國立高雄大學統計學研究所
碩士論文
A Network Vector Autoregressive Model with GARCH Effects
and it’s Applications
具有
GARCH 效應的網絡向量自迴歸模型及其應用
研究生：江欣翰
撰
指導教授：黃士峰
教授
致謝
一晃眼，碩士生涯即將結束，很榮幸能夠在就讀國立高雄大學應用數學系最 後一學年時遇到我的指導教授—黃士峰老師，同時也是現任理學院院長，在大學 期間老師關心我對於未來生涯規劃時，我表示對於報考統計研究所不排斥但尚未 做好決定，黃老師便提供了種種報考研究所的建議，也勉勵我在研究所期間可以 多充實大學時期不足的能力，於是畢業後緊接著開啟了碩士生涯。 實際上著手進行這份研究時並不是想像中那樣容易，但是此研究正好是黃老 師所擅長的領域，儘管時常在做研究時出錯，當我在任一環節卡關時總能以淺顯 易懂的方式提點我，並且培養我做研究時應有的素養，也由衷感謝黃老師花費數 多時間修改以及指點我們五位指導學生的論文內容。 在國立高雄大學統計學研究所就讀期間曾參與過數項競賽，在此特別感謝許 湘伶老師以及張志浩老師能夠在百忙之中撥空協助我們完成無數大大小小的競 賽，除了提供方法論，亦對於我們呈交的作品品質非常講究。也要感謝從高中、 大學時期直到現在都一起奮鬥的好夥伴們—至傑、昱文、浩哲、強銘，雖然研究 所期間不在同校就讀，但做研究時也總能互相指引迷津，互相分享各自碩士生活 中遇到的瓶頸，也趁休假之餘相約登山、旅行，彼此陪伴著渡過人生最純真的年 代，這些種種將會作為最珍貴的回憶。感謝我們的所辦助教蘭屏姊，時刻為大家 提醒重要時程，也在統研這個大家族中一直默默協助我們排解各式各樣疑難雜症。 最終要將完成這份碩士學業的喜悅獻給一路以來陪伴著我的父母，感謝您們給予 的包容、愛護及鼓勵，我想就如同陳之藩的《謝天》所述「因為需要感謝的人太多 了，就感謝天罷！」。 江欣翰 2020.06.29i
目錄
摘要 ... ii Abstract ... iii 第一章 緒論 ... 1 研究動機及目的 ... 1 第二章 文獻回顧 ... 4 2.1 時間序列模型 ... 4 2.2 向量自迴歸模型 ... 5 2.3 網絡向量自迴歸模型 ... 6 第三章 研究方法與流程 ... 9 3.1 ARMA-GARCH 模型 ... 9 3.2 NAR-GARCH 模型 ... 10 3.3 VAR-GARCH 模型 ... 14 第四章 實證分析結果 ... 16 4.1 邊際模型配適 ... 16 4.2 網絡效應 ... 17 4.3 評估指標 ... 18 4.4 相關性 ... 19 4.5 陽、陰性預測值 ... 20 4.6 年度總報酬 ... 21 第五章 結論 ... 23 附錄 ... 25 圖附錄 ... 26 表附錄 ... 47 參考文獻 ... 54ii
具有
GARCH 效應的網絡向量自迴歸模型
及其應用
指導教授
: 黃士峰 博士
國立高雄大學應用數學系
學生
: 江欣翰
國立高雄大學統計學研究所
摘要
本研究提出了一個具有 GARCH 效應的網絡自迴歸模型（Network Vector
Autoregressive Model with GARCH Effects，簡記為 NAR-GARCH）。首先，我們
通過配適 ARMA-GARCH 模型將所有市場指數的自迴歸效應及 GARCH 效應消 除並收集配適後的標準化殘差，接下來依據各指數開盤和收盤時間的次序有效地 提取最新收盤日之資訊，且使用網絡自迴歸模型對每個指數的標準化殘差建模， 以捕捉不同市場指數間動態的相關性。與傳統的向量自迴歸模型相比，本研究提 出的模型具有更簡約的參數，並且在更改模型大小更具靈活性。我們採用了2006 年至2020 年期間的 20 個全球股票指數的對數收益值進行實證研究。數值結果顯 示NAR-GARCH 模型在擬合和預測 20 個指數方面均具有出色的表現。 關鍵字 : 鄰接矩陣、網絡向量自迴歸、向量自迴歸
iii
A Network Vector Autoregressive Model
with GARCH Effects and it’s Applications
Advisor : Shih-Feng Huang
Department of Applied Mathematics
National University of Kaohsiung
Student : Hsin-Han Chiang
Institute of Statistics
National University of Kaohsiung
Abstract
This study proposes a network autoregressive model with GARCH effects, denoted by NAR-GARCH, to depict the return dynamics of stock market indices. The GARCH effects of each index are deleted marginally and the NAR model is used to capture the joint effects caused by other indices with the latest market information. The proposed model has less parameters and is more flexible in changing model sizes than classical vector autoregressive models. The returns of 20 global stock indices during 2006 to 2019 are employed for our empirical investigation. The numerical results reveal that the NAR-GARCH model has satisfactory performances in both fitting and prediction for the 20 stock indices, especially when a market has strong upward or downward movements.
Keywords : adjacency matrix, network autoregressive model, vector autoregressive model
1
第一章
緒論
研究動機及目的 金融市場的變化對於投資者而言是重要的指標，伴隨著金融市場全球化的趨 勢， 金融市場已不再只因單一國家的事件、政策而受影響。 圖一、澳洲AORD 指數（2016/6/1 至 2016/10/20）之對數報酬率（紅色）和美國 GSPC 指數（2016/5/31 至 2016/10/19）之對數報酬率（藍色）時間序列圖 我們將澳洲AORD 指數 2016/6/1 至 2016/10/20 之對數收益值（紅色）和美 國GSPC 指數前一交易日 2016/5/31 至 2016/10/19 之對數收益值（藍色）做比對， 可以發現當美國指數處於漲跌波動較大的部分時，兩筆數據有相當高的相似度， 由於美國GSPC 指數是前一交易日的數據，因此圖中的現象似乎說明美國 GSPC 指數的波動對於澳洲 AORD 指數有很大的影響力，由於金融指數的時變性及非 常態性，使得對金融指數之間的相關性進行建模是一項艱鉅的任務。Jondeau et al.（2006）提出了 Copula-GARCH 方法針對 4 個主要股市（GSPC, FTSE, DAX, CAC）進行建模及預測，首先對所有股市各別估計其分佈，再對所有股市估計聯2 合分佈，文獻中表明對於這些股市收益的波動趨勢若呈現相同方向時要比呈現相 反方向時受到更大的影響。由於聯合分布的關聯性性質是由它的 copula 函數決 定，假設我們要將它使用在多序列且高維度的資料中，所需克服的問題就是如何 決定與本身有關聯性的序列以及操作的繁瑣性。 本研究主要針對各國大盤股市提供一個相較於傳統 VAR-GARCH、Copula-GARCH 更為方便及快速的預測方法，其目的是透過更精簡的參數量、透過更具 彈性的模型進行報酬率的預測。由於 VAR 模型常常面臨當考慮的時間序列個數 增加時，需要估計的模型參數也隨之大量增加，進而遭遇模型參數選取與估計方 面的問題（請參考 Chu et al. (2019) 及其中的文獻）；而透過 copula 函數建立聯
合分佈的方法則會遭遇 copula 函數的選取與模型參數估計往往沒有封閉解的挑 戰。金融數據間存在關聯性與時序性，實務上由於不同市場指數的開盤與收盤時 間並不一致，金融市場間相互影響的關聯性也會隨著全球經濟景氣改變而產生變 化。因此，如何因應最新的市場訊息，並隨著時間動態調整金融市場間的相互影 響性，也成為模型建立時必須考慮的重要因素。基於上述的問題，為了能快速有 效地捕捉這兩種性質，我們提出一結合GARCH 效應與網絡向量自迴歸（network
autoregression, NAR）的模型，簡記為 NAR-GARCH，嘗試用來描述金融市場中 全球化的關聯性及時序性。主要的想法是透過為每一金融市場的時間序列資料自
行配適一ARMA-GARCH 模型（Bollerslev, 1986）之後，再以 Zhu et al. (2017) 所
提出的NAR 模型捕捉不同金融市場間的交互作用。文獻上許多實證研究結果顯
示 ARMA-GARCH 模型可以成功地捕捉財務時間序列的特性，如：自我相關性
（autocorrelation）、條件異質變異性（conditional heteroskedasticity）、波動叢聚性
（volatility clustering）、偏斜性（asymmetry）等（Nelson, 1991, McNeil and Frey,
2000, Tsay, 2010），並被廣泛地應用於財務衍生性商品定價與建立最佳化投資組
3
我們所提出的 NAR-GARCH 模型無論在模型配適或是預測方面，皆有令人滿意
的表現，也更能掌握金融數據的變動趨勢，以提供投資者參考。
實證研究中，我們採用了包含金磚五國、七大工業國和七個重要經濟體在內
的全球 20 個金融市場 （澳洲—AORD、印度—BSESN、巴西—BVSP、英國—
FCHI、法國—FTSE、德國—GDAXI、美國—GSPC、加拿大—GSPTSE、香港—
HSI、南非—JTOPI、馬來西亞—KLSE、南韓—KS11、俄羅斯—RTSI、中國—SSE、
