開啟國中代數教學的新視窗

李美蓮*劉祥通**

*嘉義市大業國中

**國立嘉義大學數學教育研究所

摘要 本研究刊的是設計教學活動，讓學生展現 I 臆測、檢驗、與修正」的 ft 維席程，獲知數學的概念， i1t在課室中實踐此前動以觀察學生的學習反 FE 與效果。研究發 Jt~ 學生在教學者佈置的教學情境之下，能 用自發解 i1;解尋求划律的問題，、)(i 白色根據向發解法類推到較被雜的情境;在臆測活動的問題解決方面， 學生能做，'1\臆測，父能嚴雋、檢驗、修正、並|可顧答案的 i2 月件;甚至，學生發現二次函數的對稱規律， 並據此簡化解題步驟，符合了教學者的期待。 關鍵字:規律尋求、臆測活動、函數教學、問題解決

壹、緒論

程，應該是豐富而有趣的，很值得老師去

傳統代數在國中的課程編排 l 二，多以 引領學生探討的，但卻在無形中被抹煞掉 數學內容邏輯結構為主，由淺入深以螺旋 {:漸漸地在學生的腦海裡，已經有了一 式的方式來進行，無非是希望學生能奠定 種想法，特定的數學題目，只有可重解法， 日後學哲數學的基礎，但這樣的課程內容 只要自己沒有將它背起來， -f 次就-定不 並末考慮到學生的認真日心理邏輯，例如: 會做;所以學生面對題目總是裹足不前， 老師經常在學位還沒掌握到符號的意義 不敢去臆測、嘗試錯誤、再自我修正，少 時，便去 F 了→大堆的符號操作，教學活 了-份尋求答案的勇氣。 動巾卻很少提供具體情境，讓學生過渡到 對於美國數學教師協會(

National

數學符號的抽象思考，因此，大部分的學

Council of

Teach巳rs

of

Mathematics，簡稱

且對數學符號感到恐懼，更遑論要學生以

NCTM) (NCTM

,

2000) 所提到理想中的代 數學符號來表示問題之防空化情形。 數教學，從學前到八年級一連串豐富而多 而國內的數學教育普遍存在以升學導 樣的非正規代數經驗，注重學生認知層次 向馬先的現象，老師及學生在數學的學習 的連貫性，要建置-個讓學生能主動探索 上，為求分數上的表現，不管數學概念是 的教學情境，進而啟發代數思維，→直到 否懂了，直接告知最速成的方法，將已將 八年級後段才充份強調符號運算，這樣的 精緻化的數學很快地呈現出來，但學主所 教學方針展現出來的是他們的學生會很有 學到的只是皮毛而已，最後變成→台只會 自信地利用代數來呈現並解決問題，這不 應付考試的機器。至於這中間數學化的過 就是代數學習應該有的風貌嗎?

同時 NCTM (2000) 主張: 「做數學包括了發現數學，而臆測 猜想就是一條發現數學的路徑，許多教師 和研究都認同學生應該要學習對一些現象 進行臆測，並澄清臆測、驗證臆測的結果

( p56)

0 J 訐多的數學發現都是經過臆測，經過 驗證得來的，讓學生有臆測和達到暫時性 答案的機會，對他們的數學學習是非常重 要的，學生往往因此而培養出探討數學的 臆測能力(陳英娥， 1998) 。而且在國內「九 年一貫國民中小學課程綱要」的基本理念 有談到，現今是訊息豐富的社會，透過數 與形的訊息，才能認識環境，因此，國民 需要培養分析資料、形成臆測驗證與判斷 的能力，而數學探究就是培養這些能力的 有效學習活動。 NCTM (2000) 也提到:教 學 t 應該給學生嘗試錯誤的機會，面臨新 情境時，能經歷到臆測、檢驗及修正臆測， 最後得到合理的答案。 而 Po1ya 闡述到有效的解題是要能在歷 程中，意識到自己正在做的事，堅持不懈 地監控、自我評估進展，以調整解題策略， 也就是不斷地自我修正，這樣的反思技巧 是需要被培養的內|白 NCTM ，

2000)

0 這種 監控能力與反思能力，就是後設認知， 旦發展成功，就等於發展了 4 個回饋系 統，隨時對自己的認知與學習，進行偵測， 必要時進行修正，有了這個系統，即使沒 有旁人的指導，自己也可以達到有效的學 習，才能為終身學習奠下基礎。而後設認 知是可以培養的，教學上佈置情境讓學生 問歐國中代教教學的新視窗 有臆測、檢驗、修正的機會，透過與他人 的辯證，刺激自己反思，逐漸澄清、精緻 化白己的概念，也就是在展現後設認知， 讓自-正的數學概念經由不斷修正而被驗證 出來。

