(06) 二次曲線

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(06) 二次曲線

1. 最基本的二次曲線：y＝x² 這個曲線有幾個特點：

(1) 對 y 軸是線對稱，對稱軸為 x＝0 (2) 頂點是(0,0)

(3) y 的最小值為 0。

圖形

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2. y＝x²＋1 先畫y＝x²

再將y＝x²往上移1 單位：

頂點(0,1) 對稱軸x=0 y 的最小值 1

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3. y＝x²−2 先畫y＝x²

再將y＝x²往下移2 單位：

頂點(0,−2) 對稱軸x=0 y 的最小值−2

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4. y＝(x−1)²

我們先問，何時y＝0？

也就是(x−1)²＝0 成立時 x−1＝0

x＝1

因此y＝(x−1)²的頂點是(1,0)

這是將y＝x²右移1 單位 頂點(1,0)

對稱軸x=1 y 的最小值 0

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5. y＝(x+2)² x+2＝0 x＝−2

因此y＝(x+2)²的頂點是(−2,0)

這是將y＝x²左移2 單位

頂點(−2,0)、對稱軸 x=−2、 y 的最小值 0 6. y＝−x²

圖形是y＝x²向下翻轉

開口向下、頂點(0,0)、對稱軸 x=0、y 的最大值 0

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7. y＝(x−1)²+2

圖形是把y＝x²右移1 單位，上移 2 單位 頂點(1,2)、對稱軸 x=1、y 的最小值 2

8. y＝(x＋2)²−1

圖形是把y＝x²左移2 單位，下移 1 單位

頂點(−2, −1)、對稱軸 x=−2、y 的最小值−1

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9. y＝−(x−2)²

圖形是把y＝x²向下翻轉，右移 2 單位

開口向下、頂點(2,0)、對稱軸 x=2、y 的最大值 0 10. y＝−(x＋1)²−2

圖形是把y＝x²向下翻轉，左移 1 單位，下移 2 單位

開口向下、頂點(−1, −2)、對稱軸 x=−1、y 的最大值−2

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11. y＝x²＋4x＋5

我們將方程式做整理 y＝x²＋4x＋5

y＝x²＋4x＋4＋1 y＝(x²＋4x＋4)＋1 y＝(x＋2)²＋1

頂點(−2,1)、對稱軸 x=−2、y 的最小值 1

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12. y＝4x²＋4x−5

我們將方程式做整理 y＝4x²＋4x−5

y＝4x²＋4x＋1−6 y＝(2x＋1)²−6 y＝4(x＋¹

2)²−6

頂點(−¹

2, −6)、對稱軸 x=−¹

2、y 的最小值−6

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13. x＝y²

圖形是將y＝x²旋轉90 度，也可以想像是 y＝x²將x 軸和 y 軸互換所得之圖形。

頂點(0,0)、對稱軸 y=0、x 的最小值

14. x＝−y²

頂點(0,0)、對稱軸 y=0、x 的最大值

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15. x＝y²＋1

頂點(1,0)、對稱軸 y=0、x 的最小值

16. x＝(y−1)²

頂點(0,1)、對稱軸 y=1、x 的最小值 0

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17. y＝2x²

x 0 1 2 3 4 5

y＝x² 0 1 4 9 16 25

y＝2x² 0 2 8 18 32 50

18. y＝¹

2x²

x 0 1 2 3 4 5

y＝x² 0 1 4 9 16 25

y＝¹

2x² 0 1

2 2 9

2 8 25

2