新加玻—STI、沙烏地阿拉伯—TASI、墨西哥—MXX、阿根廷—MERV、日本— N225 、土耳其—XU100） 2006 年至 2020 年間的收盤價。在進行金融數據分析 時，通常採取時間序列模型來描述，而平穩性又是時間序列模型的基礎，所以我 們進一步將2006 年至 2019 年間收集的 20 個金融市場的收盤價轉換為對數收益 率，並進行分析。 本研究的架構一共分為五章，首先介紹研究的動機及目的，第二章依序介紹 時間序列模型、時間序列模型以及網絡向量自迴歸模型的文獻探討，第三章介紹 本研究的方法流程，接著進行全球20 個金融市場的實證分析，並且總結出研究 結論與建議。第一章的緒論中闡述研究的動機及目的，並簡易說明本研究所採用 的方法基礎。第二章將依序回顧（1）時間序列模型、（2）向量自迴歸、（3）網 絡分析、（4）網絡向量自迴歸，並介紹研究中的相關文獻。第三章詳細介紹本研 究方法的預測流程、方法步驟以及研究中所使用的檢定內容。第四章採用 2006 至 2020 年 20 個金融市場指數作為實證分析數據，並且與 3 種傳統方法進行比
較，分別為AR（1）, ARMA-GARCH, VAR-GARCH。而第五章將歸納總結與討
4
第二章 文獻回顧
對於金融數據的擬合及預測，過去許多文獻中常以時間序列模型作為最基本 的模型假設；而近年來網絡分析的研究正在逐步發展中，文獻中有許多將多維時
間序列進行了動態網絡的建模或是建立聯合分布（ Lam et al., 2012, Krampe,
2019），並運用於多個經濟體GDP、美元匯率之預測；而 Zhu et al.（2017）所提 出的文獻中使用網絡結構描述了社群軟體中用戶與用戶間相互追蹤關係，再以網 絡自迴歸模型對於用戶們的社交活耀狀態進行建模及預測。網絡可以作為一種探 討追蹤關係的模式及架構，若有效的建立起追蹤關係的網絡架構，對於分析節點 間的鏈結數、節點間鏈結的方向性或是網絡的密度等等皆能被有效的計算。本章 節中我們將介紹時間序列模型以及 Zhu et al.（2017）所提出的網絡自迴歸模型
（network vector autoregression model, 簡記 NAR）。將時間序列模型搭配網絡自
迴歸模型擬合至金融數據上，其目的是為了解決金融指數的自我相關、GARCH 效應和金融指數之間的相關性。節點間的鏈結關係可以反應金融市場間影響的有 無；網絡密度的高低可以反應我們所配適模型的參數大小。相較於將時間序列模 型搭配向量自迴歸或是 Copula。對於一 N 維度時間序列，本研究第一項優點在 於透過網絡矩陣的運算，可以相對容易地處理高維度資料，配適模型的參數量大 幅下降；第二項優點在於透過已完成的網絡矩陣，能夠更有彈性的新增或是刪減 有興趣的金融市場指數進入模型預測。 2.1 時間序列模型 對於估計對數收益值，隨時間變化的波動率格外重要，為了刻畫收益率的這 種波動特性，可以令殘差項的條件變異數與過去殘差項的平方相關，GARCH 模 型（Bollerslev, 1986）為自迴歸條件異方差模型（ARCH）的推廣，尤其合適描述
5 金融序列的波動性。本研究採用下述ARMA-GARCH 模型（1）來描述金融數據 中對數收益的動態波動趨勢，其中𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡 = 100 × log (𝑃𝑃𝑗𝑗,𝑡𝑡/𝑃𝑃𝑗𝑗,𝑡𝑡−1)，𝑃𝑃𝑗𝑗,𝑡𝑡為第𝑡𝑡日的收 盤價；𝜇𝜇𝑗𝑗,𝑡𝑡= 𝜙𝜙𝑗𝑗,0+ ∑𝑖𝑖=1𝑝𝑝 𝜙𝜙𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖+ ∑𝑞𝑞𝑖𝑖=1𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖。此步驟的目的在於去除每一時 間序列的自我相關性與 GARCH 效應，並得到每一時間序列的標準化殘差序列估計 {𝜀𝜀̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 = (𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡)/𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡, 𝑡𝑡 = 1,2, … }，𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁；其中𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡= 𝜙𝜙�𝑗𝑗,0 + ∑𝑝𝑝𝑖𝑖=1𝜙𝜙�𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖+ ∑𝑞𝑞𝑖𝑖=1𝜓𝜓�𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖、𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡2 = 𝛼𝛼�𝑗𝑗,0+ ∑𝑖𝑖=1𝑟𝑟 𝛼𝛼�𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖2 + ∑𝑠𝑠𝑖𝑖=1𝛽𝛽̂𝑗𝑗,𝑖𝑖𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖2 、𝑎𝑎�𝑗𝑗,𝑡𝑡= 𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡等估計 量可透過遞迴計算求得，{𝜙𝜙�𝑗𝑗,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … . , 𝑝𝑝}、{𝜓𝜓�𝑗𝑗,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑞𝑞}、{𝛼𝛼�𝑗𝑗,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑟𝑟}與 {𝛽𝛽̂𝑗𝑗,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑠𝑠}分別代表{𝜙𝜙𝑗𝑗,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … . , 𝑝𝑝}、{𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑞𝑞}、{𝛼𝛼𝑗𝑗,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑟𝑟} 與{𝛽𝛽𝑗𝑗,𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑠𝑠}的估計量。 � 𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡 = 𝜇𝜇𝑗𝑗,𝑡𝑡+ 𝑎𝑎𝑗𝑗,𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑗𝑗,𝑡𝑡 = 𝜎𝜎𝑗𝑗,𝑡𝑡𝜀𝜀𝑗𝑗,𝑡𝑡, 𝜀𝜀𝑗𝑗,𝑡𝑡 𝑁𝑁(0,1) 𝜎𝜎𝑗𝑗,𝑡𝑡2 = 𝛼𝛼 𝑗𝑗,0 + ∑𝑟𝑟𝑖𝑖=1𝛼𝛼𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖2 + ∑𝑠𝑠𝑖𝑖=1𝛽𝛽𝑗𝑗,𝑖𝑖𝜎𝜎𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖2 （1） 模型（1）中，時間序列每個時間點變量的波動率是最近 p 個時間點殘差平 方與最近 q 個時間點變量波動率的線性組合。ARMA-GARCH 模型的條件異質 性變異數假設不僅是配適數據中殘差平方的線性函數，也是條件變異數的線性函 數，因此ARMA-GARCH 模型對於金融序列之分析具有更大的適用性。 2.2 向量自迴歸模型
向量自迴歸模型（vector autoregression model, 簡記 VAR）由 Christopher Sims 於 1980 年提出，VAR 模型是一種多元時間序列的分析工具，舉凡經濟， 社會科學，地球科學，環境科學，工程學等等，在現實中有諸多應用。其模型 結構如下：
6 𝒚𝒚𝒕𝒕 = 𝒄𝒄 + � 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒚𝒚𝒕𝒕−𝒊𝒊 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 + 𝒆𝒆𝒕𝒕 , 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 + 1, . . , 𝑇𝑇, 𝑒𝑒𝑛𝑛,𝑡𝑡 𝑁𝑁(0,1) 上述結構為一含有𝑛𝑛個序列的 VAR(p) 模型，其中 𝑐𝑐 為 𝑛𝑛 × 1 常數向量；𝑨𝑨𝒊𝒊 為 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 矩陣，表示向量自迴歸模型的係數矩陣；𝒆𝒆𝒕𝒕 為 𝑛𝑛 × 1 之誤差向量。若 是考慮一二元VAR(1)模型，則可以以向量形式表示如下： �𝑦𝑦𝑦𝑦1,𝑡𝑡2,𝑡𝑡� = �𝑐𝑐𝑐𝑐12� + �𝐴𝐴𝐴𝐴1,1 𝐴𝐴1,2 2,1 𝐴𝐴2,2� � 𝑦𝑦1,𝑡𝑡−1 𝑦𝑦2,𝑡𝑡−1� + � 𝑒𝑒1,𝑡𝑡 𝑒𝑒2,𝑡𝑡� 此模型將單變數的自迴歸模型推廣至多元時間序列的向量自迴歸模型，其 目的是用來估計變數與變數之間的動態關聯性。在VAR 模型中所有當期變數會 對所有變數的若干期數進行迴歸。例如我們想研究壓力與溫度間隨著時間改變 的動態關係， VAR 模型除了刻劃本身序列的自迴歸，且同時也描述與另一序 列的關聯性。 2.3 網絡向量自迴歸模型
網絡向量自迴歸模型（network vector autoregression model, 簡記 NAR）擷取
於（Zhu et al., 2017）的文獻，此模型用於處理及描述大型社交網絡（e.g. Facebook
or Twitter）中節點與節點（e.g. users）間的追蹤關係，這一類動態追蹤關係的資 料擁有時變性的性質，在網絡向量自迴歸模型中可以按照數據的時間進行抽取， 並且經過計算將結果呈現於模型中的鄰接矩陣（adjacency matrix），來滿足數據 的時變性。底下我們將詳細介紹網絡向量自迴歸模型的結構。 𝑦𝑦𝑖𝑖,𝑡𝑡 = 𝛽𝛽0+ ∑𝑝𝑝𝑙𝑙=1𝛽𝛽𝑙𝑙𝑦𝑦𝑖𝑖,(𝑡𝑡−𝑙𝑙)+ ∑𝑞𝑞𝑘𝑘=1𝛾𝛾𝑘𝑘 𝑛𝑛1𝑖𝑖 ∑𝑁𝑁𝑗𝑗=1𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑦𝑦𝑗𝑗,(𝑡𝑡−𝑘𝑘)+ 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑇𝑇𝜏𝜏 + 𝛿𝛿𝑖𝑖,𝑡𝑡 （2） 其中