NCTM

(1989) 強調: 「讓學'+-透過與同儕之間的爭論、辨 If.卒，可使他們修正、整理或鞏固原來的論 據 (p5 7) J 。 在陳英娥(

1998

)的研究中顯示:學生 在猜測活動中可以藉由質疑別人的猜測、 反駁別人的猜測和為自己的猜測作辯護， 這 4 連串的猜測與反駁的過程具有梳理思 維的功能。透過同儕討論，互相質疑研證， 不斷地使自己尋找證據，來澄清問題所在 並與別人溝通，歷程中吋以把自己的思維 重新整理，並有更透徹的理解。需要特別 注意的是，學生在臆測的過程中，是很容 易會出現盲點的，因為臆測的答案大多是 非常 fEJ:覺的想法，在教學活動中，學生如 能大膽地把臆測的想法表達出來，透過同 學的互相質疑，進而檢驗臆測的合理性， 才是教學活動的重心。如果學于沒有 l§ 相 質疑辯證'那麼老師應該鼓勵學生提出他 們的想法，並藉由提問去刺激學生尋找證 據，證明這種臆測是偶然發生的還是永遠 成立，讓學生學會如何有系統的去嘗試很 多的例子、知道所有的可能性，在各種可 能性之間做出辯證。 若是在教導符號操作之前，老師能建 置，些教學情境，讓學生能在此情境中有 臆測的機會，並能透過同儕討論，促使 Po1ya

提出的有效調整解題策略充分展現，進而 發現數學概念，學:中將因此而培養出代數 思維的能力。在這資訊化的社會巾，能力 的培養應該是最重要的，教師應該設計有 價值的教學活動，促使學于獲得有意義的 學習，位能展現解數學的思考能力。本文 期盼能設計出給學牛「臆測、檢驗、與修 正」以發展數學概念的教學活動，並在課 室中實踐此活動以觀察學生的學習反應與 效果。同樣的，站在教學的 \'f~ 場，作者也 以「臆測、檢驗、與修正」的方式來觀察 學生的學習表現。

貳、教學理念

基於以上背景與文獻說明，本文設計 了 A 系列的教學活動，共分成三大幕來呈 現，在這整個教學活動裡'希望能看到學 牛嘗試錯誤，並能從錯誤中反思其過程， 找出錯誤的關鍵，進而能自我修正，發現 數學概念;期能引發學生在代數學習中不 一樣的聲音，提升他們多元化的思考層 次。 f 列分別陳述這三幕的設計理念: 第一幕: 教學活動方面除了由淺入深之外，也 應該重視學生的認知發展是從具體到抽 象，代數學習不應只是移動符號，也包括 了非正規的代數經驗，即能察覺或臆測出 樣式與規律，更應學習明確地表達並能歸 納出→般性，進而運用符號來解決問題。 所以在教學設計上希望能從規律尋求、數 量之間的關係出發，並探求學生的解題類 型。 第二幕: 教學活動包括了三個臆測活動，透過 問題解決，希望學生能臆測函數樣式，包 括 f 線性及二次關係，其中臆測活動(一-

)

學生其實是不難猜出答案的，主要是當成 學生輝歷臆測的思維歷程之暖身， --~開始 先給予部份 x 與 y 的對應，讓學先去猜測 x 與 y 的關係、檢驗猜測的合理性，讓學生 對有限資料作的歸納並升空化，最後找出 正確的關係式;而臆測活動(二)除了讓 學生再次熟悉臆測思維的歷程，題目將設 定為無法直觀的看出 x 與 y 之間的關係， 應該是比活動( .)的題曰稍難」些。臆 測活動(三)希望學生能展現臆測、檢驗、 修正臆測、再檢驗 一連串的思維歷程， 題目設定在二次函數，一開始給予 x 與 y 對應的兩組數據，學生可能因為舊經驗的 學習遷移，對有限資料進行分析，會臆測 為線性關係，接下來提供多一組數據時， 透過檢驗驗臆測就會與臆測形成衝突，學 生就必須再修正臆測、再檢驗，最後找出 正確的關係式。 第三幕: 以往的函數教學經驗，學生對於三次 函數均感到非常抽象，老師通常是透過圖 形將 J 次函數具體化，例如:二次函數 y=x2_{，老師引導學生將整數點描繪在直角座} 標平面上，學生可以觀察到二次函數的圖 形會治著-條對稱軸而呈現左右對稱，至 於會對稱的原因學生不一定清楚了解。此 幕教學活動為「失落的﹒角 J '主軸放在老 師針對學生之前的學習經驗，去臆測學生

