臺中區國立高中103學年度第二次學測聯合模擬考

臺中區國立高中

103 學年度第二次學測聯合模擬考

第壹部分：選擇題（佔60 分） 一、單選題（佔30 分） 1. 小明進行「運動健身大作戰」：每天上午、下午各運動一次，每次跑步或游泳擇一。若已知此作 戰滿足以下四個條件：(a)若上午游泳則當天下午跑步、(b)共有 15 個上午跑步、(c)共有 17 個下 午跑步、(d)共游泳 18 次。則小明上下午均跑步的天數有幾天？ (1) 6 (2) 7 (3) 8 (4) 9 (5) 10 2. 浴財高中的梅涼辛廠商每天使用一種黑心油料理團膳食物。已知有 50%的機率使用飼料油、有 30%的機率使用餿水油、有 20%的機率使用銅葉綠素油。且飼料油團膳導致「腦殘症」有 20%的 機率、餿水油團膳導致「腦殘症」有30%的機率、銅葉綠素油團膳導致「腦殘症」有 40%的機 率，若已知小明因食用團膳導致腦殘，則小明食用的是飼料油團膳的機率最接近下列哪個選項？ (1) 0.29 (2) 0.33 (3) 0.37 (4) 0.53 (5) 0.97 3. 已知實數 x、y 滿足條件 : 1 0 2 3 0 x y EQ x y          ，若目標函數z ax by a 



0,b0



在條件EQ 下取 到最小值2 5，則_a2 _b2_{的最小值為何？} (1) 1 (2) 2 (3) 5 (4) 4 (5) 5 4. 已知x1  x2 x3 0，則





2 1 1 log 2x 2 a x   ， 2



2



2 log 2x 2 b x   ， 2



3



3 log 2x 2 c x   的大小關係為何？ (1) a b c  (2) c b a  (3) b a c  (4) c a b  (5) b c a  5. 在平面直角坐標系中，O 為原點，A



1, 0



，B

 

0, 3 ，C

 

3, 0 ，若動點P 滿足 CP



1，則 OA OB OP 

  

的最大值為何？ (1) 6 (2) 19 1 (3) 19 1 (4) 2 7 (5) 7 1 6. 設m0，已知直線y m x



2



與拋物線_:y2 _{8x相交於A、B 兩點，F 為的焦點，若} 2 FA FB，則m 值為何？ (1) 1 3 (2) 2 3 (3) 2 3 (4) 2 2 3 (5) 1 二、多選題（佔35 分） 7. 旅美棒球投手陳偉殷，根據統計，面對每一位打者投出的第一球，好球與壞球機率相等。若前一 球投出好球，則下一球是好球的機率是壞球的二倍。若前一球投出壞球，則下一球是壞球的機率 是好球的二倍。若好球累計滿三球則三振打者出局，若壞球累計滿四球則保送打者上壘。若打者 小王子在此次打擊完全不揮棒的情況下，則下列選項哪些正確？

(1) 陳偉殷面對打者小王子第二球投好球的機率為1 2 (2) 小王子被三振的機率比被保送高 (3) 陳偉殷在第四球投出第三個好球把小王子三振的機率為 3 2 1 2 1 1 2 3 3 3 C     (4) 若陳偉殷第一球已投出好球，則恰用三球將小王子三振的機率為4 9 (5) 若陳偉殷第一球已投出壞球，則恰用四球將小王子保送的機率為 8 27 8. 若小明的 10 位同班同學的期中考數學與物理成績紀錄為 (數學, 物理)



X Y,



如附表，則下列 選項哪些正確？ n X Y



60



5 X X  



60



5 Y Y   _{X } 2 _{Y } 2 _{X Y}  1 78 61 3.6 0.2 12.96 0.04 0.72 2 79 63 3.8 0.6 14.44 0.36 2.28 3 80 65 4.0 1.0 16.00 1.00 4.00 4 81 67 4.2 1.4 17.64 1.96 5.88 5 82 69 4.4 1.8 19.36 3.24 7.92 6 78 61 3.6 0.2 12.96 0.04 0.72 7 80 67 4.0 1.4 16.00 1.96 5.60 8 79 65 3.8 1.0 14.44 1.00 3.80 9 81 63 4.2 0.6 17.64 0.36 2.52 10 82 69 4.4 1.8 19.36 3.24 7.92 合計 40.0 10.0 160.80 13.20 41.36 (1) 數學成績的算術平均X 80 (2) 物理成績的母體標準差_Y  8 (3) 數學成績與物理成績的相關係數r0.85 (4) 物理 Y 對數學 X 的最適合直線為



65



17



80



10 y  x (5) 若小明的數學成績為 70 分，根據同學成績的最適合直線推估小明的物理成績為 56.5 分 9. 已知

 

log , 0 10 1 6 , 10 2 x x f x x x           ，若0 a b c   ，且 f a

 

 f b

 

 f c

 