7 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛, 1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇, 𝛿𝛿𝑖𝑖,𝑡𝑡 𝑁𝑁(0,1) 在網絡向量自迴歸模型（NAR）的假設中，作者進一步拆分成以下三個區塊 描述： 1.自迴歸項： ∑𝑝𝑝𝑙𝑙=1𝛽𝛽𝑙𝑙𝑦𝑦𝑖𝑖,(𝑡𝑡−𝑙𝑙) 為自身序列前p 期的自迴歸模型。𝑦𝑦𝑖𝑖𝑡𝑡的結果有可能會與自身 序列相關。 2.協變量： 𝛽𝛽0+ 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑇𝑇𝜏𝜏 稱為節點效應，在模型中扮演會影響結果的其他外生變量。 3.網絡項： ∑𝑘𝑘=1𝑞𝑞 𝛾𝛾𝑘𝑘𝑛𝑛𝑖𝑖−1∑𝑗𝑗=1𝑁𝑁 𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑦𝑦𝑗𝑗,(𝑡𝑡−𝑘𝑘) 為自身序列與其他序列前 q 期所建構的網絡模 型。其中 ∑𝑁𝑁𝑗𝑗=1𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑦𝑦𝑗𝑗,(𝑡𝑡−𝑘𝑘) 代表 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗（鄰接矩陣） 與其他節點組合向量的內 積；𝑛𝑛𝑖𝑖 = ∑𝑁𝑁𝑗𝑗=1𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗 代表所有追蹤i 節點的總數量，這個追蹤量我們稱為 out-degree；𝑛𝑛𝑖𝑖−1∑𝑁𝑁𝑗𝑗=1𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑦𝑦𝑗𝑗,(𝑡𝑡−𝑘𝑘)代表第 i 個節點受其他節點的平均影響，𝛾𝛾𝑘𝑘為 𝑛𝑛𝑖𝑖−1∑𝑁𝑁𝑗𝑗=1𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑦𝑦𝑗𝑗,(𝑡𝑡−𝑘𝑘) 的係數，我們稱其為網絡效應。 實證分析： 文中以中國最大的社交網路媒體—新浪微博作為實證分析的工具。分析數據 由2982 名（節點數為 2982, N = 2982）活躍的新浪微博用戶中取得，並且記錄用 戶們連續4 週（T = 4）的使用情形。應變量（即𝑌𝑌𝑖𝑖𝑡𝑡）為經過 log (1 + 𝑥𝑥) 轉換後 的文章總數（即用戶i 在第 t 週發布的文章總數目），除此之外，也記錄了兩個非 時變性的節點協變量，分別是用戶們的個人標籤（由用戶創建以描述他們的生活 方式和職業狀態）和每位用戶的性別（男= 1，女= 0）。模型中網絡結構（文中網 絡結構以鄰接矩陣表示, 簡記為 𝐴𝐴）定義為追蹤者與跟隨者的關係，𝐴𝐴 為 𝑁𝑁 × 𝑁𝑁 矩陣，𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗 為矩陣 𝐴𝐴 之元素；𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 1，表示用戶 i 追蹤用戶 j，𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 0，表示用 戶i 未追蹤用戶 j。
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新浪微博數據集的NAR 分析結果
Regression coefficient Estimate SE (× 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐) p-value
Baseline Effect (𝜷𝜷�𝟏𝟏) 0.53 13.13 <0.001 Network Effect (𝜷𝜷�𝟏𝟏) 0.09 1.81 <0.001 Momentum Effect (𝜷𝜷�𝟐𝟐) 0.78 0.68 <0.001 Number of Labels (𝜸𝜸�𝟏𝟏) 0.02 0.31 <0.001 Gender (𝜸𝜸�𝟐𝟐) 0.10 2.42 <0.001 將配適的NAR 模型擬合到新浪微博數據集後，可以觀察上表中所有估計參 數的顯著性皆小於顯著水準（5％）。估計的網絡效應為 0.09，表示節點的活躍性 與其所連接的鄰近節點成正相關。估計的動量效應為0.78，則表示過去具有較高 （較低）活躍性的節點未來可能也會表現出較高（較低）的活躍性。估計的節點 效為0.02，此表示若男性用戶具有更多的個人標籤則傾向於更為活躍。為了評估 模型的預測能力，使用前3 週的數據進行估計，並以最後 1 週的數據作為測試集 評斷其預測能力。所計算的平均絕對預測誤差（MAPE）為 0.78。作為對比的預 測方法，我們另外將AR（1）模型擬合至每個節點，並且相同地以首 3 週進行估 計，最後1 週評斷預測能力。最終得到的 MAPE 為 3.34，遠大於 NAR 模型之效 果（即MAPE 為 0.78），並且我們不認為向量自迴歸模型（VAR）在預測此數據 集的能力是NAR 模型的競爭對手，由於在觀察為期 4 週（T = 4）且觀察用戶數 量為2982 名（N = 2982）的情況下，數據呈現為多序列且高維度，使用 VAR 模 型所需的參數量太過龐大，以至於此模型可能無法進行估計。
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第三章 研究方法與流程
在此章節中採用2006 年 1 月至 2020 年 4 月間全球 20 個金融市場的對數收 益值作為實證分析之數據。本研究首先採用以下的ARMA-GARCH 模型對 20 個 金融市場進行邊際的模型配適，之後藉由各金融股市配適的標準化殘差建立相關 性，再透過網絡向量自迴歸模型預測次日的標準化殘差，最後將可測函數𝜇𝜇𝑡𝑡 與 𝜎𝜎𝑡𝑡 以及預測的標準化殘差結合得到下一日的對數收益值。 3.1 ARMA-GARCH 模型 得到20 筆來自全球金融市場的對數收益值後，首先將各個金融市場獨立配 適模型（1）的 ARMA-GARCH 模型，在 ARMA-GARCH 模型的配適中我們將會 進行選模，而一個良好的配適情況，其標準化殘差應當是平穩且隨機的白噪音， 則配適時間序列模型之後，尚須考慮序列是否還存在自相關，為檢測模型的標準 化殘差是否吻合平穩白噪音序列，在選模過程中搭配使用Ljung-Box test 檢定配 適之時間序列模型的標準化殘差（𝜀𝜀𝑗𝑗,𝑡𝑡）是否還存有自迴歸效應以及檢定標準化殘 差的平方是否還存有自迴歸效應（GARCH 效應），若不存在自迴歸效應及 GARCH 效應才會納入候選模型，接著挑選 AIC 最小的模型作為最終配適模型。 每 一 個 移 動 窗 口 配 適 完 成 後 ， 利 用 可 預 測 函 數𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡= 𝜙𝜙�𝑗𝑗,0 + ∑𝑝𝑝𝑖𝑖=1𝜙𝜙�𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖+ ∑𝑞𝑞𝑖𝑖=1𝜓𝜓�𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖、𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡2 = 𝛼𝛼�𝑗𝑗,0+ ∑𝑖𝑖=1𝑟𝑟 𝛼𝛼�𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖2 + ∑𝑠𝑠𝑖𝑖=1𝛽𝛽̂𝑗𝑗,𝑖𝑖𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖2 以及 𝑎𝑎�𝑗𝑗,𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 即 可計算並求得ARMA-GARCH 方法的一步預測值。10 3.2 NAR-GARCH 模型 為明確本研究方法與傳統ARMA-GARCH 模型差異之處，使用（3）式及 （4）式輔助說明。 𝑟𝑟̂𝑗𝑗,𝑡𝑡𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝐸𝐸�𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡�𝐹𝐹𝑗𝑗,𝑡𝑡−1� = 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 （3） 其中 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 = ∅𝑗𝑗,0+ � ∅𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 + � 𝜑𝜑𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑞𝑞 𝑖𝑖=1 （3）式為 ARMA-GARCH 之模型架構，其式子中的 𝜇𝜇̂𝑡𝑡 及 𝜎𝜎�𝑡𝑡 皆為函數可測， 𝜀𝜀𝑡𝑡 則假設為一白噪音序列，條件式 𝐹𝐹𝑡𝑡−1 代表只觀測自身過去的歷史資訊。若不考 慮不同指數間的交互作用，即可直接以每一指數的邊際模型得到此一步預測值。 𝑟𝑟̂𝑗𝑗,𝑡𝑡∗ = 𝐸𝐸�𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡�𝐹𝐹𝑗𝑗,𝑡𝑡−� = 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡+ 𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡𝜀𝜀̃𝑗𝑗,𝑡𝑡 （4） 其中 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 = ∅𝑗𝑗,0+ � ∅𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 + � 𝜑𝜑𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑞𝑞 𝑖𝑖=1 𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡2 = 𝛼𝛼𝑗𝑗,0+ � 𝛼𝛼𝑗𝑗,𝑖𝑖𝑎𝑎𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖2 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 + � 𝛽𝛽𝑗𝑗,𝑖𝑖𝜎𝜎𝑗𝑗,𝑡𝑡−𝑖𝑖 2 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 𝜀𝜀̃𝑗𝑗,𝑡𝑡= � �𝛾𝛾𝑘𝑘𝑛𝑛𝑗𝑗,𝑘𝑘−1� 𝑐𝑐𝑗𝑗,ℎ(𝑘𝑘)𝜀𝜀ℎ,(𝑡𝑡−𝑑𝑑−𝑘𝑘+1|𝐹𝐹𝑡𝑡−) (𝑗𝑗) 𝑁𝑁 ℎ=1 � 𝑄𝑄 𝑘𝑘=1 + 𝛿𝛿𝑗𝑗,𝑡𝑡 （4）式為 NAR-GARCH 的模型架構，是一個可反映最新全球金融市場收盤 資訊的估計量，𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 和 𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡2 皆為 ARMA-GARCH 模型中的可測函數。有別於（3） 式中的條件式 𝐹𝐹𝑡𝑡−1 僅觀察自身過去歷史資訊，此處的條件式記為 𝐹𝐹𝑡𝑡−，代表觀測 範圍是所有金融指數在t 時間之前的歷史資訊，並且依靠其他金融指數的資訊對 欲預測之金融指數的標準化殘差建模，底下將詳細介紹NAR-GARCH 模型架構。