的解題策略究竟為何?給予學生于x

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對應關係'是否能探索出二次函數對應關 係的特徵，及討論出形成特徵的原因為 何?最後提供表格給學生填空，檢驗學生 是否能夠應用二次函數的對稱性來解題? 是否與老師的臆測相符。並修正老師的二 次函數教學策略。

參、教學實踐

這樣的一個教學活動，對學中及老師 而言，都是-種新的嘗試，學 lt. 成為數學 課室的主角，老師扮演著引導的配角，我 們師中抱持著探究數學的態度，期待有令 人滿意的收穫，茲將重要的研究發現呈 現 'T 代表教學者，也是筆者，全車代表兩 組的學生共 7 位 '/j、居留代表第作且或第二 組的全部學生，第作且學生的名字個別化 名為正主膏、波將‘賞痺，第:組學生的名 字個別化名為蜂諧、 rJ亨、揖掙﹒卸車。 第一幕 讓學生透過具體物操作，辨識及察覺 出規律，以 4 根冰棒棍形成第 4 個方格， 再來以 3 根冰棒棍連著排出 F--- 個方格， 筆者希望學生可以透過具體物的操作，得 知方格數與冰棒棍數之間的規律。 1.學生呈現不同的解題類型，課室裡充滿了 對話、質疑、與辯護。

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成 3 根冰棒棍來數，所以 f 會把 4 與 3 分開

來算，當他們算到第 10 個方格數時，算式 是 Ix4 十以 3=31' 31 為冰棒棍數，而 l 十 9 士的， 10 代表方格總數。 學生E結二 : (111宇步驟月第一聲，留身法

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0 代數的學習應從學生生活經驗中的數 量關係出發探討，學?從具體觀察及探索 的過程哩，可以察覺樣式及規律的模式。 在這一個教學過程裡'一開始就讓學生具 體操作，透過排冰棒棍的動作，察覺出簡 開放國中代教教學的新視窗 站的規律，可以引發學生比較有系統的思 考，所以當學生已發現到規律，不透過具 體物操作，遇到數目較大及抽象時，--樣 吋以成功解題;最後以代數式的數學語言 進行溝通，並能描述模式的一致性。 第二幕 在臆測活動(三)實施之前，學生已 經能在臆測活動(-

)

(二)中順利完成任 務，筆者給學生一系列 x 與 y 對應的圖表， 學生雖然還沒學到教科書中心次函數，但 在同儕討論之下，根據線索提出臆測並檢 驗，最後能找出 x 與 y 的正確關(系， NfJ 能 臆測 HJ 線性問數，在此不再贅述，僅呈現 臆測活動(三)的研究發現。 1.學生以各種線性模式臆測並檢驗所有數 據，未能找到正確的關係式。 臆測活動( _:, ) <表一>

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開放國中代數教學的新視窗 就是 7x-9=y' 這寸出新的臆測透過檢驗其 他數據，還是發現小適用於全部的數據。 接下來從學生的作業單卜，可以看出他們 又再度修正臆測，利用目前這 5 組數據， 取其 i扣任兩組數據並找出其線性關係，當 <表三> fF豆芽玉:丹:靜靜 ， j質品丘吉拉正?你府五頁。

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(系，所作出的臆測透過檢驗發現到都不適 -開始可以看出峰銘已經有了平方的 用，筆者在任務三中給更多的數據立t 適時 想法，但還沒有完全對，因為只有x 平方 介入，試圖讓學生能有一些新的想法。 還不能夠滿足 x 與 y 的關係，針對任務二 的數據， -開始他臆測 x 平方再加上 x 所

得到的數值會等於所對應的 y 值，但同儕 之間卻提出 7 質疑 'X 平方之後再加上 x 並 不會完全等於 y' 所以峰銘修正了臆測 x =5 的平方之後再加 3 就可以使得 y 二到 了，峰銘還將這一千個修正後的臆測，自動 對其他數據作逐一檢驗。老師發現峰銘腦 筋轉的很快，能夠很清楚的抓住解題的要 領，但其他同學可能還豆豆露水，老師希 望他可以將這一個想法與其他同學分享， 塑造高層次思考的表現 O 8亨案7ι二

