準線、頂點、正焦弦長、過某拋物線一定點之切線。 1. 過頂點作焦點的對 2. 連接 PF ，並過 P 作 3. 連接 QF ，並作中垂準線的垂線交於 Q 稱點，並作對稱軸的線(即過 P 點之切垂線(即準線)。點。線)。. P. Q. P. F. Q F. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P6. P F.

(7) 【性質】試證拋物線的一組平行弦中點的軌跡為一直線且與對稱軸平行。 (證明) 設拋物線為 y 2 = 4cx ，一組平行弦為 y = mx + k ，且交拋物線於兩點 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，. y−k ) m ⇒ my 2 − 4cy + 4ck = 0 y + y 2 2c 得 1 為一定值， = 2 m 即平行弦中點的軌跡為一直線且與對稱軸平行。. 則 y 2 = 4c (. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P7.

(8) 【作圖】我們應該如何畫出拋物線？ (方法一) 可用如下方法：給定一個定點 F 與一條直線 L (其中 F ∉ L )，設 Q 在直線 L 上，取 FQ 的中點 R ，過點 R 作 FQ 的中垂線，過 Q 作直線 L 的垂線，兩線的交點 P 就是滿足到定點與定直線等距離(即 PF = d ( P, L ) )的點，所有動點 P 所組成的軌跡即為拋物線，其中定點 F 稱為拋物線的焦點，定直線 L 稱為拋物線的準線。. (方法二) 以一定點為圓心作同心圓，半徑分別為 1,2,3,L ，並作多組平行線，以其中一條當準線，可作出拋物線。. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P8.

(9)