11 NAR-GARCH 模型利用鄰接矩陣捕捉各國最新收盤資訊，為固定鄰接矩陣 的排列順序，我們將矩陣縱座標及橫坐標皆依照各國收盤時間的順序由先收盤的 國家依序由上至下、左至右排列。各國收盤時間的順序如表一所示。蒐集到來自 20 個金融市場之配適數據，指定欲預測的金融市場及欲預測的日期，由於金融 數據擁有時序問題，在建構鄰接矩陣的影響性時，首要步驟先處理各國之間開盤 與收盤的時差問題，在本研究方法中，我們所感興趣的問題是「各國最新收盤資 訊是否能反映在即將預測的金融市場上」，為了捕捉各國最新收盤資訊，將兩金 融序列進行皮爾森相關性檢定時，序列的排序必須遵從以下規則，並以範例詳述 說明。 一、先將要預測的金融指數（假設為A 指數）配適後的標準化殘差作為基準序 列，此標準化殘差簡記為 𝜀𝜀𝐺𝐺,𝑡𝑡。 二、第二行序列擺放其他金融指數（假設為B 指數）配適後的標準化殘差（簡記 為 𝜀𝜀𝐵𝐵,𝑡𝑡），若 B 指數的收盤時間晚於 A 指數的開盤時間，那麼 𝜀𝜀𝐵𝐵,𝑡𝑡必須擷取 比 𝜀𝜀𝐺𝐺,𝑡𝑡至少早一日的收盤資訊；若 B 指數的收盤時間早於 A 指數的開盤時 間，那麼 𝜀𝜀𝐵𝐵,𝑡𝑡 必須擷取與 𝜀𝜀𝐺𝐺,𝑡𝑡 同一交易日的收盤資訊。 假設我們將建立美國標普指數與英國、土耳其、澳洲金融指數之間的相關性， 並指定預測12/31 美國 GSPC 指數對數收益值，依照表一的開收盤時間，擷取的 時間資訊結果如下（可參見圖二）：
12 圖二、開盤收盤時序圖 英國：英國的收盤時間為23:25，相較美國開盤時間 21:30 更晚，此情況能蒐集 到英國的最新收盤日期為12/30。 土耳其：土耳其的收盤時間為22:15，相較美國開盤時間 21:30 更晚，此情況能 蒐集到土耳其的最新收盤日期為12/30。 澳洲：澳洲的收盤時間為13:00，相較美國開盤時間 21:30 更早，此情況能蒐集 到澳洲的最新收盤日期則與美國為同一交易日12/31。 反覆依照上述兩項規則，可以繪製出如表二所呈現的關係矩陣，其代表所有 金融指數間對應擷取日期的關係。矩陣中縱座標代表被預測指數，橫坐標代表與 被預測指數檢定相關性之指數，值為0 代表該指數需要擷取當天收盤資訊進行皮 森相關性檢定；值為 1 代表該指數需要擷取前一日收盤資訊進行皮森相關性檢 定。依照表二我們可以快速決定任兩序列進行皮森相關性檢定的時序問題，並能 快速得到第Q 步網絡向量對應的鄰接矩陣。
13 各國金融指數間擷取最新收盤日期的關係矩陣。 以移動視窗法為 𝑁𝑁 個全球市場指數的日報酬率資料配適時間序列模型之後， 利用此步驟所得到的標準化殘差序列，{𝜀𝜀̂𝑗𝑗,𝑡𝑡, 𝑡𝑡 = 1,2, … ; 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁}，進而建立一 Q 步網絡向量自迴歸模型（Zhu et al., 2017）。由於配適時間序列模型的過程中已 使用Ljung-Box 檢定標準化殘差與標準化殘差平方自相關性後，則配適後的標準 化殘差符合平穩及隨機的白噪音序列，則我們將 Q 步網絡向量自迴歸模型中的 自迴歸項拔除，最終的NAR 模型如（5）式所表示。 𝜀𝜀̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 = � �𝛾𝛾𝑘𝑘𝑛𝑛𝑗𝑗,𝑘𝑘−1� 𝑐𝑐𝑗𝑗,ℎ(𝑘𝑘)𝜀𝜀ℎ,�𝑡𝑡−𝑑𝑑−𝑘𝑘+1|𝐹𝐹𝑗𝑗,𝑇𝑇−� (𝑗𝑗) 𝑁𝑁 ℎ=1 � 𝑄𝑄 𝑘𝑘=1 + 𝛿𝛿𝑗𝑗,𝑡𝑡 （5） 其中 𝑑𝑑 = �0, 若第𝑗𝑗個指數當日開盤的時間比第 ℎ 個指數晚 1, 若第𝑗𝑗個指數當日開盤的時間比第 ℎ 個指數早 模型中參數 k 代表網絡的自我相關期數，用來處理全球金融市場指數間 開盤與收盤時間不一致的問題；𝜀𝜀ℎ,�𝑡𝑡−𝑑𝑑−𝑘𝑘+1|𝐹𝐹 𝑗𝑗,𝑇𝑇−� (𝑗𝑗) 代表考慮收盤時間的先後順序 後，相對於第𝑗𝑗個指數在第𝑡𝑡個交易日的標準化殘差，第ℎ個指數所對應之第𝑡𝑡 − 𝑑𝑑 − 𝑘𝑘 + 1個交易日的標準化殘差；𝑐𝑐𝑗𝑗,ℎ(𝑘𝑘)代表前𝑑𝑑 + 𝑘𝑘 − 1 期的鄰接矩陣中第
AORD N225 KS11 SSE HIS … RTSI GDAXI BVSP GSPC GSPTSE MXX MERV
AORD 0 1 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 N225 1 0 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 KS11 1 1 0 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 SSE 1 1 1 0 1 … 1 1 1 1 1 1 1 HIS⋮ ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 0 …⋮ ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 RTSI 0 0 0 0 1 … 0 1 1 1 1 1 1 GDAXI 0 0 0 0 1 … 1 0 1 1 1 1 1 BVSP 0 0 0 0 0 … 1 1 0 1 1 1 1 GSPC 0 0 0 0 0 … 1 1 1 0 1 1 1 GSPTSE 0 0 0 0 0 … 1 1 1 1 0 1 1 MXX 0 0 0 0 0 … 1 1 1 1 1 0 1 MERV 0 0 0 0 0 … 1 1 1 1 1 1 0
14 (𝑗𝑗, ℎ)個元素，𝑐𝑐𝑗𝑗,ℎ(𝑘𝑘)= 1, 𝑗𝑗 ≠ ℎ,代表第𝑗𝑗個指數的標準化殘差序列與前𝑑𝑑 + 𝑘𝑘 − 1個 交易日之第ℎ個指數的標準化殘差序列具有顯著的相關性，否則𝑐𝑐𝑗𝑗,ℎ(𝑘𝑘) = 0，此一 鄰接矩陣可以表示其他金融指數前𝑑𝑑 + 𝑘𝑘 − 1 個交易日的標準化殘差是否對第 𝑗𝑗個指數的標準化殘差有顯著的影響； 𝑛𝑛𝑗𝑗,𝑘𝑘 = ∑𝑁𝑁ℎ=1𝑐𝑐𝑗𝑗,ℎ(𝑘𝑘) ，即為將前𝑑𝑑 + 𝑘𝑘 − 1個 交易日鄰接矩陣的第 𝑗𝑗 列加總，主要計算在前𝑑𝑑 + 𝑘𝑘 − 1個交易日會影響第𝑗𝑗個 金融指數標準化殘差的指數總數；𝑛𝑛𝑗𝑗,𝑘𝑘−1∑ 𝑐𝑐𝑗𝑗,ℎ(𝑘𝑘)𝜀𝜀ℎ,�𝑡𝑡−𝑑𝑑−𝑘𝑘+1|𝐹𝐹 𝑗𝑗,𝑇𝑇−� (𝑗𝑗) 𝑁𝑁 ℎ=1 可視為前𝑑𝑑 + 𝑘𝑘 − 1個交易日其他金融指數標準化殘差對第𝑗𝑗個金融指數標準化殘差的平均 影響；𝛿𝛿𝑗𝑗,𝑡𝑡假設為i.i.d.的誤差項。透過配適模型（1）與（5）後，可得到如（4） 式所表示的反映最新全球金融市場收盤資訊的估計量： 𝑟𝑟̂𝑗𝑗,𝑇𝑇∗ = 𝐸𝐸�𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑇𝑇�𝐹𝐹𝑗𝑗,𝑇𝑇−� = 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑇𝑇+ 𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑇𝑇𝜀𝜀̃𝑗𝑗,𝑇𝑇 （4） 𝛾𝛾�𝑘𝑘 則是透過最小平方估計法求得的參數估計量，𝐹𝐹𝑗𝑗,𝑇𝑇− 表示第𝑗𝑗個指數在時 間 𝑇𝑇 以前所得收集到的所有最新資訊所形成的集合， 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁。 3.3 VAR-GARCH 模型 作為對比方法，文獻上亦有學者建議建立VAR-GARCH 模型，建模流程 同樣分為兩步驟，第一步驟與上述建立NAR-GARCH 模型時一樣，以移動視 窗法為𝑁𝑁個全球市場指數的日報酬率配適 ARMA-GARCH 模型，得到對應的 條件異質變異數估計後，下一步驟則對去除GARCH效應的序列建立一 VAR(𝑄𝑄) 模型以描述指數間的自我相關與交互相關性（cross correlation），即 𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑐𝑐 + ∑𝑄𝑄𝑖𝑖=1𝐴𝐴𝑖𝑖𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖+ 𝑒𝑒𝑡𝑡 , （6） 其中𝑦𝑦𝑡𝑡 = �𝑟𝑟1,𝑡𝑡/𝜎𝜎�1,𝑡𝑡, … , 𝑟𝑟𝑁𝑁,𝑡𝑡/𝜎𝜎�𝑁𝑁,𝑡𝑡�𝑇𝑇為一𝑁𝑁維向量，𝑐𝑐為一𝑁𝑁維係數向量，𝐴𝐴𝑖𝑖, 𝑖𝑖 =
15 1, … , 𝑄𝑄, 為𝑁𝑁 × 𝑁𝑁的係數矩陣，{𝑒𝑒𝑡𝑡, 𝑡𝑡 = 1,2, … }為 i.i.d.的𝑁𝑁維誤差項。經過以移 動視窗法為資料�𝑟𝑟1,𝑡𝑡, … , 𝑟𝑟𝑁𝑁,𝑡𝑡�, 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇 − 𝑠𝑠 + 1, … , 𝑇𝑇 − 1, 配適（1）式與（5）式 的VAR-GARCH 模型後，可得到以下對所有金融指數報酬率的一步預測值： �𝑟𝑟̂1,𝑇𝑇, … , 𝑟𝑟̂𝑁𝑁,𝑇𝑇� = �𝑐𝑐̂ + ∑𝑄𝑄𝑖𝑖=1𝐴𝐴̂𝑖𝑖𝑦𝑦𝑇𝑇−𝑖𝑖� 𝑇𝑇 。�𝜎𝜎�1,𝑇𝑇, … , 𝜎𝜎�𝑁𝑁,𝑇𝑇�, （7） 其中‘。’運算為 Hadamard 內積。然而，由於受到係數矩陣𝐴𝐴𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑄𝑄, 在設計上的限制，VAR-GARCH 模型無法如（4）式一樣引入最新的收盤訊息， 對所有指數而言，皆僅能採用其他金融指數至多至前一個交易日的資訊進行 建模與預測。同樣的，若是不考慮不同指數間的交互作用，即可直接以每一指 數的邊際模型得到（3）式的一步預測值。 對照（3）、（4）以及（7）式可發現，本研究所提出的 𝑟𝑟̂𝑗𝑗,𝑇𝑇∗ 預測值具有反映 其他金融市場最新資訊的優點，且計算簡便。此外，本計畫採用的NAR-GARCH 模型在參數估計的複雜度亦較不受在模型中增加或減少所考慮的金融市場個數 所引發之影響（因為邊際模型不須重新估計，只需重新計算（5）式中的鄰接矩 陣與期相對應的參數估計值 𝛾𝛾�𝑘𝑘）。換言之，NAR-GARCH 模型在增加或減少金融 市場個數上較有彈性。但是在建模方面的優勢是否能夠反映在實際模型配適與預 測的表現上，第四章節將以實證資料進行數值上的探討。