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蜂亞首 :

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=7

0 J 能峰銘的解釋可以很清楚的知道， 個新的臆測要具有正確性，就必須透過檢 驗所有的數據，但同學的疑惑卻是怎麼知 道要平方?怎麼知道的?難道是用猜的?

反葉子三

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蜂亞首 : I \ ，結JJy! 至~~符荷 x~;;f才 2夕方法 ttlJJIj扭，正言君身子-;f!J答案，只野 7亡 于了方jJ!;婆豆t泊。/封封封霄'#f凌fttjf!J答案

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J 路銘 : I援助直E遭迫t出莉 P 子可知道對 t

F野!

J 峰銘是試過目前所有 x 與 y 的線性關 係來解題，但都沒有辦法找到適當關{系， 最後他大膽猜想會不會有平方關係呢?經 過重新修正臆測，並將臆測加以檢驗，證 明 x 與 y 之間真的具有平方關(系，最後得 到 x 與 y 正確的關係，老師也從峰銘的回 應中，肯定了學生臆測 檢驗臆測這種探 討數學的態度。其實我們可以看出峰銘在 整個臆測活動理，他的回應裡展現了自我 監控及反思的能力，有多少數據就說多少 的話，他提醒其他同學到目前所找到的一 次關 f系，不見得適用於更多數據，他有隨 時檢驗臆測、修正臆測的準備。 學生的學習深深的受到舊經驗的影 響，經過檢驗發現臆測」再地錯誤，但學 生並沒有放棄，我看到他們主動修正臆 測、再檢驗、再修正，直到發現二次函數， 這樣的思維歷程一直不斷地發生，如果有 了新的想法，就必須蒐集論證來支持自己 的論點，:-}'能跟別人溝通討論，經過彼此 質疑辨證，就是釐清問題的重要關鍵，在 逗，種教學情境下，學生有了邏輯推理的 思維模式以及同儕之間的互動，才能發現 數學的概念。而在整個教學過程中，要發 現二次函數的存在並不容易，值得注意的 是，老師需要適時的提供鷹架，簡化問題， 必要時要求能力高的學生，塑造高層次的 表現，透過同儕討論，來帶動其他能力較 低的學生跟 k腳步。

第三幕 學生完成任務三，也就是進行所有數 據進行檢驗之後，很肯定的接受了 x 與 y

之間的關{系，就是 y=x

2

_{+3 '而「失落的}

→角 J '老師希望學生能夠透過觀察，察覺

出 y 三 x

2

_{+3 中 x 與 y 對應的規律。}

1.學生要現了封神殿撐其實 同學發現 y 值都是 x 平方之後再加 3 的關係之下 'x 平方以後，無論正負數都變 成正數，當柏緯看到當 x=10 對應的 y 值與 X 二一 10 所對應的 y 值都是 103 '並且發現 到 x=O 所對應的 y 值是非常特別的，找不 到另-個 y 值與其相等，同時淑娟也有相 同的發現 O 度案+fZg: 加得 : IjjfJ豆豆一度，身岩iifJflij

103

' 居 屁也君 103 ' 半唱拐官~flilo 君自己車揮 -fIiI 貨。~ 波將 : I靡 ， §!jflij高于道flijtfIJ有府御街句7

卸車e- '踩了。之三1[ ~

從柏緯和淑娟兩位學性的回應中，可 以看出他們在 y 值觀察中，已經察覺出以 X士。為中心，兩邊的 x 值成相反數時所對應 的 y 值是會相等的，老師感到非常驚訝並 同時好奇，學生是否知道真正的原因，於 是提出了質疑。

反葉+Ii:

T:I你何結揭lift一丟失身呵成iJ!8夕 y tl8

tttfl三f:ft!!反fJ.}? ~

波將 :1f&J!!§ -108夕予了才前 108夕于三方

岩一諾放夕，厚/JoJ 3 喜若辦.~﹒ 從學生的解釋，可以得知是因為相反 開放國中代數教學的新視窗 數的平方會相等，再加上同一個數3 所得 到的 y 值還是會相等的。 除了觀察出兩邊的 y 值是對稱的，接 下來峰銘、柏緯說明的更詳細了，他們提 到 x 值從 10 到 10 由小到大，而 y 值是 從左而右依序出現由大到小，再由小到大 的情形，口頭的說明其實還不具體，老師 要求學生能用箭號來表示大小的方向。從 學生的圖表說明，發現已經有最小值的意 涵 y 0 老師再次追問學生，希望學生可以看 到更多規律，所以試圖讓學生去感覺出來 兩段 y 值由小到大的中間點，就是 x=O 所 對應的 y=3 。