，則下列選項哪些正確？

(1) loga (2) log0 b (3) log1 c 2 (4) ab1 (5) c 不可能為正整數

10. 實係數三次多項式 f x

 



















1 1 3 2 1 2 1 2 3 a x x x   

















2 1 1 3 2 3 1 3 1 b x x x    

















12 2 1 3 1 2 1 1 1 3 x x x       

















8 2 1 3 1 2 1 1 1 3 x x x     ，若2 1i 為 f x

 

0的一個解，則下列選項哪些正確？

(1) f i



2



0 (2) f



2 1i 



0 (3) f x

 

的偶數次項係數和為6 (4) f x

 

0有一個整數解 (5) 2a b 11. 從A₁



1,0, 0



，A₂



2,0,0



，B₁



0,1, 0



，B₂



0, 2,0



，C₁



0,0,1



，C₂



0,0, 2



這6 個點中隨機選取 3 個點，將這3 個點及原點 O 兩兩相連構成一個「立體」，記該「立體」的體積為 V。體積 V 的機 率記為P V

 

，則下列選項哪些正確？ (1) V 必小於 1 (2)

 

0 3 5 P  (3) 1 1 6 20 P  _{ }   (4) 1 1 3 10 P  _{ }   (5) 1 2 3 3 P _{ }P _{ }     12. 設P x y1



1, 1



，P x y2



2, 2



，…，P x yn



n, n



，(n3，n) 是橢圓 2 2 : 1 100 25 x y    上的點，點





1 10, 0 P ，且a₁ OP₁2，a₂ OP₂2，…，a_n OP_n2構成一個公差為d (d0) 的等差數列，其中 O 為坐標原點，F、F為橢圓的兩焦點。記S_k    a₁ a_{2 } a_k，若S₃255，則下列選項哪 些正確？ (1) d 15 (2) a₂ 85 (3) S₅ 410 (4) 3 3 6 x y  (5) P FF3 的面積為5 30 第貳部分：選填題（佔40 分） A. 若直線L y x a₁:   和L y x b₂:   將單位圓_x2_y2_{ 的圓周長分成長度相等的四段弧長，則1} 2 2 a b  _______。

B. 在ABC中，若已知



AB AC tanA，且  A 30 ，則ABC的面 積為_______。 C. 如圖(1)，在ABC中，D 是AC上一點，且AB AD ， 2AB 3BD，BC 2BD，則sin C_______。 D. 如圖(2)，某公司要在 A、B 兩地連線上的定點 C 處建造看板 CD，其中D 為頂端，AC35，CB80，設A、B 在同一水平 面上，從A 和 B 看 D 的仰角分別為 和。CD是鉛垂線段，若 要求 2，問CD的長至多為________。 圖(1) 圖(2)

E. 設公差為正數的等差數列 an 的前n 項和為S ，已知n 2 3 2 S a ，且S S S 成等比數列，則₁, ,_{2 4} a 為₅₀ _______。 F. 什麼之塔遊戲中，黃道十二宮卡片有以下三種附屬功能： (1) 減傷卡有 {獅子、山羊、金牛、雙魚}； (2) 轉屬卡有 {雙子、天蠍、山羊、雙魚}； (3) 增功卡有 {巨蟹、處子、天秤、人馬、白羊、水瓶}； 其中有二張卡 {山羊、雙魚} 兼具減傷與轉屬功能。 小名恰收集到一套12 張完整的卡片，現欲從中挑出三張不同的卡片 (無需考慮順序)，且需兼具 三種附屬功能，則挑選方法有_______種。 G. 在平面E x y z:    上有一圓 C，圓心為3 P



0, 2,5



，而另一點Q



1,0, 2



在圓C 上，且直線 1 2 : 1 x y z L a b  _{ }  在平面E 上和圓 C 相切於 Q 點，則數對

 

a b, ________。 H. 時鐘的表面在一平面上，整點 1，2，…，12 這 12 個數字等間隔地分布在半徑為 2的圓周上， 從整點i 到整點 j 向量記為TT



_{i j} ，則TT TT



_{1 5} _{1 9} ________。

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103 學年度第二次學測聯合模擬考 參考解答

第壹部分：選擇題（佔60 分） 1. 2 2. 3 3. 4 4. 1 5. 5 6. 4 7. 1245 8. 134 9. 4 10. 25 11. 2345 12. 245 第貳部分：選填題（佔40 分） A. 2 B. 1 6 C. 6 6 D. 20 2 E. 99 F. 108 G.



5, 4



H. 3 如有題目或答案打字錯誤，或後續更正， 歡迎email 至 weiye@pure.pro (瑋岳)提醒修改。感謝。