16
第四章
實證分析結果
4.1 邊際模型配適 進行實證分析的數據採用2006 年 1 月至 2020 年 4 月間全球 20 個金融市場 的對數收益值，本研究預測值為單日的對數收益值，除了建模的時間長度，各國 金融股市間也有諸多的影響。文獻參考中，使用移動窗口法較能夠有效地捕捉及 時的波動趨勢，則我們將建模長度設為250 天，約略為各國股市一年的資訊，並 且皆以移動窗口法進行一步預測。 如模型（1）所示，是一個 ARMA（p, q）-GARCH（r, s）模型，本研究將參 數大小設定在（p 自 1 至 4、q 自 0 至 3、s 自 1 至 3、r 自 1 至 3）以移動窗口 法，並且移動窗口大小設定為 250 天依次將 2006 年 1 月至 2020 年 4 月間所有 金融數據配適完畢，配適過程中需擷取每個移動窗口配適後的條件期望值（𝜇𝜇𝑡𝑡）、 條件異質性變異數（𝜎𝜎𝑗𝑗,𝑡𝑡2）以及標準化殘差（𝜀𝜀𝑗𝑗,𝑡𝑡），並且重複上述步驟直至20 個 金融市場之數據皆配適完畢。時間序列模型配適完成後可以分別觀察標準化殘差 序列自相關函數，我們將結果以acf 呈現如圖三所示，圖三為標準化殘差序列自 相關函數，圖四為標準化殘差序列平方的自相關函數。標準化殘差與標準化殘差 平方皆無自相關之後即完成模型配適，𝜇𝜇𝑡𝑡 = 𝑓𝑓𝑡𝑡(𝑎𝑎𝑠𝑠, 𝛾𝛾𝑠𝑠; 𝜽𝜽, 𝑠𝑠 ≤ 𝑡𝑡 − 𝑖𝑖)為可測函數， 一 步 預 測 值 （𝜇𝜇̂𝑡𝑡+1） 可 由 𝜇𝜇̂𝑡𝑡+1 = ∅�0+ ∑𝑝𝑝𝑖𝑖=1∅�𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡−𝑖𝑖+ ∑𝑞𝑞𝑖𝑖=1𝜑𝜑�𝑖𝑖𝑎𝑎𝑡𝑡−𝑖𝑖 計算即完成 ARMA-GARCH 的一步預測，於後面章節及附錄中將會列出所有方法的預測誤差 指標。17 4.2 網絡效應 全球金融市場存在時差問題，影響了各國間開盤即收盤時間，因此（5）式 中參數p 的設定會依據欲預測的金融指數而定，參數 k 代表網絡的期數，一期網 絡中僅擷取其他指數與預測指數間前一期的關係，二期網絡中僅擷取其他指數與 預測指數間前二期的關係，依此類推，我們將網絡期數與Ljung-Box 檢定之期數 一樣設置在五期。 我們依照上述兩項規則可以製作出表二，其代表所有金融指數間對應擷取 日期的關係矩陣。矩陣中縱座標代表被預測指數，橫坐標代表與被預測指數檢 定相關性之指數，值為0 代表該指數需要擷取當天收盤資訊進行皮森相關性檢 定；值為1 代表該指數需要擷取前一日收盤資訊進行皮森相關性檢定。依照表 2.我們可以快速決定任兩序列進行皮森相關性檢定的時序問題，且能快速得到 五期的鄰接矩陣，最後將其他金融指數對應期數的標準化殘差與五期鄰接矩陣 擺入網絡向量自迴歸模型中方可得到下方的線性方程式： 𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑡𝑡 = 𝛾𝛾1𝐻𝐻1+ 𝛾𝛾2𝐻𝐻2 + 𝛾𝛾3𝐻𝐻3+ 𝛾𝛾4𝐻𝐻4+ 𝛾𝛾5𝐻𝐻5 , 𝐻𝐻𝑘𝑘 = 𝑛𝑛−1𝑖𝑖,𝑘𝑘∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗(𝑘𝑘)𝜀𝜀𝑗𝑗,�𝑡𝑡−𝑑𝑑−𝑘𝑘+1|𝐹𝐹𝑗𝑗,𝑇𝑇−� (𝑖𝑖) 𝑁𝑁 𝑗𝑗=1 上述的線性方程式以簡單線性迴歸配適即可得到參數估計量 𝛾𝛾�1 ~ 𝛾𝛾�5，將其 他金融指數按照對應期數（第k 期網絡）以及按照開收盤時間擷取最新收盤時間， 並且將對應的標準化殘差擺入估計後的網絡模型即可得到標準化殘差的預測值 𝜀𝜀̂𝑖𝑖,𝑡𝑡+1。將3.1 節 ARMA-GARCH 模型（1）中可預測函數的一步預測結果，分別 是條件期望值（𝜇𝜇̂𝑖𝑖,𝑡𝑡+1）與條件異質變異數（𝜎𝜎�𝑖𝑖,𝑡𝑡+12 ），本研究方法預測的對數收益 值即可從 𝑟𝑟̂𝑖𝑖,𝑡𝑡+1= 𝜇𝜇̂𝑖𝑖,𝑡𝑡+1+ 𝜎𝜎�𝑖𝑖,𝑡𝑡+1× 𝜀𝜀̂𝑖𝑖,𝑡𝑡+1 取得。
18 4.3 評估指標 金融數據的波動幅度是投資者的關注目標，本研究嘗試關注漲跌幅度較明顯 的部分是否能透過我們的方法有效地捕捉到變動趨勢，我們將該金融指數 2006 年至 2019 年的對數收益歷史資訊取出 40 百分位數作為大跌的分水嶺，取出 60 百分位數作為大漲的分水嶺。介於40 百分位數與 60 百分位數之間的值我們視為 波動幅度較小的值，我們更感興趣的是40 百分位數以下的值和 60 百分位數以上 的值透過我們的研究方法能不能有效捕捉。4.5 節將透過取出的百分位數決定漲 跌幅度，並計算在該漲跌幅度中的所有誤差指標。 以移動平均法一步預測完成後，我們將本研究方法與其他三種方法各別計算 誤 差 指 標 進 行 對 比 ， 所 使 用 的 誤 差 指 標 有 均 方 根 誤 差 （𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝐸𝐸 = �𝑚𝑚1 ∑𝑚𝑚𝑖𝑖=1（𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�）𝚤𝚤 2）、平均絕對誤差（𝑅𝑅𝐴𝐴𝐸𝐸 = 1 𝑚𝑚∑𝑚𝑚𝑖𝑖=1（𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�）𝚤𝚤 ）、部分（partial） 均方根誤差（𝑃𝑃𝑅𝑅𝑅𝑅𝐸𝐸(𝛼𝛼) = �1 𝑚𝑚∑ (𝑦𝑦𝑚𝑚𝑖𝑖=1 𝑖𝑖− 𝑦𝑦�𝑖𝑖)2𝐼𝐼{|𝑦𝑦𝑖𝑖|>𝑣𝑣(𝛼𝛼)}）。而 RMSE 與 MAE 皆為 統計上常見的指標本研究特別採用 PMSE 作為評估指標的原因是為了衡量模型 對指數報酬率波動幅度較急劇時的表現。金融數據的波動幅度是投資者的關注目 標，漲跌幅度是由預測的金融指數 2006 年至 2019 年對數收益值歷史資訊取出 5、10、20、40、60、80、90、95 百分位數作為依據，漲跌幅度最劇烈的 5%是由 小於5 百分位數和大於 95 百分位數所組成，漲跌幅度次劇烈的 10%是由小於 10 百分位數和大於90 百分位數所組成，依此類推。 圖八至圖十三為2008 至 2019 年之間，各國四種方法配適數據 RMSE, MAE,
PMSE(40%), PMSE(20%), PMSE(10%), PMSE(5%) 的結果，縱坐標代表 20 個國
家(按收盤時間排序) ，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b) ARMA-GARCH； (c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH 代表四種預測方法。依照數值結果顯示各國
19 家指數各年分在 NAR-GARCH 預測方法皆有較出色的表現，並且在漲跌幅度更 急遽的情況下表現更顯出色。表三至表五分別表示日本 N22、中國 SSE 及美國 GSPC 指數 2019 年一步預測成效詳細資訊。 4.4 相關性 除了計算誤差指標外，我們也對預測的對數收益率與原始值相關程度感興趣， 我們將四種預測方法分別與真實數據計算 Pearson 相關性檢定、Kendall 相關性 檢定、Spearman 相關性檢定。Pearson 相關性是衡量線性相關最廣泛使用的統計 量，而 Kendall 相關性與 Spearman 相關性則是測量兩變量間非線性相關程度的 無母數分析。表四所呈現是2019 年澳洲 AORD 指數為例，將四種預測方法預測 值與真實資料進行三種相關性檢定的結果，其中第一、二列為Pearson 相關性的
相關係數與p-value，第三、四列為 Kendall 相關性的相關係數與 p-value，第五、
六列為Spearman 相關性的相關係數與 p-value。第四欄位是本研究結果，可以觀
察，VAR-GARCH 與 NAR-GARCH 在數值結果表現上更是比邊際模型 AR（1）
及ARMA-GARCH 顯著許多，當中三種相關性檢定皆是以本研究方法最為顯著。
此研究發現除了使用自身序列建立時間序列模型外，有效地搭配其他金融指數建 立聯合分布確實有助於提升預測的效果。
圖二十五至圖三十三分別代表日本N225、中國 SSE 及美國 GSPC 指數對數
收益值2009 年至 2019 年四種方法每年一步預測值與真實值的 Pearson correlation,
Kendall correlation, Spearman correlation，並且將檢定過程中 p-value 小於 0.05 的
事件標記為紅色圓圈。以日本N225 指數所計算的三種相關性檢定，NAR-GARCH
的表現效果最為優異；而中國SSE 指數大部分年份的表現還算滿意；美國 GSPC
20 國SSE 及美國 GSPC 指數 2019 年三種相關性檢定的詳細資訊。 4.5 陽、陰性預測值 在 4.3 節中採用了 PMSE 做為評估指標，而陽、陰性預測值是反應精確度 （specificity）、敏感度（sensitivity）兩者之間關係的重要指標，由於此研究採用 的資料不具類別型態，計算此項評估指標之前，必須先將資料賦予類別，我們將 市場指數歷史資料大於60 百分為數的資料稱為大漲；而小於 40 百分為數的資料 稱為大跌。陽性預測值的定義為在預測為大漲的情況下，真實資料為大漲的百分 比；相對地，陰性預測值的定義為在預測為大跌的情況下，真實資料為大跌的百 分比。 Predicted Positive Predicted Negative Actual Positive TP FN Actual Negative FP TN 圖二十三及圖二十四分別為2009 至 2019 年間，各國每年一步預測陽性預測 值和陰性預測值之熱圖呈現；縱坐標為 20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依
照年份排列，且(a) AR(1)；(b) ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH。