展第+六

T :I厚菸汪古平主廠商蒜頭亨，正tp}、X!J;*: 、

由小X!J;*: (房于ill，自) ，你要穿仟麼?~

路蹈、加禪 : 10 岩 itl1ftJ月台戲卸貨! ~

(it于改夕君 x=O)

蜂正當 :IEil O 分屁:戚自身正tp}、主可才 'ifl rp廓。皮手宇宙居在天 ( 11I8夕岩 x=O 玉言 ,

正tf )~

貢酒 : Ig官 ~fIiI1tf-居叭 ，

J!ftJf}

3

(11M]

岩 x=OYi磨，%!J89

y=3)

從原案十六，他們果然去注意到了x =0 是為中間值，從資涵的回答中，發現到 3 就是所有 y 值中最小的。在學生一來一往 的回應中，已經能勾勒出二次函數的初步

輪廓，最後他們共同統整出y=x

2

_{+3 的重}

要規律如下: 司l:" lffx tl8.li寫丹'jl€身，所得y (fg岩持軍事跡

在此 y=x

2

_{+3 二次函數的探討之下，}

學生認為不管是 x 值是正數或負數所求出 來的 y 值都是一樣的，原因是有兩個 x 值 互為相反數時，負數×負數會與正數×正數 相同，再同時加 3 所得 Y 11直必為同一個。然

而學生目前只能觀察到 y=x

2

_{+ 3 的對稱規}

律，當 x 互為相反數時，其 y 值會相同; 至於學生有沒有可能會將此對稱規律過度 類推到其他二次函數，值得我們注意!例

如:學生往往以為二次函數 y=

(x-5)

2 +3 ，當 x=3 及 x=-3 代入所求得的 y 值會 相同，教師必須再佈題追間，以澄清學生 的迷思概念。 求量會存麗d、反gy 直言

在這樣一個 y=x

2

_{+3 的關係式裡'所}

呈現的對應圖表裡，兩邊的 y 值會具有對 稱性，對稱的中心剛好是 x=O 對應的 y=3 這一排，而這一個 y=3 剛好是所有 y 值中 的最心值。 活動結束之後，我把另一個二次函數 y

(x-3)

2+

5

寫出來時，想試試學生是

否可以理解的更多，從學生的說明 x 以 4 代入，會同於 x 以 2 代入，即 l 的平方會 等於-1 的平方，再加上 5 還是會相等的， 所以他們的 y 值會相等;而且 x 以 3 代入 的時候 'y=5' 是全部裡頭最小的，以此 為基準其餘兩邊的 y 值會兩兩對應相等。 2. 學生卸車fI.昌等酵J/ilB裹著身rJt!J存府存 而「失落的一角」是筆者臆測學生是

否能依據 y=x

2

_{+3 中 x 與 y 的對應規律來}

簡化解題步驟，而學生很快速地完成所有 空格，筆者想從學生的解題歷程了解學生 的想法，並檢驗筆者的臆測，便要求他們 解釋解題的歷程。學生一開始先把x=20 所對應的 y 值算出來，並填入403 。 <表四>

f乘車身一舟J

逗;若 y=x

2

子

3 !iii!妾身-§If;豆子，請你，得乘著

你一身身居第

X

-3

O

3

20

y

403

124

3

124

反案7ι古.'(碧空對方主tt/!!JIJ夕'JYi5府 r)

T.'I(/;I在 x=20 所對磨你 y flJ1.度λ

403

' 益于7萊加互會蟑螂一是乎?...J

蜂is: I嘿嘿 '1Zff寫府還一是言，用似1/1 袋子'\JlJ算柯! (學生此賣身岩2。第一20

iff

府是智力

結is.' I韓若用V獻給 3 平了方=9 厚!Jo

3

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t!zJff一按當事於 12

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...J0

蜂豆'if :1最左JAd:夕 y ifJ岩 403 ' 成叫賣

左JAd:夕 x flJ1-Jf!岩-

20

...J

0 筆者的提問，是為了要檢驗學生是不 是有根據 x 值互為相反數，所對應的 y 值 是相等的規律來解題，從峰銘的回答，我 們可以得知學生真的是根據此規律來解 題。而另一組的解題歷程也是相同的，都 是從兩邊對應去著手解題。

反案7ι:I(

.'

t按輝、賞iili: I身lf'Jfft看到15道 7押 f 屁選手、;還正! ...J ( 手按著嚴左道 y=403

)

T:Ifl.5仟e!1l/B 九 1按輝、賣iili

:

I府是會一是7!x o ...J

學生都是以 x=20 來代入 y=x

2

₊₃

_.

求得 y=403 '並有發現到兩邊 y 值都是

403

'所對應的 x 值剛好會是相反數來解 題，就在最左倒 y=403 對應的值中馬上填

入一 20 。

筆者想要對學生的解題有更進一步的 了解，問到 y= 124 對應的 x 值這一排是怎 麼解出來的，發現到學生利用 124-3 '再 開根號，也就是 121 開根號，就是 11 了， 學生是同時填入 x= 一 11 與 x=

11

'從這裡 我們更可以肯定學生的解題策略與所發現 的規律大有關係'利用 y 值相等對應的 x 值必互為相反數來進行解題;當學生在解 x =3 與 -3 的這兩排所對應的 y 值時，對話

如下。

痕累寸見 J

T..riE府辦 (j!fff/<}若 x=3 第一 3$.夕~

府成浮于對磨你 Y

115

j ， 你作j吾先算:在昕一是事?.../ 全局"fJ :r府准軍算正出來訪一度，成以只要 活品冥中一起草，另 -t1ff!鼎立步激可 J;< T...

! .../

筆者更確定了一件事，學生是利用 x 互為相反數時所對應的 y 值會相等的觀 念，就可以簡化解題的步驟，這樣的解題 策略與筆者的臆測是相符的，而且學生對 二次函數的學習也有了初步的概念。這與 以往的教學方式有很大的不同，只要教到 二次函數，都是先給定一個二次函數，再 依函數關係請學生列出圖表，灌輸學生有 關於二次函數的規律，對學生而言，他們 很少有機會去注意到兩邊對稱關係及原 因，對 y 的最大、最小值更是一頭霧水。 但在這一個教學裡，我修正了自己的 想法，以填鴨式灌輸二次函數的知識，學 開歐國中代教教學的新視窗 生不一定能理解，當我們佈置好教學情 境，讓學生臆測二次函數，檢驗二次函數， 從過程中發現到二次函數的規律及形成規 律的原因，引導學生挖掘知識，也是可行 之道，而且老師是應該對學生的表現有所 期待，學生所能學到的可能遠超乎我們所 想像，教學時能多聽聽孩子的想法，從他 們的想法出發，做適當的引導，才是落實 有意義的學習。

肆、結論與省思

結論 本文從三幕的教學活動整理出如下三 點結論:

-1.學生用自發解法，並能據此類推到複雜情 境。 在第一幕中學生能透過具體物的操 作，進而察覺出樣式與規律，找到兩種不 一樣的解法，學生也能將自發解法類推到 較複雜的問題情境，最後明確地歸納出一 般性的結果。 2.學生能嚴密檢驗、修正、並回顧答案的合 理性。 在第二幕的臆測活動(三)學生能對 有限資料進行分析並形成臆測，根據臆測 的結果對其他資料進行嚴密驗證判斷;當 驗證錯誤時，就必須自我修正進行再臆 測、再驗證;最後要能滿足所有資料，找 出數量之間正確的關係，在解題過程裡， 不斷地回顧答案的合理性。 3. 學生發現對稱規律、並據此簡化解題步 驟，符合老師的期待