表六至表十一分別代表日本N225、中國 SSE 及美國 GSPC 指數對數收益值 2009
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑃𝑃𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑒𝑒𝑑𝑑𝑖𝑖𝑐𝑐𝑡𝑡𝑖𝑖𝑃𝑃𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒 =∑ 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑑𝑑𝑖𝑖𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑃𝑃𝑛𝑛𝑑𝑑𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑃𝑃𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑃𝑃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑃𝑃𝑒𝑒 =∑ 𝑇𝑇𝑟𝑟𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑃𝑃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑃𝑃𝑒𝑒 𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝐹𝐹𝑃𝑃𝑇𝑇𝑃𝑃
21 年至2019 年一步預測的陽、陰性預測值。在數值結果方面，本研究方法在所有 年份當中陽、陰性預測值皆有滿意的表現，可以驗證除了使用能夠描繪波動性的 ARMA-GARCH 模型之外，搭配其他金融指數建立的聯合分布確實有助於預測的 效果。 4.6 年度總報酬 上一節中計算了各種方法的陽性及陰性預測值，目的在於確認各種方法是否 有效反映出漲跌幅度的波動，並且我們界定歷史資料 40 和 60 百分位數作為漲跌 幅度大小的依據。針對各種預測方法，由於我們發現彼此對於漲、跌的敏感度並 不相同，導致在預測結果中辨認漲、跌的次數有些許偏斜。為彌補在陽、陰性預 測值在呈現效果上的不足，在此章節中加以計算在各方法中選擇不同漲跌幅度 （將大漲及大跌界定的範圍分別設為 10%：10 及 90 百分位數；20%：20 及 80 百分位數；40%：40 及 60 百分位數）以及選擇不同手續費率（0.1%、0.25%、 0.5%）計算其年度總報酬的效果。考慮交易手續費時計算的總報酬率如下： 𝑉𝑉𝑡𝑡 = 𝑃𝑃𝑡𝑡(1 − 𝑐𝑐) 𝑟𝑟𝑡𝑡∗ = log �𝑃𝑃𝑉𝑉𝑡𝑡 𝑡𝑡−1� = log � 𝑃𝑃𝑡𝑡 𝑃𝑃𝑡𝑡−1� + log(1 − 𝑐𝑐) ≈ 𝑟𝑟𝑡𝑡− 𝑐𝑐 log(1 − 𝑐𝑐) = 0 − 𝐶𝐶 −2! 𝐶𝐶1 2− 1 3! 𝐶𝐶3+ 𝑂𝑂(𝐶𝐶3) ≈ −𝑐𝑐 其中𝑉𝑉𝑡𝑡為真實交易價；𝑃𝑃𝑡𝑡為該大盤收盤價；𝑟𝑟𝑡𝑡∗為真實交易的對數收益值，將 log(1 − 𝑐𝑐) 做泰勒展開式之後，可以得到近似值為−𝑐𝑐。
22
我們以圖三十四至圖三十六分別代表了日本 N225、中國 SSE、美國 GSPC 指
數在上述不同組合中繪製的熱圖呈現，其中 Real 代表大盤指數；(a) AR(1)；(b)
ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d)NAR-GARCH。以圖三十四中可以觀察到 在日本的各項組合中，若我們將大漲及大跌的幅度設定為10%時，預測值必須大 於歷史資訊90 百分位數或預測值小於歷史資訊 10 百分位數才會納入陽、陰性預 測值的計算，也由於此設定過於嚴苛，各項方法幾乎無法有效預測出如此極端條 件下的陽、陰性預測值（預測大漲或預測大跌的次數皆趨近於0 次），以導致此 條件下的投資效果並不顯著。倘若放寬大漲及大跌的幅度，可以觀察到無論是界 定在漲跌幅20%或是 40%，對於日本 N225 指數 NAR-GARCH 方法的效果，各 年分都有穩定成長的趨勢。圖三十五中顯示了中國上證指數在各種漲跌幅度及不 同手續費率組合的結果，對於中國上證指數可以發現它不同於日本N225 指數的 表現，在所有組合中以VAR-GARCH 方法較為穩定，NAR-GARCH 則多數呈現 為負值，若是我們與大盤指數做對比，又顯示了所有預測方法皆略為遜色。圖三 十六則是美國GSPC 指數的熱圖呈現，同樣也別於日本 N225 指數的表現，總體 的表現以漲跌幅 20%的條件較為穩定，而將漲跌幅放寬至 40%時則是幾乎呈現 為負值，有可能在此條件時，對於預測美國GSPC 指數的敏感度並不比界定在漲 跌幅為20%時更為出色。
23
第五章
結論
在前面的章節中，我們將 20 個金融市場對數收益值各別皆以移動窗口 250 天配適了 ARMA-GARCH 模型（1），並得到每一時間序列的標準化殘差序列估 計 {𝜀𝜀̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 = (𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡− 𝜇𝜇̂𝑗𝑗,𝑡𝑡)/𝜎𝜎�𝑗𝑗,𝑡𝑡, 𝑡𝑡 = 1,2, … }，𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁，此模型我們設定了標準化殘差 序列 𝜀𝜀̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 為一 i.i.d.標準常態分布，實際以 Shapiro–Wilk 常態性檢定檢驗 2020 年 第一季美國GSPC 指數的配適數據標準化殘差序列，其中我們發現僅有一成的序 列符合常態分布，與初始模型假設相違背。許多學者探討財務時間序列中的偏斜性（asymmetry），Cheng and Hung（2011）的文獻中利用了偏斜廣義t 分布（SGT）
GARCH 模型獲得的預測風險價值（VaR）為石油市場提供了相對來說最準確的 預測效果，且總體而言，SGT 分佈可得出最合適的 VaR 估計值；其次則是廣義 誤差分佈（GED），最後則是常態分佈。 而我們同樣地為了描述財務資料之偏斜性，採用與先前配適ARMA-GARCH 相同的參數設定（𝑝𝑝, 𝑞𝑞, 𝑟𝑟, 𝑠𝑠），將 𝜀𝜀̂𝑗𝑗,𝑡𝑡 設定為一偏斜 t 分布，並擬和至美國 GSPC 指 數2020 年第一季的對數收益值，擬和資料中亦顯示每個移動窗口配適數據的偏 度（Skewness）介於 0.5 至 0.9，屬於右尾分布，以金融數據的型態可以解釋為整 體序列跌幅的部分較漲幅的幅度更為劇烈，也由於在2020 年第一季全球爆發新 型冠狀病毒肺炎（COVID-19），美國GSPC 指數於 2 月 20 日起一路下跌至 3 月 24 日才逐漸復甦，上述的數值結果確實有反映此一現象。 在研究初始階段曾將模型參數設置為ARMA(1,0)-GARCH(1,1)，但是此模型 效果不彰，並且也尚未考慮配適模型的序列自相關與GARCH 效應。基於上述理 由，必須進行選模和調整適當的參數大小。在統計學界常用的R 軟體中雖然已有 多位開發者提供時間序列模型相關套件，但由於此研究所用數據的橫跨時間長度
24 及指數種類繁多，本研究將ARMA-GARCH 模型參數大小設定在（p 自 1 至 4、 q 自 0 至 3、s 自 1 至 3、r 自 1 至 3）就是基於所需花費時間及配適效果的權衡， 而在此章節重新配適偏斜 t 分布的 ARMA-GARCH 模型則沿用了原始配適數據 的參數設定。 此研究中其實也關注我們所提出的 NAR-GARCH 方法是否在於漲跌發生時 相對於其他方法有比較高的敏銳性（亦即當漲跌情況發生時，NAR-GARCH 方法 是否可以最快釋出警訊），在比對2020 年第一季各指數使用不同方法預測的資料 時，發現各方法間能夠看出明顯下降或上升趨勢的時機點皆大同小異，此情況下 NAR-GARCH 方法似乎未顯現出敏銳性上的優勢，但是相較於其他傳統時間序 列模型，本研究提出 NAR-GARCH 的優點顯現於具有能反映最新市場訊息、模 型參數估計簡便以及在增加或減少模型中所考慮的金融市場個數時更有彈性。實 證研究亦顯示所提出的 NAR-GARCH 在模型配適與預測的表現上，絕大部分優 於傳統的方法。特別是當某一金融指數受到其他指數當日收盤結果的影響而產生 劇烈變化時，NAR-GARCH 模型更能展現其反映最新市場訊息的能力，更有助於 協助使用者迅速地對市場趨勢做出正確的研判。
25
附錄
Ljung-Box 檢定：由於邊際處理ARMA-GARCH 模型時，模型選擇還有經過 Ljung-Box test 檢
定的篩選，其目的在於確保配適數據的標準化殘差已不含自迴歸效應及GARCH 效應。標準化殘差的期望值為0，此處將原始 NAR model 中的截距項設為 0，以 保持標準化殘差項原始的分布假設。 𝐻𝐻0：𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2 = ⋯ = 𝜌𝜌𝑚𝑚 = 0 𝑃𝑃𝑠𝑠. 𝐻𝐻1：𝜌𝜌𝑖𝑖 ≠ 0 檢定統計量： 𝑄𝑄(𝑘𝑘) = 𝑇𝑇（𝑇𝑇 − 2） ∑ 𝜌𝜌�𝑖𝑖2 𝑇𝑇−𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑖𝑖=1 Ljung-Box test 檢定之虛無假設為自迴歸一期相關至自迴歸五期相關顯著等 於0；對立假設為自迴歸一期相關至自迴歸五期相關任一期不顯著等於 0。統計 量中 𝑘𝑘 代表代檢定的滯後期數，文獻上通常取 𝑘𝑘 = log（𝑇𝑇），在我們的實證分 析中配適的時間序列模型長度皆為 250 天（log（250） ≈ 5.521），故我們使用 Ljung-Box 檢定之期數落在五期。
皮爾森相關性檢定（Pearson correlation test）：
皮爾森相關性是衡量線性相關程度最為廣泛使用的相關性統計量。例如，在 股市中，如果我們想評估兩股票之間的相互關係，則通常使用皮爾森相關性來衡 量兩者之間的關係程度。本研究中鄰接矩陣內賦予的值，我們就以兩序列間皮爾
森相關性檢定（Pearson correlation test）的顯著性決定。任兩序列進行皮爾森相
關性檢定後，若檢定的p-value 未超過顯著水準（𝛼𝛼 = 0.05），會將鄰接矩陣中兩 序列對應的位置記為 1，代表兩序列存在相關性；若檢定的 p-value 超過顯著水 準（𝛼𝛼 = 0.05），會將鄰接矩陣中兩序列對應的位置記為 0，代表兩序列不存在相 關性。 𝐻𝐻0：𝛾𝛾 = 0 𝑃𝑃𝑠𝑠. 𝐻𝐻1：𝛾𝛾 ≠ 0 檢定統計量：