在第三幕的「發現規律」中，學生在 同儕討論中，統整出二次函數 x 與 y 之間 所呈現的規律，包括了對稱性及 y 具有最 小值，在「失落的一角」並能運用此規律 來簡化解題步驟。 - _勻d也田_立i: 學生在以往的學習經驗裡'都是老師 一昧地灌輸數學知識，老師教什麼，他們 就學什麼，很少有機會去懷疑知識的來 由，自然而然同儕的討論就少了，更不用 談學生會去應用知識了 1 但在這一個教學 活動裡，我看到學生成為數學課的主角， 他們不再沉默，只要別人有異於自己的想 法出現，他們並不會照單全收，老師更是 有義務鼓勵學生提出質疑，澄清彼此的想 法，這樣一來知識才能真正的被接受;數 學的學習除了個人建構之外，往往也需要 其他 λ 的共同建構，個人的認知才能由外 而內經過內化歷程而得，資涵在週記上反 應到， I 從這一次的活動中我獲得很多，時 間一久我也不會忘，因為是透過同學之間 討論出來的，有經過理解才吸收的，這才 是我們真正學到的，也比較有意義，我學 習到了數學是要經過討論才能真正吸收 o J 我發現在這一個活動中學生所獲得的「知 識」就是在同儕互動的歷程中建構出來 的，學生學習主動性比以往的數學課來的 更多更積極。 在教學設計完成之後，進入教室進行 臆測教學仍有 A 些值得注意的事，學生可 能會遭遇許多困難和失敗，但在教師和同 儕的支持下，學生若能建立繼續挑戰問題 的信心，並有平等的發表想法和享有成功 的機會;而摸索過程雖然艱辛，但每一個 想法都是經過理解而被接受，才是最重要 的，我體認到教學其實是需要花時間去等 待學生，學生如果不經過理解，就無法得 到有用的知識 O 如果老師沒了耐心'太早 告知結果，那麼學生沒了機會作腦力激 盪，這個教學活動就變得沒有挑戰性了， 活動的目的是提供學生臆測和修正臆測的 經驗，經歷取信自己和別人對自己的信任 的過程，老師是可以適時的介入，作出教 學決策，如果教學臆測活動對大部分的學 生而言都感到困難，老師可以給一小部分 的提示或簡化問題、釐清題目本意，提供 適度的鷹架，讓臆測活動能發展成功。 教師為了實踐理想的教學情境，落實 九年-貫的教育理念一彈性、多元，所以 設計教學活動，讓學 lf. 從事有意義的學 習，培養邏輯思考能力，是責無旁怠的事; 但是，目前比較令老師及家長惶恐的是， 教學活動裡佈置讓學生有臆測的機會，經 驗到有效的數學學習，學生理解的過程 中，要建構出有意義的知識，就不能把學 習的重心放在解題的速度，但國中基本學 測題目則強調統一的試題、標準的答案(司 l 自國語日報) ，大體上還是非常重視解題速 度，這樣的教學理念是否能與基本學力測 驗互相配合呢?值得我們深思!

伍、參考文獻

1.教育部(

2000 )

0

!iliff!

11白吃的事克平一貫諜

控暫行綱要。教育部編印。 2 陳英娥(

\

998) 。數學臆潮:思/推興能力 的研究。國立台灣師範大學科學教育研究 所博士論文(未出版)。

3. (2003'

3 月 25 日)

0'-

.綱多本」問題 何時了?庫辜百布，第十三版。 (上承第 20 頁) 數值就好了，不→定非要是整數不可;這 個觀念雖然簡單，但是就像鴿籠原理本身 一樣，初看並不起眼，卻常能小兵立大功， 時有令人意想不到的妙用。

參考資料

(上承第 37 頁) 問題編號

921205

有一數列第 l 項 a

_{j =2}

'第 2 項。2

=7 ;

今將兩數相乘得到 14 '且將十位數，.，

1

"視為 第 3 項吭，個位數 "4"視為第 4 項內;再 將末二項( 1 與 4) 相乘得 4 ，並令其為第 5 項;再將末二項 (4 與 4) 相乘...如此 繼續下去，可得數列的任意項。試求: 開放函中代教教學的新視窗

4.Nattona\ Council of

l'

eachers of

Math巳mattcs

(\ 989). Curriculum and

evαluation stαndards

for school

mathemα tics.

Reston

,

VA: NC

l'

M.

5.National Council of Teachers of Mathematics

(2000).

The principles and standards for

school mathematics. Reston

,

VA:NCTM

1.許介彥 (2000) ，鴿籠原理及應用舉例， 科學教育月刊，第 232 期。

2.R. Grimaldi. Discrete and combinatorial

mathematics

,

Addison- Wes ley

,

1999.

3.R. Johnsonbaugh. Discrete mathematics

,

5th edition

,

Prentice Hall

,

2001

(1)此數列的第 20 項為何數? (2)此數列的第 1000 項為何數?

叮將{:三:改成 (:::(2

(:=2(。 =2α=2

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或 (1 等則其結果

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9

文會如何?有何較具體的結論。