𝛾𝛾(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =
∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1（𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑥𝑥̅）（𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑦𝑦�） �∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1（𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑥𝑥̅）2�∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1（𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑦𝑦�）2 皮爾森相關性檢定屬於檢測變數間的線性相關，皮爾森相關性檢定無法直接 顯示因果推論，要探討因果推論必須考慮變數的獨立性、相關性以及時序性，單 純以相關性分析不足以說明變數間的因果關係，本研究中在鄰接矩陣內呈現的值 僅代表序列有相關，尚未能說明序列間有因果關係。26 圖附錄 圖一、澳洲AORD 指數（2016/6/1 至 2016/10/20）之對數報酬率（紅色）和美國 GSPC 指數（2016/5/31 至 2016/10/19）之對數報酬率（藍色）時間序列圖。 圖二、擷取各國收盤最新資訊之示意圖。圖中以預測美國GSPC 指數為例，擷取 各國最新收盤日期是依據預測國家的開盤時間以及其他國家的收盤時間，並依照 此條件選擇最新收盤日期是與美國同一交易日或是美國前一交易日。
27
圖三、 標準化殘差 acf 圖。檢驗模型配適後的標準化殘差其自相關係數是否落
在2 倍標準差範圍以內，用以檢視序列是否還存有自相關。
圖四、標準化殘差平方acf 圖。檢驗模型配適後的標準化殘差平方其自相關係數
28
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
圖五、日本N225 指數在 2008 至 2019 年的配適結果：(a) RMSE；(b) MAE；(c)
29
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
圖六、中國 SSE 指數在 2008 至 2019 年的配適結果：(a) RMSE；(b) MAE；(c)
30
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
圖七、美國GSPC 指數在 2008 至 2019 年的配適結果：(a) RMSE；(b) MAE；(c)
31
圖八、2008 至 2019 年之間，各國四種方法配適數據 RMSE 結果；縱坐標為 20 個
國家(按收盤時間排序) ，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b) ARMA-GARCH；
(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH 代表四種預測方法。
圖九、2008 至 2019 年之間，各國四種方法配適數據 MAE 結果；縱坐標為 20 個
國家(按收盤時間排序) ，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b) ARMA-GARCH；
32
圖十、2008 至 2019 年之間，各國四種方法配適數據 PMSE(40%)結果；縱坐標為
20 個國家(按收盤時間排序) ，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b) ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH 代表四種預測方法。
圖十一、2008 至 2019 年之間，各國四種方法配適數據 PMSE(20%)結果；縱坐標
為20 個國家(按收盤時間排序) ，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
33
圖十二、2008 至 2019 年之間，各國四種方法配適數據 PMSE(20%)結果；縱坐標
為20 個國家(按收盤時間排序) ，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH 代表四種預測方法。
圖十三、2008 至 2019 年之間，各國四種方法配適數據 PMSE(5%)結果；縱坐標
為20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH 代表四種預測方法。
34
(c) (d)
(e) (f)
圖十四、日本N225 指數 2009 至 2019 年之間，每年一步預測的結果：(a) RMSE；
35
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
圖十五、中國SSE 指數 2009 至 2019 年之間，每年一步預測的結果：(a) RMSE；
36
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
圖十六、美國GSPC 指數 2009 至 2019 年之間，每年一步預測的結果：(a) RMSE；
37
圖十七、2009 至 2019 年之間，各國四種方法每年一步預測 RMSE 結果；縱坐標
為20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH。
圖十八、2009 至 2019 年之間，各國四種方法每年一步預測 MAE 結果；縱坐標
為20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
38
圖十九、2009 至 2019 年之間，各國四種方法每年一步預測 PMSE(40%)結果；縱
坐標為 20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH。
圖二十、2009 至 2019 年之間，各國四種方法每年一步預測 PMSE(20%)結果；縱
坐標為 20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
39
圖二十一、2009 至 2019 年之間，各國四種方法每年一步預測 PMSE(20%)結果；
縱坐標為 20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，(a) AR(1)；(b)
ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH。
圖二十二、2009 至 2019 年之間，各國四種方法每年一步預測 PMSE(5%)結果；
縱坐標為 20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
40
圖二十三、2009 至 2019 年之間，各國四種方法每年一步預測陽性預測值結果；
縱坐標為 20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d) NAR-GARCH。
圖二十四、2009 至 2019 年之間，各國四種方法每年一步預測陰性預測值結果；
縱坐標為 20 個國家(按收盤時間排序)，橫坐標依照年份排列，且(a) AR(1)；(b)
41
圖二十五、日本N225 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實值
的 Pearson correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為
VAR-GARCH；橘色為 NAR-GARCH；紅色圓圈代表檢定之 p-value 小於 0.05。
圖二十六、日本N225 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實值
的 Kendall correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為
42
圖二十七、日本N225 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實值
的Spearman correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為
VAR-GARCH；橘色為 NAR-GARCH；紅色圓圈代表檢定之 p-value 小於 0.05。
圖二十八、中國 SSE 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實值
的 Pearson correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為
43
圖二十九、中國 SSE 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實值
的 Kendall correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為
VAR-GARCH；橘色為 NAR-GARCH；紅色圓圈代表檢定之 p-value 小於 0.05。
圖三十、中國 SSE 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實值的
Spearman correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為 VAR-GARCH；
44
圖三十一、美國GSPC 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實
值的Pearson correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為
VAR-GARCH；橘色為 NAR-GARCH；紅色圓圈代表檢定之 p-value 小於 0.05。
圖三十二、美國GSPC 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實值
的 Kendall correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為
45
圖三十三、美國GSPC 指數 2009 至 2019 年，四種方法每年一步預測值與真實值
的Spearman correlation，藍色為 AR(1)；綠色為 ARMA-GARCH；紫色為
VAR-GARCH；橘色為 NAR-GARCH；紅色圓圈代表檢定之 p-value 小於 0.05。
圖三十四、日本 N225 指數 2009 至 2019 年，四種預測方法選擇不同漲跌幅度
(10%、20%、40%)及不同手續費率(0.1%、0.25%、0.5%) 對應的年度總報率。
其中(a) AR(1)；(b) ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d)NAR-GARCH，Real
46
圖三十五、中國 SSE 指數 2009 至 2019 年，四種預測方法選擇不同漲跌幅度
(10%、20%、40%)及不同手續費率(0.1%、0.25%、0.5%) 對應的年度總報率。
其中(a) AR(1)；(b) ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d)NAR-GARCH，Real
代表大盤指數。
圖三十六、美國 GSPC 指數 2009 至 2019 年，四種預測方法選擇不同漲跌幅度
(10%、20%、40%)及不同手續費率(0.1%、0.25%、0.5%) 對應的年度總報率。
其中(a) AR(1)；(b) ARMA-GARCH；(c) VAR-GARCH；(d)NAR-GARCH，Real
47 表附錄 表一、各國金融指數收盤時間，由最先收盤之金融指數依序排列。於NAR 模 型中建構鄰接矩陣時，首要關鍵是各國的時序問題，為確保金融指數間收盤順 序的正確性，擬定此表作為標準。 排序 指數代號 國家名稱 開盤時間 (夏令) 收盤時間 (夏令) 開盤時間 (冬令) 收盤時間 (冬令) 1 AORD 澳洲 07:00 13:00 08:00 14:00 2 N225 日本 08:00 14:00 08:00 14:00 3 KS11 南韓 08:00 14:30 08:00 14:30 4 SSE 中國 09:30 15:00 09:30 15:00 5 HIS 香港 09:30 16:00 09:30 16:00 6 STI 新加坡 09:00 17:00 09:00 17:00 7 KLSE 馬來西亞 09:00 17:00 09:00 17:00 8 BSESN 印度 12:25 18:00 12:25 18:00 9 TASI 沙烏地阿拉伯 15:00 20:00 15:00 20:00 10 XU100 土耳其 14:40 22:15 14:40 22:15 11 JTOPI 南非 15:00 22:50 15:00 22:50 12 FCHI 法國 15:00 23:25 16:00 00:25 13 FTSE 英國 15:00 23:25 16:00 00:30 14 RTSI 俄羅斯 15:00 00:00 15:00 00:00 15 GDAXI 德國 15:00 02:00 16:00 03:00 16 BVSP 巴西 21:00 04:00 21:00 04:00 17 GSPC 美國 21:30 04:00 21:30 04:00 18 GSPTSE 加拿大 22:30 05:00 22:30 05:00 19 MXX 墨西哥 22:30 05:00 22:30 05:00 20 MERV 阿根廷 22:30 05:00 22:30 05:00
48 表二、各國金融指數間擷取最新收盤日期的關係矩陣示意表。縱座標為預測金 融指數；橫坐標為與被預測金融指數檢定相關性之金融指數，值為0 代表該指 數需要擷取當天收盤資訊；值為1 代表該指數需要擷取前一日收盤資訊。 表三、日本N225 指數 2019 年一步預測六項評估指標比較。 誤差指標 AR（1） ARMA-GARCH VAR-GARCH NAR-GARCH RMSE 1.225 1.234 1.444 1.188 MAE 0.883 0.883 1.047 0.863 PMSE 40% 1.017 0.999 0.97 0.955 PMSE 20% 0.999 0.942 0.92 0.873 PMSE 10% 0.996 0.977 0.964 0.903 PMSE 5% 1.006 0.983 1.026 0.899 表四、中國SSE 指數 2019 年一步預測六項評估指標比較。
誤差指標 AR（1） ARMA-GARCH VAR-GARCH NAR-GARCH
RMSE 1.25 1.264 1.42 1.256 MAE 0.919 0.937 1.048 0.946 PMSE 40% 0.966 0.891 0.772 0.846 PMSE 20% 0.998 0.984 0.907 0.968 PMSE 10% 1 0.985 1.026 0.959 PMSE 5% 1.009 0.972 1.027 0.936
AORD N225 KS11 SSE HIS … RTSI GDAXI BVSP GSPC GSPTSE MXX MERV
AORD 0 1 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 N225 1 0 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 KS11 1 1 0 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 SSE 1 1 1 0 1 … 1 1 1 1 1 1 1 HIS⋮ ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 0 …⋮ ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 RTSI 0 0 0 0 1 … 0 1 1 1 1 1 1 GDAXI 0 0 0 0 1 … 1 0 1 1 1 1 1 BVSP 0 0 0 0 0 … 1 1 0 1 1 1 1 GSPC 0 0 0 0 0 … 1 1 1 0 1 1 1 GSPTSE 0 0 0 0 0 … 1 1 1 1 0 1 1 MXX 0 0 0 0 0 … 1 1 1 1 1 0 1 MERV 0 0 0 0 0 … 1 1 1 1 1 1 0
49
表五、美國GSPC 指數 2019 年一步預測六項評估指標比較。
誤差指標 AR（1） ARMA-GARCH VAR-GARCH NAR-GARCH
RMSE 1.089 1.15 1.228 1.31 MAE 0.75 0.816 0.799 0.861 PMSE 40% 1.03 1.084 1.051 0.934 PMSE 20% 1.004 1.046 1.045 1.053 PMSE 10% 1.004 0.99 1.156 1.03 PMSE 5% 1.016 1.02 0.962 1.041 表六、日本N225 指數一步預測陽性預測值。
年份 AR（1） ARMA-GARCH VAR-GARCH NAR-GARCH
2009 100.0% 47.9% 42.7% 64.8% 2010 0.0% 46.4% 47.3% 49.3% 2011 0.0% 37.5% 35.4% 49.2% 2012 0.0% 22.2% 37.7% 53.4% 2013 52.6% 44.9% 47.4% 56.8% 2014 25.0% 35.4% 45.3% 50.0% 2015 0.0% 48.8% 45.5% 44.7% 2016 0.0% 39.5% 43.2% 50.0% 2017 0.0% 34.6% 39.6% 43.6% 2018 0.0% 43.8% 40.0% 51.6% 2019 0.0% 41.7% 41.4% 43.5% 表七、日本N225 指數一步預測陰性預測值。
年份 AR（1） ARMA-GARCH VAR-GARCH NAR-GARCH
2009 42.5% 41.0% 38.5% 62.8% 2010 0.0% 44.8% 50.6% 50.6% 2011 0.0% 51.0% 50.0% 64.5% 2012 0.0% 33.3% 38.7% 49.3% 2013 33.3% 41.2% 38.4% 50.7% 2014 25.0% 39.5% 38.1% 48.1% 2015 50.0% 36.1% 38.0% 47.3% 2016 23.8% 37.2% 33.0% 44.1% 2017 50.0% 43.5% 35.7% 48.1% 2018 40.0% 40.6% 40.6% 52.2% 2019 50.0% 35.3% 35.0% 40.8%
50
表八、中國SSE 指數一步預測陽性預測值。
年份 AR（1） ARMA-GARCH VAR-GARCH NAR-GARCH
2009 0.0% 48.6% 55.0% 51.6% 2010 0.0% 37.8% 37.4% 42.3% 2011 0.0% 15.8% 29.3% 32.4% 2012 0.0% 44.4% 32.7% 34.3% 2013 0.0% 34.5% 31.9% 30.6% 2014 50.0% 63.3% 39.7% 61.8% 2015 50.8% 49.5% 49.5% 48.9% 2016 0.0% 30.8% 32.4% 41.5% 2017 0.0% 66.7% 41.4% 60.0% 2018 0.0% 48.0% 48.3% 55.9% 2019 0.0% 41.7% 44.9% 43.1% 表九、中國SSE 指數一步預測陰性預測值。
年份 AR（1） ARMA-GARCH VAR-GARCH NAR-GARCH
2009 38.5% 41.0% 37.5% 41.8% 2010 0.0% 43.9% 46.1% 44.9% 2011 0.0% 45.2% 39.8% 50.9% 2012 30.4% 36.5% 45.5% 43.4% 2013 0.0% 32.7% 45.3% 38.1% 2014 8.3% 35.5% 37.0% 37.9% 2015 30.0% 33.3% 41.7% 39.1% 2016 26.7% 42.6% 37.8% 34.8% 2017 0.0% 25.0% 32.1% 33.3% 2018 36.4% 60.0% 57.6% 57.8% 2019 27.8% 40.0% 33.3% 34.5%
